2019年人教版理数高考一轮复习 专题探究课6 概率与统计中的高考热点问题

(六)概率与统计中的高考热点问题

(对应学生用书第193页)

[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．

以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题，解决问题的能力．

(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的

产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：k g)，其频率分布直方图如图1所示：

图1

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 k g，新养殖法的箱产量不低于50 k g”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养

殖方法有关；

(精确到0.01)．

附：

.

，K2＝

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

[解](1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 k g”，C表示事件“新

养殖法的箱产量不低于50 k g”．

由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 k g 的频率为

(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.

新养殖法的箱产量不低于50 k g 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.

因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

K 2＝200×(62×66－34×38)2

100×100×96×104

≈15.705.

由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 k g 的直方图面积为

(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于55 k g 的直方图面积为

(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.34

0.068≈52.35(k g)． [规律方法] 1.独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，利用独立性检验，

能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测，并能较为准确地给出这种判断的可信度；具体做法是根据公式K 2＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，计

算随机变量的观测值K 2，K 2值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大. 2.频率分布直方图中的众数、中位数与平均数. (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；

(2)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.

[跟踪训练] (2018·成都二诊)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：

600的概率；

(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测当特征量x 为570时，特征量y 的值．

(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝

∑n

i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n

i ＝1

(x i －x )2

，a ^＝y －b ^

x ) [解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ．

∴P (A )＝1－C 23C 25

＝7

10.

(2)x ＝555＋559＋551＋563＋552

5＝556，

y ＝601＋605＋597＋599＋5985

＝600.

∴b ^＝－1×1＋3×5＋(－5)×(－3)＋7×(－1)＋(－4)×(－2)(－1)2＋32＋(－5)2＋72＋(－4)2

＝30100＝0.3. ∵a ^＝y －b ^

x ＝600－0.3×556＝433.2， ∴线性回归方程为y ^

＝0.3x ＋433.2. 当x ＝570时，y ^

＝0.3×570＋433.2＝604.2. ∴当x ＝570时，特征量y 的估计值为604.2.

几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．

在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投

进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.

(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及均值； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． [解] (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.