人教版北京市第四中学高中数学3函数的基本性质(单调性) (共13张PPT)教育课件
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函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
人教版高中数学必修课 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 教学PPT课件
2．反比例函数 y＝1x在(0，＋∞)内的图象随 x 的增大 y 值_减__小_____，在(－∞，0)内的图 象随 x 的减小 y 值__增__大______．
知新益能
1．增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自 变 量 的 值 x1 ， x2 ， 当 __x_1_<_x_2___ 时 ， 都 有 ___f(_x_1_)＜__f_(_x_2)____，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function)．反映在图象 上，由左至右，图象连续__上__升____；
2．单调性与单调区间 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 D 上 是 __增__函__数__或__减__函__数_______，那么就说函数 y＝ f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间_______．
问题探究 1．在增、减函数定义中，能否把“任意两个 自变量”改为“存在两个自变量”？ 提示：不能．如图所示．
虽然 f(－1)<f(2)，但 f(x)在[－1,2]上并不递增．
2．能说 f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函 数吗？
提示：若认为减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞) 时．取 x1∈(－∞，0)，取 x2∈(0，＋∞)，则
x1＜x2，如果认为 y＝1x是(－∞，0)∪(0，＋∞) 上的减函数，则有 f(x1)＞f(x2)，而事实上 f(x1) ＜f(x2)．两者相矛盾，故单调区间不能用“∪” 合并．
课堂互动讲练
考点突破 用定义证明(判断)函数的单调性
依据函数单调性的定义证明函数单调性的步 骤有： (1)取值；(2)作差变形；(3)定号；(4)判断．
北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案
【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性增 减 减 减 增 减 减减 增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
函数的基本性质---单调性 PPT
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2 O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
x1＜x2 O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
O x1 x2 x
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
【全国百强校】北京市第四中学人教版高中数学必修一课件：1.3.1函数的单调性说课 (共11张PPT)
3 x
x3
2 3 , 4 , 5 , 6 ,...
2345
构造模型f (x) 3 x 1 1 , (x 0)
2 x
x2
11
函数的单调性
1
•说 教 材 •说教学目标 •说教学方法 •说教学过程
2
说教材
1、本节内容的特点 2、本节内容的分析
重点：函数单调性的概念及应用 难点：函数单调性的判定 关键：增函数与减函数的概念
3
说教学目标
1、知识要求：理解函数单调性的概念，掌 握判断一些简单的单调性的方法。
2、能力要求：培养形象思维能力和推 理判断能力。
3、育人要求：领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。
4
说教学方法
教法：自学辅导法、讨论法、讲授法 学法：归纳——讨论——练习
教学手段：多媒体电脑与投影机
5
说教学过程
教引辅讲评讲辅引辅评 师入导授价授导导导价
教 学
设
概
例
一 般
例
例
补 充
练
概 念
内疑念
性
3 2
1
例习 方
容
题
法
学思自观讨理自分达总 生考学察论解学析标结
y=ax2+bx+c (a>0)
9
A 函数的单调性
例2 证明函数f(x)=3x+2在(-∞，+∞)上是增函数。
例3 证明函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
10
A 函数的单调性
补充例题 比较下列各数的大小.
1 2 , 3 , 4 , 5 ,...
3456
构造模型f (x) 2 x 1 1 , (x 0)
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
人教版北京市第四中学高中数学函数的单调性和奇偶性 (共11张PPT)教育课件
函数的奇偶性
1
学生练习：
１、已知：f(x)＝3x，画出函数图象，并求：f(2)、f(－2)、f(－x)。
解：f(2)＝3×2=6 f(－2)=3×(－2)=－6 f(－x)=3×(－x)＝－3x
2、已知：g(x)=2x2 ，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。
解：g(1)=2×12 =2
3
例：判断下列函数的奇偶性。
①f(x)=x 5 ＋x
②f(x)=x 4 －x 2
③f(x)=√3x 2
④f(x)=3x+1
4
解：①∵f(-x)=(-x)5 +(-x) =－x 5－x =－(x 5 +x)=－f(x)
∴此函数是奇函数。
② ∵f(－x)=(－x)4 －(－x) 2 =x 4－x 2 =f(x)
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
1
学生练习：
１、已知：f(x)＝3x，画出函数图象，并求：f(2)、f(－2)、f(－x)。
解：f(2)＝3×2=6 f(－2)=3×(－2)=－6 f(－x)=3×(－x)＝－3x
2、已知：g(x)=2x2 ，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。
解：g(1)=2×12 =2
3
例：判断下列函数的奇偶性。
①f(x)=x 5 ＋x
②f(x)=x 4 －x 2
③f(x)=√3x 2
④f(x)=3x+1
4
解：①∵f(-x)=(-x)5 +(-x) =－x 5－x =－(x 5 +x)=－f(x)
∴此函数是奇函数。
② ∵f(－x)=(－x)4 －(－x) 2 =x 4－x 2 =f(x)
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
北京市第四中学人教版高中数学必修一课件：函数的基本性质单调性
4
求下列函数的单调区间:
1. f (x) x2 2x 3 2. f (x) | x2 2x 3 | 3. f (x) x2 2 | x | 3
4. f (x) x2 2x 3 5. f (x) | 2x 1| |1 x |
5
利用上述有关方法解题:
1.若 f (x) 2x2 px 3在(,1] 为减函数
单调函数的应用
一.根据自变量的大小关系得函数值的大小:
1.函数 f (x)在(0,+∞)为减函数,比较下列
函数值的大小
(1). f ( 2), f ( 3)
34
练习:P46 强化训练2.7
(2). f (a2 a 1), f ( 3)
4
12
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
作出 f (x) x 1 的图象 y x
-1 o 1
x
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
10
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
练习:P44 强化训练8
已知函数 f (x) x2 2x a , x [1, ) x
8
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
2.求下列函数的值域:
Y=f(x)在a∈[a,b]
上为单调函数,则 它在[a,b]存在最值
1. f (x) x 2x 1
2. f (x) 2x 3 4x 13
3. f (x) x 1 3x
f (x)
求下列函数的单调区间:
1. f (x) x2 2x 3 2. f (x) | x2 2x 3 | 3. f (x) x2 2 | x | 3
4. f (x) x2 2x 3 5. f (x) | 2x 1| |1 x |
5
利用上述有关方法解题:
1.若 f (x) 2x2 px 3在(,1] 为减函数
单调函数的应用
一.根据自变量的大小关系得函数值的大小:
1.函数 f (x)在(0,+∞)为减函数,比较下列
函数值的大小
(1). f ( 2), f ( 3)
34
练习:P46 强化训练2.7
(2). f (a2 a 1), f ( 3)
4
12
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
作出 f (x) x 1 的图象 y x
-1 o 1
x
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
10
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
练习:P44 强化训练8
已知函数 f (x) x2 2x a , x [1, ) x
8
北京市第四中学人教版高中数学必修 一课件 ：1.3函 数的基 本性质 (单调 性) (共13张PPT)
2.求下列函数的值域:
Y=f(x)在a∈[a,b]
上为单调函数,则 它在[a,b]存在最值
1. f (x) x 2x 1
2. f (x) 2x 3 4x 13
3. f (x) x 1 3x
f (x)
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
高中数学函数的单调性标准文档ppt
对应的函数值的变化规律是怎样的
探究
1．增函数
你能否根据我们所讲授的内容,
给出增函数和减函数的定义?
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自 变 量 x1，x2， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ，那么就说f(x) 在区间D上是增(减）函数.
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
问题1 ：函数的单调性是局部性质 还是整体性质？
问题2：根据函数的定义，对于自变量x的每 一确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应 。那么当一个函数在某一区间上是单调增函 数(或减函数)的时候，相应的自变量的值与
由V1，Vp(2V ∈1) (0，p(V +2∞)) 且V k1 V 1<V k V22 ，k得V V 2 V1 V 12 V V12>0,
作差变形
V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V 1)p(V2)0
即p(V 2)p(V 1)
判断符号
就是所说以，，当函体数积Vp减少V k时,V ， 压(强0,p将 增)是大减. 函数.也
1 任意取值x1，x2∈D，且x1<x2；
2
12
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调
2.作差变形f(x )－f(x ) ， （关键的一步，通常 区间.
1 2 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
探究
1．增函数
你能否根据我们所讲授的内容,
给出增函数和减函数的定义?
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自 变 量 x1，x2， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ，那么就说f(x) 在区间D上是增(减）函数.
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
问题1 ：函数的单调性是局部性质 还是整体性质？
问题2：根据函数的定义，对于自变量x的每 一确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应 。那么当一个函数在某一区间上是单调增函 数(或减函数)的时候，相应的自变量的值与
由V1，Vp(2V ∈1) (0，p(V +2∞)) 且V k1 V 1<V k V22 ，k得V V 2 V1 V 12 V V12>0,
作差变形
V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V 1)p(V2)0
即p(V 2)p(V 1)
判断符号
就是所说以，，当函体数积Vp减少V k时,V ， 压(强0,p将 增)是大减. 函数.也
1 任意取值x1，x2∈D，且x1<x2；
2
12
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调
2.作差变形f(x )－f(x ) ， （关键的一步，通常 区间.
1 2 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增，那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时 ，有$f(x_1) < f(x_2)$；反之，如果 函数在某个区间内单调递减，那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ，通过比较函数在不同区间的增减性 ，可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ，首先确定函数在指定区间上的单调 性，然后根据单调性定义，比较函数 值的大小，从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性，与函 数的定义域和值域无关，只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$。
函数的单调性共26页PPT资料
个区间上是减函数.
要点·疑点·考点
函数是增函数还是减函数.是对 定义域内某个区间而言的.有的函数 在一些区间上是增函数，而在另一些 区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞)时是增函数，当x∈(-∞， 0)时是减函数.
要点·疑点·考点
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函 数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，这一区 间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上 增函数的图象是上升的，减函数的图 象是下降的.
(4)确定f’(x)在各个小开区间内的符号，根 据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开 区间内的单调性.
课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上
是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8
(B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)
h(x)
x
2 1
(D) s(x)log1(x)
2
当a>0,x>o时, 2 x xa
ff( x)x xln x (a 0 )x ( (0,) x 2 ( 2 a 4 ) x a 2 0
fx 0 x 2 ( 2 a 4 ) x a 2 0
要点·疑点·考点
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的 步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的结论.
4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律 如下：
要点·疑点·考点
函数是增函数还是减函数.是对 定义域内某个区间而言的.有的函数 在一些区间上是增函数，而在另一些 区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞)时是增函数，当x∈(-∞， 0)时是减函数.
要点·疑点·考点
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函 数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，这一区 间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上 增函数的图象是上升的，减函数的图 象是下降的.
(4)确定f’(x)在各个小开区间内的符号，根 据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开 区间内的单调性.
课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上
是增函数的是( B )
(A)f(x)=x2-4x+8
(B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)
h(x)
x
2 1
(D) s(x)log1(x)
2
当a>0,x>o时, 2 x xa
ff( x)x xln x (a 0 )x ( (0,) x 2 ( 2 a 4 ) x a 2 0
fx 0 x 2 ( 2 a 4 ) x a 2 0
要点·疑点·考点
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的 步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的结论.
4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律 如下：
函数单调性的性质课件
单调性有助于理解不等式的 性质
通过研究函数的单调性，可 以深入理解不等式的性质和 特点。例如，利用函数的单 调递增或递减性质，可以证 明不等式的传递性和可加性 等基本性质。
单调性与积分
总结词
单调性有助于理解积分的性质
详细描述
单调性与积分有着密切的联系。例如，如果 函数在某个区间内单调递增或递减，那么该 区间上的定积分值可以通过比较上下限处的 函数值来求解。此外，利用单调性还可以推 导出一些重要的积分公式和性质，如变上限 积分公式、微积分基本定理等。
函数单调性的性质与应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工具
VS
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的增减趋 势，对于确定函数的最值位置和大小具有 关键作用。例如，如果函数在某区间内单 调递增，那么该区间内的最大值出现在区 间的右端点；反之，如果函数单调递减， 则最小值出现在左端点。
单调性与最值
总结词
单调性有助于解决最值问题
详细描述
利用单调性，可以简化最值问题的求 解过程。例如，通过判断函数在某区 间内的单调性，可以确定最值的位置， 从而避免了对函数进行复杂求导或积 分的过程。
单调性与不等式
总结词
详细描述
总结词
详细描述
单调性是证明不等式的重要 手段
单调性可以用于证明不等式。 例如，通过比较两个函数的 单调性，可以证明它们之间 的不等式关系。此外，利用 单调性还可以推导出一系列 重要的不等式定理，如均值 不等式、柯西不等式等。
函数单调性的性质课件
பைடு நூலகம்
• 函数单调性的定义与分类 • 函数单调性的判定方法 • 函数单调性的性质与应用 • 函数单调性与生活实例 • 函数单调性的扩展知识
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作出 f ( x) x 1 的图象 y x
-1 o 1
x
10
练习:P44 强化训练8
已知函数 f(x)x22xa,x[1,) x
(1)当 a 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2
(2)若对任意 x [1, ),f(x)0恒成立,
求实数的取值范围.
11
单调函数的应用
一.根据自变量的大小关系得函数值的大小:
f (x)
4.已知 f ( x ) 为单调函数,利用 " x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 或 f ( x 1 ) f ( x 2 ) )
的“正逆互推”关系求解参数.
3
一.复习巩固
证明下列函数的单调性:
1. f ( x) x 3 1( x R ) 2. f ( x) 1 x (1, )
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
•: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
f(-3)与f(3)的在小.
13
–
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆那 样寻 常， 让得失 利弊 犹如花 开花 谢那 样自然 ，不 计较， 也不 刻意执 着；让 生命 中各 种的喜 怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦然 的接 受命 运的馈 赠， 把是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
x 1 3. f (x) 1 x2 x(x R)
4
求下列函数的单调区间:
1.f (x) x2 2x 3 2.f (x) | x2 2x 3 | 3.f (x) x2 2 | x |3
4.f (x) x2 2x 3 5. f (x) | 2 x 1 | |1 x |
• • 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
axb
练习:P46 强化训练8
小结: 在给定区间上,一定为单调函数, 且一致.
8
2.求下列函数的值域:
Y=f(x)在a∈[a,b]
上为单调函数,则 它在[a,b]存在最值
1.f(x)x 2x1
2.f(x)2x34x13
3.f(x)x 13x
4.f(x)34x27x
9
二.型如f (x)xa(a0) 的单调性的研究 x
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
• • 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
电
:
那
你
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第
一
口
罗
没
有
我
和
他
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我
是
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时
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法
就
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电
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口
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后
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没
有
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头
我
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，
耐
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像
男
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如
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我
实
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西
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自
己
弄
费
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影
一
五
分
钟
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里
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就
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摄
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所
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完
所
以
最
是
拍 以
后
•《
《
我
是
算
命
先
生
》
读
同学们加油！
•
•
• • 之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
-1 o 1
x
10
练习:P44 强化训练8
已知函数 f(x)x22xa,x[1,) x
(1)当 a 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2
(2)若对任意 x [1, ),f(x)0恒成立,
求实数的取值范围.
11
单调函数的应用
一.根据自变量的大小关系得函数值的大小:
f (x)
4.已知 f ( x ) 为单调函数,利用 " x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 或 f ( x 1 ) f ( x 2 ) )
的“正逆互推”关系求解参数.
3
一.复习巩固
证明下列函数的单调性:
1. f ( x) x 3 1( x R ) 2. f ( x) 1 x (1, )
人
的
一
生
说
白
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，
也
就
是
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万
余
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，
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与
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，
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。
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得
爱
自
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的
人
，
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有
过
高
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，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
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红
尘
，
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众
生
皆
是
客
，
时
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深
处
，
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年
似
水
，
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瞬
间
，
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阴
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，
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心
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，
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流
年
，
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，
握
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懂
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口
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–■
•: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
f(-3)与f(3)的在小.
13
–
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆那 样寻 常， 让得失 利弊 犹如花 开花 谢那 样自然 ，不 计较， 也不 刻意执 着；让 生命 中各 种的喜 怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦然 的接 受命 运的馈 赠， 把是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
x 1 3. f (x) 1 x2 x(x R)
4
求下列函数的单调区间:
1.f (x) x2 2x 3 2.f (x) | x2 2x 3 | 3.f (x) x2 2 | x |3
4.f (x) x2 2x 3 5. f (x) | 2 x 1 | |1 x |
• • 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
axb
练习:P46 强化训练8
小结: 在给定区间上,一定为单调函数, 且一致.
8
2.求下列函数的值域:
Y=f(x)在a∈[a,b]
上为单调函数,则 它在[a,b]存在最值
1.f(x)x 2x1
2.f(x)2x34x13
3.f(x)x 13x
4.f(x)34x27x
9
二.型如f (x)xa(a0) 的单调性的研究 x
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
• • 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
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读
同学们加油！
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•
• • 之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。