数值分析 习题课2

Rn ( f ) = −
b − a h 4 (4) ( ) f (η ),η ∈ (a, b) 180 2
若 故有
1 Rn ( f ) ≤ × 10 −5 2
e 1 4 1 ( ) ≤ × 10 − 5 2880 h 2 1 1440 n≥( × 105 ) 4 = 3.71 e
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
x+5 y= 4
，则
作变换
1
y=
1 I2 = ∫ dx, −1 x + 7 1 f ( x) = , x+7 I 2 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2876712
x+7 4
，则
作变换
1
1 1 1 I4 = ∫ dx, I3 = ∫ dx, −1 x + 11 −1 x + 9 1 1 , f ( x) = , f ( x) = x + 11 x+9 I ≈ f ( −0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.1823204 I 3 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2231405 4
b 1 f ( x)dx = ∫ x 5dx = (b 6 − a 6 ) ∫a a 6 b−a 1 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] = (b 6 − a 6 ) 90 6 b
∫
h
0
b−a f ( x )dx ≠ [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] 90
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1 f ( x)dx = ∫ xdx = (b 2 − a 2 ) ∫a a 2 b−a 1 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] = (b 2 − a 2 ) 90 2
(3)采用复化两点高斯公式,将区间[1,3]分为四等份
I = I1 + I 2 + I 3 + I 4
1.5 1
=∫
2 dy 2.5 dy 3 dy dy +∫ +∫ +∫ 1.5 y 2 2.5 y y y
作变换
I1 = ∫
1
1 dx, −1 x + 5 1 f ( x) = , x+5 I1 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.4054054
利用五点高斯公式，则
I ≈ 0.2369239 × [ f (−0.9061798) + f (0.9061798)] +0.4786287 × [ f (−0.5384693) + f (0.5384693)] + 0.5688889 × f (0) ≈ 1.098609
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10.2075922
10.2075922
因此
I ≈ 10.2075922
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11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分 解：
I = ∫ e x sin xdx.
1 3
∫
3
1
e x sin xdx.
∵ x ∈ [1,3], 令 t = x − 2 ,则 t ∈ [−1,1]
x+9 y= 4
，则
作变换
y=
x + 11 4
，则
因此，有 I ≈ 1.098538
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e=2.71828
0.5
16.用辛普森公式（取N=M=2)计算二重积分 ∫0 解：
h = 0.25
∫
0.5
0
e y − x dydx.
h 0.5 I = ∫ [ f (0) + 4 f (0.125) + 2 f (0.25) + 4 f (0.375) + f (0.5)]dx 6 0 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0.5 = [ ∫ e − x dx + 4 ∫ e 0.125− x dx + 2 ∫ e 0.25− x dx + 4 ∫ e 0.375− x dx + ∫ e 0.5− x dx] 0 0 0 0 24 0
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b 1 f ( x )dx = ∫ x 4 dx = (b5 − a 5 ) ∫a a 5 b−a 1 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] = (b5 − a 5 ) 90 5 b
T3( k )
T4( k )
1
1.166667
1.099259
2
1.116667
1.100000
1.099259
3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613
4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613
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b b
b 1 f ( x)dx = ∫ x 2 dx = (b3 − a 3 ) ∫a a 3 b−a 1 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] = (b3 − a 3 ) 90 3 b
b 1 f ( x)dx = ∫ x 3dx = (b 4 − a 4 ) ∫a a 4 b−a 1 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] = (b 4 − a 4 ) 90 4 b
(2)采用高斯公式时
I =∫
3 1
dy , y ∈ [1,3], y
令x = y − 2, 则x ∈ [−1,1], I =∫ 1 dx, −1 x + 2
1
f ( x) =
1 , x+2
利用三点高斯公式，则
I = 0.5555556 × [ f (−0.7745967) + f (0.7745967)] + 0.8888889 × f (0) ≈ 1.098039
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第四章
数值积分与数值微分
3.直接验证柯特斯教材公式（2.4）具有5次代数精度。 •证明：柯特斯公式为
∫
b
a
b−a f ( x)dx = [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] 90
用n=2的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.5555556 × [ f (−0.7745967) + f (0.7745967)] + 0.8888889 × f (0) ≈ 10.9484
用n=3的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.3478548 × [ f (−0.8611363) + f (0.8611363)] +0.6521452 × [ f (−0.3399810) + f (0.3399810)] ≈ 10.95014
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8.用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10-5.
解：
0
k
1
T0( k )
14.2302495 11.1713699
T1( k )
T2( k )
T3( k )
T4( k )
T5( k )
10.1517434
2
10.4437969
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•(1)龙贝格方法； •(2)三点及五点高斯公式； •(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解：(1)采用龙贝格方法可得 k T0( k ) T (k )
1
0 1.333333
I ≈ 1.098613
T2( k )
0.5 −x
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h 4 ∫ e 0.125− x dx = 4 * [e 0.125 + 4e 0 + 2e −0.125 + 4e −0.25 + e −0.375 ] 0 6 1 = [1.1331 + 4 *1 + 2 * 0.8824 + 4 * 0.7788 + 0.6873] 6 1 = [1.1331 + 4 + 1.7658 + 3.1152 + 0.6873] = 1.7836 6 0. 5 h 2 ∫ e 0.25− x dx = 2 * [e 0.25 + 4e 0.125 + 2e 0 + 4e −0.125 + e −0.25 ] 0 6 1 = [1.2840 + 4 *1.1331 + 2 *1 + 4 * 0.8824 + 0.7788] 12 1 = [1.2840 + 4.5324 + 2 + 3.5296 + 0.7788] = 1.0104 12 0.5 h 4∫ e 0.375− x dx = 4 * [e 0.375 + 4e 0.25 + 2e 0.125 + 4e 0 + e −0.125 ] 0 6 1 = [1.4550 + 4 *1.2840 + 2 *1.1331 + 4 *1 + 0.8824] 6 1 = [1.4550 + 5.1360 + 2.2662 + 4 + 0.8824] = 2.2899 6
因此，将区间213等分时可以满足误差要求.
6 h 2 ≤ × 10−5 e
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采用复化辛普森公式时，余项为
∵ f ( x) = e x ,
∴ f (4) ( x) = e x , ∴ Rn ( f ) = − 1 4 (4) e h | f (η ) |≤ h4 2880 2880
h −0 e dx = [e + 4e −0.125 + 2e −0.25 + 4e −0.375 + e −0.5 ] ∫0 6 1 = [1 + 4 * 0.8824 + 2 * 0.7788 + 4 * 0.6873 + 0.6065] 24 1 = [1 + 3.5296 + 1.5576 + 2.7492 + 0.6065] = 0.3935 24
1 0
当对区间[0,1]进行等分 1 h= , n 故有
n≥ e ×10−5 = 212.85 6
又 故
∵ I = ∫ e x dx
f ( x) = e x , f ′′( x) = e x , a = 0, b = 1.
∴ Rn ( f ) = 1 2 e h f ′′(η ) ≤ h 2 12 12
因Biblioteka Baidu，该柯特斯公式具有5次代数精度。
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解：
辛普森公式为
S=
b−a a+b [ f (a ) + 4 f ( ) + f (b)] 6 2
−x 此时， a = 0, b = 1, f ( x) = e ,
从而有 误差为
1 − 1 S = (1 + 4e 2 + e −1 ) = 0.63233 6
10.2012725
10.2045744
3
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
4
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936
5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
10.2075922
R( f ) = − ≤
b − a b − a 4 (4) ( ) f (η ) 180 2
1 1 × 4 × e0 = 0.00035,η ∈ (0,1) 180 2
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解：采用复化梯形公式时，余项为
Rn ( f ) = − b−a 2 h f ′′(η ),η ∈ (a, b) 12
0.5
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∫
0.5
0
e
0 .5 − x
h 0.5 dx = [e + 4e 0.375 + 2e 0.25 + 4e 0.125 + e 0 ] 6