14.3(2)空间直线与平面的位置关系(斜交)
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是。
①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α；②若直线a 在平面α外，则a//α;③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。
变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a 平行(4)α内不存在与a 平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a ∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
空间解析几何中的直线与平面的位置关系总结
判定：若直线与平面内的一条直线不平行且不相交，则该直线与该平面斜交。
结论：在空间解析几何中，斜交直线与平面的位置关系是相对复杂的，需要综合考虑直线的方向 向量和平面的法向量等因素。
03
判断直线与平面位置关系的方法
平行直线在同一平面内不相交
平行直线在无限远处相交于一 点
平行直线上的任意两点与另一 条直线上的两点分别连线的线 段互相平行
平行直线具有传递性，即如果 两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
垂直直线的性质
直线与平面垂直时， 直线上的任意一点 到平面的距离都相 等
直线与平面垂直时， 平面内任意一直线 都与该直线平行
性质：直线与平面的交点是直线与平面的切点 判定：直线与平面相交的充分必要条件是直线上的任意一点都不在平 面内 位置关系：直线与平面相交时，直线与平面平行或重合
直线与平面平行
定义：直线平行于平面，且与平面无公共点
表示方法：用符号表示为 l // 平面α
性质：直线的方向向量与平面的法向量平行 判定定理：如果直线与平面内的两条相交直线平行，则直线与平面 平行
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几何法
定义：通过观察直线的方向向量和平面的法向量是否平行来判断直线与平 面的位置关系 特点：直观易懂，易于操作，但精度不高
应用场景：适用于初步判断直线与平面的位置关系
注意事项：需结合其他方法进行精确判断
向量法
定义：通过向量的数量积、向量积和混合积来判断直线与平面的位置关系
计算方法：利用向量的运算性质，计算出向量的数量积、向量积和混合积，并根据结果 判断直线与平面的位置关系
立体几何知识点总结(少三垂线定理)
如果一条直线和一个平面内的 都垂直，我们就说直 线和平面互相垂直. 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此 平面平行． 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．
图形
符号语言 a ⊥ b ， b => a ⊥ （ b 为任意的）
图形
符号语言
二面角 => ⊥
a
是直二面角
Hale Waihona Puke 面面垂直的 判定定理 判定方法（文字叙述）
空间两条直线所成的角为 。
一个平面过另一个平面 的 ， 则这两个平面垂直．
六、空间两条直线垂直的判定方法
名称 空间两条 直线垂直 的定义 图形 异面 符号语言 a, b 是异面直线 a // a, b // b
如果两个平面平行， 那么其中一个平 面内的 一个平面 直线必 于另
五、空间两平面平行的判定方法
名称 面面平行 的定义 面面平行 的判定定 理 面面平行 的判定定 理的推论 课本例题 定理 判定方法（文字叙述）
空间两平面没有公共点
图形
符号语言
线面垂直 的性质
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，则另一条 这平个面．
直线 直线 不在 平面内 （ a ） 直 线 与 平 面 平 行 与平面 相交 线与面垂直 线与面斜交
图示
表示方法
交点个数
线面平行 的定义 线面平行 的判定定 理 面面平行 的性质
a 与
无公共点
a
a A
一条直线与此 行．
的
一条直线平行， 则该直线与此平面平
a ⊥ a A a //
a b o , a 与 b 所 成 角 是
高二数学讲义直线与平面的位置关系
BHC D AF EG直线与平面的位置关系一、直线与平面平行1、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒【例1】如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD ∥平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．训练：如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .【例2】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.,//a b a b αα⊥⊥⇒【例3】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B 1H ⊥D 1O ，H 为垂足．求证：B 1H ⊥平面AD 1C ．【例4】如图，正方体AC 1中，已知O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点。
空间直线与平面的位置关系(夹角)
§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角）【知识解读】1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面．7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角FEDCBA【例题讲解】例1 、简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？例2、已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证 MN ∥平面BCE_ CBM HS CAA例4、在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ；例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ；【课堂练习】1、在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=4,BC=3,1CC =2 (1)求B A 1与面ABCD 所成的角; (2)求D A 1与面ABCD 所成的角;(3)求C A 1与长方体的各个面所成的角的大小; (4)求C A 1与长方体的各条棱所成的角的大小;2、.在正方体1111D C B A ABCD -中,求B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小;3、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.D 1C 1B 1A 1D C BA。
空间直线与平面的位置关系与判定
空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。
本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。
一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
下面将分别对这三种情况进行详细说明。
1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。
这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。
举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。
可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。
2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。
直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。
经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。
3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。
因此，直线L与平面P平行。
二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。
下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。
1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。
利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。
空间直线与平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系：线在面内：线与面有无数个交点；线在面外：平行，线与面没有交点。
相交：线与面又且只有一个交点。
两个向量，一个是直线的方向向量，一个是平面的法向量。
如果这两个向量的数量积等于0，当直线上的已知点在平面上时，直线在平面内。
扩展资料
直线在平面内——有无数个公共点；直线与平面相交——有且只有一个公共点；直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。
直线与平面垂直的判定：如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的'垂线，平面α叫做直线L的垂面。
线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点，直线和平面的位置关系一，线在面内的性质：定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
二，平面确定的判定定理：定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三，两面相交的性质：定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。
四，直线平行的判定定理：定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五，等角定理：定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。
六，异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角）七，直线和平面平行的判定定理：定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八，平面与平面平行判定定理：定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示：βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
九，平面与平面平行的性质：定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十，线与面垂直的判定定理：定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线垂直这个平面。
知识讲解_空间中直线与平面的位置关系_基础
空间中直线、平面之间的位置关系编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；2．掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系．【要点梳理】要点一、空间两直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点诠释：（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a ⊂α，直线b β⊂，a ∥b ，不能由a 、b 不同在平面α内就误认为a 与b 异面，实际上，由a ∥b 可知a 与b 共面，它们不是异面直线．（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．3.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内．4.平行直线：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间中一点O ，分别引直线'//a a ，'//b b ，相交直线a ＇、b ＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 、b 形成的角，如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.要点诠释：异面直线所成角θ的取值范围是090θ<≤o o ；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.要点二、直线和平面的位置关系1．直线和平面的位置关系（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线a 和平面α平行，记作//a α.（2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交. 如果直线a 和平面α相交于点A ，记作a A α=I .（3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作a α⊂.2．直线与平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类⎧⎪⎨⎪⎩直线与平面相交—有且只有一个公共点直线在平面内—有无数个公共点直线与平面平行—无公共点 （2）按直线是否在平面内分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线与平面相交直线不在平面内（直线在平面外）直线与平面平行 3．直线与平面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系直线a 在平面α内 直线a 与平面α相交 （直线不在平面内） 直线a 与平面α平行 （直线不在平面内） 符号表示a α⊂ a A α=I //a α图形表示要点三、两个平面的位置关系1．两个平面的位置关系（1）两个平面平行——没有公共点．（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数两平面平行//αβ无公共点两平面相交斜交aαβ=I有一条公共直线垂直αβ⊥且aαβ=I有一条公共直线3．两个平面平行的画法画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．4．两个相交平面的画法（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．【典型例题】类型一、空间两条直线的位置关系例1．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线【答案】D【解析】应根据异面直线的定义“不同在任何一个平面内的两条直线”予以判断．对于A，空间两条不相交的直线有两种可能：一是平行（共面），二是异面，∴A项排除．对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行，也还可能相交，还可能异面，如上图，就是相交的情况，B应排除．对于C，如上图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义，∴应选D．【总结升华】解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面需要掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关模型，特例模型能快速、有效地排除相关的选择项．举一反三：【变式1】 判断下列说法是否正确?若正确，请简述理由；若不正确，请在下列给出的图形中找出反例，并给予说明．（1）没有公共点的两条直线是异面直线；（2）分别在两个平面内的直线一定是异面直线；（3）分别与两条相交直线都相交的两条直线共面；（4）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．【答案】（1）不正确，如下图①③中的直线a ，b ；（2）不正确，如下图②③中的直线AC ，BC 及a ，b ．（3）不正确，如下图②中的直线AB 与l ；（4）不正确，如下图④中，直线AD 与BC 是异面直线AB ，AC 都与AD ，BC 相交，但AB ，AC 是共面直线．例2．已知a ，b ，c 是三条直线，如果a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，那么a 与c 有怎样的位置关系？并画图说明．【答案】平行、相交或异面【解析】对空间直线与直线的三种位置关系逐一判断．直线a 与直线c 的位置关系可以是平行、相交、异面．如下图（1）（2）（3）．【总结升华】不论是在空间还是在同一平面内，平行直线都具有传递性，而异面直线不具有这一特点．本例中的三条直线，由于位置关系不确定，因此，要按照直线位置关系的三种情况逐一分析，而画出示意图对问题的解决是很有帮助的．举一反三：【高清课堂：空间直线与平面的位置关系 例2】【变式1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别是棱11,,AA AB CC 的中点，判断下列直线的位置关系：（1）AB 与1DD ：（2）1D E 与BC ：（3）1D E 与BG ：（4）1D E 与CF ．【答案】（1）异面（2）异面（3）共面（4）共面类型二、平行公理与等角定理的应用例3．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．【解析】 （1）在△ABD 中，∵E ，H 分别为AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD 且12EH BD =，同理在△BCD 中，FG ∥BD 且12FG BD =． ∴EH ∥FG 且EH=FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形． （2）由（1）同理可得：12EF HG AC ==，而BD=AC ， ∴EH=HG=GF=FE ．∴四边形EFGH 是菱形．【总结升华】到现在为止，证明两条直线平行的方法有：一是利用定义，即证在同一平面内的两条直线不相交；二是利用平行公理，即利用第三条平行直线来作传递．例4．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同一点D ，且2'''3AO BO CO OA OB OC ===． （1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ；（2）求'''ABC A B C S S ∆∆的值． 【解析】（1）∵AA ＇与BB ＇相交于O 点，且''AO BO OA OB =，∴//''AB A B ．同理，//''AC A C ，//''BC B C ．（2）∵//''AB A B ，//''AC A C ，∴AB 和AC ，''A B 和''A C 所成的锐角（或直角）相等，即∠BAC=∠'''B A C ．同理，∠ABC=∠'''A B C ，∠ACB=∠'''A C B ． ∴△ABC ∽△'''A B C ．又2'''3AB AO A B OA ==，∴2''2439ABC A B C S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补． 举一反三：【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．证明：如右图，连接EE 1，∵E 1、E 分别为A 1D 1、AD 的中点，∴A 1E 1//AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形，∴A 1A //E 1E ．又∵A 1A //B 1B ，∴E 1E //B 1B ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形，∴E 1B 1∥EB ．同理E 1C 1∥EC ．又∠C 1E 1B 1与∠CEB 方向相同，∴∠C 1E 1B 1=∠CEB ．类型三、异面直线所成的角例5．如下图，正方体AC 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．【解析】解法一：（直接平移法）如下图1，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，GA 1，GC 1，则OG ∥DB 1，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．∵GA 1=GC 1，O 为A 1C 1的中点，∴GO ⊥A 1C 1．∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．解法二：分别取AA 1，CC 1的中点M ，N ，连接MN ，则MN ∥EF ，如上图2所示，连接DM ，B 1N ，B 1M ，DN ，则B 1N ∥DM 且B 1N=DM ，∴四边形DMB 1N 为平行四边形，∴MN 与B 1D 必相交，设交点为P ，并设正方体的棱长为1，则22MP =，52DM =，32DP =， ∴DM 2=DP 2+MP 2，∴∠DPM=90°，即DB 1⊥EF ．∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°．【总结升华】求异面直线所成角的过程是将空间角转化为平面角求解的过程．通常是通过解三角形求得． 举一反三：【变式1】如右图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AC 和DD 1所成的角大小为________；（2）AC 和D 1C 1所成的角大小为________；（3）AC 和A 1B 所成的角大小为________．【答案】（1）90°（2）45°（3）60°【变式2】直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则1//BA DE ，1//AC EF ，所以异面直线1BA 与1AC所成的角为∠DEF （或其补角），设12AB AC AA ===，则2DE EF ==，6DF =，由余弦定理得120DEF ∠=o ，故选C ．类型四、直线与平面的位置关系例6．下列命题中正确命题的个数为（ ）①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面．如下图（1）中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，A 1B 1∥平面ABCD ， A 1B 1与BC 的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A 1B 1与BC 所成的角为90°，因此命题①是错误的．对于③，如上图（1），∵A 1B 1∥AB ，A 1D 1∥AD 且AD ，AB ⊂平面ABCD ，A 1D 1，A 1B 1⊄平面ABCD ，∴A 1B 1∥平面ABCD ，A 1D 1∥平面ABCD ，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条．可以想象，经过平面A 1B 1C 1D 1内一点A 1的任一条直线，与平面ABCD 的位置关系都是平行的，∴命题③也是错误的．对于④，我们可以继续借助正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1来举反例，如上图（2），分别取AD ，BC 的中点E ，F ，A 1D 1，B 1C 1的中点G ，H ，顺次连接E 、F 、H 、G ，∵E ，F ，H ，G 分别为AD ，BC ，B 1C 1，A 1D 1的中点，∴可以证明四边形EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A ，D 两个点到该截面的距离相等，直线AD ∩平面EFHG=E ，∴命题④也是错误的．对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．∴正确的命题只有一个，∴应选B ．【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形．正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型．而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．举一反三：【变式1】 下列命题中正确的个数是（ ）．①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于过b 的任何一个平面；②如果直线a 满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a 、b 满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α；⑤如果a 与平面α内的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面α．A ．0B ．2C ．1D ．3【答案】C类型五、平面与平面的位置关系例7．已知下列说法：①两平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则//a b ；②若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 是异面直线；③若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 一定不相交；④若两个平面//αβ，,,a b αβ⊂⊂则a 与b 平行或异面；⑤若两个平面b αβ=I ，a α⊂，则α与β一定相交．其中正确的序号是（将你认为正确的序号都填上）．【答案】③④【解析】①错．a 与b 也可能异面．②错．a 与b 也可能平行．③对．//αβQ ，α∴与β无公共点．又,a b αβ⊂⊂Q ，∴a 与b 无公共点．④对．由已知③知：a 与b 无公共点，那么//a b 或a 与b 异面．⑤错．α与β也可能平行．【总结升华】解答此类问题，要把符号语言转化为自然语言，根据两平面间的位置关系，借助空间想象能力求解．举一反三：【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面【答案】D【解析】本题主要考查两平面平行的特点．当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面．【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论．。
直线与平面的位置关系知识点总结
直线与平面的位置关系知识点总结直线与平面之间的位置关系是几何学中重要的内容之一，涉及到直线与平面的相交、平行以及垂直等相关概念与性质。
本文将对这些知识点进行总结，以帮助读者更好地理解并应用于实际问题。
一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的基本条件是直线不在平面内，即直线与平面不能共面。
2. 直线与平面相交有三种情况：a. 直线与平面相交于一点，此时直线称为平面的切线，而平面称为直线的切平面。
b. 直线与平面相交于一条直线，此时直线与平面互相交于一个点，该直线称为平面的截线，平面也称为直线的截面。
c. 直线与平面相交于无穷多个点，此时称为直线与平面的交。
3. 根据欧氏几何的公理，一条直线与平面交于一点后，该直线在平面上的每一点都与该平面有且只有一个交点。
二、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的基本条件是直线与平面不相交，即两者没有任何公共点。
2. 直线与平面平行有以下情况：a. 直线与平面在空间中没有交点，此时称直线与平面平行。
b. 直线在平面上，但不在平面内，此时称直线与平面平行。
3. 欧氏几何的公理表明，两条直线分别与同一个平面平行，则这两条直线之间平行。
三、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的基本条件是直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段互相垂直。
2. 直线与平面垂直有以下情况：a. 直线与平面相交，并且直线上的每一条线段都与平面上的每一条线段垂直，则称直线与平面垂直。
b. 直线在平面内，但不在平面上。
此时，直线与平面射线是互相垂直的。
3. 欧氏几何的公理表明，直线与平面垂直，则平面上的任意一条线段与直线上的任意一条线段皆垂直。
四、其他相关知识点1. 平面同时和一条直线的两个点重合，则称该直线在平面上。
2. 平面同时和一条直线的一个点重合，则称该直线在平面内。
3. 平面绕着一条直线旋转，可以得到一组平行于原平面的平面，这个过程叫做平面的旋转。
总结：直线与平面的位置关系包括相交、平行和垂直等几种情况。
直线和平面的位置关系
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。 即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给 出下面的定义。 定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面 平行， 记作l // , 即l
因此l m P， 这与l // m矛盾. 所以l // .
由P l得P . 因为P ， 所以P ， 即P m.
例1。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、 AD的中点 A 求证：EF∥平面BCD 证明：连接BD，在△ ABD中， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF ∥ BD 又∵EF 平面BCD，
PO 8 1 sin PAO PAO 30 PA 16 2
PO 8 同理 : sin PBO PB 10
PBO 53 8
O B
A
三垂线定理及逆定理
P A o
a
α
预习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？
三垂线定理
PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
a c
a与c是异面直线 d
o
b
a b
如果平面内的直线d 平行于b，那么d与a 垂直
若直线d不在平面 内，上述结论还成立吗？仍成立
过一点能作几条与已知直线垂直的直线？
m
M
O b
a d
A
c
所作的垂线是在同一平面内吗？ 是 直线m与此平面给我们什么形象？直线垂直平面的形象
直线和平面垂直的定义
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一 直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为 。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是 。
①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、 直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点，那么这条直线和这个平而平行。
2、 直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类［直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中，亶线和平面平行，直线和平面相交统称亶线在平而外，我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法：① 画直线a 在平而a 内时，裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内，而 不能有部分在这个平行四边形之外，这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无 限延伸而没有边界的，闵而这条直线不可能有某部分在某外；② 在画宜线a 与平而&相交时，表示直线；1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边 形之外，这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来，又具有较强的立体感；③ 画亶线与平面平行时，晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之 外，且与某一边平行。
例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如栗一 条亶线与一平面相交，那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直；③过平而外一点有且只有 一条宜线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平而的距离相等，则这条克线平行于这个 平面。
炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线，则〃/a ；② 若宜线Q 在平面a 外，则a//a ；③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ；宜线和平面相交 宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。
变式2、下列命题中正确的个数是（）①若直线1上有无数个点不在平而a内，则l//a②若直线1与平而a平行，则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行，那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行，则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，AA,所在直线有无数点在平面ABCD外，但AA,所在直线与平面ABCP相交，所以命题①不正确；A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确；所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确；1与平面0C平行，则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点，所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等，讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解：直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况（如图3）,直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內，讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为：若arib=A,bC：a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内，讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为：若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交，恵线AB 、CD 在平而ABCP 内，直线AB 与直线？/ B 相交，賣线CD 与直线工B 异面，所以A. B 都不正确；平面ABCP 內不存在与a 平行的 直线，所以应选D ・ 变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等，且Aga,以下三个命题： ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ；③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交 內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析：丁 直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例，所以应选A.咎案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理：如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平而平行。
空间直线与平面位置关系的判定方法及其应用
空间直线与平面位置关系的判定方法及其应用空间直线和平面的位置关系是三维几何中重要的问题之一，判定空间直线和平面的位置关系有许多方法和应用。
以下是一些常见的方法和应用：
1. 点法式判定法：该方法利用平面上一点和平面的法向量判断
空间直线和平面的位置关系。
当直线上任意一点到平面的距离与直线的方向向量垂直时，即为直线和平面相交；当直线的方向向量与平面法向量垂直时，即为直线和平面平行；当直线上任意一点到平面的距离与直线的方向向量平行时，即为直线和平面重合。
2. 截距式判定法：该方法利用平面的截距式方程和直线的参数
式方程，求得直线交平面的点，若该点位于直线的定义域内，则判定直线和平面相交；若该点在直线的定义域外，则判定直线和平面平行或不相交。
3. 空间向量叉积判定法：该方法利用直线的方向向量和平面的
法向量的向量叉积判断直线和平面的位置关系。
若向量叉积为零向量，则判定直线和平面平行；若向量叉积不为零向量，则判定直线和平面相交。
4. 应用：空间直线和平面的位置关系在计算机图形学、机械设计、物理学等领域都有广泛的应用。
例如在计算机图形学中，通过判定光线与物体表面的位置关系，可以实现光线追踪算法，生成逼真的三维图像；在机械设计中，通过判断机械零件的位置关系，可以实现机械装配与拆解的自动化；在物理学中，通过判定杆、板、球等物体
的位置关系，可以实现力的分析和运动的预测等。
空间几何中的平面与直线的位置关系
03
05
02
04
平面在空间中占据一个位置， 并具有方向和大小。
平面是一个无限延展、没有 厚度的几何对象。
平面可以通过点或向量来定义， 也可以通过其他几何对象来描 述。
平面是几何学中最基本的对象 之一，是研究空间几何的基础。
平面与直线相交的定义 平面与直线相交的性质 平面与直线相交的判定方法 平面与直线相交的作图方法
定义：平面与 直线在空间中 平行，即它们
不相交
判定方法：利 用平行线的性 质和判定定理
进行判断
性质：平行线 之间的距离是 固定的，与平 面和直线的方
向无关
应用：在几何 学、物理学和 工程学等领域
有广泛应用
几何表示法：用平 行四边形表示平面
代数表示法：用向 量表示平面
点法式表示法：用 点法式方程表示平 面
一般式表示法：用 一般式方程表示平 面
平面是一个无限延展、没有边界的二维空间。 平面内的任意两点可以确定一条直线，且任意三点可以确定一个平面。 平面具有传递性，即平面上任意两直线段都平行或相交于一点。 平面具有垂直性，即平面上任意一条直线都可以与另一条直线垂直。
平面与直线在空间中相交的性质和 特点
平面几何中，平 行直线永不相交
平面内，直线与平 面平行，则直线与 平面内任一直线平 行
平面内，直线与平 面平行，则直线与 平面内任一直线平 行
平面内，直线与平 面平行，则直线与 平面内任一直线平 行
平面与直线垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这 个平面垂直。
直线是无限长 的，没有起点
和终点
直线是连续不 断的，可以用 任何两点间的 最短路径来表
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2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
D
C
O
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
角。
D
C1 B1
O
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
为O,连接PA, PB, PC.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC
的 _____心.
P
A
C
B
作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题
A1
30o
E
D
A
C1 B1
C B
归纳小结
1．直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 范围：0，90 3．直线与平面垂直的判定
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
垂线
垂足
这个平面所成的角。
规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在
平面内,我们说它所成的角是00的角。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
巩固练习
1.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影
一定是平行直线
（×）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o D1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
A
C1 B1
C B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1
B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
斜线
如图,过斜线上斜足以外的一 斜足 点向平面引垂线PO,过垂足O
和斜足A的直线AO叫做斜线在
这个平面上的射影.平面的一 条斜线和它在平面上的射影 射影 所成的锐角,叫做这条直线和
一定是相交直线
（× ）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影
要么是平行直线，要么是相交直线 （×）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内
的射影长也相等
（×）
例题讲解
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为a （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角 （2）求直线D1B和平面ABCD所成的角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D1
C1
A1
B1
Dj A
C B
例题示范,巩固新知
例2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1
影,就可以求出A1B和平面
BCC1B1和平面A1B1CD所成的