离散数学-3-6 关系的性质

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离散数学关系-PPT

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离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A={1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“=”关系和“≤”关系就是自反得吗?
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}

离散数学教案

离散数学教案

学习目标:1.深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、(最大)相容类、偏序关系、极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元、全序关系、良序关系等概念;2.掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律;3.掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质;4.掌握关系的矩阵表示和关系图;5.深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性,掌握其判别方法;6.掌握集合的覆盖与划分的联系与区别;7.掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法;会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上(下)界、上(下)确界、最大(小)元.主要内容:1.集合的基本概念及其运算2.序偶与笛卡尔积3.关系及其表示4.关系的性质及其判定方法5.复合关系和逆关系6.关系的闭包运算7.等价关系与相容关系8.偏序关系重点:1.关系的性质及其判别;2.关系的复合运算及其性质;3.等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系;4.偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解.难点:1.关系的传递性及其判别;2.等价关系的特性;3.偏序关系的哈斯图的画法;偏序集中特异位置元素的求法。

教学手段:通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容,并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。

习题:习题3。

1:4,6;习题3。

2:3(8),4(12),6(m);习题 3.4:1 (2)、(4),3;习题3。

5:1,4;习题3.6:2,5,6;习题3.7:2,5,6;习题3。

8:1(1)-(6);习题3。

9:3(2)、(4),4(3);习题3。

10:1 ,4,5。

3。

1 集合的基本概念集合(set )(或称为集)是数学中的一个最基本的概念。

所谓集合,就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体,组成集合的这些“事物”称为集合的元素。

离散数学第二章关系

离散数学第二章关系

例9 .设A={1,2,3,4} ,B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A , (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ,则
(1)保序性: (R1) (R2) ; (2)保序性: (R1) (R2) ;
注:笛卡尔(1596-1650 ),法国数学家, 1637年发表《方法论》之 一《几何学》,首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A,B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ; •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a):
R(a)={b : bBaRb }B ;
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1): R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时,即RA×A,则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是,R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是,

离散数学28.关系的性质1

离散数学28.关系的性质1
例如,集合X上的全域关系EX、 恒等关系IX都不是X上的反 自反关系.
2)若关系R不是反自反的,关系R也不一定是自反的,反之也 成立.
XZ-{0}时,整除关系 R2={<x,y>x,yX∧x整除y}. 都是自反关系.
(3) 数集X上的小于关系 R3= {<x,y>x,yX∧xy}. 不是自反的.
若集合X上的二元关系R是自反的充要条件: • 1) R是自反的恒等关系IX R. • 2) R是自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是1. • 3) R是自反的关系R的关系图中每个结点都有上的二元关系,如果对于每 个x∈X,有<x,x>R,则称二元关系R是反自反的.
R在X上反自反 (x)(xX <x,x>R ). 例如,数集X上的小于关系 R3={<x,y>x,yX∧xy} 空关系 ,均为反自反关系.
若集合X上的二元关系R是反自反的充要条件: • 1) R是反自反的恒等关系IX R= . • 2) R是反自反的关系R的关系矩阵MR的主对角线全是0. • 3) R是反自反的关系R的关系图中每个结点都没有自回路.
设 X={1,2,3}, R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 是X上的自反关系; R2={<1,3>} 是X上的反自反关系; R3 ={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} 既不是自反的,也不是反自反的.
注意:
1)一个关系R如果是自反的,一定不是反自反的;如果是反自 反 的,则一定不是自反的.
关系的性质
一、关系的性质
关系的性质主要有5种:自反性、反自反性、对称性、反对 称性、传递性.

离散数学 第三-四章

离散数学 第三-四章
n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 (1)(a),(c) ,(e)
(3) (4) (a),(c) ,(e) (5) (6) (a),(c) ,(e) (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?

离散数学 第四章 关系

离散数学 第四章 关系

若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例:设A={1,2,3,4},A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍},故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义: A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
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第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm},R是A上的关系,R的关系图是 GR=<A, R>,其中A为结点集,R为边集。如果<xi,xj> R,在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边;如果<xi,xi> R,在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数: 2,A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n,|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。

离散数学关系的概念性质及运算

离散数学关系的概念性质及运算
当n=3时,25(mod 3),57(mod 3)。
例3:设X是一个集合,集合的包含于“”是2X上的二 元关系。
8/25
集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合,一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
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集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n,R为X上的任 一二元关系,则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t,s<t,使得Rs=Rt,则
(1)Rs+k=Rt+k,k为非负整数; (2)Rs+kp+i=Rs+i,其中p=t-s,而k,i为非负整数; (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1},则对任意的非负的整数 q有RqS。
例15:设R,S是集合X上的两个传递关系,问R∪S 是否是传递关系呢?
17/25
集合与图论
运算与性质的关系
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
R11





R1∩R2 √

R1∪R2 √

R1R2 ×




√ ××

√×
R1∘R2 √
×
×
××
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集合与图论 3 关系的合成
定义1 设R是A到B的二元关系,S是B到C的二元 关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系,记成RS, 并且
显然:R是传递的,当且仅当 ?。 例11: Z上的模n同余关系是不是传递关系?

《离散数学》讲义 - 3

《离散数学》讲义 - 3

离散数学
2
1、集合概念及表示
(1)集合 ①概念 一般地说,把具有相同性质的一些东西,汇集成 一个整体,就形成一个集合。 例如:教室内的桌子;全国的高等学校;自然数的 全体;直线上的点。 ②分类 有限集:集合的元素个数是限的。 无限集:集合的元素个数是无限的。
离散数学 3
(2)表示
①集合:A~Z;元素(集合中的事物):a~z。 ② I 元素a属于集合A, 记作:aA II 元素a不属于集合A, 记作:aA
离散数学
8
(2)应用
定理3-1.1 集合A和B相等的充分必要条件是这两 个集合互为子集。
离散数学
9
4、真子集
定义3-1.3 如果集合A的每一个元素都属于B,但 集合B中至少有一个元素不属于A,则称A为B的真 子集。 记作:AB。 即:AB(AB)(AB) AB(x)(xAxB)(x)(xBxA)
离散数学 46
(2)相等
定义3-4.1 两个序偶相等, <x,y>=<u,v>,iff x=u,y=v。 注意: ①序偶<a,b>中的两个元素可以属于不同的集合, 可代表不同类型的事物。 ②在序偶<a,b>中,a称第一元素,b称第二元素。
离散数学
47
(3)推广
三元组是一个序偶,其第一元素也是一个序偶。 形如: <<x,y>,z> <<x,y>,z>=<<u,v>,w>,iff<x,y>=<u,v>,z=w 即:x=u,y=v,z=w。 约定:三元组<<x,y>,z>记作<x,y,z> 注意: 当xy时,<x,y,z><y,x,z> <<x,y>,z><x,<y,z>> 其中:<x,<y,z>>不是三元组。 同理:四元组第一元素是三元组 四元组:<<x,y,z>,w> 四元组相等: <<x,y,z>,w>=<<p,q,r>,s> (x=p)(y=q)(z=r)(w=s)

离散数学-3-6 关系的性质

离散数学-3-6  关系的性质

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思考练习
例.设R是集合X上的一个自反关系.求证:R是对称和 传递的,当且仅当<a,b>和<a,c>在R之中时必有 <b,c>在R之中.
证明: 充分性. 充分性. [1]设<a,b>∈R显然<a,a>∈R(自反性) =><b,a>∈R(条件)=>R有对称性. [2]设<a,b>,<b,c>∈R=><b,a>,<b,c>∈R(对称性) =><a,c>∈R=>传递性成立. 必要性. 必要性. 设<a,b>,<a,c>∈R=><b,a>,<a,c>∈R(对称性) =><b,c>∈R(传递性).
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思考练习
例.给定S={1,2,3,4}和S上的关系 R={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>},说明R不是 可传递的.找出一个包含R的关系,使得R1是可传递 的,还能找出另外一个,R2也是可传递的吗? 解:<1,2>,<2,1>∈R,但<1,1> ∈ R,故不传递.可取
{<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>}, R1={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>} 再添加一个元素<3,3>可得到另外一个有传递性的关系 R2 ={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>,<3, 3>}.

离散数学中关系性质的判定方法

离散数学中关系性质的判定方法

离散数学中关系性质的判定方法摘要:关系是离散数学中的基本概念,而关系的性质是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础,本文给出了关系四种性质的判定方法。

关键词:离散数学关系性质判定关系的概念是离散数学中关系的基础,又是集合概念的应用,因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。

而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握,又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。

对于四种性质(自反性、对称性、反对称性、传递性),有如下方法加以判定:一、依据其定义1.自反性:设R是集合A上的二元关系,如果对于每一个a∈A,若有(a,a)∈R,即aRa,则称R在集合A上具有自反性。

2.对称性:设R是集合A上的二元关系,对于任意的a、b∈A,若有(a,b)∈R,就有(b,a)∈R,则称R在集合A上具有对称性。

3.反对称性:设R是集合A上的二元关系,对于任意的a、b∈A,若(a,b)∈R且(b,a)∈R时,必有a=b,则称R在集合A上具有反对称性。

4.传递性:设R是集合A上的二元关系,对于任意的a、b、c∈R,若(a,b)∈R,且(b,c)∈R,就有(a,c)∈R,则称关系R在A上具有传递性。

二、依据关系矩阵和关系图的关系1.关系R具有自反性,当且仅当在关系矩阵中,主对角线上元素全为1;或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。

2.若关系R具有对称性,当且仅当关系矩阵是对称矩阵;或者在关系图中,若两个结点间存在有向弧,必是成对的。

3.若关系R具有反对称性,当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1(可以同时为0),而主对角线上的元素是1或者是0;在关系图上,若两个结点间存在有向弧,不可能成对出现,结点可以有自回路。

4.若关系R具有传递性,关系矩阵没有明显特征。

关系图的特点是:任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来,则必有一条直接从a到b的弧。

作为它的一种特殊情况,若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时,则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。

关系的性质-集合与关系-离散数学

关系的性质-集合与关系-离散数学
2


。 。 3
第12页
反对称
1

反对称
1

对称
1

1
。 对称
2
。 。 3
R1
1
2
。 。 3
R2
1
2
。 。 。 2。 3 3
R3 R4 对称
1
反对称
反对称

对称
2

非对称 非反对称 1

反对称 。
反对称 对称 对称与反对称不是完全对立的,有些关系它既是对称也是反对 称的,如空关系R4、恒等关系R8、关系 R9 。 任何不是对称的关系未必一定是反对称的关系,反之亦然。 存在既不是对称也不是反对称的关系。 如关系R7
定义:R是A中关系,对任何x,y,z∈A,若有<x,y>R和 <y,z>R,就有<x,z>R,则称R为A中的传递关系。 即R在A上传递(x)(y)(z)((xA∧yA∧zA ∧<x,y>R∧<y,z>R)<x,z>R)
五、传递性


定义:R是A中关系,对任何x,y,z∈A,若有<x,y>R和 <y,z>R,就有<x,z>R,则称R为A中的传递关系。 即R在A上传递 (x)(y)(z)((xA∧yA∧zA ∧<x,y>R∧<y,z>R)<x,z>R) 从关系关系图和关系矩阵中不易看清是否有传递性。 有时,必须直接根据传递的定义来检查。


定义:设R是集合A上的关系,若对于任意的x∈A 都有<x,x>R ,则称R为A中的反自反关系。 即R是A中反自反的(x)(xA<x,x>R) 从关系矩阵看反自反性: 主对角线都为0。

离散数学

离散数学

第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题:具有确定真值的陈述句命题的类型(原子命题和复合命题)命题的表示(一个命题标识符(比如P)表示确定的命题)重点:如何判断语句是否为命题。

1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点:五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化:所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。

命题符号化的重要性命题符号化是很重要的,一定要掌握好,在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题,解决不好,等于说推理的首要前提没有了。

重点:命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。

②句子中连词是否为命题联结词。

③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式(必须掌握)(1)对合律(双重否定):⌝⌝P⇔P(2)幂等律:P∧P⇔P,P∨P⇔P(3)结合律:(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R),(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律:P∧Q⇔Q∧P,P∨Q⇔Q∨P(5)分配律:P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R),P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律:⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q,⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律:P∧(P∨Q)⇔P,P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律:P∧T⇔P,P∨F⇔P(9)零律:P∧F⇔F,P∨T⇔T(10)否定律:P∧⌝P⇔F,P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律:P→Q⌝⇔P∨Q,P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律:P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则):P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点:等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式,若无论对分量作怎样的指派,其对应的真值永为真,则称该命题公式为重言式或永真公式。

离散数学关系的概念、性质及运算

离散数学关系的概念、性质及运算
(R2\R3)R4(R2R4)\(R3R4)
例2: 设X={a,b,c},R1={(a,a),(a,b)}, R2={(a,a),(b,c)},R3={(a,c),(b,b)}。
R2\R3={(a,a),(b,c)}
(R1R2)={(a,a),(a,c)} (R1R3)={(a,c),(a,b)}
25/25
(2)R1(R2∩R3)(R1R2)∩(R1R3)
(3)(R2∪R3)R4=(R2R4)∪(R3R4)
(4)(R2∩R3)R4(R2R4)∩(R3R4)
21/25
集合与图论 关系合成的性质
4、一般说来,合成运算对差运算不满足分配律: R1(R2\R3)(R1R2)\(R1R3)
6/25
集合与图论
关系的个数
例如:设A={1,2},B={a,b,c}, AB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}。
AB有6个元素,问题2:A到B的关系的个数 设|A|=m,|B|=n,则A到B上有多少个二元关系?
24/25
集合与图论 关系幂运算的定义及性质
定理6 设X是一个有限集合且X=n,R为X上的任 一二元关系,则存在非负整数s,t使得0≤s<t≤2n2且Rs=Rt。
定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整 数s,t,s<t,使得Rs=Rt,则
(1)Rs+k=Rt+k,k为非负整数; (2)Rs+kp+i=Rs+i,其中p=t-s,而k,i为非负整数; (3)令S={R0,R,R2,...,Rt-1},则对任意的非负的整数 q有RqS。
在这个定义中,要求X的每个元素x,都有xRx, 即(x, x) R。

离散数学知识点归纳

离散数学知识点归纳

离散数学知识点归纳一、集合论。

1. 集合的基本概念。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如,A = {1,2,3},其中1、2、3是集合A的元素。

- 集合的表示方法有列举法(如上述A的表示)和描述法(如B={xx是偶数且x < 10})。

2. 集合间的关系。

- 子集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作A⊆ B。

例如,{1,2}⊆{1,2,3}。

- 相等:如果A⊆ B且B⊆ A,则A = B。

- 真子集:如果A⊆ B且A≠ B,则A是B的真子集,记作A⊂ B。

3. 集合的运算。

- 并集:A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如,A = {1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}。

- 交集:A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。

对于上述A和B,A∩ B={2}。

- 补集:设全集为U,集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

二、关系。

1. 关系的定义。

- 设A、B是两个集合,A× B的子集R称为从A到B的关系。

当A = B时,R称为A上的关系。

例如,A={1,2},B = {3,4},R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。

2. 关系的表示。

- 关系矩阵:设A={a_1,a_2,·s,a_m},B={b_1,b_2,·s,b_n},R是从A到B的关系,则R的关系矩阵M_R=(r_ij),其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。

- 关系图:对于集合A上的关系R,用节点表示A中的元素,若(a,b)∈ R,则用有向边从a指向b。

3. 关系的性质。

- 自反性:对于集合A上的关系R,如果对任意a∈ A,都有(a,a)∈ R,则R 是自反的。

例如,A={1,2,3},R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。

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19
思考练习
例 设R是实数集合,
S=<x,y>|x∈R∧y∈R∧x=y 是实数集合上的等于关系。证明实数集合上的等于关系是 传递的。 证明:∀x∈R,∀y∈R,∀z∈R,<x,y>∈S且<y,z>∈S 由S的定义有x=y和y=z,由实数相等的概念得x=z。 再根据S的定义,<x,z>∈S。 故实数集合上的等于关系S是传递的。
0 1 0 0 0 1 MR= 0 0 1
10
思考练习
例.给出集合A={1,2,3}上的如下几个关系: R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>} S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} T={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>} φ=空关系 A×A=全域关系 满足自反性、对称性、传递性、反对称性、 反自反性的关系各有哪些?
<x,y> ∈ R,<y,z>∈ R且<x,y> ∈ S ,<y,z>∈ S 。
因为R、S是A上的传递关系,所以 <x,z>∈R ,<x,z> ∈S , 从而<x,z> ∈ R∩S,即R∩S是A上的传递关系。
15
思考练习
注意:R、S均是传递的,但R∪S未必是传 递的。 例:R={<a,b>,<b,c>,<a,c>},S={<b,d>}, 则R、S均是传递的,但R∪S ={<a,b>,<b,c>,<a,c> ,<b,d>}不是传递的。
7
四、反自反性
定义3 P111 定义3-6.4 设R是A上的二元关系,如果对于 每个x∈X,有<x,x>∉R,则称二元关系R是反自反 反自反 的。R在X上反自反⇔(∀x)(x∈X→<x,x> ∉R)
数的大于关系,日常生活中的父子关系都是反自反的。 设R是X上的反自反关系,可知,R的关系矩阵MR的主对角线全为 的主对角线全为0; 在R的关系图中每一个结点上都没有自回路 每一个结点上都没有自回路。 每一个结点上都没有自回路
5
练习
有人说:集合A上的关系R,如果是对称且 传递的,则它也是自反的。其理由是,从 aRb,由对称性得bRa,再由传递性得aRa, 你说对吗?为什么? 答:不对!因为不是每一个a, aRa成立。
6
自反性是说对于每一个x∈X,有<x,x>∈R。 对称性是说每当<x,y>∈R,就有<y,x>∈R,没 有要求对于每一个x∈X。 传递性是说每当<x,y>∈R,<y,z>∈R时就有<x, z>∈R ,也没有要求对于每一个x∈X。 因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是 自反的。
16
思考练习
例.给定S={1,2,3,4}和S上的关系 R={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>},说明R不是 可传递的.找出一个包含R的关系,使得R1是可传递 的,还能找出另外一个,R2也是可传递的吗? 解:<1,2>,<2,1>∈R,但<1,1> ∈ R,故不传递.可取
18
思考练习
例 设A=1,2,3,定义A上的二元关系如下:
R=<1,1>,<2,2> S=<1,1>,<1,2>,<2,1> T=<1,2>,<1,3> U=<1,3>,<1,2>,<2,1> 试说明R,S,T,U是否是A上的对称关系和反对称关系。 解:R是A上的对称关系,也是A上的反对称关系。 S是A上的对称关系。因为<1,2>和<2,1>都是S元素,而 1≠2,所以S不是A上的反对称关系。 因为<1,2>∈T,而<2,1>∉T,所以T不是A上的对称关系。 T是A上的反对称关系。 U不是A上的对称关系,也不是A上的反对称关系。
也存在关系既是对称的,也是反对称的。
13
思考练习
非空集合上的空关系具有哪些性质? 答:是反自反的,对称的,反对称的和传 递的,但不是自反的。 非空集合上的全域关系具有哪些性质? 答:是自反的,对称的和传递的,但Leabharlann 是 反自反的和反对称的。14
思考练习
如果R、S是A上的传递关系,证明:R∩S也是A 上的传递关系。 证明:设<x,y> R∩S ,<y,z>∈ R∩S ,则
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思考练习
例.设R是集合X上的一个自反关系.求证:R是对称和 传递的,当且仅当<a,b>和<a,c>在R之中时必有 <b,c>在R之中.
证明: 充分性. 充分性. [1]设<a,b>∈R显然<a,a>∈R(自反性) =><b,a>∈R(条件)=>R有对称性. [2]设<a,b>,<b,c>∈R=><b,a>,<b,c>∈R(对称性) =><a,c>∈R=>传递性成立. 必要性. 必要性. 设<a,b>,<a,c>∈R=><b,a>,<a,c>∈R(对称性) =><b,c>∈R(传递性).
{<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>}, R1={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>} 再添加一个元素<3,3>可得到另外一个有传递性的关系 R2 ={<1,2>,<4,3>,<2,2>,<2,1>,<3,1>,<1,1>,<4,1>,<3,2>,<4,2>,<3, 3>}.
第三章 集合与关系
3-6 关系的性质 授课人:李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、自反性
定义3 P110 定义3-6.1 设R是A上的二元关系,如果对于 每个x∈X,有xRx,则称二元关系R是自反的。 自反的。 自反的 R在X上自反⇔(∀x)(x∈X →xRx)
例如: 实数集上的“ ” 三角形的全等关系是自反的 例如 实数集上的“<”,三角形的全等关系是自反的 在实数集合中, ≤”是自反的,因为对于任意实数x≤x成立 成立。 在实数集合中,“≤”是自反的,因为对于任意实数x≤x成立。 设R是X上的自反关系,可知,R的关系矩阵 R的主对角线全为 关系矩阵M 关系矩阵 的主对角线全为1; 在关系图中每一个结点上都有自回路 每一个结点上都有自回路。 每一个结点上都有自回路
例如,A={1,2,3},R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉}是对称 例如 的.其关系图和关系矩阵的特点如图
0 MR= 1 0 1 0 0 0 0 1
3
三、传递性
定义3 P111 定义3-6.3 设R是A上的二元关系,如果对于任意 x,y,z∈X,每当有xRy,yRz就有xRz则称二元关系R是传递 传递 的。 上对称⇔ R在X上对称⇔
例如 A={1,2,3},R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉} 是自反的.其关系图和关系矩阵如下图。 MR=
1 1 0 0 1 0 0 0 1
2
二、对称性
定义3 定义3-6.2 设R是A上的二元关系,如果对于每个 x,y∈X,每当有xRy,就有yRx则称二元关系R是对 对 称的。 称的
20
本课小结
自反关系 对称关系 传递关系 反自反关系 反对称关系。
21
作业
P113 (5)
22
(∀x)(∀y)(∀z)(x∈X∧y∈X∧z∈X∧xRy∧yRz → xRz)
例如:实数集上的<,>,=都是传递的,人集合上的祖先关系
例如 A={1,2,3,4},R5={〈4,1〉,〈4,3〉,〈4,2〉, 〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉}是传递的.其关系图和关系矩 阵如下图。
4
练习
例:如A={a,b,c},R={<a,a>,<b,b>, <a,b>,<b,a>}是A上的一个二元关系,问关 系R具有哪些性质?为什么? 答:R是对称且传递的,但R不是自反的,因 为对于c∈A,没有<c,c> ∈R。
例如 设X=1,2,3,X上的二元关系R=<1,2>,<2,3>,<3,1>, R是反自反的,它的关系图,关系矩阵如下:
0 1 0 MR= 0 0 1 1 0 0
8
四、反自反性
例题3 例题3,R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈2,3〉,〈3,3〉} 既不是自反的,又不是反自反的。其关系图和关系矩阵如 下图所示。
R在X上对称⇔R在X上对称⇔(∀x)(∀y)(x∈X∧y∈X∧xRy →yRx) 例如:平面上三角形集合中的相似关系是对称的。 例如:平面上三角形集合中的相似关系是对称的。 R是X上的对称关系,可知,R的关系矩阵MR是对称阵 关系矩阵M 关系矩阵 是对称阵。在R的关系 图中,如果两个不同的结点间有边,一定有方向相反的两条边。
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