风险资产的定价-资本资产定价模型(ppt 86)
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• 1964－1966年夏普（William E sharp）林内特、莫辛分别独立提 出，CAPM实质上要解决的是，假定 所有投资者都运用前一章的马氏证 券组合选择方法，在有效边界上寻 求有效组合，从而在所有的投资者 都厌恶风险的情况，最终每个人都 投资于一个有效组合，那么将如何 测定组合中每单个证券的风险，以 及风险与投资者们的预期和要求的 收益率之间是什么关系。可见，该 模型是建立在一定理想化假设下， 研究风险的合理测定和定价问题。 并认为每种证券的收益率只与市场 收益率和无风险收益率有关。
因为对于所有由风险资产构成的组合来说，
没有哪个点与无风险资产相连接形成的直 线会落在T点与无风险资产的连线的西北 方。换句话说，在所有从无风险资产出发
到风险资产或是风险资产组合的连线中， 没有哪一条线能比到T点的线更陡。由于 马科维兹有效集的一部分是由这条线所控 制，因而这条线就显得很重要。
• 从图中可以看出，在引入AT线段之后，即投 资者可以投资于无风险资产时，CT弧将不再 是有效集。因为对于T点左边的有效集而言， 在预期收益率相等的情况下，AT线段上风险 均小于马科维兹有效集上的组合的风险，而 在风险相同的情况下，AT线段上的预期收益 率均大于马科维兹有效集上组合的预期收益 率。按照有效集的定义，CT弧线的有效集将 不再是有效集。由于AT线段上的组合是可行 的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由 AT线段和TD弧线构成，其中直线段AT代表无 风险资产和T以各种比例结合形成的一些组合。
E(RP) T
A
I1
D
O
C
σ(RP)
• 对于较厌恶风险的投资者而言，该投 资者将选择其无差异曲线与AT线段的 切点O’所代表的投资组合。如图所示， 对于该投资者而言，他将把部分资金
投资于风险资产，而把另一部分资金 投资于无风险资产。
E(RP)
I1 O A
C
D
σ(RP)
三、允许无风险借入下的投资组合
D
0.75
E
1.00
F
1.25
wenku.baidu.com
G
1.50
H
1.75
I
2.00
X2 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00
期 望 回 报 标准差
率
4.00% 0.00%
7.05
3.02
10.10 6.04
13.15 9.06
16.10 12.08
19.25 15.10
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型（CAPM)
第一节 无风险借贷对有马科维 兹有效集的影响
一、无风险资产的定义 二、允许无风险贷款下的投资组合 三、允许无风险借入下的投资组合 四、允许同时进行无风险借贷——无 风险借入和贷出对有效集的影响
一、无风险资产的定义
在单一投资期的情况下，无风险资产的回 报率是确定的
假设风险资产和无风险资产再投资组合中的比 例分别为X1和X2,它们的预期收益率分别为R1和 rf，标准差分别为σ1和σ2，它们之间的协方差为 σ12。根据X1和X2的定义可知X1+ X2=1，且X1和 X2>0。根据无风险资产的定义，有σ1和σ12都等 于0。那么，
该组合的预期收益率为：RP=X1R1+X2rf 组合的标准差为：σp=X1σ1
A 1T V 1r B r TV 1r C 1T V 11
30.12.2019
43
即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，
斜率为 H 的半射线组成。有以下三种情况：
• 1、 rf
A C
M
A C
无风险资产的标准差为零
无风险资产的回报率与风险资产的回报率 之间的协方差也是零
根据定义无风险资产具有确定的回 报率，因此：
首先，无风险资产必定是某种具有固 定收益，并且没有任何违约的可能的 证券。
其次，无风险资产应当没有市场风险。
二、允许无风险贷款下的投资组合
1.投资于一个无风险资产和一个风险资产的情形
• 在现实生活中，投资者可以借入资金并用 于购买风险资产。如果允许投资者借入资金， 那么投资者在决定将多少资金投资于风险资 产时，将不再受初始财富的限制。当投资者 借入资金时，他必须为这笔贷款付出利息。 由于利率是已知的，而且偿还贷款也没有任 何不确定性，投资者的这种行为常常被称为 “无风险借入”。同时，为方便起见，我们 假定，为贷款而支付的利率与投资于无风险 资产而赢得的利率相等。
E(RP) T
A
C
D
σ(RP)
4.无风险贷出对投资组合选择的影响
对于不同的投资者而言，无风险贷款 的引入对他们的投资组合选择有不同的 影响。
对于风险厌恶程度较轻，从而其选择 的投资组合位于DT弧线上的投资者而言， 其投资组合的选择将不受影响。因为只 有DT弧线上的组合才能获得最大的满足 程度。对于该投资者而言，他仍将把所 有资金投资于风险资产，而不会把部分 资金投资于无风险资产。
E(RP) A
C
P
D
σ(RP)
3.无风险贷出对有效集的影响
如前所述，引入无风险贷款后，有效 集将发生重大变化。
图中，弧线CD代表马科维兹有效集， A点表示无风险资产。我们可以在马科维 兹有效集中找到一点T，使AT直线与弧 线CD相切于T点。T点所代表的组合称 为切点处的投资组合。
• T点代表马科维兹有效集中众多的有效组 合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。
E(RP) T
A
C
D
σ(RP)
3.无风险借入对有效集的影响
引入无风险借款后，有效集也将发生重 大变化。图中，弧线CD仍然代表马科维兹 有效集，T点仍表示CD弧与过A点直线的相 切点。在允许无风险借款的情形下，投资 者可以通过无风险借款并投资于风险资产 或风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT 线段向右边的延长线。
1.无风险借款并投资于一种风险资产的情 形 仍然用前面的例子，此时X1 >0，X2<0 在前例中5种组合的基础上，我们再加入4 种组合：
组合F 组合G 组合H 组合I
X1 1.25 1.50 1.75 2.00
X2 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00
组合 X1
A
0.00
B
0.25
C
0.50
• 在前面的例子中，我们用X2表示投资于无 风险资产的比例，而且X2限定为从0到1之 间的非负值。现在，由于投资者有机会以 相同的利率借入贷款，X2便失去了这个限 制。如果投资者借入资金，X2可以被看作 是负值，然而比例的总和仍等于1。这意 味着，如果投资者借入了资金，那么投资 于风险资产各部分的比例总和将大于1。
报率
A
0.00 1.00 4.00% 0.00%
B
0.25 0.75 7.05 3.02
C
0.50 0.50 10.10 6.04
D
0.75 0.25 13.15 9.06
E
1.00 0.00 16.10 12.08
可以发现，这些点都位于连接代表无风险 资产和风险资产的两个点的直线上。
尽管这里仅对5个特定的组合进行了分析， 但可以证明：有无风险资产和风险资产构 成的任何一种组合都将落在连接它们的直 线上；其在直线上的确切位置将取决于投 资于这两种资产的相对比例。不仅如此， 这一结论还可以被推广到任意无风险资产 与风险资产的组合上。这意味着，对于任 意一个有无风险资产和风险资产所构成的 组合，其相应的预期回报率和标准差都将 落在连接无风险资产和风险资产的直线上。
这样，在允许无风险借入的情况下，马 科维兹有效集由CTD弧线变成CT弧线和过A、 T点的直线在T点右边的部分。
E(RP) P
A σ(RP)
4.无风险借入对投资组合的影响
对于不同的投资者而言，无风险借入的 引入对他们的投资组合选择的影响也不同。
对于风险厌恶程度较轻，从而其选择的 投资组合位于DT弧线上的投资者而言，由 于代表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1与AT直线相交，因此不再符合效用最大 化的条件。因此该投资者将选择其无差异 曲线与AT线段的切点O’所代表的投资组合。 如图所示，对于该投资者而言，他将进行 无风险借入并投资于风险资产。
切点组合在斜率最大的配置线上，即
这个风险资产组合的权重使风险资产的
酬报波动比最大，所以目标是最大化下
列目标函数:
sT
E (rp ) rf
p
由此可以求得T组合中的各项风险资产 的比例。
30.12.2019
39
3、在风险资产加无风险资产的组合中，切 点T最优风险资产组合在其中的投资比例 计算
对具有一定风险厌恶程度投资者的地
因此得出一个在金融上有很大意义的结果。
对于从事投资服务的金融机构来说，不管 投资者的收益/风险偏好如何，只需要找到切 点T所代表的有风险投资组合，再加上无风险 资产，就能为所有投资者提供最佳的投资方案。 投资者的收益/风险偏好，就只需反映在组合 中无风险资产所占的比重。
2、切点组合T的各项风险资产比例（两种 风险证券）
投资组合的效用值是： UEr0.005A2
若设风险资产投资比例是y，则对具有 一定风险厌恶程度的投资者来说，最优 风险资产的投资比例是：
y E (rp ) rf
30.12.2019
0 .0 1 A
2 p
40
五、加入无风险资产对有效集 影响的数学推导（不做要求）
• 假设无摩擦的市场证券市场有N种风险资 产和一种无风险资产。以rf表示无风险资 产的利率，设p是由N+1资产组成的前沿 证券组合，wp是N种风险资产的投资比 例，则wp是如下规划的解：
1.同时进行无风险借贷对有效集的影响
当既允许无风险借入又允许无风 险贷出时，有效集也将变成一条直线 （该直线经过无风险资产A点并与马 科维兹有效集相切），相应地降低了 系统风险。切点T是最优风险资产组合， 因为它是酬报波动比最大的风险资产 组合。
该直线上的任意一点所代表的投资组合，都可 以由一定比例的无风险资产和由T点所代表的 有风险资产组合生成。
22.30 18.12
25.35 21.14
28.40 24.16
• 通过作图可以发现，4个包含无风险 借入的组合和5个包含无风险贷出的 组合是在同一条直线上，而包含无 风险借入的组合在AB线段的延长线 上，这个延长线再次大大扩展了可 行集的范围。不仅如此，还可以看 到，借入的资金越多，这个组合在 直线上的位置就越靠外。
E(RP)
I1 T
O
D
A
C
σ(RP)
• 对于较厌恶风险从而其选择的投资 组合位于CT弧线上的投资者而言， 其投资组合的选择将不受影响。因 为只有CT弧线上的组合才能获得最 大的满足程度。对于该投资者而言， 他只会用自有资产投资于风险资产， 而不会进行无风险借入。
四、允许同时进行无风险借贷——
无风险借入和贷出对有效集的影响
E(RP) B
A
σ(RP)
2.无风险借入并投资于一个风险组合的情 形
同样，由无风险借款和风险资产组合构
成的投资组合，其预期收益率和风险的关系 与由无风险贷款和一种风险资产构成的投资 组合相似。
我们仍然假设风险资产组合P是由风险 资产C和D组成的，则由风险资产组合P和无 风险借款A构成的投资组合的预期收益率和 标准差一定落在AP线段向右边的延长线上:
min 1 wTVw 2
使得 wT r (1 wT1)rf E(rp )
• 求解有以下有关投资组合的收益与风险 的关系：
(rp)
E(rp)rf H
E(rp ) rf
如果
(rp)
E(rp)rf H
E(rp ) rf
• 这里
HB2Arf Crf2
• A、B、C是推导马氏双曲线的变量
E(RP) r=4%
σ(RP)
2.投资于一个无风险资产和一个风险组合的 情形
假设风险资产组合P是由风险资产C和D组 成的。经过前面的分析可知，P一定位于 经过C、D两点的向上凸出的弧线上。如果 我 期们收仍益然率用和R标1和准σ差1代，表用风X1险代资表产该组组合合的在预整 个投资组合中所占的比重，则前面的结论 同样适用于由无风险和风险资产组合构成 的投资组合的情形。这种投资组合的预期 收益率和标准差一定落在A、P线段上。
考虑以下5种组合：
组合A 组合B 组合C 组合D 组合E
X1
0.00 0.25 0.5
0.75 1.00
X2
1.00 0.75 0.5
0.25 0.00
假设风险资产的回报率为16.2%，无风险 资产的回报率为4%，那么根据上面的公式， 5种组合的回报率和标准差如下：
组合 X1
X2
期望回 标准差
因为对于所有由风险资产构成的组合来说，
没有哪个点与无风险资产相连接形成的直 线会落在T点与无风险资产的连线的西北 方。换句话说，在所有从无风险资产出发
到风险资产或是风险资产组合的连线中， 没有哪一条线能比到T点的线更陡。由于 马科维兹有效集的一部分是由这条线所控 制，因而这条线就显得很重要。
• 从图中可以看出，在引入AT线段之后，即投 资者可以投资于无风险资产时，CT弧将不再 是有效集。因为对于T点左边的有效集而言， 在预期收益率相等的情况下，AT线段上风险 均小于马科维兹有效集上的组合的风险，而 在风险相同的情况下，AT线段上的预期收益 率均大于马科维兹有效集上组合的预期收益 率。按照有效集的定义，CT弧线的有效集将 不再是有效集。由于AT线段上的组合是可行 的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由 AT线段和TD弧线构成，其中直线段AT代表无 风险资产和T以各种比例结合形成的一些组合。
E(RP) T
A
I1
D
O
C
σ(RP)
• 对于较厌恶风险的投资者而言，该投 资者将选择其无差异曲线与AT线段的 切点O’所代表的投资组合。如图所示， 对于该投资者而言，他将把部分资金
投资于风险资产，而把另一部分资金 投资于无风险资产。
E(RP)
I1 O A
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三、允许无风险借入下的投资组合
D
0.75
E
1.00
F
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wenku.baidu.com
G
1.50
H
1.75
I
2.00
X2 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00
期 望 回 报 标准差
率
4.00% 0.00%
7.05
3.02
10.10 6.04
13.15 9.06
16.10 12.08
19.25 15.10
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型（CAPM)
第一节 无风险借贷对有马科维 兹有效集的影响
一、无风险资产的定义 二、允许无风险贷款下的投资组合 三、允许无风险借入下的投资组合 四、允许同时进行无风险借贷——无 风险借入和贷出对有效集的影响
一、无风险资产的定义
在单一投资期的情况下，无风险资产的回 报率是确定的
假设风险资产和无风险资产再投资组合中的比 例分别为X1和X2,它们的预期收益率分别为R1和 rf，标准差分别为σ1和σ2，它们之间的协方差为 σ12。根据X1和X2的定义可知X1+ X2=1，且X1和 X2>0。根据无风险资产的定义，有σ1和σ12都等 于0。那么，
该组合的预期收益率为：RP=X1R1+X2rf 组合的标准差为：σp=X1σ1
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即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，
斜率为 H 的半射线组成。有以下三种情况：
• 1、 rf
A C
M
A C
无风险资产的标准差为零
无风险资产的回报率与风险资产的回报率 之间的协方差也是零
根据定义无风险资产具有确定的回 报率，因此：
首先，无风险资产必定是某种具有固 定收益，并且没有任何违约的可能的 证券。
其次，无风险资产应当没有市场风险。
二、允许无风险贷款下的投资组合
1.投资于一个无风险资产和一个风险资产的情形
• 在现实生活中，投资者可以借入资金并用 于购买风险资产。如果允许投资者借入资金， 那么投资者在决定将多少资金投资于风险资 产时，将不再受初始财富的限制。当投资者 借入资金时，他必须为这笔贷款付出利息。 由于利率是已知的，而且偿还贷款也没有任 何不确定性，投资者的这种行为常常被称为 “无风险借入”。同时，为方便起见，我们 假定，为贷款而支付的利率与投资于无风险 资产而赢得的利率相等。
E(RP) T
A
C
D
σ(RP)
4.无风险贷出对投资组合选择的影响
对于不同的投资者而言，无风险贷款 的引入对他们的投资组合选择有不同的 影响。
对于风险厌恶程度较轻，从而其选择 的投资组合位于DT弧线上的投资者而言， 其投资组合的选择将不受影响。因为只 有DT弧线上的组合才能获得最大的满足 程度。对于该投资者而言，他仍将把所 有资金投资于风险资产，而不会把部分 资金投资于无风险资产。
E(RP) A
C
P
D
σ(RP)
3.无风险贷出对有效集的影响
如前所述，引入无风险贷款后，有效 集将发生重大变化。
图中，弧线CD代表马科维兹有效集， A点表示无风险资产。我们可以在马科维 兹有效集中找到一点T，使AT直线与弧 线CD相切于T点。T点所代表的组合称 为切点处的投资组合。
• T点代表马科维兹有效集中众多的有效组 合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。
E(RP) T
A
C
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σ(RP)
3.无风险借入对有效集的影响
引入无风险借款后，有效集也将发生重 大变化。图中，弧线CD仍然代表马科维兹 有效集，T点仍表示CD弧与过A点直线的相 切点。在允许无风险借款的情形下，投资 者可以通过无风险借款并投资于风险资产 或风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT 线段向右边的延长线。
1.无风险借款并投资于一种风险资产的情 形 仍然用前面的例子，此时X1 >0，X2<0 在前例中5种组合的基础上，我们再加入4 种组合：
组合F 组合G 组合H 组合I
X1 1.25 1.50 1.75 2.00
X2 -0.25 -0.50 -0.75 -1.00
组合 X1
A
0.00
B
0.25
C
0.50
• 在前面的例子中，我们用X2表示投资于无 风险资产的比例，而且X2限定为从0到1之 间的非负值。现在，由于投资者有机会以 相同的利率借入贷款，X2便失去了这个限 制。如果投资者借入资金，X2可以被看作 是负值，然而比例的总和仍等于1。这意 味着，如果投资者借入了资金，那么投资 于风险资产各部分的比例总和将大于1。
报率
A
0.00 1.00 4.00% 0.00%
B
0.25 0.75 7.05 3.02
C
0.50 0.50 10.10 6.04
D
0.75 0.25 13.15 9.06
E
1.00 0.00 16.10 12.08
可以发现，这些点都位于连接代表无风险 资产和风险资产的两个点的直线上。
尽管这里仅对5个特定的组合进行了分析， 但可以证明：有无风险资产和风险资产构 成的任何一种组合都将落在连接它们的直 线上；其在直线上的确切位置将取决于投 资于这两种资产的相对比例。不仅如此， 这一结论还可以被推广到任意无风险资产 与风险资产的组合上。这意味着，对于任 意一个有无风险资产和风险资产所构成的 组合，其相应的预期回报率和标准差都将 落在连接无风险资产和风险资产的直线上。
这样，在允许无风险借入的情况下，马 科维兹有效集由CTD弧线变成CT弧线和过A、 T点的直线在T点右边的部分。
E(RP) P
A σ(RP)
4.无风险借入对投资组合的影响
对于不同的投资者而言，无风险借入的 引入对他们的投资组合选择的影响也不同。
对于风险厌恶程度较轻，从而其选择的 投资组合位于DT弧线上的投资者而言，由 于代表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1与AT直线相交，因此不再符合效用最大 化的条件。因此该投资者将选择其无差异 曲线与AT线段的切点O’所代表的投资组合。 如图所示，对于该投资者而言，他将进行 无风险借入并投资于风险资产。
切点组合在斜率最大的配置线上，即
这个风险资产组合的权重使风险资产的
酬报波动比最大，所以目标是最大化下
列目标函数:
sT
E (rp ) rf
p
由此可以求得T组合中的各项风险资产 的比例。
30.12.2019
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3、在风险资产加无风险资产的组合中，切 点T最优风险资产组合在其中的投资比例 计算
对具有一定风险厌恶程度投资者的地
因此得出一个在金融上有很大意义的结果。
对于从事投资服务的金融机构来说，不管 投资者的收益/风险偏好如何，只需要找到切 点T所代表的有风险投资组合，再加上无风险 资产，就能为所有投资者提供最佳的投资方案。 投资者的收益/风险偏好，就只需反映在组合 中无风险资产所占的比重。
2、切点组合T的各项风险资产比例（两种 风险证券）
投资组合的效用值是： UEr0.005A2
若设风险资产投资比例是y，则对具有 一定风险厌恶程度的投资者来说，最优 风险资产的投资比例是：
y E (rp ) rf
30.12.2019
0 .0 1 A
2 p
40
五、加入无风险资产对有效集 影响的数学推导（不做要求）
• 假设无摩擦的市场证券市场有N种风险资 产和一种无风险资产。以rf表示无风险资 产的利率，设p是由N+1资产组成的前沿 证券组合，wp是N种风险资产的投资比 例，则wp是如下规划的解：
1.同时进行无风险借贷对有效集的影响
当既允许无风险借入又允许无风 险贷出时，有效集也将变成一条直线 （该直线经过无风险资产A点并与马 科维兹有效集相切），相应地降低了 系统风险。切点T是最优风险资产组合， 因为它是酬报波动比最大的风险资产 组合。
该直线上的任意一点所代表的投资组合，都可 以由一定比例的无风险资产和由T点所代表的 有风险资产组合生成。
22.30 18.12
25.35 21.14
28.40 24.16
• 通过作图可以发现，4个包含无风险 借入的组合和5个包含无风险贷出的 组合是在同一条直线上，而包含无 风险借入的组合在AB线段的延长线 上，这个延长线再次大大扩展了可 行集的范围。不仅如此，还可以看 到，借入的资金越多，这个组合在 直线上的位置就越靠外。
E(RP)
I1 T
O
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A
C
σ(RP)
• 对于较厌恶风险从而其选择的投资 组合位于CT弧线上的投资者而言， 其投资组合的选择将不受影响。因 为只有CT弧线上的组合才能获得最 大的满足程度。对于该投资者而言， 他只会用自有资产投资于风险资产， 而不会进行无风险借入。
四、允许同时进行无风险借贷——
无风险借入和贷出对有效集的影响
E(RP) B
A
σ(RP)
2.无风险借入并投资于一个风险组合的情 形
同样，由无风险借款和风险资产组合构
成的投资组合，其预期收益率和风险的关系 与由无风险贷款和一种风险资产构成的投资 组合相似。
我们仍然假设风险资产组合P是由风险 资产C和D组成的，则由风险资产组合P和无 风险借款A构成的投资组合的预期收益率和 标准差一定落在AP线段向右边的延长线上:
min 1 wTVw 2
使得 wT r (1 wT1)rf E(rp )
• 求解有以下有关投资组合的收益与风险 的关系：
(rp)
E(rp)rf H
E(rp ) rf
如果
(rp)
E(rp)rf H
E(rp ) rf
• 这里
HB2Arf Crf2
• A、B、C是推导马氏双曲线的变量
E(RP) r=4%
σ(RP)
2.投资于一个无风险资产和一个风险组合的 情形
假设风险资产组合P是由风险资产C和D组 成的。经过前面的分析可知，P一定位于 经过C、D两点的向上凸出的弧线上。如果 我 期们收仍益然率用和R标1和准σ差1代，表用风X1险代资表产该组组合合的在预整 个投资组合中所占的比重，则前面的结论 同样适用于由无风险和风险资产组合构成 的投资组合的情形。这种投资组合的预期 收益率和标准差一定落在A、P线段上。
考虑以下5种组合：
组合A 组合B 组合C 组合D 组合E
X1
0.00 0.25 0.5
0.75 1.00
X2
1.00 0.75 0.5
0.25 0.00
假设风险资产的回报率为16.2%，无风险 资产的回报率为4%，那么根据上面的公式， 5种组合的回报率和标准差如下：
组合 X1
X2
期望回 标准差