棱柱、棱锥、棱台的概念和性质

1 1 3 1 ¢ \ MN = (0, , ); AB = ( , - ,1) 2 4 2 2
A N
AB ¢? MN = 0-
3 ?0 2
1 1 1 (- ) + ? 1 2 2 4
B
M
Y
C
X
1 1 + = 0 4 4
AB MN .
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
· · · H’ A’ · · · · · · · · · · · 平行的面
E’ D’ H’ H’ C’ H’ H’ B’ H’ H’ H’ H’ H’ 两个互相 叫做棱柱 的底面 E H
底面
A H
· 底面 ·H · H· H · · ·· · · · · · ·
H H H H H B C D
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形的几何体是棱柱吗？
②画侧棱——从四边形的每一个顶点 画平行且相等的线段
D A B
C
③画下底面——顺次连结这些线段的 另一个端点
注意:被挡住的线要画成虚线.
数学运用
(2)画一个三棱台
S
A B
A B
①画一个三棱锥
C C
②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面 对应边平行的线段
③将多余的线段擦去
（1）侧棱不垂直于底 面的棱柱叫做斜棱柱 （2）侧棱垂直于底 面的棱柱叫直棱柱
特别地：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱
3.棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、 正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？
棱柱集合 直棱柱集合 斜棱柱 集合 正棱柱 集合
1. 有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?为什么?
上底面 底面
侧面 侧棱 下底面 底面
3、棱台的性质：
两底面是相似的多边形，侧棱的延长线交于一点。
棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(polyhedron).
食盐晶体
明矾晶体
石膏晶体
数学运用
动动手(1)画一个四 棱 柱
D
A B
C
①画上底面——画一个四边形
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行相等
2 ). 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
3. )过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
埃及卡夫拉王金字塔
墨西哥太阳金字塔
1.棱锥的定义
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
1.棱锥的定义
观察下图，如何将棱柱变换成下方的几何体?
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).
}
}
A1
B1
侧面AB B1 A1 是平行四边形
两个底面与平行于底面的截面是全等的 多边形 已知：三棱柱ABC-A B C ，
A M
A1
平面MNP∥底面ABC，且交三 条侧棱于M、N、P C 求证： △MNP≌△ABC 证明： B 平面MNP ∥底面ABC P 平面MNP∩平面AB B1 A1 C1 N =MN MN∥AB 平面ABC ∩平面AB B1 A1AMNB =AB B1 A A1 ∥B1 B AB=MN 同理:BC=NP,AC=MP
正多面体只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二 面体，正二十面体5种
我们常见的一些物体，例如三棱 镜，方砖以及螺杆的头部，它们 都呈棱柱形状，如图：
二、棱柱与它的性质
1、棱柱的概念:
互相平行 一个多面体有两个面 ，其余
每相邻两个面的交线互相 互相平行 ，这样的
多面体叫做棱柱。
一个多面体有两个面互 棱柱的概念 相平行，其余每相邻两个面 的交线互相平行，这样的多 面体叫做棱柱。 两个底面 其余各面叫做 不在同一个 两个面的 的距离叫做 棱柱的侧面 面上的两个顶点 公共边叫做 棱柱的高 两个侧面的 侧面与底面的 的连线叫做棱柱 棱柱的棱 公共边叫做 公共顶点叫 的对角线 棱柱的侧棱 做棱柱的 顶点
B' C'
1
B¢ B BM ⅱ AM ^ 面BCC B , 又 = , MC CN \ RtD B ¢ BM 相似于RtD MCN , \ ? BMB ¢ ? NMC \ B¢ M ^ MN 900 ,
A N
B
M
C
MBⅱ 是斜线AB 在平面BCC ⅱ B 的射影， 而MN 在面BCC ⅱ B 内，MB?^ MN , \ AB¢^ MN
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C
α
相对于多面体的任一个面α，其 余各面都在α的同一侧的多面体
D
A E
凹多面体
B
（2）多面体分类： 按多面体面数分类
如四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
对角线
每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相 同棱数的凸多面体，叫做正多面体
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面
C
B
A B
C
侧面
侧面
侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性 质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
D1 A1 B1 C1 C1
A1
A1 B1 B1
E1 C1 E
D1
D A B
C
A
C B
A
B C
D
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
棱柱的分类
1.按底面多边形的边数分
（1）三棱柱
（2）四棱柱
（3）五棱柱
2.按侧棱与底面是否垂直分
数学运用
练一练：以三角形ABC为底面画一个三棱柱.
C
A B
C C
A B
C
A
A
B
B
课堂练习
1.判断：有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何 体是棱锥. (× ) 2.如图,四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以 由哪个平面图形按怎样的方向平移得到? 3.将下列几何体按结构特征分类填空 ①集装箱 ②魔方 ③金字塔 ④三棱镜 ⑤一个四棱锥形的建筑物被台风刮走了一个顶， 剩下的上底面与地面平行 （1）棱柱结构特征的有： ① （2）棱锥结构特征的有： ③ （3）棱台结构特征的有： ⑤ ② ④
分析： 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
A1 B1 C1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A B
C
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。
2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法； 1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
C1
3、棱柱的性质
棱柱的性质； 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
4. 正四棱柱中，求A C1与DC所成角的取 值范围。 C1 D1 设AB = a, CC1 = b
A1 B1
则 cos ? AC1 D 1 = 1 骣 b÷ 2+ ç ÷ ç ç 桫 a÷
2
a 2a 2 + b 2
骣 2÷ ÷ ?ç 0, ç ÷ ç ÷ ç 2 桫
D
AC1 D1 C 形
骣 p p÷ ç , ÷ ç ç 桫 4百度文库2÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 解1：纯几何法1 。联结AM、B¢ M, 由 已知条件和正三棱柱的性质，知 A'
1
1
1
}
}
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 求证：截面AA1 C1 C是平行四边形 证明：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 D AA1∥ = C1 C A 截面AA1 C1 C 是平行四边形 D1
A1 B1
C
B
C A C1 B
A1
B1
N(N是正整数)棱柱有 N+2 个面，其中 2 个底面、 N 个侧面，有 条棱，其中 3N 条侧棱，有 个顶点， N 条对角线 2N
N(N-3)
3).侧棱都相等，侧面是平行四边形
已知：三棱柱ABC-A1 B1 C1 求证：AA1 =B B1 = C C1 ，侧面AB B1 A1 是 平行四边形 证明：底面ABC ∥底面A1 B1 C1 底面ABC ∩平面ABB1A1=AB C 底面A1B1C1∩平面 A B ABB1A1=A1B1 AB ∥ A1 B1 C1 AA1 ∥ B1 B
3、棱柱的性质
棱柱的性质； 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
2.棱柱的性质； 1.) 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
应用三垂线定理
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由 解2：直角坐标法 。 取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2
平行四边 形，棱锥的侧面 3.棱柱的侧面是__________ 三角 形，棱台的侧面是____ 梯 形。 是_______
4.一个五棱柱如图所示，这个棱柱的底面是 五边形ABCDE,五边形A1B1C1D1E1 __________________________________, AA1,BB1,CC1,DD1,EE1 侧棱是____________________________, 四边形AA1B1B,四边形AA1E1E, 侧面是_____________________________ 四边形 CC1B1B,四边形CC1D1D,四边形DD1E1E __________________________________.
②侧面是 三角形
思考题:
有一个公共顶点的 能否类比棱柱的表示法与分类给出棱锥的表示法 与分类?
1.棱台的定义
观察下图，如何将棱锥变换成下方 的几何体?
棱 锥
棱 台
1.棱台的定义
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间 的部分叫做棱台(truncated pyramid).
2.棱台的元素
多面体、棱柱与它的性质
北流高中李东儒
多面体、棱柱与它的性质
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体
称为多面体。
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫 做多面体的顶点。
面
棱
顶点
多面体的对角线——连结不在同一面上的 两个顶点的线段
侧面
平行四边形
侧棱
互相平行 且相等
棱柱
侧面 底面 侧棱
棱锥
侧面 底面
一底面是多边形, 有一个公共顶 交于一点 另一底面缩为一点 点的三角形
棱台
上底面 侧棱 侧面 下底面
上下底面平行， 两多边形相似。
侧面是梯形
侧棱交 于一点
练一练
三 5 面数最少的棱柱是 棱柱。它有 个面，其中 个底面、 个侧面，它有 条棱，其中 条侧棱 2 3 9 ，它有 个顶点， 条对角线 6 3 0