向量组的线性相关性线性代数习题集
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线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性
一.选择题
1.n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]
(A )对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα
(B )s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关
(C )设),,,(s A ααα 21=,非齐次线性方程组B AX
=有唯一解 (D )设),,,(s A ααα 21=,A 的行秩 < s .
2.若向量组γβα,,线性无关,向量组δβα,,线性相关,则 [ C ]
(A )α必可由δγβ,,线性表示 (B )β必不可由δγα,,线性表示
(C )δ必可由γβα,,线性表示 (D )δ比不可由γβα,,线性表示
二.填空题:
1. 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα
则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T
2. 设)()()(αααααα+=++-321523,其中T ),,,(31521=α,T )10,5,1,10(2=α
T ),,,(11143-=α,则=α (1,2,3,4)T
3. 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关,则=k
2 4. 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关,则c b a ,,满足关系式
0abc ≠
三.计算题:
1. 设向量()11,1,1T
αλ=+,2(1,1,1)T αλ=+,3(1,1,1)T αλ=+,2(1,,)T βλλ=,试问当λ为何值时 (1)β可由321ααα,,线性表示,且表示式是唯一?
(2)β可由321ααα,,线性表示,且表示式不唯一?
(3)β不能由321ααα,,线性表示?
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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第三节 向 量 组 的 秩
一.选择题:
1.已知向量组4321αααα,,,线性无关,则下列向量组中线性无关的是 [ C ]
(A )14433221αααααααα++++,,, (B )14433221αααααααα----,,,
(C )14433221αααααααα-+++,,, (D )14433221αααααααα--++,,,
2.设向量β可由向量组m ααα,,, 21线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121-m ααα,,, 线性表示,记向量组(Ⅱ):βααα,,,,121-m ,则 [ B ]
(A )m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
(B )m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示
(C )m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
(D )m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示
3.设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为3,则 [ C ]
(A )s ααα,,, 21中任意3个向量线性无关 (B )s ααα,,, 21中无零向量
(C )s ααα,,, 21中任意4个向量线性相关 (D )s ααα,,, 21中任意两个向量线性无关
4.设n 维向量组s ααα,,, 21的秩为r ,则 [
C ] (A )若s r =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示
(B )若n s =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示
(C )若n r =,则任何n 维向量都可用s ααα,,, 21线性表示 (D )若n s >,则n r =
二.填空题:
1.已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2,则t = 3
2.已知向量组),,,(43211=α,),,,(54322=α,),,,(65433=α,),,,(76544=α,则该向量组的秩为 2
2. 向量组T a ),,(131=α,T b ),,(322=α,T ),,(1213=α,T ),,(1324=α的秩为2,
则a =
2 b = 5 三.计算题:
1.设T ),,,(51131=α,T ),,,(41122=α,T ),,,(31213=α,T ),,,(92254=α,T d ),,,(262=β
(1)试求4321αααα,,,的极大无关组
(2)d 为何值时,β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示,并写出表达式
3. 已知3阶矩阵A ,3维向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
(1) 记2(,,)P x Ax A x =,求3阶矩阵B ,使AP PB =; (2)求 ||A
解:20(,,)10Ax x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,220(,,)01A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且32203(,,)31A x Ax A x x Ax A x ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭
又因向量组2,,x Ax A x 线性无关,故2
(,,)P x Ax A x =可逆. 得1000000103103011011B P P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
. (2) 1A PBP -=,11||||||||||||0A PBP P B P B --====.
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
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第五节 向 量 空 间 综 合 练 习
一.选择题:
1.设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 [ B, C ]
(A )133221,,αααααα-++ (B )122312,,2αααααα+++
(C )1332213,32,2αααααα+++ (D )321321321553,2232,ααααααααα-++-++
2.设矩阵A n m ⨯的秩=)(A R n m <,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论中正确的是 [ B ]
(A )A 的任意m 个列向量必线性无关 (B )A 通过初等行变换,必可以化为(E m 0)的形式
(C )A 的任意m 阶子式不等于零 (D )非齐次线性方程组b Ax
=一定有无穷多组解
二.填空题: 1.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=40321
2221A ,三维列向量T a )1,1,(=α,已知αA 与α线性相关,则a = 1- 2.从2
R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112α到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212β的过渡矩阵为2312⎛⎫ ⎪--⎝⎭ 三.计算题:
1. 设()11111T α=,()23311T α=--,()32068T α=-试用施密特正交化方
法将向量组标准正交化。 解:()111111T βα==