概率论 第一章123节(频率与概率)

(6) A, B 与C 至少有两个发生
思考: 判断 (1) 若 (2) 若 且 则 则
练2. 在掷子的试验中, 样本空间 事件A 出现偶数点 , 事件B 出现奇数点 事件C 出现点数大于4 , 事件D 点数大于5 求: 解: 练3. 化简 证明 证明: 原式 =
第一章
第三节 等可能概型
一、古典概型的定义
⑥
⑦ ⑧
例1 设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件。
(1) A与B发生，而C不发生 (2) A、B、C中至少有一个发生 (3) A、B、C中恰有一个发生 (4) A、B、C中不多于两个发生
A B C
ABC ABC ABC
A B C A BC ABC AB C ABC ABC ABC
出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 你能猜出他怀疑的理由吗?
但是7出现的次数过少
答: 各数码出现的频率应都接近于0.1, 或者说它 们出现的次数应近似相等.
第一章
第二节
频率与概率
一、频 率
二、概 率
一、频率
1.定义 1 设 E，S，A为E中某一事件，在相同条件下做 n次试验，事件A发生的次数为 ，则 称为A的频率。(frequency) 2. 性质： 0≤ ≤1
例如
A — 投一骰子出现奇数点事件 A={ 1, 3, 5 }
B — 出现点数大于等于3的事件 B={ 3, 4, 5, 6 }
特殊随机事件： 1. 基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果) 例： 1有两个基本事件 { H } 和 { T } E
2. 复合事件： 两个或两个以上样本点的子集
⑤互斥事件(互不相容)
事件
发生 A
A,B为互不相容事件
(即AB不同时发生) A B
随机事件E的任何两个基本事件都互不相容。
⑥对立事件(逆事件)
A,B为相互对立事件 记 或
相互对立 互不相容
A
B
2 .事件的运算法则
①交换律 ；
②结合律
③分配律
④德· 摩根律：
推广： ⑤包含运算：设 ，
；
; ，则
，
，
={出现偶数点} ={出现奇数点} ={出现的点数 >4} ={出现的点数 5}
解
思考题：
1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值 它的数目在小数点后一共有707 位之多! 但是,经 过了几十年后, 曼彻斯特的费树生对它产生了怀疑 原因是他统计了π的608 位小数，得到下面的表:
数字
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
则称
通常在
F 有定义上的非负的
可列可加的集函数称作是 F 上的测度。如长度，面
积，体积是测度。而概率不过是事件域F上的一个规
范化的测度。即 概率是定义在 F 上的非负的
规范的，可列可加的集函数称作是 F 上的测度。
描述一个随机实验的数学模型，应该有三件东西： (1)样本空间

；
(2)事件域 ( 域 ) F； (3)概率(F上的规范测度）P。 三者写成
称为A和B的和事件。
记为 A∪B或(A+B) A
推广
称ｎ个事件至少有一个发生；
称可列个事件 ③事件的积、交(乘法) 事件A和B同时发生 记为 =AB
至少有一个发生。
积事件
事件AB发生 且
A 的积事件。
的积事件。
推广 称
称
为n个事件
为可列个事件
④事件的差(减法) 事件A发生但事件B不发生 记 但 显然
二、随机事件与样本空间
Ⅰ. 样本空间
定义1
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E
的样本空间,记为S 或Ω ，样本空间的元素,即E的每个 结果，称为样本点, 例如上节引例中：
有限个 样本点
={ H,T }
={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
={1,2,3,4,5,6}
例： 事件A为 E 2 中“三次出现同一面” ， A={HHH,TTT} 3. 必然事件： 每次事件中必然发生的事件,记S(样本空间） 每次试验一定不发生的事件,记 4. 不可能事件：
某一事件发生 它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 基本事件 S 不可能事件 1.事件的关系 ① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生 A B A(子集) 样本点
第五节
独立性
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算
一、随机试验 E 引例： 1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。 {H,T} E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面结果。
H H
T
H T H T
H T
H
T H T
T
{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
概率论与数理统计
聪明在于勤奋,
天才在于积累.
任课教师： 索 新 丽 电子邮件: jenny_suo@163.com
绪言
自然界和社会上发生的现象是多种多样的： 1． 确定性现象：在一定条件下必然发生。 2．随机(不确定)现象：在个别试验中其结果呈现出
不确定性，且在大量重复试验中其结果又具有统计规
律性。
E3 :抛一骰子,观察出现点数情况。(筛子,投子)
{1，2，3，4，5，6}
E4 :对一目标射击,首次击中目标所需射击次数。
{1，2，3……} E5 :在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。 {t | t≥0} 分析以上5个试验,发现特点： (1) 可重复性：在相同条件下可重复进行。 (2) 可辨性：试验的可能结果不止一个，并且能事 先 明确所有可能结果。 (3) 随机性：进行一次试验前，不能明确哪个结果一 定会出现。 概率论中把具有以上特点的试验称为随机试验，用 字母E(experimentation)表示。 , =1,2,3 ……
30 有限可加性 若
两两互不相容
频率有什么规律？
P8 例：在“抛硬币”试验中，据表格得出
试验者 蒲丰 次数 4040 12000 正面的次数 2048 6019 12012 正面的频率 0.5069 0.5016 0.5005
皮尔逊
皮尔逊
24000
① 频率有随机波动性，每次试验频率不一定相等 ; ﹋﹋﹋ ② 稳定性 n充分大时， 称为事件A ﹋﹋﹋ ﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋﹋ 在第五章中将证明 的概率(probability)，记为
(4) 两天都不下雨;
(5) 至少有一天不下雨
解：设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B， C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%， 同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同
时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试 求下列事件的概率：
研究对象：概率论与数理统计是研究随机现象统计
规律性的一门数学学科。
起源：16-17世纪的赌博和保险业。 特点：① 研究随机现象。 ② 它与其它数学分支有紧密的联系(如高数、 线性代数)，是近代数学的重要组成部分。
③应用性强：遍及所有的科学技术领域、工农业生
产和国民经济的各个部门中，如：气象、水文、地震预 报；自动控制；农业试验；通讯系统中可提高信息的抗 干扰性和分辨率等。
例3 关系(
)成立，则事件A与B为对立事件。
(a)
(c)
(b)
(d) 与 为对立事件
(c)显然成立， (d)也成立。 解释(d)：
A与B为对立事件
例4 试证明下列等式。 (1) (2) (3) 解：(1) 定义 方法： 利用关系运算 做文氏图
(பைடு நூலகம்) 右
A
B
(3) 右 左
例5：在掷骰子的随机试验中，样本空间
(1) 只订购A (2) (3)
(4) (5) (6)
P( AB C ) P( ABC ) 只订购A，B 只订购一种报纸 P( ABC ABC ABC ) 只订购两种报纸 P( ABC ABC ABC ) 至少订购一种报纸 P( A B C ) P( A B C ) 不订购任何报纸
二、计算公式
三、计算方法
1.定义：具备以下两个条件的概率模型称为古典概型，
有限性 试验的样本空间的样本点数有限；
等可能性 试验中每个基本事件的发生是等可
称为一个概率空间。
在实际问题中，如何确定样本空间 ，如何选取 事件域F,如何在F 上定义概率P要视具体情况而定， 但在一般的理论研究中，总认为是预先给定的。
2. 性质： 证明 取 ，则
故由可列可加性
又因为
≥0，所以
有限可加性
其中
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性，令
则由性质1可得 所以下式成立
证:
，0≤ 5) 对于任一事件
≤1
,
证: 可证
6) 对于任意的事件
,
都有
证:
可推广到多个事件的情形: 如三个事件
P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天，据天气预报知： 第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3， 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率： (1) 第一天下雨，第二天不下雨; (2) 第一天不下雨，第二天下雨; (3) 至少有一天下雨;
解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”
(1)
(2) (3) ﹏﹏ ﹏﹏ ﹏﹏
两两互不相容的
(4)
﹏﹏
﹏﹏
﹏﹏
两两互不相容
(5)
(6)
例3 已知
求 A,B,C 中至少有一个发生 的概率。 解
例4 证明 证
例5
，求
解
A
B S
例6 解
，求
A
B
S
练1. 设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件 (1) A 发生, B 与C 不发生 (2) A 与B 发生, C 不发生 (3) A, B 与C 都发生 (4) A, B 与C 至少有一个发生 (5) A, B 与C 全不发生
1.《概率论与数理统计》中山大学，2003 高教出版 2.《概率统计学习辅导与习题选解》浙大，高教出版
3.《概率论与数理统计》魏宗舒编， 高教出版
4.《概率论与数理统计》周圣武等编，矿大出版
第一章
第一节 第二节 第三节 第四节
随机事件及其概率
随机事件及其运算 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率
内容与学时
第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理 概 30 率学 论时 ) (
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计 第八章 假设检验 第九章 方差分析及回归分析
数 16 理学 统时 计 )
(
四、 主要参考书
上面定义的频率可以这样重新理解：
设随机试验E的样本空间为 S ，记
F=“全体随机事件”
则频率fn(A)实际上是集合函数：
fn：F→[0,1]
A∈F
这个集合函数具有重要性质。
定义1
事件域F 应满足以下要求
则称集合类F 为
则称集合类F 为
若事件域F 是

它具有下列性质
第一章 概率论的基本概念
事件发生
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ，记为A=B 例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标，
记 A=―长度不合格”, B=―产品不合格”,则
例2: 掷骰子,A=―出现偶数点”, B=―点数能被2整除” 则 A=B。
②事件的和、并(加法)
A和B两事件中至少有一事件发生的事件
的频繁程度 频 率 稳 定值
事件发生 的可能性的大小 概率
频率的性质
概率的公理化定义
二、概率（概率的公理化定义）
1.定义2 设 E, S，对于E的每一事件A，赋予一实数 ，如果满足以下三个公理： ① 非负性：对于每一个事件 A，有 概率 三公 理 ② 归一性： ③ 可列可加性：设 则 为事件 A 的概率。 两两互不相容 ≥0
A B C ABC
(A、B、C中至少有一个不发生) (A、B、C不可能同时发生)
为 例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则
(A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 解 (D) 甲滞销或乙畅销
设B=―甲产品畅销”，C=―乙产品畅销” 则 ，故选(D)
连续、 不可列
={1,2,3……}
={ t | t≥0}
可列无穷个
注意： 样本空间的元素是由试验目的所决定的。
例 将一枚硬币连抛三次 1) 观察正反面出现的情况, ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, Ⅱ. 随机事件 定义2 试验 E 的样本空间 S 的子集称为E的随机事件， 简称事件，一般记为 A, B, C 等。 ={0,1,2,3}