大学物理之载流导线在磁场中所受的力

载流导线在磁场中所受的力 v B y
v dF
v θIdl
I
v o L Id 解 取一段电流元 Idl v v v dF = Idl × B dF = BIdl dFx = dFcos (θ + π 2 ) = −dF sin θ
P
x
= − BIdl sin θ = − BIdy
dFy = dF cos θ = BIdl cos θ = BIdx
dθ θ O R
I2
12
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载流导线在磁场中所受的力
µ 0 I 1 I 2 R sin θ d θ d Fy = d F sin θ = 2 π d + R cos θ
Fy = ∫ dFy = 0
0 2π
.
I1
v y B
d
v dFy
v dF
v I2dl
v v F = Fx i = µ0 I1I 2 (1 − d d 2 − R2 v )i
v F1
M I N
v F4
P v
F2
θ
v B
O v
en
O,P
线圈有N匝时 线圈有 匝时 v v v M = NIS en × B
v F2
M,N v F1
θ v
φ
v B
15
en
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载流导线在磁场中所受的力
讨 论
v v e （1） n 与 B 同向 （2）方向相反 （3）方向垂直 ） ） ）
稳定平衡
I
Q o
x = R sin θ , dl = Rdθ
dM = IBR sin θdθ
2 2
θ
x
π −θ
K x
R
dθ
P
z
19
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载流导线在磁场中所受的力
dM = IBR sin θdθ
2 2
M = IBπ R 2 v v B = Bi v v v M = m× B
M = ∫ sin vθdθ v 2 m = ISk = I π R k v y B
v dFx
x
dθ θ O R
I2
13
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载流导线在磁场中所受的力
二 磁场作用于载流线圈的磁力矩
均匀磁场中有 如图 均匀磁场中有 一矩形载流线圈 MNOP
MN = l2 NO = l1 v v F1 = BIl2 F1 = − F2
v F3
M
v F1
P v
F2
I N
v F4
θ
v B
O v
en
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载流导线在磁场中所受的力
一 安培力
洛伦兹力 v v v Fm = −evd × B
Fm = evd B sin θ
v F m
v vd φ θ
v Idl
I
S
dF = nevd SdlB sin θ
v B
dl
I = nevd S
dF = IdlB sin θ = IdlB sin φ v v v 安培力 dF = Idl × B
载流导线在磁场中所受的力
F2 = BIr ∫
π −θ 0
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θ0
sin θ d θ
v v F2 = BI ( 2 r cos θ 0 ) j v = BI AB j
y
v v dF2 Idl
v B
v dF2
θ0
v v 由于 F1 = − BI AB j
C
dθ Idlv
v v v 故 F = F + F2 = 0 1
P
18
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载流导线在磁场中所受的力
把线圈分为JQP和PKJ两部分 解 把线圈分为 和 两部分 v v v v FJQP = BI (2 R ) k = 0.64k N = − FPKJ v I 为轴， 以Oy 为轴， d l y 所受磁力矩大小
J
v B
dM = xdF = IdlBx sin θ
16
B
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载流导线在磁场中所受的力
结论: 均匀磁场中 任意形状刚 磁场中， 结论 均匀磁场中，任意形状刚性闭 平面通电线圈所受的力和力矩为 合平面通电线圈所受的力和力矩为 v v v F = 0, M = m× B
v v v m // B, M = 0
θ =0 θ =π
稳定平衡 稳定平衡 非稳定平衡 非稳定平衡
2
2 2π IBR v 0
J
v v 2 = I π R Bk × i v 2 = I π R Bj
I
Q o
θ
x
R K x
dθ
P
z
20
dθ θ O R
I2
11
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载流导线在磁场中所受的力
µ 0 I 1 I 2 R cos θ d θ d Fx = d F cos θ = 2 π d + R cos θ
Fx = ∫ dFx
0 2π
.
I1
v y B
d
d d 2 − R2 )
v dFy
v dF
v I2dl
v dFx
x
= µ0 I1I 2 (1 −
6
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载流导线在磁场中所受的力
解
v v F1 = − I ABBj
根据对称性分析
F2x = 0
y
v dF2
v v F2 = F2y j
F2 = ∫ dF2y = ∫ dF2 sin θ
v Idl
v B
v dF2
θ0
C
= ∫ BIdl sin θ
I B
r
v Idl
θ0 θ
A
v o F1
x
7
1212-8 因 d l = rd θ
I B
θ0 θ
v o F1
r
A
x
8
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载流导线在磁场中所受的力
例3：求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导 ： 的作用力。 已知： 线ab的作用力。 已知：I1、I2、d、L 的作用力
解： df = BI2dl
µ0I1I2 dx = 2πx
a
v df
v I2dl
L
b
f = ∫L df = ∫ d
2
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载流导线在磁场中所受的力
均匀磁场 直线电流
r rv v dF = Idl × B m
dF = Idl sinα
F = ∫ IBsinα dl
L
v α dl
v B
L
= IBL sinα
3
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例 1 求如图不 规则的平面载流导线 在均匀磁场中所受的 v 力，已知 B 和 I .
v v m ⊥ B , M = M max = mB, θ = π / 2 v v v e n与 I 成右螺旋 磁矩 m = NIS e n
17
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载流导线在磁场中所受的力
如图半径为0.20 m，电流为 A， 例4 如图半径为 ，电流为20 ， 可绕轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁场 中 ，磁感应强度的大 v y B 小为0.08 T，方向沿 x 小为 ， J 轴正向. 轴正向 线圈受力情况怎样？ 问线圈受力情况怎样？ I R o Q K x 线圈所受的磁力矩又 为多少？ 为多少？ z
v 4 v F = ∑ Fi = 0
v v F3 = − F4
i =1
14
F3 = BIl1 sin (π− φ )
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载流导线在磁场中所受的力
MN = l2 NO = l1
M = F1l1 sin θ = BIl2l1 sin θ
v F3
M = BIS sin θ
v v v v v M = ISen × B = m × B
× × ×I × × × × × × × × × × × × × ×
不稳定平衡 . . . I v . . . F . . . . . . . . . . . .
力矩最大 I
v −F
v × × F
× × × ×
B
×
v F
.
.B .
θ = 0 ,M = 0
o
θ =π , M = 0
π θ = , M = Mmax 2
4
Fx =
∫
载流导线在磁场中所受的力 0 v B d Fx = BI d y = 0 y
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∫
l
0
Fy = ∫ dFy = BI ∫ dx = BIl
0
v dF
θ
v v v F = Fy = BIl j
I
v Idl
P
o
L
x
结论 任意平面载流导线在均匀磁场 中所受的力 , 与其始点和终点相同的载流 直导线所受的磁场力相同； 直导线所受的磁场力相同；任意形状闭合 载流线圈在均匀磁场中受合力为零。 载流线圈在均匀磁场中受合力为零。
1
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载流导线在磁场中所受的力
一般情况
v 导线上各长度元 dl上的速度 B 不相同
导线是曲线 磁场为非均匀场 非均匀场。 导线是曲线 , 磁场为非均匀场。
r Idl 电流源受力
r rv v dF = Idl × B m
整个导线L上受磁场力 整个导线 上受磁场力
v v v v F = ∫l dF = ∫l Idl × B
5
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载流导线在磁场中所受的力
例 2 如图一通有电流 I 的闭合回路放 v 的均匀磁场中， 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，回路平 v 面与磁感强度 B 垂直 .回路由 回路由 v 直导线 AB 和半径为 r y B 的圆弧导线 BCA 组成 ， v C Idl 电流为顺时针方向, 电流为顺时针方向 r Idlv I A 求磁场作用于闭合 B θ0 θ0 o 导线的力. 导线的力 x
I2
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载流导线在磁场中所受的力
I1 解 B= 2 π d + R cosθ
µ0
dF = BI 2dl dl = 2 π d + R cos θ
µ0 I1I 2
.
I1
v y B
d
v dFy
v dF
v I2dl
v dFx
x
dl = Rdθ
Rdθ dF = 2 π d + R cos θ
µ 0 I1 I 2
d +L
µ0I1I2 dx 2πx
I1
d
x
I2
µ0I1I2 d + L ln = 2π d
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载流导线在磁场中所受的力
例 3 半径为 R 载有电流 I 2 的导体圆 环与电流为 I 1 的长直导线 放在同一平 面内（如图），直导 面内（如图），直导 ）， y 线与圆心相距为 d ， d 且 R < d 两者间绝缘 , I 1 求 作用在圆电流上的 x O R 磁场力. 磁场力