勾股定理ppt课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理- 完整版课件
A
(x+1)米 x米
5米
B
4.如图，某公园有这样两棵树，一棵树高8m，另 一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
C
B
2m
8m
5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水
面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一
bc
a
d
8.如图，甲船以16n mile/h的速度离开港口，向东南航 行。乙船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开 港口1.5h后分别到达B,A两点，且知AB=30n mile。问乙 船每小时航行多少海里？
1海里 =1.852公里（千米） 中国标准
9.如图所示,公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠QPN=30° ，点A处有一所中学，AP=160m。假设一拖拉机在公路上 沿PN方向行驶，周围 100m以内会受到噪音的影响。 （1）问该学校是否会受到噪音的影响？ 请说明理由。 （2）若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h， 则学校受 影响的时间有多长？
a2 b2 c2
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角边a 、b的平方和等于斜边c的平 B 方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过?为什么?
大于 能
DC
2m
AB
1m
一架2.6m长的梯子AB，斜
靠在一竖直的墙AO上，这
类型二：利用勾股定理求几何表面上的最短 路线及最值问题。
例 ：有一个圆柱形油罐，如图所示，要从点A环绕油罐 建梯子，正好到点A的正上方点B。问梯子最短需要多少 米？已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m。 解：如图展开之后构成Rt△AA’B’
(x+1)米 x米
5米
B
4.如图，某公园有这样两棵树，一棵树高8m，另 一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
C
B
2m
8m
5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道
有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水
面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一
bc
a
d
8.如图，甲船以16n mile/h的速度离开港口，向东南航 行。乙船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开 港口1.5h后分别到达B,A两点，且知AB=30n mile。问乙 船每小时航行多少海里？
1海里 =1.852公里（千米） 中国标准
9.如图所示,公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠QPN=30° ，点A处有一所中学，AP=160m。假设一拖拉机在公路上 沿PN方向行驶，周围 100m以内会受到噪音的影响。 （1）问该学校是否会受到噪音的影响？ 请说明理由。 （2）若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h， 则学校受 影响的时间有多长？
a2 b2 c2
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角边a 、b的平方和等于斜边c的平 B 方。
ac
b
C
a2 b2 c2
A
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过?为什么?
大于 能
DC
2m
AB
1m
一架2.6m长的梯子AB，斜
靠在一竖直的墙AO上，这
类型二：利用勾股定理求几何表面上的最短 路线及最值问题。
例 ：有一个圆柱形油罐，如图所示，要从点A环绕油罐 建梯子，正好到点A的正上方点B。问梯子最短需要多少 米？已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m。 解：如图展开之后构成Rt△AA’B’
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
勾股定理ppt课件
体会数形结合的思想。（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
勾股定理的应用PPT课件
2
0.3
0.2
A
B
A
B
C
2m
(0.2×3＋0.3×3)m
选作： 1. 如图，长方形中AC=3,CD=5,DF=6,求蚂蚁沿表面从A爬到F的最短距离.
3
5
6
A
C
D
E
B
F
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
已知：如图，在 中， ，是 边上的中线， 于， 求证：.
如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
A
B
C
10
6
(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？
A1
C1
2
一位工人叔叔要装修家，需要一块长3m、宽2.1m的薄木板，已知他家门框的尺寸如图所示，那么这块薄木板能否从门框内通过?为什么?
B
C
A
3
2
1
B
C
A
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
解:
A
B
2
3
A
B
1பைடு நூலகம்
C
AB＝
＝
＝
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
3
2
1
B
C
A
AB＝
＝
＝
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
AB＝
＝
＝
3
2
1
B
C
A
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？
第1课时勾股定理微课ppt课件
如图我国古代证明该命题 的“赵爽弦图”.
赵爽指出：按弦图，又可以
勾股相乘为朱实二，倍之为
朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的
如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦 股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
C'
A面、积B/格、C的9面积有25什么关3系4 ？ SA+SB=SC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= (a-b)2
=c2-4×
1 2
ab
即c2=a2+b2.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
赵爽指出：按弦图，又可以
勾股相乘为朱实二，倍之为
朱实四.以勾股之差自相乘为 中黄实.加差实，亦成弦实.
赵爽弦图
思考 你是如何理解的？你会证明吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的
如何称呼直角三角形的三 边吗？
弦 股
勾
那么勾、股、弦之间有什么关系呢？这 就是我们今天要探究的问题。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
C'
A面、积B/格、C的9面积有25什么关3系4 ？ SA+SB=SC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
思考
等腰直角三角形三条边长度 之间有怎样的特殊关系？
小结
等腰直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方和.
证明
赵爽弦图
小正方形的面积= (a-b)2
=c2-4×
1 2
ab
即c2=a2+b2.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
勾股定理ppt课件
人教版八年级（下册）
17.1 勾股定理
创设情景 引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动 探究规律
毕达哥拉斯
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
三个正方形A, B,C面积SA , SB , SC分别是多少?
SA=2, SB=2, SC=4.
SA , SB , SC之间有什么等量关系呢?
勾 股
弦 勾
股
观察欣赏 感知文化
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
a b
c
b
ac
b
ac
b
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
b ca
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2 = c2 －
.
a2－2ab+ b2 = c2 － 2ab .
∴ a2+ b2 = c2 .
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
归纳总结 畅谈收获 本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
课后作业 深化新知
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法； （2）教材中的练习； （3）通过上网等方式查找勾股定理的相关资料．
例1. 求出下列直角三角形中未知的边:
D
A
10
17.1 勾股定理
创设情景 引入新课
说一说：它是由哪些基本几何图形组成？
师生互动 探究规律
毕达哥拉斯
假设每个小等腰直角三角形的面积为1.
三个正方形A, B,C面积SA , SB , SC分别是多少?
SA=2, SB=2, SC=4.
SA , SB , SC之间有什么等量关系呢?
勾 股
弦 勾
股
观察欣赏 感知文化
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个 定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它 的证明，新的证法不断出现,现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.
a b
c
b
ac
b
ac
b
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
b ca
S小正方形= S大正方形－ 4S直角三角形.
(a-b)2 = c2 －
.
a2－2ab+ b2 = c2 － 2ab .
∴ a2+ b2 = c2 .
动手实践 验证猜想
猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为 c， 那么a2+b2=c2.
归纳总结 畅谈收获 本节课中你还有其他的收获吗？
美丽的勾股树
课后作业 深化新知
作业：
（1）整理课堂上所提到的勾股定理的证明方法； （2）教材中的练习； （3）通过上网等方式查找勾股定理的相关资料．
例1. 求出下列直角三角形中未知的边:
D
A
10
1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)
2．勾股定理的适用条件： 直角三角形，它反应了直角三角形三边的关系，
即已知直角三角形两边长可求第三边长．对于非直 角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形．
3．由勾股定理的基本关系式： a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式： c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2 ＋ 2ab ； a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
3和4，则第三边长为( D )
A．5
B. 7 C. 5 D．5或 7
知识点 2 勾股定理与图形面积
知2－讲
1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；这 种方法以数形转换为指点思想、图形拼补为手段， 以各部分面积之间的关系为根据而到达目的．
知2－讲
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的
面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形
M的面积为________；
知2－讲
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径 向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积 之间的关系式是________； (用图中字母表示)
知2－讲
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3 和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆， 请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知1－导
探究 在行距、列
距都是1的方格网
中，任意作出几
个 以格点为顶点
的直角三角形，
分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，
如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
视察图(1)，并填写:
视察图(2)，并填写:
知1－导
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直角边2+另一精品条课件直角边2=斜边2
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A
774143 2
2 5（面积单位）
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
精品课件
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 A 正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C
B
弦c
股b
┏
勾a
a2+b2=c2
精品课件
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 C2
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 =4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c∴2 a2+b2=c2
精品课件
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
！
精品课件
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( )C
A.3 米 B.4 米
C.5 米 D.6 米
３
精品课件
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120
米,则ABA为 (
)
A.50米 B.120米
9 个单位面积。
B 图2-1
C A
B 图2-2
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
精品课件
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
413318 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形精品课件
C A
B 图2-1
C A
B
S其正 方他形 c 的角直形62 角也4三有1233 这 个1 8（性单位质面积）
吗？ 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形 面积减去4个直角三精角品课形件 的面积
探究
顶点在格点上的直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方吗？
合作 & 交流☞
发现 S1+S2=S
3
s1 s2
s3
精品课件
返 拼回 图
合作 & 交S流1+☞S2=S3
发现 a等²+腰a直²角=三c²角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。
sa1 as2
c
s3
看似平淡无 奇的现象有时却 隐藏着深刻的道 理。
精品课件
（1）观察图2-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1 9 25
图2
34C
图2 4 9 13
A
图1
B
每个小方格的面积均为1 图18.1-2
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SASBSC
a²+b²=c²
精品课件
1
2
补全
分割
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示 意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1
C
图2
9A
A、B、
C面积
关系
图1 2B5
直角三 角形三 边关系
每个小方格的面积均为1
图18.1-2
精品课件
1
2
补全
分割
探究
B A
C
顶顶点点在在格格点点上上的的直直角角三三角角形形两两 直直角角边边的的平平方方和和等等于于斜斜边边的的平平方方吗。？
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得
c 2= a 2+ b 2
精品课件
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
精品课件
做一做：
A
625
P
C
B
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为
(ba)2 41ab 2
c a
b
∵ c2= (ba)2 41ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+
c a
b
c a
b
b2 ∴a2+b2=c2
精品课件
c a
b
赵 爽 弦 图
精品课件
返回主界面
精品课件
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
A
130
?
C.100米
D.130米
C
120 B
精品课件
议一议：
24m 9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
精品课件
看
能学反朋 发们映友
一 看
现 什 么 ？
， 我 们 也 来
直 角 三 角 形
家 作 客 ， 发
相 传 25 00
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
精品课件
看，地斯 你同面去
思考：(1)图中三个正方形的面积有什么关系？
S1
S2
S3
S1 +S2 =S3
x2 x2 y2
(2)由此我们猜想中间直角三角形三边有 什么数量关系？
图3-1
C A
B
图3-2
精品课件
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
精品课件
c a
b c
b
a
(ba)241abc2 2
400
225 P的面积 =______________
AB=_2__5_______ BC=__2__0______
AC=__1________ 5
6 2
x
X=_4___2________
x622232 42
精品课件
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
Байду номын сангаас
一
比 看
8
17
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲 尔德就任美国第
A b 1 E aB
∵ S 梯形ABCD
= a+b 2 2
二十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= ( a 2 +2ab+ 2
又∵ S 梯形ABCD
b 2) = S AED + S EBC + S CED
情景引入
40
O
A
30 50?
你知道这是什么道理吗？
B 精品课件
人教版
（八下）
勾股定理
精品课件
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
精品课件
一般的直角三角形 三边为边作正方形
S正方形c
A
774143 2
2 5（面积单位）
C
B
图3-1
C A
B
图3-2
精品课件
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 A 正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C
B
弦c
股b
┏
勾a
a2+b2=c2
精品课件
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 C2
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 =4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c∴2 a2+b2=c2
精品课件
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
！
精品课件
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为 ( )C
A.3 米 B.4 米
C.5 米 D.6 米
３
精品课件
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直
角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120
米,则ABA为 (
)
A.50米 B.120米
9 个单位面积。
B 图2-1
C A
B 图2-2
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
精品课件
C A
S正方形c
B 图2-1
C A
B 图2-2
413318 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形精品课件
C A
B 图2-1
C A
B
S其正 方他形 c 的角直形62 角也4三有1233 这 个1 8（性单位质面积）
吗？ 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形 面积减去4个直角三精角品课形件 的面积
探究
顶点在格点上的直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方吗？
合作 & 交流☞
发现 S1+S2=S
3
s1 s2
s3
精品课件
返 拼回 图
合作 & 交S流1+☞S2=S3
发现 a等²+腰a直²角=三c²角形两直角边
的平方和等于斜边的平方。
sa1 as2
c
s3
看似平淡无 奇的现象有时却 隐藏着深刻的道 理。
精品课件
（1）观察图2-1
C A
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1 9 25
图2
34C
图2 4 9 13
A
图1
B
每个小方格的面积均为1 图18.1-2
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
SASBSC
a²+b²=c²
精品课件
1
2
补全
分割
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示 意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
正方形A 正方形B 正方形C 的单位 的单位 的单位
面积 面积 面积
图1
C
图2
9A
A、B、
C面积
关系
图1 2B5
直角三 角形三 边关系
每个小方格的面积均为1
图18.1-2
精品课件
1
2
补全
分割
探究
B A
C
顶顶点点在在格格点点上上的的直直角角三三角角形形两两 直直角角边边的的平平方方和和等等于于斜斜边边的的平平方方吗。？
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得
c 2= a 2+ b 2
精品课件
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
精品课件
做一做：
A
625
P
C
B
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为
(ba)2 41ab 2
c a
b
∵ c2= (ba)2 41ab 2
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+
c a
b
c a
b
b2 ∴a2+b2=c2
精品课件
c a
b
赵 爽 弦 图
精品课件
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勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
A
130
?
C.100米
D.130米
C
120 B
精品课件
议一议：
24m 9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
精品课件
看
能学反朋 发们映友
一 看
现 什 么 ？
， 我 们 也 来
直 角 三 角 形
家 作 客 ， 发
相 传 25 00
观三现年
察边朋前
下的友，
面某家一
的种用次
图数砖毕
案量铺达
，关成哥
看系的拉
精品课件
看，地斯 你同面去
思考：(1)图中三个正方形的面积有什么关系？
S1
S2
S3
S1 +S2 =S3
x2 x2 y2
(2)由此我们猜想中间直角三角形三边有 什么数量关系？
图3-1
C A
B
图3-2
精品课件
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Sa+Sb=Sc
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
精品课件
c a
b c
b
a
(ba)241abc2 2
400
225 P的面积 =______________
AB=_2__5_______ BC=__2__0______
AC=__1________ 5
6 2
x
X=_4___2________
x622232 42
精品课件
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
Байду номын сангаас
一
比 看
8
17
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲 尔德就任美国第
A b 1 E aB
∵ S 梯形ABCD
= a+b 2 2
二十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= ( a 2 +2ab+ 2
又∵ S 梯形ABCD
b 2) = S AED + S EBC + S CED
情景引入
40
O
A
30 50?
你知道这是什么道理吗？
B 精品课件
人教版
（八下）
勾股定理
精品课件
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家 的用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系。
毕达哥拉斯（公元前572— 前492年）古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
精品课件