青岛版九年级上册数学《解直角三角形》

《解直角三角形》（第1课时）教案 探究版
教学目标 知识与技能
1．掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角比）之间的关系．
2．已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形． 过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感与态度
渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯． 教学重点
直角三角形的解法． 教学难点
锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程 一、情景导入 教师用多媒体出示：
如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，
C
B
A
（1）若AC =h ，BC =l ，你能求出AB 及∠B 吗？ （2）若AC =h ，∠B =α，你能求出AB 及BC 吗？
师生活动：师出示问题后，让学生分组讨论尝试求解． 师在学生充分讨论后，给出结论： （1）AB
sin ∠B
=AC
AB
=再利用计算器即可求出∠B ；
（2）AB =
sin sin AC h αα=，BC =tan tan AC h
αα
=
．
设计意图：通过具体的问题，引发学生解直角三角形的思考，为引出本节课的内容做好铺垫．
二、探究新知 观察与思考
（1）在Rt △ABC 中（如图所示），∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．除直角C 已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流．
c a C
B A
师生活动：教师引导学生观察示意图，启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来．最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类，并进行总结．
师总结如下：
①角之间的关系：∠A +∠B =90°； ②边之间的关系：222a b c +=； ③角与边之间的关系：sin A =
a c ，cos A =
b
c ，tan A =a
b
． （2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？
师生活动：教师应引导学生通过思考和交流，理解在直角三角形中，除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素，由此引出解直角三角形的概念．
在讲解“除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式，并重点讲解：
（1）在②③两组等式中，每个等式中都含有三个量．如果已知其中的两个量，则第三个量可由相应的等式求出，其中②中，三个量都是边，③中的三个量有一个是角，另外两个是边，因而在已知的两个元素中，至少有一个元素是边．“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边，或者两个元素都是边，因此，解直角三角形问题可分为两类：已知两边（两
条直角边或一直角边和斜边）解直角三角形，已知一边一锐角（一直角边和对角、一直角边和邻角、斜边和一锐角）解直角三角形．
（2）解直角三角形两类问题的理论依据：
已知直角三角形两边，根据基本事实“边角边”及“HL”定理，直角三角形被唯一确定，故它的未知元素可求；
已知直角三角形一边和一锐角，根据基本事实“角边角”或“角角边”定理，直角三角形也被唯一确定，故它的未知元素可求．
师在学生总结的基础上给出解直角三角形的定义：
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
设计意图：通过学生的分组讨论和尝试，提高学生分析问题、归纳结论的能力，为后面的例题讲解做好理论上的铺垫．
三、例题精讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c=62.5．解这个直角三角形．
师生活动：师可以让学生独立分析问题，在学生分析的基础上引导学生采用多种方法解决此例．
解：方法1 因为a2+b2=c2，所以60
b=．
由sin A=
17.5
62.5
a
c
==0.28，得∠A≈16°15′37″．
所以∠B=90°－∠A=90°－16°15′37″=73°44′23″．
方法2因为a2+b2=c2，所以60
b=．
由tan A=
17.5
60
a
b
=≈0.29，得∠A≈16°15′37″．
所以∠B=90°－∠A=90°－16°15′37″=73°44′23″．
方法3因为a2+b2=c2，所以60
b=．
由sin B=
60
62.5
b
c
==0.96，得∠B≈73°44′23″．
所以∠A=90°－∠B=90°－73°44′23″=16°15′37″．
设计意图：例1是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题.解决的方法有很多，通过本例使学生明确解直角三角形时方法的多样性，培养了学生开放性思维的能力．例2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=128，∠B=52°．解这个直角三角形（边长精确到0.01）．
师生活动：（1）本例是已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形的问题．在本例的基础上，师可以进一步提出问题“如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角，如何解直角三角形？”在此基础上，师引导学生归纳出解直角三角形的通法．
（2）通过本例，师引导学生探求出选择边角关系解直角三角形的两条原则：一是应当选择直接应用题目中已知条件的等式；二是应当尽量选择便于计算的等式．为此应让学生熟
悉直角三角形中边角关系式的变形，如由sin A=a
c
，变形为a=c•sin A，c=
sin
a
A
等．
解：在Rt△ABC中，由∠C=90°，∠B=52°，得∠A=90°－52°=38°．
由sin B=b
c
，得b=c•sin B=128•sin52°≈100.87；
由cos B=a
c
，得a=c•cos B=128•cos52°≈78.80．
规律方法解直角三角形的类型和解法
角形的不同类型和相应的解法，为后面的学习做好铺垫．
四、课堂练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=39，b=36，求a和∠B（精确到1′）；
（2）已知a=22.5，b=12，求∠A和∠B（精确到1′）．
4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=12，b=24，解这个直角三角形．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=15，∠B=60°，求a；
（2）已知∠A=35°，a=24，求b，c．
参考答案：
1．1
230°．
3．（1）a=15，∠B≈67°23′；
（2）∠A≈61°56′，∠B≈28°4′．
4．c=A≈26°33′54″，∠B≈63°26′6″．
5．（1）7.5；（2）b≈34.28；c≈41.84．
设计意图：通过练习熟悉解直角三角形的不同类型，巩固解不同类型直角三角形的方法．
五、课堂小结
1．理解直角三角形中角与角、边与边、角与边之间的关系．
2．知道什么是解直角三角形．
3．会区别解直角三角形的不同类型，并会选用相应的方法解直角三角形．
设计意图：通过课题小结，使学生加深对解直角三角形的理解，增强学生学习的目标性，增强学生解直角三角形的能力．
六、目标检测：
1．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）．A．tan
=⋅D．sin
c a A
=⋅
b a A
a c B
=⋅C．cos
=⋅B．sin
b c A
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．
3．在△ABC中，∠C=90°，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：
4．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，根据下列条件，解直角三角形：
（1）AC BC
（2）∠A=22.5°，b=12．
5．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，CD
CA⊥AB，求AD和BC的长度．
参考答案：
1．C．
2．8．
3．（1）2，，30°；（2）3，，45°；（3）10，60°，30°；（4）6，45°，45°．
4．（1）AB=A=60°，∠B=30°；
（2）∠B=67.5°，a≈4.97，c≈12.99．
5．AD=9，BC=36．
设计意图：通过练习进一步巩固解直角三角形的能力．。