新教师必须要解好五个不等式
5.含参不等式及基本不等式(教师版) WPS文字 文档
参数不等式与基本不等式学习目标：① 含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式； ②不等式的解集与方程的根相关； ③基本不等式及其应用一、基础知识1、含参不等式20ax bx c ++≥需讨论二次项系数正负或零以及两根的大小； 2、含参分式不等式先将其转化为整式不等式；3、基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤ 4、利用重要不等式求函数最值时，谨记：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针5、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题（有解问题 ）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立, 则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立, 则等价于在区间D 上的()min f x B <.如3). 恰成立问题不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价()A x f >的解集为D ； 不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价()B x f <的解集为D .二、题型归类（一）含字母参数一元二次不等式的问题1. 当0a <时，不等式22420x ax a +-≤的解集是____________2. 已知不等式210ax bx ++≥的解集为{51}x x -≤≤，则2a b +=____________ 3. 实数k 在什么范围内取值时，不等式220kx kx -+>的解集是实数集R ？解集会不会是空集？4. 若不等式组()22201ax x x x a x ⎧--≤⎨-≥-⎩的解集为R ,求a 的取值范围是____________5.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或。
不等式解题方法
不等式解题方法一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
教师资格考试中学数学学科知识
教师资格考试中学数学学科知识中学数学学科知识是教师资格考试的重要内容之一，涵盖了数学基础知识、基本技能、数学思想方法、数学应用等方面。
对于数学学科知识的理解和掌握，应从以下几个方面入手：数学基础知识：包括代数、几何、概率与统计等基础知识，这些知识是数学学科的基础，必须熟练掌握。
基本技能：包括运算技能、推理技能、作图技能等，这些技能是解决数学问题的基本能力，必须具备扎实的基本功。
数学思想方法：包括函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等，这些思想方法是解决数学问题的关键，必须深入理解和掌握。
数学应用：中学数学学科知识不仅包括基础知识和技能，还包括数学应用方面的知识，如数学建模、数学抽象、数学归纳等，这些知识有助于学生运用数学解决实际问题。
近年来，教师资格考试中学数学学科知识的命题趋势呈现出注重基础、强调应用、考查思维等特点。
因此，在备考过程中，需要注意以下几点：注重基础知识的学习：中学数学学科知识的基础知识非常重要，必须熟练掌握。
在备考过程中，要注重基础知识的学习和巩固，尤其是基本概念、基本公式、基本方法等。
强调数学应用能力的培养：数学应用是中学数学学科知识的重要内容之一，也是命题的重点。
在备考过程中，要注重数学应用能力的培养，学会运用数学知识解决实际问题。
考查思维能力的提高：中学数学学科知识的命题不仅注重基础知识和应用能力，还注重思维能力的考查。
在备考过程中，要注重思维能力的提高，学会运用数学思想方法解决问题。
熟悉题型和考试时间：教师资格考试中学数学学科知识的题型包括选择题、填空题、解答题等，考试时间为120分钟。
在备考过程中，要熟悉各种题型和考试时间分配，提高解题速度和准确率。
中学数学学科知识的内容非常丰富，有些知识点可能比较抽象或复杂，需要考生深入理解和掌握。
以下是一些重点难点及突破方法：函数与方程：函数与方程是中学数学的重要内容之一，也是解决实际问题的重要工具。
在备考过程中，要注重函数与方程的基本概念、性质和方法的掌握，同时要注意与实际问题的和应用。
不等式性质基本性质教案
不等式性质基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的基本性质，掌握不等式两边同加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
2. 培养学生运用不等式的性质解决问题的能力。
3. 通过不等式的性质教学，培养学生抽象思维能力，渗透转化的数学思想。
二、教学内容：1. 不等式两边同加上或减去同一个数，不等号的方向不变。
2. 不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
3. 不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
4. 运用不等式的性质解决问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握不等式的基本性质，能运用不等式的性质解决问题。
2. 教学难点：不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
四、教学方法：1. 采用启发式教学法，引导学生发现不等式的性质，培养学生抽象思维能力。
2. 采用例题教学法，让学生通过观察、分析、归纳不等式的性质。
3. 采用练习法，巩固所学的不等式性质。
五、教学过程：1. 导入新课：复习相关知识点，如不等式的概念、不等式的解集等，为学生学习不等式的性质做好铺垫。
2. 教学不等式两边同加上或减去同一个数，不等号的方向不变：（1）展示例题，引导学生观察、分析，发现不等式两边同加上或减去同一个数，不等号的方向不变。
（2）让学生用语言表述这一性质。
（3）进行练习，巩固所学知识。
3. 教学不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变：（1）展示例题，引导学生观察、分析，发现不等式两边同乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
（2）让学生用语言表述这一性质。
（3）进行练习，巩固所学知识。
4. 教学不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变：（1）展示例题，引导学生观察、分析，发现不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
（2）让学生用语言表述这一性质。
新教师须谨记的“三个不等式”
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外 因 的辩证 关系 ， 在学 习过程 中主动 地质疑 、 求 、 探 调 整和控 制 ， 效地 形 成积极 思维 、 有 问题 意识 、自主参 与 和 实践体 验 ， 有效地 营建 和改 变 自己 的学 习环境 、 并 学 习方式 方法 ， 创知 识信 息 、 力资源 和文 化背 景的 新 开 智
教改， 并有 效地 形成 教改 、 研 、 教 教学 不 同的流 派 、 格 风 和特 色。 名师越 多 ， 育教 学个性 风格 越 丰富 多彩 ， 教 创 新特 色越 斑斓 绚丽 。应 当强调 的是 ，学校 以教 学 为 中 心 ，教学 活 动是学 校教 育 的主 载体 。能 否形 成 学校特 色 ， 学是关键 ， 师是 基础 。只 有形成 教 师的教 学特 教 教 色， 并形 成 教师教 学特 色 的多样 化和 个性 化 ， 能更 加 才 有 力地推 动学 校各 项工作 的特 色化 。 此 ， 为 深入 开展校 本培训 与 校本 教研 给教 师 的教学 、 教研 、 改提 供开 阔 教 的视 野和 科学 的平 台 ， 创造 科研 与教 学 的 “ 红梅 迎春 ” 与“ 百花 齐放 ” 局面 ， 当前推 进教 育 创新与 实现 素 的 是
而 考 试 分 数 出来 后 ，他 傻 眼 了 ，他 所 担 任 的 班 级 平 均 分 与 其 他 班 级 少 １ 之 多 ， 成 严 重 的 “ 学 质 ０分 构 教 量事 故”让 教师 大惑 不解 。 ，
感 悟 ：Ａ 教 师 的 失 误 是 绝 大 多数 新 教 师 容 易 犯
教 师创 建学校 特 色的作 用 ， 把特 色建 设与 实施 “ 要 名师
、
讲过 ≠掌 握
Ａ教 师毕 业 于某名牌 高校 ，事 业心 强 、工 作十
给高中数学新教师关于数学教学的几点建议
基础教育 >>52给高中数学新教师关于数学教学的几点建议高 翔辽宁省锦州市黑山县第一高级中学摘要：大学毕业后，我顺利的进入高中工作，成为了一名高中数学教师，工作3年来，对高中数学教学有了更深刻的认识。
在此，我想对我在数学教学中的经验技巧进行总结，分享给即将成为中学数学教师的数学专业的师范生，以及刚刚参加工作的高中数学教师。
下面是我对高中数学新教师如何更好地进行课堂教学提出的几点建议。
关键词：高中数学；教学；课堂一、通过多种方式全面地了解学生为了提高教学效率，应该从以下几点去了解学生：1.了解学生的知识基础。
我们可以通过小测试、查阅学生以往的考试成绩、课堂提问、对学生进行访谈、向班主任询问等多种方式了解学生的知识基础，这样在教学中，可以选择一个适合学生的切入点开展教学，也会对我们决定教学的广度与深度提供重要的参考依据。
2.了解学生的学习习惯。
学生的学习习惯对学生的学习有很大的影响，我们可以通过观察学生上课时的听课态度、自习课的学习状态、对学生进行访谈等方式去了解学生的学习习惯，对学生不良学习习惯及时纠正。
3.了解学生的性格差异。
通过了解学生的性格特点以及班级的学习氛围，采取适合学生学习的方式，营造促进学生学习的课堂氛围。
二、通过多种途径高质量地备课上好一堂课，课前需要大量的准备工作。
首先，要仔细阅读教材，思考每个知识点的地位与作用、知识点间的联系，准确把握教学重难点；其次，通过阅读一些教学设计（课件），听不同教师的课，学习更多的教学方法，掌握更多处理不同问题时的技巧，根据学情，选取最适合自己班级学生的方式进行课堂教学；再次，要多做一些课外题，深入研究高考题，更准确的把握所教内容与其他内容之间的关联和在高考中的地位；最后，每节课都要写一个详细的教学设计，这对流畅地上好一节课很有帮助，同时，课后一定要及时地进行反思，自己哪个地方做的不好，在下次备课和上课时，注意及时改正，一点点提高教学水平。
心理咨询中的五个“不等式”
心灵驿站心理咨询中的五个“不等式”1、心理问题≠精神病心理问题与精神病是两个不同的概念。
每个人在成长的不同阶段都有会遇到各种问题，导致消极情绪的产生。
因此，心理问题是日常生活中经常会遇到的，就这些问题求助于心理咨询，并不意味着有不正常或有见不得人的隐私。
人们所说的精神病，如精神分裂症、躁郁症等，它与一般的心理问题和轻度心理障碍是有很大区别的，他们的典型特征是对自己的疾病没有自知力，更不会主动求医。
2、心理学≠窥视许多人认为咨询师都是透视眼，能够窥视到他人的心理活动。
很多来访者也认为，只要简单说几句，咨询者就应该能猜出他心中的想法。
其实咨询师也是人，他们没有什么特异功能窥见他人的内心世界，他们只是懂得人们心理活动的规律，通过对来访者言行的了解，应用心理学的理论和方法，引导来访者看到问题的根源，进而引导来访者改变认知和行为，从而解决其心理困惑。
因此，来访者只有详尽地提供有关情况，才能有效快捷地找到问题症结，有利于咨询师做出正确的诊断并进行恰当的引导。
3、心理咨询≠无所不能许多来访者将心理咨询神化，似乎咨询者无所不会、无所不能，什么样的心结都能打开。
有的来诊一两次，没有达到所期望的效果，就大失所望，再也不来了。
实际上，心理问题常与来访者的个性及生活经历有关，就像一座冰山，反应出来的行为只是冰山一角，更多的问题被遮掩。
这个冰山有多大？多深？没有标准答案。
有些严重的心理问题更是积封已久，没有强烈的求助、改变的动机，没有恒久的决心与之抗衡，是难以冰消雪融的，所以，心理咨询是一个连续的、艰难的改变过程，来访者需有打"持久战"的心理准备。
4、心理医生≠救世主一些来访者把心理医生当作"救世主"，将自己的问题丢给咨询师，等着咨询师用一句话来解决问题。
然而，在心理咨询中，咨询师只能起到分析、引导、启发、支持、促进来访者改变和人格成长的作用，他无权把自己的价值观和愿望强加给来访者，更不能替来访者去改变或作决定。
高中数学5个不等式教案
高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。
一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。
二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。
2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。
3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。
三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。
2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。
3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。
四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。
2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。
五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。
七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。
以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。
不等式基本性质教学设计(共5篇)
不等式根本性质教学设计〔共5篇〕第1篇：不等式性质教学设计 2022-2022学年度第二学期关集中心校七年级数学组导学案专用纸主备人：胡伟审核人：使用人：第11周讨论时间：不等式的根本性质〔1〕教学设计学习目标1、理解、掌握不等式的根本性质；2、能够运用不等式的根本性质解决有关问题.重点难点重点：不等式的三个性质.难点：不等式性质3的探索及运用.解决方法：不等式的根本性质3的导出，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜测结论、验证等环节来突破的.并在理解的根底上加强练习，以期到达学生稳固所学知识的目的.教学方法先学后教、讨论、探究、讲练结合教具准备多媒体，或小黑板教学设计流程问题：等式有哪些性质?〔学生交流3-5分钟〕学生答复等式的性质：性质1 等式两边同时加〔或减〕同一个数〔或式子〕，结果仍相等.性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.此次活动中教师应重点关注：〔1〕学生对已学过的等式性质内容的记忆，及表达语言的准确性；〔2〕学生对等式性质得出过程的回忆.探讨不等式的根本性质.〔学生读文8-10分钟后，研讨并解决下面问题〕如果a>b，那么，在数轴上表示a的点A位于表示b 的点B的右侧，画图表示.〔一〕做做1.请你在上面的数轴上画出表示a＋3和b＋3的点来，哪个点在右侧?并用不等号连接下面的式子： a＋3______b＋3.类似地，应有 a＋c______b＋c.2.如果在a>b的两边都减去同一个数或同一个整式，你认为应该有怎样的结论? 让学生多举出几组数据，结合数轴来比拟出两组数的大小关系.〔以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论〕.不等式的根本性质1：如果a>b，那么 a＋c>b ＋c，a－c>b－c.就是说，不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.〔二〕探究1.根据8>3，用“>〞或“ 8×2_______3 × 2； 8×〔－2〕_______3×〔－2〕.8× _______3×； 8×〔－〕_______3×〔－〕.8×0.01______3×0.01； 8×〔－0.01〕_______3×〔－0.01〕.2.对于8>3，在不等式两边乘同一个正数，不等号方向改变吗?3.对于8>3，在不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变吗?4.你有什么发现?再举几例，验证你的结论.通过多组数据，观察、思考、一起探究两组数的大小关系.学生在填空的根底上分组探索不等式的性质.教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论.此次活动是本节课的核心活动，对学生有一定的难度，有些学生可能会直接把等式的性质加以修改，推广得到不等式的性质，而忽略了不等式的两边乘或除以同一个正数或同一个负数时的不同结论，此时教师应引导学生注意观察题目，并继续举几个例子让学生观察比照，体会不等式性质与等式性质的异同，用自己的语言描述发现的规律.不等式的根本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.不等式的根本性质3：如果a>b，并且c 〔三〕例题例根据不等式的根本性质，把以下不等式化成x>a或x2；〔2〕2x20.学生独立完成，举手答复以下问题.教师填写答案，并对学生出现的问题给予指导，进一步稳固不等式的性质.此次活动中教师应重点关注：〔1〕学生能否说出填空根据的是不等式的哪一条性质；〔2〕学生对不等式性质3的掌握情况.解：〔1〕 x－l>2，x－l＋l>2＋1〔不等式的根本性质1〕， x>3.〔2〕2x 2x－x 〔不等式的根本性质2〕， x20 〔不等式的根本性质3〕， xa或x 〔四〕教后检测1.如果a〞或“a或x8x＋1；〔3〕 x>－4；〔4〕－10x 〔五〕当堂训练1.在以下各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式根本性质．〔1〕假设a－3＜9，那么 a ______12；〔2〕假设－a＜10，那么a______ －10；答：〔1〕a＜12，根据不等式根本性质1．〔2〕a＞－10，根据不等式根本性质3． 2.a＜0，那么〔1〕a+2 ______2；〔2〕a－1 ______ －1；〔3〕3a______ 0；〔4〕a－1______0；〔5〕|a|______0．答：〔1〕a+2＜2，根据不等式根本性质1．〔2〕a－1＜－1，根据不等式根本性质1．〔3〕3a＜0，根据不等式根本性质2．〔4〕因为a＜0，两边同加上－1，由不等式根本性质1，得a－1＜－1．又，－1＜0，所以 a－1＜0．〔5〕因为a＜0，所以a≠0，所以|a|＞0．〔此题除了进一步运用不等式的三条根本性质外，还涉及了一些旧的根底知识．如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；|a| 是非负数等．〕 3.判断以下各题的推导是否正确？为什么？〔投影〕〔请学生口答〕〔1〕因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7；〔2〕因为a+8＞4，所以a＞－4；〔3〕因为4a＞4b，所以a＞b；〔4〕因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2；〔5〕因为3＞2，所以3a＞2a．答：〔1〕正确，根据不等式根本性质3．〔2〕正确，根据不等式根本性质1．〔3〕正确，根据不等式根本性质2．〔4〕正确，根据不等式根本性质1．〔5〕不对，应分情况逐一讨论．当a＞0时，3a＞2a．〔不等式根本性质2〕当 a=0时，3a=2a．当a＜0时，3a＜2a．〔不等式根本性质3〕〔学生在答复此题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助〕4.按照以下条件，写出仍能成立的不等式：〔1〕由－2＜－1，两边都加－a；〔2〕由7＞5，两边都乘以不为零的－a．5.用不等号填空：〔1〕当a－b＜0时，a______ b；〔2〕当a＜0，b＜0时，ab ______0；〔3〕当a＜0，b＞0时，ab ______0；〔4〕当a＞0，b＜0时，ab ______ 0；〔5〕假设a ______ 0，b＜0，那么ab＞0；〔六〕教后反思第2篇：根本不等式教学设计根本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解根本不等式；③引导学生从不同角度去证明根本不等式；④用根本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的微妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解根本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比拟几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对根本不等式进行严格的证明，包括了比拟法，综合法和分析法，而学生对作差比拟法是比拟熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并标准证明过程，为今后学习证明方法打下根底.第四个环节：训练小结，稳固深化.学习根本不等式最终的目的表达在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对根本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，表达化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步稳固化归思想及应用根本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的时机，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用根本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等〞这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用根本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解根本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用根本不等式，以及根本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索根本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜测，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?〔教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情〕?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用根本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用根本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是根本不等式应用举例的延伸。
人教版部编教材三科教师培训汇报
2016年陕西省人教版部编教材语文培训汇报广坪中学2016年9月20日至21日、我在西安宾馆参加了陕西省人教版部编教材语文骨干教师培训会，聆听了人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员，兼任中国教育学会中学语文教学专业委员会秘书长顾之川的《初中语文部编教材、教学与教师》专题讲座；聆听了陕西省特级教师、陕西师范大学硕士生导师、陕西省省级骨干教师培训专家、人民教育出版社新教材培训专家、西安市教科所贾玲副所长所做的《部编教材七年级语文教学实施与指导意见》。
现将培训体会交流如下。
一、初中语文部编教材的七个“创新点”1、选文强点四个标准：经典性、文质兼美、适宜教学、具有时代性。
和原来人教版比，课文总量减少了。
但不等于教学总量减少。
而是几个板块内容进行了调整，使教学内容更丰富、更有效。
变化：减少汉语拼音难度，让汉语拼音服务于识字教学。
新教材一开始就是识字教学（5—6课），然后才学拼音。
选文变化：经典课文又恢复了；“时文”减少；传统文化篇目增加；革命传统教育篇目占较大比重。
2、更加灵活的单元结构体例。
分单元教学，若干板块内容穿插安排在各单元之中。
小学低年级分三个板块——课文、识字写字、拼音。
教学中可以大致按照板块顺序进行，也可以穿插进行。
综合性学习——往往在实际教学中有走过场之嫌，新教材次数有所减少，中心更加突出。
口语教学表面上减少了，实际是分散了。
汉语拼音教学可以相对集中完成，识字写字教学和课文教学可以有更多的融合。
条件好的学校，可以多一些融合重组。
双线组织单元结构：一条线是按照“内容主题”组织单元，但又不像以前教材那样予以明确的单元主题命名；另一条线是将语文素养的各种基本因素（“双基”、学习策略、学习习惯）分成若干点，由浅入深分布在各单元课文导引或习题设计中。
小学的单元设计：思考练习题；语文园地；“和大人一起读”（强调亲子，这是一个两点）?3、重视语文核心素养，重建语文知识体系。
在教材呈现和教学中不可以强调体系，防止过度操练。
五年级数学技巧掌握解不等式的方法
五年级数学技巧掌握解不等式的方法解不等式是数学中重要的概念，它涉及到数线上的区间、数值大小的比较等内容。
在五年级的学习中，掌握解不等式的方法对孩子们的数学能力提升至关重要。
本文将介绍几种简单易懂的解不等式的方法，帮助五年级的学生们更好地掌握这一技巧。
一、正数的加减法规则在解不等式时，首先需要理解正数的加减法规则。
当不等式中的一个数加上或者减去一个正数时，不等式的方向不会变化。
举个例子来说，对于不等式x + 5 > 10，我们可以将其写为x > 10 - 5，即x > 5。
在解这个不等式时，我们将10减去5得到了5，不等式的方向没有改变。
二、负数的加减法规则在解不等式时，我们也需要了解负数的加减法规则。
当不等式中的一个数加上或者减去一个负数时，不等式的方向会变化。
例如，对于不等式x - 3 < 5，我们将其写为x < 5 + 3，即x < 8。
在解这个不等式时，我们将5加上3得到了8，不等式的方向从小于号变成了大于号。
三、乘法规则除了加减法规则外，乘法规则也是解不等式的重要一环。
当不等式中的一个数乘以一个正数时，不等式的方向不变。
例如，对于不等式2x > 6，我们可以将其写为x > 6 ÷ 2，即x > 3。
在解这个不等式时，我们将6除以2得到了3，不等式的方向没有改变。
四、乘法规则的例外情况然而，乘法规则也有例外情况需要注意。
当不等式中的一个数乘以一个负数时，不等式的方向会发生改变。
例如，对于不等式3x < -6，我们需要将其写为x > -6 ÷ 3，即x > -2。
在解这个不等式时，由于-6除以3为-2，不等式的方向从小于号变成了大于号。
五、带有绝对值的不等式在五年级的数学学习中，孩子们也会遇到带有绝对值的不等式。
解这类不等式的关键在于确定绝对值的取值范围。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们需要考虑两种情况：2x - 3 > 0和2x - 3 < 0。
不等式的五个步骤
去括号
当不等式中出现 括号时
使不等式中不 含括号
去括号法则、分配律
移项
当不等式中出现 未知项、已知项 混合时 当不等式左右两 边单独出现未知 项、已知项时
把未知项、已 1、先找所要移动的项，并把它 知项分别放在 们改变性质符号后，从不等式的 1、移项要变号 移项法则(不等式性质1) 不等式的左边 一边移到另一边 2、注意不要漏项 和右边 2、不移动的项照写下来 1、先找同类项 2、将未知项的系数相加，字母 跟字母的指数不便 3、将已知数相加
合并
把同类项合并
合并法则
注意数字的运算
当不等式的未知 将不等式化为 系数化为1 数系数不是1（包 X＞a或X＜a的 括-1） 形式 附加： 在数轴上表 示不等式的 解完不等式之后 解集
不等式性质2或3
1、观察未知数系数是“+”或“ -”，决定不等式方向是否改变 若不等式两边同时乘以一个负 方向 2、 数，需注意不等号方向要改变 根据方程中系数化为1过程求解 在数轴上表示解集： 1、确定数的位置； 2、确定是否带等号； 3、确定方向
1、先画数轴（原点、正方向、 大于（＞）向右，小于 按X＞a或X＜a 单位长度） （＜）向左，有等号用 的形式画图 2、找出对应的点 实心，无等号用空心 3、把解集表示出来
解一元一次不等式的五个步骤
名称 什么情况下进行 目的 使不等式中的 分数形式变为 整数 根据 当不等式中出现 分母时 过程 1、找出各分母的最小公倍数 2、将最小公倍数与不等式左右 两边各项相乘 3、最小公倍数是正数，不等号 方向不变；最小公倍数是负数， 不等号方向改变。 1、将括号前面的因数与括号里 面的各项相乘 2、括号前面是“+”号，去括号 后，括号里面各项不变号；括号 前面是“-”号，去括号后，括 号里面各项要变号。 注意事项 1、勿漏乘不含分母的项 2、分子是两项或两项以上的 代数式时要加括号 3、若不等式两边同时乘以一 个负数，需注意不等号方向要 改变 1、括号前面的因数要与括号 内的每一个项相乘 2、括号前面是“-”号，去括 号后，括号里面各项要变号
不等式及不等式组教案5篇
不等式及不等式组教案5篇(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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新人教A版：选修4-5不等式和绝对值不等式
授课主题不等式和绝对值不等式教学目标1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.教学内容1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c.(3)加(减)：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0⇔ac＞bc；a＞b，c＜0⇔ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0⇒na＞nb，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称a＋b2为正数a，b的算术平均数，ab为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间， 5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可． ②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一 用作差比较法比较大小例1 若x ∈R ，试比较(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)与(x ＋12)(x 2＋x ＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小． 解析：∵(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1－x 2)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)． ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x 2(x ＋1)－(x ＋1)(x 2＋x ＋1)＋12(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x )＝12>0. ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)>(x ＋12)(x 2＋x ＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a －b >0.则a >b ；若a －b <0，则a <b ；若a －b ＝0，则a ＝b .作差比较法的步骤是①作差；②变形；③定号；④下结论． 巩 固 比较x 2－x 与x －2的大小．解析：(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为(x －1)2≥0， 所以(x －1)2＋1>0，即(x 2－x )－(x －2)>0. 所以x 2－x >x －2.题型二 用不等式性质证明或判断不等式 例2 已知a >b ，c <d ，求证，a －c >b －d ．证明：∵c <d ，∴－c >－d .又∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )．即a －c >b －d .巩 固 设f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求证：－1≤f (－2)≤10.证明：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝m ＋n ，2＝m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以－1≤f (－2)≤10.巩 固 如果a ，b ，c 均为正数且b <c ，则ab 与ac ＋bc 的大小关系是________．答案：ab <ac ＋bc题型三 利用基本不等式求函数的值域或最值 例3 已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1(x ＝32舍去)时等号成立，∴当x ＝1时，y max ＝1.巩 固 设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x1＋y 2的最大值为__________．分析：∵x 2＋y 22＝1是常数，∴x 2与y 22的积可能有最大值． ∴可把x 放到根号里面去考虑，即化为x 2(1＋y 2)， 注意到x 2与1＋y 2的积，应处理成2x 2·1＋y 22. 解析：方法一 ∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1， ∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝ 2x 2·1＋y 22≤2x 2＋1＋y 222＝2x 2＋y 22＋122＝324， 当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324.方法二 令 x ＝cos θ，y ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则x1＋y 2＝cos θ1＋2sin 2θ＝2cos 2θ(1＋2sin 2θ)·12≤12·⎣⎡⎦⎤2cos 2θ＋(1＋2sin 2θ)22＝324.当2cos 2θ＝1＋2sin 2θ，即θ＝π6时，也即x ＝32，y ＝22时， x1＋y 2取得最大值324.答案：324题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：(1)a 2＋b 2≥12；(2)1a 2＋1b2≥8.证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b2≥ab ，a ＋b ＝1，a ，b ∈0，＋∞得ab ≤12.∴ab ≤14，1ab≥4.(1)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12.∴a 2＋b 2≥12(2)∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，∴1a 2＋1b2≥8 巩 固 已知x ，y >0且x ＋y ＝1.求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.证明：(1＋1x )(1＋1y )＝(x ＋1)(y ＋1)xy ＝(2x ＋y )(2y ＋x )xy ＝5xy ＋2(x 2＋y 2)xy ＝5＋2(x 2＋y 2)xy ≥5＋2×2xy xy ＝9.当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴(1＋1x )(1＋1y )≥9.题型五 证明不等式例5 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明． 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥33（abc ）－1，两不等式相乘，有：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥33abc ×33（abc ）－1＝9.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.当且仅当a ＝b ＝c ＝0时，等号成立．巩 固 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ≥33abc .又a ＋b ＋c ＝1，∴3abc ≤13，∴13abc ≥3，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc ≥9. 即原不等式成立． 题型六 求函数的最值例6 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．解析：∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝12×2x 2(1－x 2)(1－x 2)≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时等号成立． ∴y ≤239.∴y max ＝239. 巩 固 设θ为锐角，求y ＝12sin 2 θ cos θ的最大值．解析：y 2＝14sin 4θcos 2θ＝18×2sin 2θ sin 2θ cos 2θ≤18⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋sin 2θ＋2 cos 2θ33＝127.当且仅当sin 2 θ＝2cos 2θ＝2－2sin 2θ. 即sin θ＝63时取等号，此时y max ＝39. 题型七 利用绝对值三角不等式证明不等式例7 若|a －b |＞c ，|b －c |＜a ，求证：c ＜a .证明：由|a －b |＞c 及|b －c |＜a 得c －a ＜|a －b |－|b －c |≤|(a －b )＋(b －c )|＝|a －c |＝|c －a |. 由c －a ＜|c －a |知c －a ＜0，故c ＜a .点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的结构入手进行分析．多联想定理的形式以便用好它． 巩 固 设ε＞0，|x －a |＜ε4，|y －b |＜ε6. 求证：|2x ＋3y －2a －3b |＜ε.分析：将2x ＋3y －2a －3b 写成2(x －a )＋3(y －b )的形式后利用定理1和不等式性质证明． 证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |＜2×ε4＋3×ε6＝ε.巩 固 设m 等于|a |、|b |和1中最大的一个．当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a |、|b |和1这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，|x |>m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |>m ≥|a |，|x |>m ≥|b |，|x |>m ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |>|a |，|x |2>|b |.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2，故原不等式成立．巩 固 设A 、ε>0，|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，|b |≤A ，|x |≤A ，求证：|xy －ab |<Aε.证明：|xy －ab |＝|xy －bx ＋bx －ab |＝|x (y －b )＋b (x －a )|≤|x (y －b )|＋|b (x －a )| ≤|x ||y －b |＋|b ||x －a |<A ·ε2＋A ·ε2＝Aε.所以有|xy －ab |<Aε.巩 固 已知函数f (x )＝x 2－x ＋13，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：|f (x )－f (a )|＝|x 2－x ＋13－(a 2－a ＋13)|＝|x 2－a 2－x ＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)． ∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．题型八 利用绝对值三角不等式求最值例8 设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②当ab <0时，则a (－b )>0， |a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16. 总之，恒有|a |＋|b |≤16. 而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16. 因此|a |＋|b |的最大值为16.巩 固 求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．解析：方法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二 把函数看作分段函数． y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型九 |ax ＋b |≤e （或|ax ＋b |≥e ）（e >0）型不等式的解法 例9 解下列不等式．(1)⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2； (2)|3x －1|≤6.分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号．解析：(1)方法一 原不等式即⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎫－12＞2，它表示与点－12的距离大于2的点的集合，如下图所示，所以符合条件的x 的范围是x ＞2＋⎝⎛⎭⎫－12或x ＜－2＋⎝⎛⎭⎫－12，即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－52或x ＞32.方法二 因为⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2⇔x ＋12＞2或x ＋12＜－2⇔x ＞32或x ＜－52， 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－52. (2)由于|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7， ∴－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. 巩 固 解下列不等式(1)|1－2x |>5； (2)|4x －1|＋2≤10.解析：(1)|1－2x |>5⇔|2x －1|>5⇔2x －1>5或2x －1<－5⇔2x >6或2x <－4⇔x >3或x >－2. 所以原不等式的解集为{x |x >3或x <－2}(2)|4x －1|＋2≤10⇔|4x －1|≤10－2⇔|4x －1|≤8⇔－8≤4x －1≤8⇔－7≤4x ≤9⇔－74≤x ≤94.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －74≤x ≤94.题型十 绝对值不等式的综合性问题 例10 已知不等式|x ＋3|＞2|x |，①x ＋2x 2－3x ＋2≥1，②2x 2＋mx －1＜0，③若同时满足①②的x 值也满足③，求m 的取值范围． 解析：由|x ＋3|＞2|x |解得－1＜x ＜3， 由x ＋2x 2－3x ＋2≥1解得0≤x ＜1或2＜x ≤4，∴0≤x ＜1或2＜x ＜3.由2x 2＋mx －1＜0解得－m －m 2＋84＜x ＜－m ＋m 2＋84，满足①②的x 值也满足③，则有⎩⎪⎨⎪⎧－m －m 2＋84＜0，－m ＋m 2＋84≥3.∴m ≤－173，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－173. 巩 固 x 2－2|x |－15>0的解集是________．解析：∵|x |2－2|x |－15>0， ∴|x |>5或|x |<－3(舍去)．∴x <－5或x >5.故不等式的解集为{x |x <－5或x >5}． 答案：{x |x <－5或x >5}题型十一 |x －a |＋|x －b |≥c (或|x －a |＋|x －b |≤c )型不等式的解法 例11 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数． 解析：方法一 如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32，同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x ， ∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞).方法二 当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为{x|x ≤－32或x ≥32}.方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象(如下图)． 函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中，关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3的图象，而不是y ＝|x ＋1|＋|x －1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键． 巩 固 解不等式|x －1|＋|x －2|>5.解析：方法一 分类讨论|x －1|＝0.|x －2|＝0的根1,2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x －1|＋|x －2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．(1)因为在x ≤1的限制条件之下：|x －1|＋|x －2|＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，所以当x ≤1时，|x －1|＋|x －2|>5⇔3－2x >5⇔2x <－2⇔x <－1.因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(－∞，－1)．(2)因为在1<x <2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋2－x ＝1.所以当1<x <2时．不等式|x －1|＋|x －2|>5无解．因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为∅.(3)由于在x ≥2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋x －2＝2x －3，所以当x ≥2时，|x －1|＋|x －2|>5⇔2x －3>5⇔2x >8⇔x >4.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(4，＋∞)．于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，－1)∪∅∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法二 |x －1|＋|x －2|>5⇔|x －1|＋|x －2|－5>0.构造函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，于是原不等式的解集为{x |f (x )>0}．写出f (x )的分段解析表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2，x ≤1，－4，1<x <2，2x －8，x ≥2.作出函数f (x )的图象如下图所示．f (x )为分段函数，其零点为－1,4，于是f (x )>0⇔x <－1或x >4.所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法三 x 为不等式|x －1|＋|x －2|>5的解集⇔x 是与数轴的点A (1)及B (2)两点距离之和大于5的点．由于A 、B 两点的距离1，线段AB 上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A 点的左侧离A 最近距离是2，在B 点的右侧离B 最近距离为2的点处，即x >4或x <－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．题型十二 函数图象相关的应用题例12 解关于x 的不等式|log a ax 2|＜|log a x |＋2.分析：换元求解，令log a x ＝t .解析：原不等式化为|1＋2log a x |＜|log a x |＋2，令t ＝log a x ，所以|2t ＋1|＜|t |＋2，两边平方得：4t 2＋4t ＋1＜t 2＋4|t |＋4⇒3t 2＋4t －4|t |－3＜0.当t ≥0时，3t 2－3＜0⇒t 2＜1⇒－1＜t ＜1，所以0≤t ＜1；当t ＜0时，3t 2＋8t －3＜0⇒－3＜t ＜13， 所以－3＜t ＜0.综上所述，－3＜t ＜1.因为t ＝log a x ，所以－3＜log a x ＜1.当0＜a ＜1时，a ＜x ＜a －3，当a ＞1时，a －3＜x ＜a ，所以原不等式的解集为：当0＜a ＜1时，{x |a ＜x ＜a －3}；当a ＞1时，{x |a －3＜x ＜a }． 巩 固 已知y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a|x －3|的解集为( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <1，且x ≠－1}D ．{x |x >1}解析：∵y ＝log a(2－ax )在(0,1)上是增函数， 又a >0，∴2－ax 为减函数．∴0<a <1，即y ＝log ax 为减函数． ∴|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0，即x ≠－1，且x ≠3.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2，∴x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9.∴x <1.结上可得x <1且x ≠－1.答案：C不等式1．若a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( )A ．a －c ＞b －dB ．ac ＞bdC ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c答案：D2．若1a <1b<0，则下列等式： ①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2. 其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案：C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④答案：C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( ) A ．－3B ．2C ．5D ．7答案：D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案：C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．3B ．5C ．1D ．7答案：D7．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________答案：(－3,3)8．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________．答案：69．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________． 答案：310．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0.∴(xy －32)(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：1811．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 12．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1.求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0.又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y (x ＋y ＋z )＝2，即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y (x ＋y ＋z )，xyz (x ＋y ＋z )＝1时取等号． 13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值； (2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值． 解析：(1)y ＝x 2x －1＝(x ＋1)(x －1)＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3 ∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0. ∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎡⎦⎤(1－2x )＋11－2x ＋3≤－2(1－2x )·1(1－2x )＋3＝1. 当且仅当1－2x ＝11－2x，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝x |2x －1|>3，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x|x >32} B ．{x|32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x|x >3或x <－113} 5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5,3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为∅.7．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}． 8．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0.∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．9．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：方法一 原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－(x ＋2).② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－(x 2－3x －4)＞x ＋2. 即⎩⎨⎧ (x ＋1)(x －4)≥0，(x －2－10)(x －2＋10)＞0①或⎩⎨⎧(x ＋1)(x －4)＜0，(x －1－3)(x －1＋3)＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法三 原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)][(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．10．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．11．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f(x2)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－1，－4x－3，－1<x<－12，－1，x≥－12.所以|h(x)|≤1，因此k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x<12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x>1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，∴x≥a－2对x∈－a2，12都成立，故－a2≥a－2，即a≤43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.13．如下图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数．(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解析：(1)由题设，CO＝x，CA＝|10－x|，CB＝|20－x|，故y＝4×|10－x|＋6×|20－x|，x∈[0,30]，即y＝⎩⎪⎨⎪⎧160－10x，x∈[0，10]，80－2x，x∈(10，20]，10x－160，x∈(20，30].(2)令y≤70，当x∈[0,10]时，由160－10x≤70得x≥9，故x∈[9,10]；当x∈(10,20]时，由80－2x≤70得x≥5，故x∈(10,20]；当x∈(20,30]时，由10x－160≤70得x≤23，故x∈(20,23]．综上知，x∈[9,23]．。
第五讲 不等式性质及解法
博通教育辅导讲义年 级 高一辅导科目 数学 学科教师 课次数 课 题第五讲 不等式的基本性质及解法主管审核教 学 内 容知识点及例题精讲一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
[例1]（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二、一元二次不等式解法1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;例2解不等式≥2.例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.例5若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.例6设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.例7已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.例8公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?巩固练习与随堂测验一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实数a的取值范围是( )A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是( )A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足( )A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜0二、填空题2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜,则a+b=________ .3.不等式≤1的解集是 __________________ .4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为____________________ .5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为___________________________________ .三、解答题1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.4.已知a＞1解关于x的不等式组5.解不等式课后作业1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B A，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.4不等式＞1解集是 .5如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?6要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?。
教师2024工作计划(10篇)
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不等式的性质教案
不等式的性质教学目的： 1理解同向不等式，异向不等式概念； 2理解不等式的性质定理1—3及其证明； 3理解证明不等式的逻辑推理方法． 4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“a ＞b ⇔b ＜a 和a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则 2定理3的推论，即“a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程：一、复习引入：1．判断两个实数大小的充要条件是：0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a2．(1)如果甲的年龄大于乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么? 从而引出不等式的性质及其证明方法．二、讲解新课：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式 2．不等式的性质：性质1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b证明：∵a>b ∴a-b>0由正数的相反数是负数，得-(a-b)<0即b-a<0 ∴b<a (定理的后半部分略) ．点评：可能个别学生认为定理l 没有必要证明，那么问题：若a>b ，则a 1和b1谁大？根据学生的错误来说明证明的必要性“实数a 、b 的大小”与“a-b 与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性．性质2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c证明：∵a>b ，b>c ∴a-b>0， b-c>0根据两个正数的和仍是正数，得(a-b)+( b-c)>0 即a -c>0∴a>c根据定理l ，定理2还可以表示为：c<b ，b<a ⇒c<a点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形．性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c证明：∵a>b ， ∴a-b>0，∴(a+c)-( b+c)>0 即a+c>b+c点评：(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c ，那么a>c-b ，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．性质4：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．证法一：⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c>b+d 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c>b+d 点评：（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；三、讲解范例：例 已知a>b ，c<d ，求证：a-c>b-d ．(相减法则)分析：思路一：证明“a －c ＞b －d ”，实际是根据已知条件比较a －c 与b －d 的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的证法一：∵a ＞b ，c ＜d∵a －b ＞0，d －c ＞0∴（a －c ）－（b －d ）＝（a －b ）＋（d －c ）＞0(两个正数的和仍为正数)故a －c ＞b －d思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的证法二：∵c ＜d ∴－c ＞－d又∵a ＞b∴a ＋（－c ）＞b ＋（－d ）∴a －c ＞b －d四、课堂练习： 1判断下列命题的真假，并说明理由：(1)如果a ＞b ，那么a －c ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c a c 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假2，3(初中)可知，当c ＜0时，c a c 即不等式两边同乘以一个数，必须明确这个数的正负2回答下列问题：（1)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a ＋c 与b ＋d 谁大谁小?举例说明；(2)如果a ＞b ，c ＞d ，能否断定a －2c 与b －2d 谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：2＞1，1＜3⇒2＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0⇒2－1＞1－0８异向不等式作加法没定论(2)不能断定例如a ＞b ，c ＝1＞d ＝－1⇒a －2c ＝a －2，b ＋2＝b －2d ，其大小不定a ＝８＞1＝b 时a －2c ＝６＞b ＋2＝3而a ＝2＞1＝b 时a －2c ＝0＜b ＋2＝33求证：(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a －d ＞b －c ；(2)如果a ＞b ，那么c －2a ＜c －2b 证明：(1).c b d a d b c b d c d c d b d a b a ->-⇒⎪⎭⎪⎬⎫-<-⇒-<-⇒>->-⇒>(2)a ＞b ⇒－2a ＜－2b ⇒c －2a ＜c －2b 4已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且d c b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 证明：∵dc b a = ∴d d c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且d b ＞1 ∴d b d c b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧五、小结 ：本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法六、课后作业：课本P 84 习题3.1 A 组 4、5。
不等式的五个步骤
不等式的五个步骤第一步：将不等式中的绝对值去掉（若有的话）当不等式中含有绝对值时，我们需要先将其去掉。
解不等式的关键是确定不等式中的未知数的取值范围，而绝对值会给不等式的解带来一些限制条件。
为了简化问题，我们可以去掉绝对值，将不等式化为一个更容易处理的形式。
第二步：移项将不等式中的项全部移到一边，将常数项移到另一边。
这样可以将不等式化为一个关于未知数的一元方程，更方便进行运算。
在移项的过程中，需要注意保持不等式的符号方向不变。
第三步：合并同类项对于不等式中的每一项，我们可以将其合并为一个项。
这样可以简化不等式的形式，使其更容易处理。
第四步：消去分数（若有的话）如果不等式中含有分数，我们可以通过乘以分母的方法消去分数。
这样可以将不等式化为一个整数不等式，更有利于进行进一步的运算。
第五步：确定解的范围最后一步是确定不等式的解的范围。
在这一步中，我们需要根据未知数的取值范围来确定不等式的解。
可以通过求解等号成立的情况和不等号的方向来确定解的范围。
在解不等式的过程中，需要注意以下几点：1.在每一步的运算中，都要保持不等式的符号方向不变。
例如，如果在第二步中将不等式两边都乘以一个负数，需要注意将不等式方向翻转。
2.在第四步中消去分数时，需要注意分母不能为0。
如果分母为0，需要考虑额外的取值范围，并将解的范围进行相应的修改。
3.在第五步中确定解的范围时，需要注意不等式中是否存在等号。
如果存在等号，说明等号成立时的值也是不等式的解。
根据不等号的方向确定解的范围。
总结起来，解不等式的五个步骤是：去掉绝对值、移项、合并同类项、消去分数和确定解的范围。
通过这五个步骤，我们可以分析、求解不等式，找到它们的解集，解决实际问题中的大小关系。
高中物理教学中的几个“不等式”
高中物理教学中的几个“不等式”物理新课程标准的颁布和实施，标志着物理教育进入了一个新的时代。
教师教育理念逐步转变，教学方法不断完善，教研意识不断深化。
在改革中一些好的做法和经验需要我们去总结、提倡，但其中也有许多地方值得我们去探讨。
笔者就高中物理教学中应反思的几个“不等式”，谈一点体会与认识，希望能引起同行们的重视。
1 启发引导不等于单纯提问中学物理课的启发引导，就是教师在教学过程中，根据不同的教学目的、教学内容和学生的实际情况，设计一定思维价值的问题，来调动学生学习的主动性，集中他们的注意力，引导他们生动活泼地学习，使他们经过自己的独立思考，对所学知识融会贯通，从而提高分析和解决问题的能力。
但在实际教学中，许多教师却单纯地把提问当作启发式教学，认为上课时教师问得巧，学生答得好，气氛热烈就是启发。
这样的启发式实际变成了“提灌式”。
真正的启发，应该是在教学的各个环节，选择适当的时机，启发学生去进行积极的思维。
师生间的回答是有声的，积极思考是无声的。
“有声”是表象，“无声”是实质。
只有经过“无声”，才能真正起到启发的作用。
因此，在教学过程中，教师既要用通俗形象化的语言把物理概念、定理、规律表达清楚，又要用提问、板书，甚至是一招一式的手段，去调动学生的思维，激发学生既在“有声”中回答问题，又在“无声”中积极思考。
只有这样，才能获得良好的启发效果。
2 讲完规定内容不等于安排好授课时间教师在每堂课的45 分钟内，按照教材与大纲要求必须要讲授一些教学内容，这就出现了怎样合理安排时间的问题。
有些教师往往不能科学地对待这个问题，认为课堂上讲完规定的内容就行了，把衡量时间安排的标准放在“不压堂”、“不空闲过多时间”上。
这是不科学、不全面的。
安排好一堂课的时间应注意：有些问题前面已经讲授，就要少用一点时间，把时间用于新讲授的内容上，重点内容、难点内容要用多些时间，要根据不同情况尽可能地启发学生思考，适当留给学生课堂思考练习的时间。
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新教师必须要解好五个不等式
教育话题
07-31 10:14
新教师由于缺乏经验，很容易在教育教学中栽跟斗，尤其是在首次考试中与老教师的分数相差甚大，几乎成为一种普遍现象。
一、讲过≠掌握
新教师初来咋到，一方面由于语速普遍较快，语言平铺直叙，对于重点的地方不易引起学生的注意，重点不突出，学生似听非听，“一只耳朵进，一只耳朵出”；同时，新教师往往不了解学生心理特点，很多人习惯于站在自己的立场和角度看问题、办事情，认为这些问题很省力学生肯定会做，以自己的思维代替学生的想法，脱离实际；再次，由于新教师只注意曾
经讲过，而往往很少给学生训练的机会，由于学生没有经过严格地实践训练，缺乏体验的机会，知识只是浮于表面，眼高手低。
一个新教师从一个怕讲到敢讲，从敢讲到熟讲，再从熟讲到会将，这是一个脱胎换骨的过程，这个过程首要解决的是放低重心，不以自我为出发点，切记眼前的学生不是我，我更不是眼前的学生。
这是一新教师要经历的第一步。
更重要是学生会这一步，何为会，能用自己的表达方式反应“会”，有“回答问题”“考试笔答”“实验操作”等。
“讲过”只是推开了门，“掌握”才是“脚迈进了门”。
二、写教案≠备课
新教师大都想做好自己的教学任务，备课中的书头教案、电子教案、文本教案书写的认真、规范、详尽。
然而课堂上学生对她的课普遍缺乏兴趣，成绩普遍较差。
要知道教师写教案只是上好课的第一小步，而教学过程是一个较长过程和许多细致的步骤。
新教师往往对教材理解不深，理解教材不透，更无从备好教法，备好学生了。
只有熟悉教材才能根据教学具体情况的变化，有机会采取灵活的教学手段，生成新的教学资源；这是教师才能得心应手，左右逢源；吸引住学生的眼球，调动学生积极主动地参与教学的全过程。
三、友善≠软弱
教师来到学校后，严格遵守教师职业道德规范，尊重学生人格尊严，不体罚、变相体罚，或者用其他方式侮辱学生的人格尊严，与学生平等友爱，平时他将学生看作自己的兄弟朋友，从不轻易对学生动怒、发脾气，满以为亲其师学生才会信其道，教师的付出，学生自然会有回报。
课堂纪律每况愈下，有老师在与没有老师在没有什么区别，课堂上乱作一团，教师招架不住。
诚然，教师应该尊重学生，但对学生友善也不能没有标准和尺度。
新教师往往与学生亲如兄弟，毫无距离。
距离感没有了，威严感也褪尽了。
学生往往觉得新教师好欺负，学生就会把“客气”当作“福气”，将教师的善良当作“病猫”，不把教师看在眼里，甚至欺负到头上来。
四、批评≠训斥
“批评”,在教育学中是指对学生不良行为所做的否定性评价。
“批评”常常能引起学生内疚的痛苦和不愉快的情绪体验,使他们从所犯过失或缺点中吸取教训。
新老师在使用“批评”这一教育方法时,常常对学生的过失和错误，动辄当众训斥、频繁“调动”家长，甚至体罚或变相体罚;而是非常冷静、沉着机智。
批评不应该是“挑毛病、找错”，不应该常采取尖刻的数落、粗暴的训斥和恶意的挖苦，否则导致学生对老师产生恐惧、反感甚至憎恨，以致成绩下降或酿成意想不到的后果。
批评不等于训斥，应讲究批评艺术，要晓之以理，动之以情，力争收到“润物细无声”的效果。
五、惩戒≠体罚
惩戒“惩”和“戒”两层含义。
“惩”即处罚，是一种手段；“戒”是警告、劝诫人改正错误，是这种行为期望达到的目的。
体罚应不属于处罚的范围，但所发生的时机、地点、所施对象、效果，有很大程度上与“处罚”的外形非常相似。
“体罚或变相体罚”是对学生身心的一种直接的伤害，是要不得的，然而惩戒则不同，惩戒不是打，不是辱骂，它并不等于体罚,它是一种教育手段，也是一种爱的表达方式。
因此很多新教师常把惩戒和体罚划为等号了。
教育需要将惩戒与体罚区分开来。
两者区别不在于是否打了学生，而在于是否伤害了学生。
合理的惩戒是一种教育策略，教师应该有惩戒权，也应该合理利用惩戒权。
新教师在具体操作过程中，特别要掌握好惩戒的“度”，一定要惩罚学生时，千万要三思而行，格外慎重，能不用的惩戒就不用，而且尽量不用类似于体罚的教育手段。
一位老师用同一种办法教全班50名学生，那她是不称职的；如果一位老师用50种方法教一名学生，会是一名优秀的老师。