计算理论2013 12题

一．填空题

1.语言类P 、PSPACE 、NP 、NPSPACE 、EXPTIME

之间的关系为

（EXPTIME NPSPACE PSPACE NP P ⊆=⊆⊆）。

2.产生语言{12n 03n |n ≥0}的上下文无关文法是（00011|A A ε→）。

3.命题“利用递归定理，一个TM M 可以得到自己的描述”是（正确的）。（正确的、错误的）

4.命题“A ≤M B 和B A M ≤含义相同”是（正确的）。（正确的、错误的）

5.上下文无关文法为乔姆斯基范式，是指其中的每一个规则具有如下形式（a A BC A →→,）。

6.萨维奇定理指出：对于任何函数

f:N →R +,其中f(n)≥n,（ ))(())((2n f SPACE n f NSPACE ⊆ ）

7.空间层次定理证明了空间复杂性类不全相同，它们形成一个层次结构，其中（时空界限较大的类比时空界限较小的类）包含更多的语言。

8.语言B 是NL 完全的，如果（1）NL B ∈并且（2）NL 中的每个A （对数空间）可规约到B ，例如（PATH ）是NL 完全的。

9.如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k 倍的可行解，则称这个算法是（k-优）的。

10.根据概率错误，定义RP 是多项式时间概率图灵机识别的语言类，其中，不在语言中的输入以概率（1）被拒绝。

二．问答题

1.说明有穷自动机、正则表达式、下推自动机、图灵机的异同点。

2.对于图示的DFA M ，回答下列问题，并说明理由

（1）?0100,DFA A M >∈<是，DFA M 接受0100

（2）?011,DFA A M >∈<否，M 不接受011

（3）?DFA A M >∈<否，输入不完全，因此形式不正确

（4）?0100,REX A M >∈<否，前半部分不是

正则表达式，因此形式不正确

（5）?DFA E M >∈<否，M 的语言非空

（6）?,DFA EQ M M >∈<是，M 接受和它自身相同的语言

3.非确定性图灵机、概率图灵机和交错式图灵机是如何体现非确定性的？

三．构造题

1.构造PDA 。使其接受语言{0n 1n+1|n ≥0}。要求给出相应的形式描述和状态转移图。

2.构造一个可判定语言A={0n 1n 0n |n ≥0}的图灵机M ，并分析该图灵机算法的时间复杂性。 q 0 q 1 q 2 0

1 1 0,1

1.证明P在并、连接和补运算下封闭。NP在并和连接运算下封闭。

答案：P在并、链接和补运算下封闭。

(1) 并：

对任意L1, L2∈P，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

对L1⋃L2构造判定器M:

M=“对于输入字符串w :

1)在w上运行M1，在w上运行M2。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”

时间复杂度：设M1为O(n a),M2为O(n b)。令c=max{a,b}。

第一步用时O(n a+n b) ，因此总时间为O(n a+ n b)=O(n c),

所以L1⋃L2属于P类，即P在并的运算下封闭。

(2) 连接：

对任意L1, L2属于P 类，设有n a时间图灵机M1和n b时间图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。对L1 L2构造判定器M:

M=“对于输入字符串w=w1,w2,…,w n，

1)对k=0,1,2,…,n重复下列步骤。

2)在w1w2…w k上运行M1，在w k+1w k+2…w n上运行M2。

3)若都接受，则接受。否则继续。

4)若对所有分法都不接受则拒绝。“

时间复杂度：(n+1)×(O(n a)+O(n b))=O(n a+1)+O(n b+1)=O(n c+1)，所以L1 L2属于P类，即P 在连接的运算下封闭。

(3)补：

L构造判定器M: 对任意L1属于P 类，设有时间O(n a)判定器M1判定它，对

1

M=“对于输入字符串w :

(1)在w上运行M1。

(2)若M1接受则拒绝，若M1拒绝则接受。”

L属于P类，即P在补的运算下封闭。

时间复杂度为：O(n a)。所以

1

NP在并和连接运算下封闭

(1) 并：

对任意L1, L2∈NP，设分别有n a时间非确定图灵机M1和n b时间非确定图灵机M2判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L1⋃L2的非确定图灵机M:

M=“对于输入字符串w :

1)在w上运行M1，在w上运行M2。

2)若有一个接受则接受，否则拒绝。”

对于每一个非确定计算分支，第一步用时为O(n a)+O(n b)，因此总时间为O(n a+n b)=O(n c)。所以L1⋃L2∈NP，即NP在并的运算下封闭。

(2) 连接：

对任意 L 1, L 2∈NP ，设分别有n a 时间非确定图灵机M 1和n b 时间非确定图灵机M 2 判定它们，且c=max{a,b}。

构造判定L 1 L 2的非确定图灵机M:

M=“对于输入字符串w :

1) 非确定地将分成两段x,y ，使得w=xy 。

2) 在x 上运行M 1，在y 上运行M 2。

3) 若都接受则接受，否则拒绝。”

对于每一个非确定计算分支，第一步用时O(n),第二步用时为O(n a )+O(n b )，因此总时间为O(n a + n b )=O(n c )。 所以L 1 L 2∈NP ，即NP 在连接运算下封闭。

2.设T={|M 是一个TM ，且每当M 接受w 时，M 也转变w}，证明T 是不可判定的。

3.证明：CLIQUE 是NP 完全的。

答案：首先证明CLIQUE 属于NP

下面是CLIQUE 的验证机V

V=“对输入<,c>：

1）检查c 是否是G 中k 个节点的集合。

2）检查G 是否包含连接c 中结点的所有边。

3）若两项检查都通过，则接受；否则，拒绝。”

再证明3SAT 多项式时间可归约到CLIQUE 。（书P168）

因为3SAT 是NP 完全的，所以CLIQUE 也是NP 完全的。

2012年试题

一．判断题

1.通用电子计算机（基于布尔电路）与图灵机可以互相模拟。（错）

2.任一上下文无关语言都可以用一个乔姆斯基范式的上下文无关文法产生。（对）

3.如果一个语言不是图灵可识别的，则其不是图灵可判定的。（对）

4.DFA 与NFA 、PDA 与NPDA （非确定下推自动机），TM 与NTM 在本质上计算能力均相同。（错）

5.任何机器都不能自再生。（错）

二．填空题

1.设M=（Q,∑,δ,0q ，F ）为一台有穷自动机，w=w 1w

2...w n 是一个字符串且其中w i 是字母表∑的成员。如果存在Q 中的状态序列r 0,r 1,...,r n 满足

（1）r 0=0q

（2）（ ()11,++=i i i r w r δ ）

，i=0，...，n-1