2019年合肥市高三教学质量检测理科数学试卷(含答案)

高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）
合肥市2019年高三第一次教学质量检测
数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.()1 6-， 14.1
15.⎭
16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝
⎭三、解答题：
17.(本小题满分12分)
(I)∵(
)11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.
…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin(2, 632
πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴ cos 263πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
，
∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
(I)取CD 的中点M ，连结EM ，BM .
由已知得BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.
∵2,AD AB BD ===，
∴30,ADB ABD ∠=∠=︒
∴90,ADC ∠=︒
∴//BM AD .
又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
∴BM ∥平面PAD .
∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴EM ∥PD .
又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD .
∴EM ∥平面PAD .
∵EM BM M = ，∴平面BEM ∥平面PAD ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
D C C D A D D D C C B A
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∵BE ⊂平面BEM ，
∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO . 由对称性知，O 为BD 中点，且AC BD ⊥，BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0
，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).
易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .
设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ，，， 则n ⊥2,n ⊥2，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
22n n . ∵)0,3,3(=，)1,3,0(=，∴⎩⎨⎧=+=+0
3033z y y x . 令3=y ，得3,1-=-=z x ，∴)3,3,1(2--=n
∴131313
1-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ
，则cos 13θ=
. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；
…………………………5分
(II)由题意知，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，
的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分
20.(本小题满分12分)
(I)设椭圆的半焦距为c ，
由椭圆的离心率为2
知，b c a ==，，则椭圆方程为22
2212x y b b
+=.
易求得)0A
，则点在椭圆上，所以222212b b +=， 解得2263
a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22
163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =1
）知，
M N ，，
0OM ON OM ON ==⋅= ，，，∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，
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()()1122M x y N x y ，，，，
=，即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
∴ ()222124260k x kmx m +++-=，得122212204212621km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩. ∵()()1122 OM x y ON x y == ，，，， ∴()()
12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()
()2222222222222126421322663660212121
k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++， ∴ OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.
在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似，可得22OP PM PN =⋅=为定值.
…………………………12分
21.(本小题满分12分)
(I)易知1x >-，且()11x f x e x '=-
+. 令()11x h x e x =-+， 则()()2101x h x e x '=+
>+，∴ 函数()11
x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==.
可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.
……………………5分
(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.
由(I)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111
x g x x e x x =--++-+.
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max 2S =2312
πθ=令()()()11ln 111x
x x e x x ϕ=--++-+，则()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；
当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴ ()()max 01x ϕϕ==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(I)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，则2=2cos ρρθ，∴ 222x y x +=.
联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，22122
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴ 所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭
，1 2⎛ ⎝⎭
，.………………………5分 (II)设()B ρθ，，则=2cos ρθ,
∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， ∴ 当 时， ………………………10分23.(本小题满分10分)
(I)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10101>221>22x x x x x x
+≥+<⎧⎧⎨⎨+----⎩⎩或13x ⇔>∴ 实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. ………………………5分 (II)∵ 1a >，∴ 11a -<-，()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩
， ，-， ，， ，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时单调递增，则()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
. ∴ 1112
a -=，解得2a =. …………………………10分。