专题09 解析几何双曲线典型题专项训练(解析版)

专题09 解析几何

第二十三讲双曲线答案部分

1.【解析】如图所示，不妨设F为双曲线

22

:1

45

x y

C-=的右焦点，P为第一象限点．

由双曲线方程可得，24

a=，25

b=，则223

c a b

=+=，

则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229

x y

+=．

联立

22

22

9

1

45

x y

x y

⎧+=

⎪

⎨

-=

⎪

⎩

，解得

5

3

y=±．

则

155

3

232

O P F

S=⨯⨯=

△

．故选B．

2.【解析】因为双曲线

2

2

2

1(0)

y

x b

b

-=>经过点(3,4)，

所以2

2

16

31

b

-=，解得22

b=，即2

b．

又1

a=，所以该双曲线的渐近线方程是2

y x

=±．

3.【解析】根据渐进线方程为0

x y

±=的双曲线，可得a b

=，所以2

c a

=，则该双曲线的离心率为2

c

e

a

==C．

4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，

所以tan50

b

a

=︒，

2

22

2

1

11t a

n5

0s

e

c5

c

o

s5

c b

e

a a

==+=+︒=︒=

︒

. 故选D．

5.【解析】解法一：由题意，把

2

c

x=代入222

x y a

+=，得

2

2

2

4

c

P Q a

=-，

再由P Q O F =，得22

24

c a c -=，即222a c =， 所以2

22c a

=，解得2c e a ==.故选A ．

解法二：如图所示，由P

Q O F =可知P Q 为以O F 为直径圆的另一条直径， 所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭

，代入222

x y a +=得222a c =， 所以2

22c a

=，解得2c e a ==.故选A ．

解法三：由P

Q O F =可知P Q 为以O F 为直径圆的另一条直径，则12

22O P a O F ==⋅=，2c e a ==故选A ． 6.【解析】 由题意知，1b =，215c a e a +===，解得12a =.故选D.

7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.

因为l 与双曲线()22

2210,0x y

a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且

4A B O F =（为原点），所以2b AB a =

，1OF =，所以

24b

a

=，即2b a =， 所以225c a b a

=+=，所以双曲线的离心率为5c e a

==． 故选D ．

1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314

c ab =+=+=，

所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．

2．A 【解析】解法一 由题意知，=

=c e a

，所以c ，所以，

所以

=b a

=±b

y x a

，故选A ．

解法二 由=c e a

，得

=b

a

，所以该双曲线的渐近线方程为

=±b

y x a

．故选A ．

3．D 【解析】解法一 由离心率c e a

=

=，得c ，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近

=．故选D ．

解法二 离心率e y x =±，由点到直

线的距离公式，得点(4,0)到C

=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a ，2

(,)b B c a

-，

取双曲线的一条渐近线为直线0b x a y -=，

由点到直线的距离公式可得22

1b c b d c -=，22

2b c b

d c +=， 因为126d d +=

，所以22

6b c b b c b

c c

-++=，所以26b =，得3b =． 因为双曲线22

221(0,0)x y

a b a b

-=>>的离心率为2，所以2c a =，

所以222

4a b a +=，所以229

4a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22

139

x y -=，故选A ．

优解 由126d d +=

，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．