向量组的线性相关性线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性

一．选择题

1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]

（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα

（B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX

=有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .

2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ]

（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示

（C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示

二．填空题：

1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα

则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T

2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T

3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k

2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式

0abc ≠

三．计算题：

1． 设向量()11,1,1T

αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？

（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？

（3）β不能由321ααα,,线性表示？

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第三节 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ]

（A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,,

（C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,,

2．设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,, 线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m ，则 [ B ]

（A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

（B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

（C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

（D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

3．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3，则 [ C ]

（A ）s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,, 21中无零向量

（C ）s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关

4．设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则 [

C ] （A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

（B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 （D ）若n s >，则n r =

二．填空题：

1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 3

2．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 2

2． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T ),,(1324=α的秩为2，

则a =

2 b = 5 三．计算题：

1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T d ),,,(262=β

（1）试求4321αααα,,,的极大无关组

（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式

3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。

(1) 记2(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||A

解：20(,,)10Ax x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,220(,,)01A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

且32203(,,)31A x Ax A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭

又因向量组2,,x Ax A x 线性无关,故2

(,,)P x Ax A x =可逆. 得1000000103103011011B P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

. (2) 1A PBP -=,11||||||||||||0A PBP P B P B --====.

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第五节 向 量 空 间 综 合 练 习

一．选择题：

1．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B, C ]

（A ）133221,,αααααα-++ （B ）122312,,2αααααα+++

（C ）1332213,32,2αααααα+++ （D ）321321321553,2232,ααααααααα-++-++

2．设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <，E m 为m 阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ B ]

（A ）A 的任意m 个列向量必线性无关 （B ）A 通过初等行变换，必可以化为（E m 0）的形式

（C ）A 的任意m 阶子式不等于零 （D ）非齐次线性方程组b Ax

=一定有无穷多组解

二．填空题： 1．设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=40321

2221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关，则a = 1- 2．从2

R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 三．计算题：

1． 设()11111T α=，()23311T α=--，()32068T α=-试用施密特正交化方

法将向量组标准正交化。 解：()111111T βα==