刚体转动定律
6 刚体转动定律、转动动能定理
A
mA FN FT1 mA O x PA
FT1
C
mC FT2
解： （1）隔离物体分别 对物体A、B 及滑轮作受 力分析，取坐标如图，运 用牛顿第二定律 、转动 定律列方程。
mB B
FT2
mB PB y
O
FT1 mAa
mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
1 1 2 2 2 E ki Δmiv i Δmi ri ω 2 2
刚体定轴转动的总动能为：
各质量元速度不同， 但角速度相同。
1 1 1 2 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2
转动动能也不是新的能量，只是动能的另一种表达方式。
v g( 2 3 )( ml 2ma )( ml 2 3ma 2 ) 6 ma
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动 2 dr dv d r v a dt dt dt 2 刚体的定轴转动 2 d d d dt dt 2 dt
四 、刚体绕定轴转动的动能定理
2 1 d J A M d J dt 1 1 dt 2
2
1
d ( )
A
2
1
1 1 2 2 M d J 2 J 1 2 2
A Ek 2 Ek1 Ek
v r
牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。
刚体转动中的角加速度是怎样产生的？ 事实表明：
要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速 度，仅有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。
比如：门绕轴的转动。 力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动 的影响。
刚体的转动定律
刚体的转动定律刚体的转动定律是物理学中非常重要的一个概念，它描述了刚体在转动过程中的运动规律。
在本文中，我们将深入探讨刚体的转动定律，包括其定义、公式、应用以及实例等方面。
一、刚体的定义刚体是指一个物体的形状和大小在运动过程中不会发生变化的物体。
换句话说，刚体是指一个物体的各个部分始终保持不变的物体，例如一个不可压缩的球体、一个不可伸展的绳子等等。
二、刚体的转动定律刚体的转动定律是描述刚体在转动过程中的运动规律的公式。
它包括三个定律，分别是：1. 质点定理：在刚体的转动过程中，每个质点都按照牛顿第二定律的规律运动。
2. 角动量定理：在刚体的转动过程中，刚体的角动量始终保持不变。
3. 角加速度定理：在刚体的转动过程中，刚体的角加速度与作用在刚体上的力矩成正比。
三、刚体的转动定律公式刚体的转动定律公式包括以下公式：1. 质点定理公式：F=ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
2. 角动量定理公式：L=Iω，其中L表示刚体的角动量，I表示刚体的转动惯量，ω表示刚体的角速度。
3. 角加速度定理公式：τ=Iα，其中τ表示作用在刚体上的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的转动定律应用刚体的转动定律在物理学中有着广泛的应用，例如在机械工程、航空航天工程、电子工程等领域都有着重要的应用。
在机械工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种机械设备，例如机床、发动机、飞机等。
在航空航天工程中，刚体的转动定律可以用来研究飞机、卫星等物体的运动规律。
在电子工程中，刚体的转动定律可以用来设计各种电子设备，例如电机、发电机等。
五、刚体的转动定律实例下面列举几个刚体的转动定律的实例，以帮助读者更好地理解其应用。
1. 滚动小球实例：一个小球在地面上滚动，它的转动惯量为I，质量为m，半径为r。
当它受到一个水平作用力F时，它的加速度为a，角速度为ω，角加速度为α。
根据刚体的转动定律，可以得到以下公式：F=maL=Iωτ=Iα2. 旋转陀螺实例：一个陀螺在空中旋转，它的转动惯量为I，质量为m，角速度为ω，角加速度为α。
(完整版)刚体转动守恒定律
速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
6-刚体转动定律
冲量矩(moment of impulse )：任一力矩对时间的 冲量矩 ： r 积累： 积累： 微 分 形 式 ： Mdt 单位： 单位：Nm/s t2 r 分 形 式 ：t1 Mdt ∫ r r 合外力的 量矩：Mdt = dL ( 微分形式） r r t2 r 有限时间内冲量矩： 积分形式） 有限时间内冲量矩： M dt = L2 − L1 (积分形式） ∫
2
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
ω = ω 0 + αt 2 1 θ = θ 0 + ω 0 t + 2 αt
ω = ω + 2α (θ − θ 0 )
2 2 0
22
v = v + 2a ( x − x 0 )
2 2 0
2012-4-22
小结： 小结： 由于在定轴转动中轴的方位不变， 由于在定轴转动中轴的方位不变 ， 故只有沿轴 的正负两个方向，可以用标量代替。 的正负两个方向，可以用标量代替。
−1 解（1） ω 0 = 5π rad ⋅ s , t = 30 s 时，ω = 0 ）
设t = 0 s时，θ 0 = 0 ，飞轮做匀减速运动 时
α=
ω − ω0
t
0 − 5π π −1 = rad ⋅ s = − rad ⋅ s −2 30 6
26
2012-4-22
飞轮 30 s 内转过的角度
v v
r/2 O
v F
r m
转动中， 解： m绕O转动中，所受力矩 绕 转动中 所受力矩M=0。
v 应有 L = 常矢量
2 2
即 J 1ω1 = J 2ω 2
简述刚体转动定律
刚体转动定律引言刚体转动定律是描述刚体绕固定轴进行旋转时运动规律的物理定律。
在刚体力学中，刚体是指其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体转动定律主要包括角动量守恒、角加速度与力矩之间的关系以及转动惯量等内容。
本文将从这些方面对刚体转动定律进行详细介绍。
角动量守恒角动量是描述旋转物体运动状态的重要物理量，定义为质点或刚体绕某一轴线旋转时，其线性动量相对于该轴线的偏离程度。
在没有外力作用下，系统的角动量守恒。
角动量L可以表示为L = Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
根据角速度ω = Δθ/Δt可以得到L = IΔθ/Δt。
当一个刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到F = ma，同样地，在角度上也有τ = Iα。
其中τ表示力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。
当刚体绕固定轴转动时，如果外力矩为零，则根据牛顿第二定律可以得到τ = 0，进而推导出Iα = 0。
由此可见，在没有外力矩作用下，刚体的角加速度为零，即角动量守恒。
转动惯量转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
对于一个质点来说，其转动惯量可以表示为I = mr²，其中m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量则需要通过积分计算得到。
对于连续分布的物体来说，其转动惯量可以表示为I = ∫r²dm。
不同形状和布局的刚体具有不同的转动惯量。
例如，对于一个围绕自身中心垂直旋转的圆盘来说，其转动惯量可以表示为I = ½MR²，其中M是圆盘的质量，R是圆盘半径。
角加速度与力矩之间的关系当刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到τ = Iα。
这个关系描述了力矩和角加速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角加速度可以表示为α = τ/I，其中τ是作用在质点上的力矩，I是质点的转动惯量。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量不仅与质量有关，还与物体的形状和布局有关。
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
2.91刚体的定轴转动力矩 转动定律 转动惯量
M r F
d
P
F
F
Fi 0 , M i 0
F
F
2.9刚体的定轴转动定律
讨论
第二章 守恒定律
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
代入初始条件积分 得
3g d sind 2l
3g (1 cos ) l
考虑到
7lg 12 v0 dr g cost cos( t) dt 2 24 v0 7l
t
2.9刚体的定轴转动定律
第二章 守恒定律
例4 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
刚体定轴转动的角动量定理
第二章 守恒定律
t2
t1
Mdt J 2 J1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L 内力矩不改变系统的角动量.
守 恒条件
0 ，则 L J 常量
M 0
J 不变.
在冲击等问题中
L mi ri vi (
i
2 mi ri )
L J
i
ri
mi
z
2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( J ) M dt dt
O
vi
t1
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
简述刚体转动定律
简述刚体转动定律刚体转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理定律。
在刚体转动过程中，有三个关键定律对于描述和解释刚体的转动运动非常重要，它们是转动惯量定理、角动量定理以及角动量守恒定律。
1.转动惯量定理：转动惯量（或称为转动惯性）是描述刚体绕轴旋转惯性的物理量，用字母I表示。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量定理指出，刚体绕一个固定轴的转动惯量等于质量分布关于轴线的积分：I = ∫r^2 dm其中，r是质量元素dm到轴线的距离。
对于均匀杆的转动惯量，可以使用以下公式计算：I = 1/12 * mL^2其中，m为杆的质量，L为杆的长度。
2.角动量定理：角动量是描述刚体转动状态的物理量，用字母L表示，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
L = I * ω其中，ω为角速度，即刚体绕轴旋转的每秒角度变化量。
角动量定理指出，当刚体受到外力矩作用时，角动量的变化率等于外力矩的大小和作用时间的乘积：τ = dL/dt其中，τ为外力矩，即力矩的角动量。
3.角动量守恒定律：角动量守恒定律是指刚体绕固定轴转动时，如果物体不受到外力矩的作用，则角动量保持不变，即角动量守恒。
L1 = L2其中，L1和L2分别是刚体在转动过程中的初态和末态的角动量。
根据以上三个定律，可以得到一些关于刚体转动的重要结论：1.转动惯量与物体的质量分布有关，质量分布越集中，转动惯量越小；质量分布越分散，转动惯量越大。
2.角动量与转动惯量和角速度的乘积成正比，如果转动惯量越大，角速度越小，那么角动量也会越小。
3.当物体受到一个外力矩的作用时，物体的角动量会发生变化，且变化的速率与作用力矩的大小和作用时间的长度有关。
4.如果刚体不受外力矩作用，则刚体的角动量守恒，即刚体的角动量保持不变。
5.刚体转动的动能与转动惯量和角速度的平方成正比，转动惯量越大，角速度越小，刚体的转动动能也会越小。
以上是关于刚体转动定律的简要说明。
刚体转动定律在物理学中具有重要的意义，能够帮助我们理解刚体绕轴旋转的运动规律，并应用于工程、天文和机械等领域。
刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式
刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达
式
刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的一对重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程。
首先，刚体绕定轴转动定律表明，当刚体绕定轴转动时，角加速度与作用于该刚体的合力成正比，且方向与合力方向一致，可用公式表示为：α=F/I，其中α为角加速度，F为合力，I为惯性矩。
其次，角动量定理表明，刚体绕定轴转动时，角动量的变化量等于作用于刚体的合力矩的积分，可以用公式表示为：ΔL=∫F·ds，其中ΔL为角动量的变化量，F为合力，ds为沿着转动轴的增量。
这两个定律对刚体绕定轴转动的过程有着重要的解释作用。
它们揭示了角加速度与合力之间的关系，以及角动量的变化量与合力矩之间的关系。
同时，它们也为刚体绕定轴转动的动力学研究提供了重要的参考依据，从而为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。
总之，刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程，并为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
刚体的定轴转动与转动定律
p 0 Lh
1 2
gLh
2
y
dA
dy
代入数据，得
F 5 . 91 10
10
h y
N
x O
L
20
第四章 刚体的转动
4-2 转动定律
d F 对通过点Q的轴的力矩 d M y d F
d F [ p 0 g ( h y )] L d y
M
h
0
y [ p 0 g ( h y )] L d y
3
4
14
4-2 转动定律
一
力矩
z
M
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd
F 对转轴 z 的力矩 M rF
F
d : 力臂
O
r
*
d
P
F
F
i
Fi 0 ,
i
Mi 0
F
F
Fi 0 ,
i
i
Mi 0
2
2 a r e t rω e n
9
第四章 刚体的转动
4-1
刚体的定轴转动
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一 圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的 转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动 后其转速随时间变化关系为： m (1 e t / ) 1 式中 m 540 r s ， 2 . 0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
dt
0
d c td t
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
第三章 刚体定轴转动基本定律
此时角加速度
θ
A
mg
又由 得
β=
dω dω dθ dω = =ω dt dθ dt dθ
βdθ = ω dω
图例３ －９
两边取积分，并代入始、末条件，得
∫ βdθ = ∫ ω dω
0
π 2 0
ω
3g 1 2 2 [ − cos θ ] 0 = ω −0 2l 2 ω = 3g l
π
解法二：棒由竖直位置运动到地面，重力矩所做的功为
dL = rυdm = m rυdr 2l
2l
Ｏ
．
2L 图例３ －１ ０
整个杆对圆孔的动量矩为
L=
∫ dL = ∫ 2l rυdr
0 0
2l
m
= mυl
设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为ω，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即
mυl = Iω = 1 m(2l ) 2 ω 3 3υ 4l
7
则
ω =
在杆定轴转动时，距轴为 r，长为 dr 的一小段杆受到的向心力为
rF = Iβ rF I= β
Ｏ ． Ｆ
当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为υ，且此时圆盘转动的 角速度为ω，因只有重力做功，系统的机械能守恒。
mgh = υ = rω 1 1 mυ 2 + Iω 2 2 2
Ｏ．
由以上各式可得
υ2 = 2mgh F m+ rβ 2 × 1 × 9 .8 × 2 = 13.5 1+ 0 .3 × 5
小球与细杆系统在碰撞前后动量矩守恒设细杆逆时针转动为动量矩正方向碰撞后细杆获得角速度为则细杆转动中受到平面的摩擦力矩以o为原点沿杆长方向建ox处取长度dx的一小段杆则杆转动时dx受到摩擦力为dxdmgdf方向如图该力的力矩为dmxdf整个杆受到的摩擦力矩为gmlxdx设开始转动后t秒停下则由动量矩定理df图315dx17所以mgmg
大学物理学-刚体的转动定律
ω
v ri
vi
∆mi
v
Ek =
∑
i =1
n
1 1 n 1 2 2 2 2 ∆ m i ri ω = ( ∑ ∆ m i ri )ω = J ω 2 2 2 i =1 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半. 与角速度平方乘积的一半.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
支架S 支架S
外环 陀螺G 陀螺G 内环
2–6 刚体的定轴转动 6 直升机螺旋桨的设置
尾桨的设置： 尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 产生一个向下的角动量。 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨， 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨， 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨， 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反， 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。 系统的总角动量仍然为零。
力矩的功
A=
∫θ
θ2
1
M dθ
力矩的功率 力矩的功率
dA dθ P= =M = Mω dt dt
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动 6
9
3、刚体定轴转动的动能定理 、
刚体转动守恒定律
2
)
2
Ek
1 2
J2
刚体转动动能
三.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理
M d J
dt
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md d J d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
A
2 Md
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，
当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
定轴转动刚体的角动量守恒定律
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极
小的角位移d 时，重力矩所作的元功是
dA mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力
矩所作的功是
A dA
02
mg
l 2
cosd
mg l 2
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可
用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
是随时改变的。
A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过
刚体的定轴转动定律
而
m π R
2
2
πR
4
所以
1 2 I mR 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定 轴转动的转动惯量。
Z
R z
2
2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2 i
r
dm
质量连续分布刚体的转动惯量
I r dm
2
dm
：质量元
计算转动惯量: m a
m a
m
m
m
m a
m
m
y
2 3a 2 2 2a 2
a a
2 a 2
a
x
2 2 2 2 2 2 I m( a) m( 2a) m( 3a) 2 2 2
I mi ri 2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。 转动惯量一般与两个因素有关： （1）转动轴的位置； （2）转动刚体的质量；
r2 m2 m1
m3
r3
r4
r1
ri
r5
m4
mi
m5
质量离散分布系统的转动惯量
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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浅谈学习迁移在物理教学中的运用余建刚（广东省佛山市南海区石门中学，广东佛山528248）摘要：本文主要以中学竞赛教程中的刚体定轴转动的教学为例，论述了迁移学习在物理概念及物理规律教学中运用。
关键词：迁移；认知结构；刚体定轴转动著名心理学家奥苏贝尔指出，心理学关于迁移的研究乃是心理学对教育产生最大影响的一个领域。
同时，使学生通过学习获得最大的迁移，是教学的根本，“为迁移而教”已成为教学流行的口号。
甚至美国心理学家M.L比格指出：“学习迁移是教育最后必须依托的柱石。
如果学生在学校中学习那些无助于他们进一步沿着学术的程序，并且不但在目前，而且在以后生活中更有效地应付各种情境。
那么就是浪费他们的许多时间。
”[1]可见，学习迁移的研究具有重要的使用意义，它有助于指导指导教学过程，提高教学质量，促进学生学习效率。
1．"迁移"的概念"迁移"在心理学中最早的认识是“先前的学习对后继学习的影响”。
后来人们发现后继学习的知识对先前学过的知识也有一定的影响，从而将“迁移”的概念修正为：一种学习对另外一种学习的影响。
其中“一种学习”所指的范围可以大到一个学科、一个领域，也可以小到具体概念、具体命题；而“影响”有消极与积极之分；凡是一种学习对另一种学习有促进作用的，称为正迁移；而一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用的，则称为负迁移。
2．"迁移"的实现心理学家奥苏贝尔认为，学习A对学习B的影响可以通过认知结构实现。
所谓的认知结构是指学生头脑中的知识结构，是学生“观念的全部内容与组织”，它由两个系统组成，一个是内化了的知识经验系统，它包括以往学习收获得到的知识和经验，以及这些知识经验的有机联系；另一个是认知操作系统，它能够提供获取新知识的认知策略，可以起到监控与调节的作用[2]。
奥苏贝尔的观点可以用框图表示如下。
那么如何才能做到有效地促使学习的正迁移、抑制负迁移的产生，又该如何培养学生的学习迁移能力？迁移的“概括化理论”认为：学习迁移的基础在于概括，而概括则是揭示本质联系的结果。
概括性越高，知识系统性越强，解决新问题时提取已有知识经验的速度和准确性越高，知识的迁移能力也就越强。
现代心理学各种理论所揭示的迁移的本质，实质上是两种学习之间在知识结构、认知规律上相同要素间的影响与同化。
例如学生学习了力的合成和分解之后，学习速度、位移、场强等的合成和分解就轻松了，因为它们的共同因素都是矢量，矢量都可以合成分解，合成、分解法则都遵守平行四边形法则，而速度、位移、场强的区别是显而易见的。
而负迁移是指一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用，它往往发生在彼此相似的知识和技能之间。
当新旧知识相关联的部分在内容和组织上虽相似却本质不同时，原有知识往往倾向于先人为主，新知识常常被理解为原有知识，或者学习者意识到新旧知识间有些不同，但不能具体指明本质区别之所在。
这两种情况都会导致新知识向类似的旧知识还原，出现负迁移。
例如振动图象对波形图象就会产生干扰，许多学生把振动图象和波动图象混为一谈，就是因为两种图象形式上相似——都是正弦或余弦曲线，都是离开平衡位置的位移。
由此我们看到学生掌握物理概念或规律时的稳定性和清晰性差、理解不透切，将一些本质不同但表面上相近、相似或相关的概念或规律混淆，产生晕轮效应，在解决新问题或学习新知识时，盲目地照搬旧经验，不注意新旧问题或知识间的差异，这都是滋长负迁移的根源。
因此，在教学中，既要引导学生看到新旧知识的相关性、相似性，更要教会学生识别新旧知识本质特征的差异性，防止负迁移的萌生。
由上的分析可知：顺利实现正迁移、遏止负迁移的关键在于挖掘新旧知识间的共同因素，在于辨认新旧知识间本质特征的差异。
3．物理教学中的迁移学习实例物理作为一门基础学科，与其他学科、与生活实际的联系以及自身的内部联系是极为广泛而紧密的，其物理概念、物理规律间不但存在千丝万缕的相关性，甚至某些物理概念和规律的推导、表现形式有着惊人的相似。
因此，探讨迁移学习在物理教学中的运用有着重要的意义。
本文以中学物理竞赛教程中，学生较为难学的《刚体定轴转动》这一章的教学为例，谈谈作者的一些做法。
3.1 寻找“迁移点”《刚体定轴转动》这一章不管是在大学物理，还是中学物理竞赛教学中，由于这一章里面“冒出”许多新的物理概念、新的物理量、新的物理公式，学生对此不能很快地理解和接受，对新知识陌生、记忆不牢固，理解不深刻。
在学习《刚体定轴转动》前，学生已经对质点平动的运动学及动力学方面的物理概念和物理规律有了较清楚的认识，基本上已经内化为自己的知识经验系统，这就为迁移提供了良好的基础，我们只需“顺水推舟”充分运用迁移规律，将学生具备的质点平动部分的有关知识经验系统迁移到刚体定轴转动中，即可大大地降低学生学习新知识的难度，让学生能轻松愉快地接受新知识。
现在，我们来分析一下刚体定轴转动与质点直线运动这两种运动有什么区别以及存在着哪些共同因素。
刚体平动则刚体上各点运动状态完全相同，故可以用刚体上某一点的运动代替整个刚体的运动即质点运动；刚体定轴转动指刚体内有一直线固定不动(这条固定不动的直线称为定轴)，其余各点都在绕此轴作半径不同的圆周运动，刚体上各点运动状态不同，因此不能用某一点的运动代替整个刚体的运动，需根据具体问题确定所研究点的运动情况。
两种运动的本质区别在于能不能用某一点的运动来代替整个刚体的运动。
虽然转动刚体上各点的运动情况不一样，但对于刚体上的各个点来说，他们所遵守的物理规律却是与质点做圆周运动的规律相同；而质点的圆周运动与直线运动的规律是类似的，只不过一个是用线量表示，一个用角量表示。
3.2概念的迁移物理概念是物理现象、物理过程的概括化和抽象化的思维形式，是组成物理科学知识的基本单元。
一般情况下，学生物理概念形成的最根本方法是教师引导他们分析大量的物理现象与物理事实，从现象和事实中概括、抽象出共同的本质属性。
但任何知识包括概念在内，都是有联系的，孤立地学习某一概念，学习效果往往不如有联系、有对比的学习。
如何充分利用学生从已有的概念认识，进行迁移学习，将陌生的新概念变成学生自己较为熟悉的已知的概念，从而降低学习新概念的难度，轻松愉快地接受新知识？下面探讨一下我的做法（参见附表一）。
（附表一）附表一中各物理量呈现一一对应的关系，如改变质点运动状态的原因是力，与此相应改变刚体定轴转动的原因是力矩；标志质点惯性大小的物理量是质量，与此相应标志刚体转动惯性大小的是转动惯量；反映质点运动状态改变快慢的量是加速度，与此相应反映刚体定轴转动状态改变快慢的是角加速度；反映质点平动能量大小是动能，与此相应反映刚体定轴转动能量大小的是角动能。
为了防止负迁移，我们有必要区分一下这两种运动中以下各个物理量。
在刚体平动中，量度惯性大小的物理量是质量m ，质量是物体固有的属性，它与物体的运动状态无关; 而刚体转动中，衡量刚体惯性大小的物理量是转动惯性I ，是转动刚体特有的属性，但它与该刚体转轴的位置及刚体质量分布有关。
另外，刚体平动中各物理量s 、v 、a 、F 均为矢量，既有大小又有方向的，遵守平行四边形定则；而刚体定轴转动中对应的各物理量θ、ω、β、M 均为虽有方向但不遵守平行四边形定则，物理上称之为有向标量，虽然它们的转向都有正负之分，但求合时只算代数和并非矢量合成（如某刚体作定轴转动其所受力矩为1M 、2M ，则其所受合力矩为21M M M +=，物理有不少这类的有向标量如磁通量等)。
通过以上分析比较，学生对两种运动各物理量概念的区别与联系有更深刻的理解，既增强了学生知识点的联系，也为后续学习物理规律的顺利迁移作好铺垫。
3.2规律的迁移物理规律（包括定律、定理、原理和定则等）是物理现象、过程在一定条件下发生、发展和变化的必然趋势及其本质联系的反映。
它是中学物理基础知识最重要的内容，是物理知识结构体系的枢纽。
规律教学是中学物理教学的中心任务。
那么怎样才能搞好物理规律教学，充分利用学生已有知识经验系统，运用迁移规律的学习方式，使学生轻松愉快地学习掌握新物理规律？下面同样还是以刚体定轴转动的规律教学为例，谈谈我的做法（参见附表二）。
下面我们来逐一分析各物理规律迁移。
（1）运动学公式的迁移表示质点直线运动位置变化的物理量是位移s ，与此相应，表示刚体转动变化的物理（附表二）量是角度ϑ。
由此继而推导，质点做直线运动快慢的物理量是速度v ，由定义可得t s v =； 与此相应，表示刚体做转动快慢的物理量是角速度ω，由其定义也得t θω=。
再继续推导，表示质点直线运动速度变化快慢的物理量是加速度a ，由定义可得tv v a t 0-=；与此相应，表示刚体转动速度变化快慢的物理量是角加速度β，同样由其定义可得t t 0ωωβ-=。
有了上面这些比较和分析，学生对刚体运动学公式的推导便会感到顺理成章，理解也容易很多。
（2）牛顿第二定律的迁移讲刚体转动定理联系牛顿第二定律。
改变质点运动状态的原因是力，与此相应改变刚体定轴转动的原因是力矩；标志质点惯性大小的物理量是质量，与此相应标志刚体转动惯性大小的是转动惯量；反映质点运动状态改变快慢的量是加速度，与此相应反映刚体定轴转动状态改变快慢的是角加速度。
反映质点所受的合外力、自身质量及获得的加速度三者之间瞬时关系的规律就是牛顿第二定律，其数学表示式为：ma F =。
将牛顿第二定律迁移到刚体的定轴转动中，就是刚体转动定理，其数学表示式为：βI M =。
刚体转动定理与牛顿第二定律所体现的性质是一致的。
在牛顿第二定律中加速度a 的方向与物体所受到的合力F 的方向相同，同样刚体转动定理中角加速度β与该刚体所受合力矩相同；而且两者所反映的都是瞬时关系。
（3）动量定理的迁移讲角动量定理时联系动量定理。
动量定理表明：在运动过程中，物体所受合外力的冲量等于该物体动量的增量。
其数学表示式是：00mv mv Fdt t tt -=⎰，将此公式迁移到刚体定轴转动中就是角动量定理：作定轴转动的刚体所受的冲量矩，等于刚体角动量的增量。
其数学表示式为00ωωm m Mdt t t t -=⎰。
两定理的表述形式相同，等式左边都为“过程量”即为力或力矩的时间积累，等式右边皆为“状态量”，即动量或角动量的始末变化量。
另外，这两定理的推导过程相似、推导依据相对应，动量定理的推导依据是牛顿第二定律，角动量定理的推导依据是与牛顿第二定律相对应的刚体转动定理。
（4）动量守恒定律的迁移在外力和为零的情况下，系统的总动量不随时间变化。
这就是动量守恒定律，其数学表示式为∑==n i i i vm 1恒矢量，将其迁移到刚体的定轴转动中，即当定轴转动的刚体所受和外力矩为零时，刚体相对于转轴的角动量恒定不变。