初中数学第六章 实数知识点及练习题含答案(1)

初中数学第六章实数知识点及练习题含答案(1)
一、选择题
1．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数
(是正整数)，例：=1，则下列结论错误
．．的是（）A．B．
C．D．或1
2．下列式子正确的是（）
A．25＝±5 B．81＝9
C．2
(10)
-＝﹣10 D．±9＝3
3．表面积为12dm2的正方体的棱长为（）
A．2dm B．22dm C．1dm D．2dm
4．下列说法错误的是（）
A．a2与（﹣a）2相等B．3
-与33a互为相反数
3()a
C．3a与3a
-互为相反数D．|a|与|﹣a|互为相反数
5．下列命题中，真命题是（）
A．实数包括正有理数、0和无理数
B．有理数就是有限小数
C．无限小数就是无理数
D．无论是无理数还是有理数都是实数
6．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
-的值（）
7．估算381
A．在6和7之间B．在5和6之间C．在4和5之间D．在7和8之间8．如图，若实数m＝﹣7+1，则数轴上表示m的点应落在（）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上
+的平方根是（）
9．若m、n满足()21150
-+-=，则m n
m n
A．4±B．2±C．4D．2
10．3的平方根是（）
A．±3B．9 C．3D．±9
二、填空题
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．
例如：(-3)☆2=
3232
2
-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简
()
()
2
2
2a a b c b c +
+--
-=__________．
13．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________． 14．观察下列各式： (1)123415⨯⨯⨯+=； (2)2345111⨯⨯⨯+=； (3)3456119⨯⨯⨯+=；
根据上述规律，若121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____． 15．观察下列算式：
①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20； ②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________ 16．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 17．27的立方根为 ．
18．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达
O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．
19．202044.9444≈⋯20214.21267≈⋯20.2（精确到0．01）≈__________．
20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．
三、解答题
21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数
叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a (M •N )=log a M +log a N ． (I )解方程：log x 4=2； (Ⅱ)log 28=
(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)
22．对于实数a,我们规定用{a }表示不小于a 的最小整数，称{a}为 a 的根整数.如{10}=4. (1)计算{9}=？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；
(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{12}=4,再进行第二次求根整数{4}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2.
23．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求
42x y z ++的平方根．
24．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；
（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
25．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式81c c <+． （1）求,,a b c 的值．
（2）求2232a b c ++的平方根．
26．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences ）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）．
（1）观察一个等比列数1，1111
,,,
24816
，…，它的公比q＝；如果a n（n为正整
数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，a n＝；（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1
即（2﹣1）S＝231﹣1
所以
31
31
21
21
21
S
-
==-
-
请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示a n；如果这个常数q≠1，请用含
a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+a n．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】
A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
2．B
解析：B
【分析】
根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】
A255，故选项A错误；
B819，故选项B正确；
C2
-100＝10，故选项C错误；
(10)
D、9＝±3，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．
3．A
解析：A
【分析】
根据正方体的表面积公式：S＝6a2，解答即可．
【详解】
解：根据正方体的表面积公式：S＝6a2，
可得：6a2＝12，
解得：a2．
2dm．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．4．D
解析：D
利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】
∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
a＝a，
互为相反数，故选项B说法正确；
互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；
B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；
C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；
D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
设这个数为x, 根据题意列出关于x的方程,求出方程的解即可．
【详解】
=，
解：设这个数为x，根据题意得：3x x
解得：x=0或-1或1，共3个；
故选：C．
【点睛】
此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：B
【分析】
利用36＜38＜49得到671进行估算．
【详解】
解：∵36＜38＜49，
∴67，
∴51＜6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
+1的取值范围进而得出答案．
【详解】
<<
解：∵实数m，23
∴﹣2＜m＜﹣1，
∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．
故选：B．
【点睛】
9．B
解析：B
【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n，根据平方根的概念计算即可．
【详解】
由题意得，m-1=0，n-15=0，
解得，m=1，n=15，
=4,
4的平方根的±2，
故选B．
【点睛】
考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
10．A
解析：A
直接根据平方根的概念即可求解． 【详解】
解：∵（2＝3，
∴3的平方根是为． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了平方根的概念，比较简单．
二、填空题 11．8 【解析】
解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；
当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：8 【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b
++- =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b =
2
a b a b
++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．0 【分析】
由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值. 【详解】
解：由数轴可知，， 则， ，
故答案为：0. 【点睛】
此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.
解析：0 【分析】
由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值. 【详解】
解：由数轴可知，0b c a <<<， 则0,0a b b c +<-<，
||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=，
故答案为：0. 【点睛】
此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.
13．-5 【解析】 ∵32<10<42, ∴的整数部分a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.
解析：-5 【解析】 ∵32<10<42,
a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.
14．181 【分析】
观察各式得出其中的规律，再代入求解即可． 【详解】 由题意得
将代入原式中
故答案为：181． 【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
解析：181 【分析】
观察各式得出其中的规律，再代入12n =求解即可．
【详解】
由题意得
()31
=⨯++
n n
n=代入原式中
将12
a==⨯+=
12151181
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
15．【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
解：
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
解析：【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．
16．如等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.
解析：π等，答案不唯一．
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，
因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数. 17．3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 解析：3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
18．π 圆的周长=π•d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π
解析：π 圆的周长=π•d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π•d=1×π=π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．
故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.
【点睛】
此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．
19．50
【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答.
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，
∴应是的小数点向左移动一位得到的，
∴，
故答案为：4.50.
【点睛】
此题考查算术平
解析：50
【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答.
【详解】
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，
的小数点向左移动一位得到的，
04.5≈，
故答案为：4.50.
【点睛】
此题考查算术平方根小数点的移动规律，熟记规律是解题的关键.
20．255
【分析】
根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．
【详解】
解：∵，，，
∴只
解析：255
【分析】
根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．
【详解】
解：∵1=，3=，15=，
∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
三、解答题
21．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.
【分析】
(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；
(Ⅲ)根据log a(M•N)=log a M+log a N求解即可．
【详解】
(I)解：∵log x4=2，
∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(Ⅱ)解：∵8=23，
∴log28=3,
故答案为3；
(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018
= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018
= lg2 +1g5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．
22．(1)3；(2)2，3，4(3)3
【分析】
（1的大小，再根据新定义可得结果；
（2）根据定义可知12，可得满足题意的m的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.
【详解】
解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；
（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4；（3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.
23．6
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x和y的值，再根据题意得到z的值，即可求解本题．
【详解】
解：由题意可得3x 29268
y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54
x y =⎧⎨=⎩，
36<<
67∴<
<， 6z ∴=，
424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，
故42x y z ++的平方根是6±．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．
24．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm ，
∴小正方形的面积为1cm 2，
∴两个小正方形的面积之和为2cm 2，
即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，
cm ，
（2）∵22r ππ=，
∴r =
∴2=2C r π=圆，
设正方形的边长为a
∵22a π=，
∴a
∴=4C a =正
∴1C C ===<圆
正
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下：
∵长方形纸片的长和宽之比为3:2，
∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ，
则32300x x ⋅=，
整理得：250x =，
∴22(3)9950450x x ==⨯=，
∵450＞400，
∴22
(3)20x >，
∴320x >，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．
25．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12±
【分析】
(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可；
(2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求．
【详解】
解：(1)根据题意得：a−2=4，a−3b−3=27
，23<<，
∴a=6，b=−8，c=2；
(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12．
∴2232a b c ++的平方根是±12.
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 26．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111
n a a a -- 【分析】
（1）
12
÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可； （2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【详解】 解：（1）
12÷1＝12， a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12
）n ﹣1＝112n -，
故答案为：1
2
，
17
1
2
，
1
1
2n-
；
（2）设S＝3+32+33+ (323)
则3S＝32+33+…+323+324，
∴2S＝324﹣3，
∴S＝
24
33 2
-
（3）a n＝a1•q n﹣1，a1+a2+a3+…+a n＝
() 11
1
1
1
n
a a
a
-
-
．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．。