函数定义域值域解析式教案
高一数学 函数的定义域和值域教案必修一
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学必修1函数的定义域和值域
教学目的
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。
（2）掌握两个函数是同一函数的条件。
（3）会求简单函数的定义域和值域。
过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探究客观世界中各种运动域数量间的互相依赖关系。
（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。
（3）培养批判思维才能、自我调控才能、交流与才能。
情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联络、制约的辩证唯物主意观点。
（2）学会全面的观察、分析、研究问题。
重点难点
重点：符号“y=f(x)〞的含义。
难点：符号“y=f(x)〞的含义。
教法学法：讨论研究
教学用具：多媒体教学过程
板书设计
教学反思。
函数的表示方法教案
函数的表示法一．教学目标了解函数的三种表示方法(解析法、图象法、列表法);知道三种表示法各自的优缺点;会根据不同的实际情境选择恰当的方法表示函数.二．教学重难点教学重点：函数的三种表示方法.教学难点：在实际情境中，函数表示方法的恰当选择.三．教学过程(一) 导入新课以提问的方式复习函数的概念, 来揭示函数概念的内涵(尽量让学生自己总结出来).只要有一个对应关系, 使得取值范围中的每一个值都有唯一确定的y 和它对应即可, 不用管这个对应关系是以何种形式给出.让学生阅读课本15至16页的三个引例, 学生很容易就可以发现其对应关系分别以解析式、图象、表格的形式. 与之对应, 函数常用的三种表示法为解析法、图象法、列表法.设计意图:帮助学生回忆出初中就已经接触过的函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.(二) 讲解新课设计思路:围绕课本15至16页的三个引例讲解函数的三种表示法, 以下内容均通过这三个例子进行讲解.1. 三种表示法的定义(了解即可)解析法:用数学表达式表示两个变量之间对应关系的方法.图象法:用图象表示两个变量之间对应关系的方法.列表法:列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法.2. 函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法(1)函数定义域的求法①当函数y =f (x ) 用解析式给出时, 函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合; ②当函数y =f (x ) 用图像给出时, 函数的定义域是指图像在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合;③当函数y =f (x ) 用表格给出时, 函数的定义域是指表格中实数x 的集合.(2)函数值域的求法①当函数y =f (x ) 用解析式给出时, 函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定; ②当函数y =f (x ) 用图像给出时, 函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;③当函数y =f (x ) 用表格给出时, 函数的值域是指表格中实数y 的集合.3. 函数三种表示法优缺点的对比(1)解析法的优点:一是简明, 全面地概括了变量间的关系; 二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.缺点:不够形象, 直观, 具体, 而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来.(2)图像法的优点:能形象直观地表示出函数的变化情况.缺点:只能近似地求出自变量的值所对应的函数值, 而且有时误差较大. (企业生产图、股市走势图等)(3)列表法的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.缺点:它只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系. (银行利率表、列车时刻表等)(四) 巩固练习课本练习小结1. 函数的三种表示法: 解析法、图象法、列表法.2. 函数用不同方法表示时定义域、值域的不同求法.3. 函数三种表示法优缺点的对比, 这也是选择函数表示法的标准.。
2.1函数的解析式及定义域与值域
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集.2、函数的三要素： 为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有 ， 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（ ）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（ ） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（ ） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。
函数及定义域、值域求法教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
函数的定义域与值域,单调性,奇偶性 教案
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法精讲3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x xfx x+++=，试求()f x。
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
函数概念教案
函数概念教案《函数的概念》教案篇一教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．正方形的边长为a，则正方形的周长为，面积为．2．问题．在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；问题1某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中，有哪几个变量？（2）这几个变量的范围分别是多少？问题2略．问题3略（详见23页）．2．函数：一般地，设a、b是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合a中的每一个元素x，在集合b中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的一个函数，通常记为＝f（x），x∈a．其中，所有输入值x组成的集合a叫做函数＝f（x）的定义域．（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；（2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在a、b两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f（x）＝2x，（x＝0）．3．函数＝f（x）的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合a到b的函数：（1）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；（2）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；（3）a＝{1，2，3，4，5}，b＝n，f：x→2x．练习：判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈r；（2）x→，这里2＝x，x∈n，∈r。
函数的定义域和值域教案
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
函数的定义域值域,解析式具体解法
函数定义域，值域，解析式教学目标：掌握不同函数定义域和值域的求解方法，并且能够熟练使用。
重点、难点：不同类型函数定义域，值域的求解方法。
考点及考试要求：函数的考纲要求教学内容：常见函数的定义域，值域，解析式的求解方法：记作D x x f y ∈=),(，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做定义域，和x 值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.定义域的解法：1.求函数的定义域时，一般要转化为解不等式或不等式组的问题，但应注意逻辑连结词的运用；2．求定义域时最常见的有：分母不为零，偶次根号下的被开方数大于等于零，零次幂底数不为零等。
3．定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示 值域的解法：1． 分析法，即由定义域和对应法则直接分析出值域 2． 配方法，对于二次三项式函数3． 判别式法，分式的分子与分母中有一个一元二次式，可采用判别式法，但因考虑二次项系数是否为零只有二次项系数不为零时，才能运用判别式4． 换元法，适合形如y ax b =+此外还可以用反函数法等求函数的值域，数形结合法，有界性法等求函数的值域 函数解析式的求法： 1． 换元法 2． 解方程组法 3． 待定系数法 4．特殊值法求函数的定义域一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是求函数的值域一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域.二、换元法：（1） 求函数y x =+三．部分分式法求21+-=x x y 的值域。
函数概念教案
函数概念教案函数概念教案1教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1，0，1，2，3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1，3]；（4）x∈(－1，2]；（5）x∈(－1，1)．例3 求下列函数的值域：①＝；②＝．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①＝2－x2；②＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质，函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5，8，9．函数概念教案2各位领导老师：大家好！今天我说课的内容是函数的近代定义也就是函数的第一课时内容。
函数定义域、值域与解析式
函数定义域、值域与解析式（一）知识梳理1、求函数解析式的常用方法 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f ；（4）若已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
2、函数的定义域方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
3、求值域的几种常用方法 方法总结：（1）直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）（2）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 （3）函数的单调性法：（4）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， （5）基本不等式法 ： 如对勾函数y=x+m x，（m>0），m<0就是单调函数了 （6）数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等（7）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域（8）换元法：通过等价转化换成常见函数模型（如二次函数），如y ax b cx d =+±+（a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
（9）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数3243x y x +=-的值域（10）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
函数定义域,值域,解析式教案
授课目的：认识函数三要素，并且掌握求函数三要素的方法。
具体内容:函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则分段函数：1、定义在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。
它是一类较特殊的函数。
2、分段函数问题例1、市内电话费是这样规定的：每打一次电话不超过3分钟话费为0.18元，超过3分钟而没有超过6分钟话费为0.36元；依次类推。
每次打电话x(0≤x ≤10 )分钟应付话费y 元，写出此函数的解析式并画出图像。
思路分析:由于是分段计费，因此所付话费y 必须用分段函数来表示。
解：依题意应付话费y 的解析式为 0.18(03)0.36(36)0.54(69)0.72(910)x x y x x ≤⎧⎪≤⎪=⎨≤⎪⎪≤⎩<<<< 期函数图像如右图所示 注：本题所列函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，需要用分段函数来表示。
应注意分段函数尽管在各段上的解析式不同，但分段函数是一个函数，而不是几个函数.例2、设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2008）的值。
解：∵2008＞2000，∴f （2008）=f ［f （2008－18）］=f ［f （1990）］=f (1990+13)=f (2003）= f ［f （2003－18）］=f(1985)=1985+13=1998。
练习、o x10 9 3 6 0.540.18 0.72 0.36 y 图3-2-2 [.3[2[1[∈∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩1、(改编题)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,当x -2.5,0)时，则函数的解析式为 - x -2.5,-2）答案: f(x)=- x -2,-1)- x -1,0)2、已知f (x)=⎩⎨⎧<+≥-)6)(2()6(5x x f x x 则f (3)= .. 答案23.设函数1122,0(),0x x f x x x --⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.（-1，1）B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ 答案：D三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差五、教师评定：1、 学生上次作业评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、 学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差。
函数的定义域和值域教案
龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段:教学课题函数的定义域和值域----导学案教学目标考点分析1.掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域.2.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．3.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.教学重点掌握基本初等函数定义域和值域的求法，会求一些简单函数的定义域和值域. 教学难点掌握求函数值域的常用方法的技巧，弄清函数的值域和函数最值的关系教学方法观察法、图象探究法、分析法、讲练结合法，启发式教学法教学过程：一、常见基本初等函数的定义域1．分式函数中分母．2．偶次根式函数被开方式.3．一次函数、二次函数的定义域均为.4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为.5．y＝log ax(a＞0且a≠1)的定义域为．6．y＝tan x的定义域为．7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．二、函数的值域1．在函数概念的三要素中，值域是由和所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为;当a＜0时，值域为;(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域为．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是．(7)y＝tan x的值域是.三、课堂基础练习1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}2．(2011·广东高考)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．函数y ＝1x 2＋2的值域为 ( ) A ．RB ．{y |y ≥12}C ．{y |y ≤12}D ．{y |0<y ≤12} 4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．四、走近高考[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝1 12log (2x ＋1)，则f (x )的定义域( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 若本例中的函数变为f (x )＝2x －1 12log (2x ＋1)，试求f (x )的定义域． [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．(1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋4x(x <0)；(3)f(x)＝x－1－2x.[例3](2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)五、高考模拟题1．(2011·台州一模)函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是()A．(0,2)B．(1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，1)2．(2012·烟台调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．3．(2012·青田质检)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是( )A．[－2,3] B．[－1,3]C．[－1,4] D．[－3,5]4．(2012·青岛模拟)函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)5．(2012·杭州模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是( )A．[－5，－1] B．[－2,0]C．[－6，－2] D．[1,3]6．(2012·宁波模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．7．(2012·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．8．(2012·合肥模拟)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．9.(2012·温州模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，－2)C．{－2} D．[－2,2]知识总结：1.函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．2.函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；3. 求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．课后作业：一、选择题1．(2012·潍坊模拟)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()3．(2012·茂名模拟)函数y＝x(x－1)－lg 1x的定义域为()A．{x|x>0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＜0} D．{x|0＜x≤1} 4．(2012·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝x2－2x＋1 B．y＝x＋2x＋1(x∈(0，＋∞))C．y＝1x2＋2x＋1(x∈N) D．y＝1|x＋1|5．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，2B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 二、填空题6．(2012·忻州模拟)函数y ＝log a (3x －2)(0<a <1)的定义域是________．7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．三、解答题8．求下列关于x 的函数的定义域和值域：(1)y ＝1－x －x ；(2)y ＝log 2(－x 2＋2x )；(3)x 0 1 2 3 4 5 y 2 3 4 5 6 79．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值．10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定： 1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。
2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典
§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。
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学 校： 年 级： 教学课题：
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
教学目标
函数的定义域，值域，解析式求法
教学内容
考点一：映射的概念 例1、下面能构成从集合A 到集合B 的映射的是
1 3 1 3 1 3
2 5 2 5
3 5
3 7 3 7
4 7
4 9 4 9
（1） （2） （3）
1 3 1 3
2 5 2 5
3 7 3 7
9 4
（4） （5）
考点二：集合与映射的关系
说明：原项的集合叫做原项集，项的集合叫做项集
例2、设A ，B 是两个非空集合，f :A →B 是从A 到B 的一个函数，函数的定义域与值域分别为M ，N 则下列说法正确的是 （ ）
A.N B M A ==，
B.N B M A ⊆=,
C.N B M A ⊆⊆,
D.N B M A ⊆⊆,
考点三、函数概念
例3、下列关系中，y 不是x 的函数的是 （ ）
A.x y 5=
B.2x y =
C.x y 42=
D.x y =
例4、下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A. 1,x y y x
== B. 211,1y x x y x =-+=-
C. 33,y x y x ==
D. 2||,()y x y x ==
变式训练：下列函数中，与函数x y =相同的函数是 （
A.x x y 2
= B.2)(x y = C.2x y = D.x e y ln =
考点四、函数解析式求解方法
下面向大家提供求函数解析式的三种常用方法：
（1）换元法：已知复合函数[])(x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式
例5、已知x x x f 64)12(2+=+，求)(x f
变式训练：已知x x x f 69)13(2+=+，求)(x f 得解析式
注意：使用换元法求函数解析式时要注意定义域的变换
（2）待定系数法：适用条件为已知函数的类型已知))((x g f 的解析式求)(x f 的解析式
例6、已知二次函数)(x f 满足0)0(=f ，82)()1(++=+x x f x f ，求)(x f 的解析式
变式训练：已知)(x f 是一次函数，且[]89)(+=x x f f ，求)(x f
（3）消去法：已知)()(x g x f +解析式求)(x f 解析式
例7、设函数)(x f 满足)0(,)1(2)(≠=+x x x
f x f ，求)(x f 的函数解析式。
变式训练：设函数)(x f 满足x x f x f 3)(2)(=-+，求函数)(x f 的解析式
（4）已知函数类型求函数)(x f 解析式
例8已知1)]}([{-=x x f f f ，求一次函数)(x f 解析式
（5）已知函数图像求)(x f 解析式
例6已知)(x f y =的图像如图所示，求)(x f 解析式。
（6）已知函数奇偶性及部分解析式，求)(x f 解析式
例7已知定义在R 上的偶函数)(x f ，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，求)(x f 解析式。
考点五、分段函数的应用
例8、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0,10,10,)(2x x
x x x x f
（1）画出函数的图象；（2）求[])1(),1(),1(--f f f f 的值
考点六、函数的定义域问题
（一）具体函数的定义域类型：
例9.求下列函数的定义域
①422--=x x y ②x
x x y -=0)1-( ③11)(3+-=x x x f
（二）抽象函数的定义域类型及求法：
1、已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域
其解法为：若)(x f 的定义域为b x a ≤≤，则[])(x g f 中b x g a ≤≤)(从中解得x 得取值范围即为[])(x g f 的定义域。
例10：已知函数)(x f 的定义域为[]5,1-，求)5(-x f 的定义域
2、已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
其解法为：若[])(x g f 的定义域为n x m ≤≤，则由n x m ≤≤确定)(x g 的值域即为)(x f 的定义域。
例11：已知函数)22(2+-x x f 定义域为[]30，
，求函数)(x f 的定义域
3、已知[])(x g f 的定义域，求[])(x h f 的定义域
其解法是：可先由[])(x g f 定义域求得)(x f 的定义域，再由)(x f 的定义域求得[])(x h f 的定义域。
例12：若函数)1(+x f 的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21-，求)(2x f 的定义域
变式训练：求下列函数的定义域：
.
)(lg ],1,0()12()3()(2
0)(cos )2()2(],2,1[)()1(2的定义域求函数的定义域为已知函数的定义域；），求函数，的定义域为（已知函数的定义域；
求函数的定义域为已知函数x f y x f y x f y x f y x f y x f y =+===-=-=π
考点六、函数的值域问题
函数值域的求法方法有好多,常见的方法有①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法
直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数等等,其值域可通过观察直接得到。
例13：求函数)2,1(,1∈=
x x y 的值域
凑配发
例14：求函数[]3,0,522∈+-=x x x y 的值域
:
例15：求函数251-+=
x x y 的值域
换元法
例16：求函数x x y 21--= 的值域
反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例17. 求函数6
x 54x 3++值域。
函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例18. 求函数1
e 1e y x x +-=的值域。
变式训练：求函数21x x y -⋅=的值域
倒数法
例19：求函数3
2++=
x x y 的值域
根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次的）都可通用 1若函数的定义域为实数域R ，则可直接应用0≥∆
例20：求函数1
212++-=
x x x y 的值域
2若函数的定义域不是实数域R ，但是分子与分母没有公因式（即不同时为0），直接应用0≥∆
例21：求函数6
12---=
x x x y 的值域
3若函数的定义域不是实数域R ，且分子与分母有公因式0x x +，则先约分，最后记得要补充0x x ≠ 例18：求函数2
12-+-=
x x x y 的值域
单调性法 例22：求函数[]6,2,112∈-+=x x
x y 的值域
数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例23. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。
变式（1）. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。
作业（三角函数部分暂时不做）
1. 函数
的定义域为 。
2.函数
的定义域是____
3.（湖南卷）函数f (x )＝的定义域 4 若函数
的定义域为，则的定义域为 。
5 若的定义域为，求的定义域．
6. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
7. 求函数3
x sin x cos y -=的值域。
8.求函数1x 1x y --+=的值域。
9求函数2)1x (12x y +-++=的值域。
10. 求函数2x 54x y -++=的值域。
11. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。
12. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。
13设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
14已知221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 15 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
16已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
17 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 18设)(x f 为偶函数，)(x
g 为奇函数，又,1
1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 19已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
20设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f
21在函数)1,1(log >>=x a x y a 的图象上有A 、B 、C
三点，它们的横坐标分别为m 、2+m 、4+m ，若 △ABC 的面积为S ，求函数)(m f S =的值域.。