公务员考试容斥问题

题型1 三者容斥问题计算【例题精讲】甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】A.28次B.31次C.30次D.33次【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。

【答案】B 。

解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B 。

【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。

【习题精练】1.某公司针对A 、B 、C 三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B 岗位的人数等于只能胜任C 岗位人数的2倍，而只能胜任A 岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A 岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）【2013上海行测A 、B 】A.10人B.11人C.12人D.13人【答案】B 。

解析：设只胜任C 岗的有x 人，只胜任B 岗的有2x 人；能够兼职的有y 人，只能胜任A 岗的有y +1人。

则x +2x +y +(y +1)=35，整理得3x +2y =34。

只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A 岗，即只能胜任B 岗和C 岗的人数之和与只能胜任A 岗的人数相等，于是x +2x =y +1，把3x =y +1代入上一个方程解得y =11人。

题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值【例题精讲】1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。

题干总人数并未告诉可结合特值法直接利用公式求解。

【答案】C 。

解析：假设总人数为100，第一次有70人得到90分以上，同理，第二次是75，第三次是85，第四次是90，所以四次考试得90分以上的至少有70+75+85+90-300=20人，所占比例为20÷100=20%，答案选C 。

【总结】容斥的极值问题----求公共部分的最小值的解题方法是：min ()A B A B I =+- ；min ()2A B C A B I =+- ；min ()3A B C D A B I=+- （其中I 表示全集）。

依此类推可以得到多个集合公共部分的最小值。

【习题精练】1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？【2013浙江行测A 、B 】A.30%B.45%C.60%D.70%1.【答案】C 。

解析：至少有70%+75%-1=45%的人既喜欢打羽毛球又喜欢打乒乓球，所以占喜欢打乒乓球的学生的%75%45=60%。

【例题精讲】2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。

问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】Ａ．12人 Ｂ．14人 Ｃ．15人 Ｄ．16人【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。

从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。

【答案】Ｃ。

解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。

设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a 、b 、c ，则a ＋b ＝12、a ＋c ＝8、b ＋c ＝10，解得a ＝5、b ＝7、c ＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。

【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。

题型3 文氏图解决二者容斥问题【例题精讲】1．某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。

没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？Ａ．13 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．5（河北2011）【题干分析】由题干“其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之”出现两个集合以及两个集合的交集，可知是二者容斥问题。

容斥问题用画文氏图的方法即可解得。

【答案】D 。

解析：根据容斥原理，具有硕士学历或高级职称的有45＋30－12=63人，则既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有68－63=5人。

【总结】对于题干中出现把一个总体分成两个集合，研究两个集合间关系的问题，即是我们所说的二者容斥问题，利用画文氏图的方法，把题目当中的已知条件，展现在图形当中，更直观易解。

【习题精练】1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。

该班有多少人既不近视又不超重？A.22人B.24人C.26人D.28人（2013浙江行测A 、B ）【答案】A 。

解析：根据题意，该班近视与超重的有20+12-4=28人，则该班既不近视又不超重的人有50-28=22人。

2.某外语班30人中，8人学习英语、12人学习日语、3人两种都学，则既不学英语又不学日语的有几人？A.12B.13C.14D.15（2012新疆行测政法干警）【答案】Ｂ。

解析：根据容斥原理公式，可得所求为30－（8＋12－3）＝13人。

3.运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。

问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？（ ）A.46B.47C.53D.54（2012-北京）【答案】Ｃ。

解析：参加开幕式（3的倍数）有[100÷3]=33人，参加闭幕式（5的倍数）有[100÷5]=20人，既参加开幕式又参加闭幕式（既是3的倍数又是5的倍数）有[100÷3÷5]=6人，由容斥原理知，至少参加一项的有33＋20－6＝47人，则既不参加开幕式又不参加闭幕式的有100－47＝53人。

4. 某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。

那么英文和数学都不及格的有 人。

A. 4B. 5C. 13D. 17（2012上海行测A ）【答案】B 。

解析：英文不及格的有15人，则英文及格的有50-15=35人，数学不及格的有19人，则数学及格的有50-19=31人。

又英文和数学都及格的有21人，根据容斥原理公式，可得所求为50-（35+31-21）=5。

5.有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？Ａ.50 Ｂ.51 Ｃ.52 Ｄ.53（2013天津行测）【答案】Ｃ。

解析：由题意知，数学考试不及格的有70－56＝14人，语文考试不及格的有70－62＝8人，故至少有一门不及格的人数为14＋8－4＝18人，两门都及格的人数为70－18＝52人。

【例题精讲】2.一批游客中每人都去了A 、B 两个景点中至少一个。

只去了A 的游客和没去A 的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。

则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ）。

（2013-北京） A.32 B.43 C.54 D.65【题干分析】由题干“游客中每人都去了A 、B 两个景点中至少一个”，把游客分成去A 景点、B 景点两个集合，可判断为二者容斥问题。

“只去了A 的游客和没去A 的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍”，没有直接给出两个集合的数量，而是给出集合的倍数关系，结合文氏图解出两集合的数量关系即可解得。

【答案】B 。

解析：这批游客可分为3种人：一是只去了A ，二是只去了B ，三是既去了A 又去了B 。

没去A 的游客就是只去了B 的游客，所有游客就是只去了A 的游客和没去A 的游客，再加上两个景点都去了的游客。

故所求比重为3÷（3+1）=43。

【总结】对于二者容斥问题中没有直接给出集合的具体数值，利用已知集合间的数量关系，再结合文氏图，即可表示出集合每部分的数量，解得所求。

【习题精练】1.工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。

其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。

问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：A.20%B.30%C.40%D.50%（2014国考行测）【答案】D 。

解析：设工厂职工人数为单位1，则报名参加周末公益活动的人数为80%×1=0.8，未报名参加人数为1-0.8=0.2。

设周六报名参加人数为x ，则周日报名参加人数为2x ，且两天都报名参加人数为2x ×50%=x ，那么有x+2x-x=0.8，解得x=0.4，所求为0.2÷0.4=50%，应选择D 。

2.社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。

第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。

结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。

已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童。

问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？Ａ.30名／10名 Ｂ.18名／22名Ｃ.28名／12名 Ｄ.25名／15名（2012安徽行测）【答案】Ａ。

解析：依题意可知，两次全部参加的为老年女性，共12人，两次都没有参加的是儿童男性，共6人。

可设老年男性为ｘ，儿童女性人数为ｙ。

由40名会员可知，12＋ｘ＋6＋ｙ＝40，由老人与儿童的男女比例相同可知，yx 612 ，解得ｘ＝18（ｘ＝4舍去，因为老人数量多于儿童），ｙ＝4。

所以老人有12＋18＝30人，儿童有6＋4＝10人。