向量.知识框架 普通高中数学复习讲义Word版

向量

要求层

次

重难点

平面向量的相关概念

B

①理解平面向量的概念，理解两个向量相

等的含义．

②理解向量的几何表示．

向量加法与减法 C ① 掌握向量加法、减法的运算，并理解

其几何意义．

② 掌握向量数乘的运算及其几何意义，

理解两个向量共线的含．

③ 了解向量线性运算的性质及其几何意

义．

向量的数乘 C

两个向量共线

B

平面向量的基本定理

A

① 了解平面向量的基本定理及其意义．

② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表

示．

③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法

高考要求

模块框架

向量

⑴向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．

有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作

用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一

类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，

指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数

运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．

⑵向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.

的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，

终点在后．

⑶相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．

可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．

O

已知E、F、G、H分别是平行四边形ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为

知识内容

B

对角线AC与BD的交点，分别写图中与DF，BH，AO相等的向量．

解：DF FC GO OH AE EB

=====

BH HC AG GD

===

AO OC

=

⑷向量共线或平行：通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．说明：共线向量的方向相同或相反，

注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．

⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．零向量的方向不确定，零向量与任意向量

平行．

⑹用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA a

=，则点A 相对于点O位

置被向量a所唯一确定，这时向量OA又常叫做点A相对于点O的位置向量．

3

AB AC

⋅=．

1.向量的加法：

a

C

C

O

B

⑴ 向量加法的三角形法则：

已知向量,a b ，在平面上任取一点A ，作A B a =，BC b =，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 和b 的和（或和向量），记作a b +，即a b AB BC AC +=+=． ⑵ 向量求和的平行四边形法则：

① 已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a =，AD b =，则A ，B ，D 三点不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b =+，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则． ② 向量的运算性质：

向量加法的交换律：a b b a +=+

向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++

关于0：00a a a +=+= ⑶ 向量求和的多边形法则：

已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

2. 向量的减法：

d

⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -． 零向量的相反向量仍是零向量．

⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终

点为始点，被减

向量的终点为终点的向量．

推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点

O 的位置向量 OB ，或简记“终点向量减始点向量”．

⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量

3. 数乘向量：

定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，且a λ的长a a λλ=

<教师备案> 判断正误：已知λμ∈R ，．

①()a b a b λλλ+=+；（√） ②()a a a λμλμ+=+；（√）

③()()a a λμλμ=；（√） ④()()a b a b λμλμ+=++．（×） 4. 向量共线的条件

⑴ 平行向量基本定理：如果a b λ=，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且0b ≠，则一定存在唯一的一个实数λ，使a b λ=．

⑵ 单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单

位向量．如果a 的单位向量记作0a ，由数乘向量的定义可知0a a a =或0a

a a =．

1．平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在

唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．

基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作

{}1

2

,e e ．11

22

a e a e

+叫做向量a 关于基底{}

12,e e 的分解式．

说明：

⑴ 定理中1e ，2e 是两个不共线向量；

⑵ a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底． <教师备案> ⑴ 平面向量基本定理的证明：

在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：

过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+

证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e x e y e +=+，

即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，

不妨设20y a -≠，则1

212

x a e e y a -=-

-， 由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛

盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =． ⑵ 证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：

已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，

则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP 关于基底{}

,OA OB 的分解式为

(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点P 一定在l 上．