(完整版)2019年全国一卷理科数学试卷

2019年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1. 已知集合}06|{}24|{2<--=<<-=x x x N x x M ，，则=N M

A. }34|{<<-x x

B. }24|{-<<-x x

C. }22|{<<-x x

D. }32|{<

2. 设复数z 满足1|i |=-z ，z 在复平面内对应的点为(x ,y )，则

A. 11)(22=++y x

B. 11)(22=+-y x

C. 1)1(22=-+y x

D. 1)1(22=++y x

3. 已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则

A. c b a <<

B. b c a <<

C. b a c <<

D. a c b << 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底长度之比是

215-（618.02

1

5≈-，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如

此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

2

1

5-。 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm

5. 函数],[cos sin )(2

ππ-++=在x x x

x x f 的图像大致为

A. B.

C. D.

6. 我国古代典籍《周易》用卦描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个

爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

2019.6

A.

165 B. 3211 C. 32

21 D. 1611 7. 已知非零向量a ，b 满足|a | = 2|b |，且(a - b )⊥b ，则a 与b 的夹角为

A. 6π

B. 3π

C. 3

2π D.

6

5π 8. 右图是求2

12121

++

的程序框图，图中空白框应填入

A. A A +=21

B. A A 1

2+=

C. A

A 211

+=

D. A

A 21

1+=

9. 记S n 为等差数列}{n a 的前n 项和。已知S 4 = 0，5a = 5，则

A. 52-=n a n

B. 103-=n a n

C. n n S n 822-=

D. n n Sn 22

12

-=

10. 已知椭圆C 的焦点为)0,1()0,1(21F F ，-，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若||2||22B F AF =，

||||1BF AB =，则C 的方程为

A. 12

22

=+y x

B. 12

32

2=+y x C. 13

42

2=+y x

D. 14

52

2=+y x 11. 关于函数|sin |||sin )(x x x f +=有下述四个结论：

①)(x f 是偶函数

②)(x f 在区间),2(ππ

单调递增

③)(x f 在],[ππ-有4个零点

④)(x f 的最大值为2

A. ①②④

B. ②④

C. ①④

D. ①③

12. 已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A = PB = PC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，E 、F 分别是P A 、AB 的中点，︒=∠90CEF ，则球O 的体积为

A. π68

B. π64

C. π62

D.

π6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线x x x y e )(32+=在点(0,0)处的切线方程为______________。

14. 记S n 为等比数列}{n a 的前n 项和，若62

4

13

1a a a ==，，则=5S _____________。 15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6， 客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是__________。

A D B

E C

N A 1 B 1 D 1

C 1 M 16. 已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近

线分别交于A 、B 两点，若AB A F =1，0·21=B F B F ，则C 的离心率为____________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （12分）

ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。 （1）求A ；

（2）若。，求C c b a sin 22=+

18. （12分）

如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，

AA 1 = 4，AB = 2，︒=∠60BAD ，E 、M 、N 分别

是BC 、BB 1、A 1D 的中点。 （1）证明：MN // 平面C 1DE ； （2）求二面角A -MA 1-N 的正弦值。

19. （12分） 已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为2

3

的直线l 与C 的交点为A 、B ，与x 轴的交点为P 。

（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若||3AB PB AP ，求=。 20. （12分）

已知函数的导数为，)()(')1ln(sin )(x f x f x x x f +-=。证明： （1）)2,1()('π

-在区间x f 存在唯一极大值点；

（2）)(x f 有且仅有2个零点。