青岛版九年级上册数学《解直角三角形》
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《解直角三角形》(第1课时)教案 探究版
教学目标 知识与技能
1.掌握直角三角形中角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、角与边(锐角三角比)之间的关系.
2.已知直角三角形的两个元素(至少一个是边),会解直角三角形. 过程与方法
通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
情感与态度
渗透数形结合的数学思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯. 教学重点
直角三角形的解法. 教学难点
锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用. 教学过程 一、情景导入 教师用多媒体出示:
如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,
C
B
A
(1)若AC =h ,BC =l ,你能求出AB 及∠B 吗? (2)若AC =h ,∠B =α,你能求出AB 及BC 吗?
师生活动:师出示问题后,让学生分组讨论尝试求解. 师在学生充分讨论后,给出结论: (1)AB
sin ∠B
=AC
AB
=再利用计算器即可求出∠B ;
(2)AB =
sin sin AC h αα=,BC =tan tan AC h
αα
=
.
设计意图:通过具体的问题,引发学生解直角三角形的思考,为引出本节课的内容做好铺垫.
二、探究新知 观察与思考
(1)在Rt △ABC 中(如图所示),∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c .除直角C 已知外,你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗?与同学交流.
c a C
B A
师生活动:教师引导学生观察示意图,启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来.最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类,并进行总结.
师总结如下:
①角之间的关系:∠A +∠B =90°; ②边之间的关系:222a b c +=; ③角与边之间的关系:sin A =
a c ,cos A =
b
c ,tan A =a
b
. (2)观察上面的三组等式,你发现在直角三角形中,除直角以外,至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素?
师生活动:教师应引导学生通过思考和交流,理解在直角三角形中,除直角外知道其中的两个元素(至少一个是边),就可以求出其他三个未知元素,由此引出解直角三角形的概念.
在讲解“除直角外知道其中的两个元素(至少一个是边),就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式,并重点讲解:
(1)在②③两组等式中,每个等式中都含有三个量.如果已知其中的两个量,则第三个量可由相应的等式求出,其中②中,三个量都是边,③中的三个量有一个是角,另外两个是边,因而在已知的两个元素中,至少有一个元素是边.“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边,或者两个元素都是边,因此,解直角三角形问题可分为两类:已知两边(两
条直角边或一直角边和斜边)解直角三角形,已知一边一锐角(一直角边和对角、一直角边和邻角、斜边和一锐角)解直角三角形.
(2)解直角三角形两类问题的理论依据:
已知直角三角形两边,根据基本事实“边角边”及“HL”定理,直角三角形被唯一确定,故它的未知元素可求;
已知直角三角形一边和一锐角,根据基本事实“角边角”或“角角边”定理,直角三角形也被唯一确定,故它的未知元素可求.
师在学生总结的基础上给出解直角三角形的定义:
由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
设计意图:通过学生的分组讨论和尝试,提高学生分析问题、归纳结论的能力,为后面的例题讲解做好理论上的铺垫.
三、例题精讲
例1 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=17.5,c=62.5.解这个直角三角形.
师生活动:师可以让学生独立分析问题,在学生分析的基础上引导学生采用多种方法解决此例.
解:方法1 因为a2+b2=c2,所以60
b=.
由sin A=
17.5
62.5
a
c
==0.28,得∠A≈16°15′37″.
所以∠B=90°-∠A=90°-16°15′37″=73°44′23″.
方法2因为a2+b2=c2,所以60
b=.
由tan A=
17.5
60
a
b
=≈0.29,得∠A≈16°15′37″.
所以∠B=90°-∠A=90°-16°15′37″=73°44′23″.
方法3因为a2+b2=c2,所以60
b=.
由sin B=
60
62.5
b
c
==0.96,得∠B≈73°44′23″.
所以∠A=90°-∠B=90°-73°44′23″=16°15′37″.
设计意图:例1是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题.解决的方法有很多,通过本例使学生明确解直角三角形时方法的多样性,培养了学生开放性思维的能力.例2 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,c=128,∠B=52°.解这个直角三角形(边长精确到0.01).
师生活动:(1)本例是已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形的问题.在本例的基础上,师可以进一步提出问题“如果已知直角三角形的一条直角边和一个锐角,如何解直角三角形?”在此基础上,师引导学生归纳出解直角三角形的通法.
(2)通过本例,师引导学生探求出选择边角关系解直角三角形的两条原则:一是应当选择直接应用题目中已知条件的等式;二是应当尽量选择便于计算的等式.为此应让学生熟
悉直角三角形中边角关系式的变形,如由sin A=a
c
,变形为a=c•sin A,c=
sin
a
A
等.
解:在Rt△ABC中,由∠C=90°,∠B=52°,得∠A=90°-52°=38°.
由sin B=b
c
,得b=c•sin B=128•sin52°≈100.87;
由cos B=a
c
,得a=c•cos B=128•cos52°≈78.80.
规律方法解直角三角形的类型和解法
角形的不同类型和相应的解法,为后面的学习做好铺垫.
四、课堂练习