公务员考试容斥问题

题型1 三者容斥问题计算

【例题精讲】

甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】

A.28次

B.31次

C.30次

D.33次

【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。

【答案】B 。解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B 。

【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。

【习题精练】

1.某公司针对A 、B 、C 三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B 岗位的人数等于只能胜任C 岗位人数的2倍，而只能胜任A 岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A 岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）

【2013上海行测A 、B 】

A.10人

B.11人

C.12人

D.13人

【答案】B 。解析：设只胜任C 岗的有x 人，只胜任B 岗的有2x 人；能够兼职的有y 人，只能胜任A 岗的有y +1人。则x +2x +y +(y +1)=35，整理得3x +2y =34。只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A 岗，即只能胜任B 岗和C 岗的人数之和与只能胜任A 岗的人数相等，于是x +2x =y +1，把3x =y +1代入上一个方程解得y =11人。

题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值

【例题精讲】

1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）

Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％

【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。题干总人数并未告诉可结合特值法直接利用公式求解。

【答案】C 。解析：假设总人数为100，第一次有70人得到90分以上，同理，第二次是75，第三次是85，第四次是90，所以四次考试得90分以上的至少有70+75+85+90-300=20人，所占比例为20÷100=20%，答案选C 。

【总结】容斥的极值问题----求公共部分的最小值的解题方法是：

min ()A B A B I =+- ；min ()2A B C A B I =+- ；min ()3A B C D A B I

=+- （其中I 表示全集）。依此类推可以得到多个集合公共部分的最小值。

【习题精练】

1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生

中至少有百分之几喜欢打羽毛球？【2013浙江行测A 、B 】

A.30%

B.45%

C.60%

D.70%

1.【答案】C 。解析：至少有70%+75%-1=45%的人既喜欢打羽毛球又喜欢打乒乓球，所以占喜欢打乒乓球的学生的%

75%45=60%。 【例题精讲】

2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】

Ａ．12人 Ｂ．14人 Ｃ．15人 Ｄ．16人

【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。

【答案】Ｃ。解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a 、b 、c ，则a ＋b ＝12、a ＋c ＝8、b ＋c ＝10，解得a ＝5、b ＝7、c ＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。

【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。

题型3 文氏图解决二者容斥问题

【例题精讲】

1．某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？

Ａ．13 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．5

（河北2011）

【题干分析】由题干“其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之”出现两个集合以及两个集合的交集，可知是二者容斥问题。容斥问题用画文氏图的方法即可解得。

【答案】D 。解析：根据容斥原理，具有硕士学历或高级职称的有45＋30－12=63人，则既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有68－63=5人。

【总结】对于题干中出现把一个总体分成两个集合，研究两个集合间关系的问题，即是我们所说的二者容斥问题，利用画文氏图的方法，把题目当中的已知条件，展现在图形当中，更直观易解。

【习题精练】