向量组的线性相关性线性代数习题集

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线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性

一.选择题

1.n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]

(A )对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα

(B )s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关

(C )设),,,(s A ααα 21=,非齐次线性方程组B AX

=有唯一解 (D )设),,,(s A ααα 21=,A 的行秩 < s .

2.若向量组γβα,,线性无关,向量组δβα,,线性相关,则 [ C ]

(A )α必可由δγβ,,线性表示 (B )β必不可由δγα,,线性表示

(C )δ必可由γβα,,线性表示 (D )δ比不可由γβα,,线性表示

二.填空题:

1. 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα

则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T

2. 设)()()(αααααα+=++-321523,其中T ),,,(31521=α,T )10,5,1,10(2=α

T ),,,(11143-=α,则=α (1,2,3,4)T

3. 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关,则=k

2 4. 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关,则c b a ,,满足关系式

0abc ≠

三.计算题:

1. 设向量()11,1,1T

αλ=+,2(1,1,1)T αλ=+,3(1,1,1)T αλ=+,2(1,,)T βλλ=,试问当λ为何值时 (1)β可由321ααα,,线性表示,且表示式是唯一?

(2)β可由321ααα,,线性表示,且表示式不唯一?

(3)β不能由321ααα,,线性表示?

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第三节 向 量 组 的 秩

一.选择题:

1.已知向量组4321αααα,,,线性无关,则下列向量组中线性无关的是 [ C ]

(A )14433221αααααααα++++,,, (B )14433221αααααααα----,,,

(C )14433221αααααααα-+++,,, (D )14433221αααααααα--++,,,

2.设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121-m ααα,,, 线性表示,记向量组(Ⅱ):βααα,,,,121-m ,则 [ B ]

(A )m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示

(B )m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示

(C )m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示

(D )m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示

3.设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3,则 [ C ]

(A )s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 (B )s ααα,,, 21中无零向量

(C )s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 (D )s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关

4.设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ,则 [

C ] (A )若s r =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

(B )若n s =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示

(C )若n r =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 (D )若n s >,则n r =

二.填空题:

1.已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2,则t = 3

2.已知向量组),,,(43211=α,),,,(54322=α,),,,(65433=α,),,,(76544=α,则该向量组的秩为 2

2. 向量组T a ),,(131=α,T b ),,(322=α,T ),,(1213=α,T ),,(1324=α的秩为2,

则a =

2 b = 5 三.计算题:

1.设T ),,,(51131=α,T ),,,(41122=α,T ),,,(31213=α,T ),,,(92254=α,T d ),,,(262=β

(1)试求4321αααα,,,的极大无关组

(2)d 为何值时,β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示,并写出表达式

3. 已知3阶矩阵A ,3维向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关。

(1) 记2(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||A

解:20(,,)10Ax x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,220(,,)01A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

且32203(,,)31A x Ax A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭

又因向量组2,,x Ax A x 线性无关,故2

(,,)P x Ax A x =可逆. 得1000000103103011011B P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

. (2) 1A PBP -=,11||||||||||||0A PBP P B P B --====.

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

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第五节 向 量 空 间 综 合 练 习

一.选择题:

1.设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 [ B, C ]

(A )133221,,αααααα-++ (B )122312,,2αααααα+++

(C )1332213,32,2αααααα+++ (D )321321321553,2232,ααααααααα-++-++

2.设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论中正确的是 [ B ]

(A )A 的任意m 个列向量必线性无关 (B )A 通过初等行变换,必可以化为(E m 0)的形式

(C )A 的任意m 阶子式不等于零 (D )非齐次线性方程组b Ax

=一定有无穷多组解

二.填空题: 1.设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=40321

2221A ,三维列向量T a )1,1,(=α,已知αA 与α线性相关,则a = 1- 2.从2

R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 三.计算题:

1. 设()11111T α=,()23311T α=--,()32068T α=-试用施密特正交化方

法将向量组标准正交化。 解:()111111T βα==

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