高中数学新课标典型例题 两个基本原理

典型例题一

例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

分析与解：分析个位数字，可分以下几类．

个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；

与上同样：

个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

……

个位是2的只有1个．

由分类计数原理知，满足条件的两位数有

3682

8187654321=⨯+=+++++++（个）． 说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n 类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n 类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理．

典型例题七

例7 (1)若a 、b 是正整数且6≤+b a ，则以),(b a 为坐标的点共有多少个？

(2)若x 、y 是整数，且6≤x ，7≤y ，则以),(y x 为坐标的不同的点共有多少

个？

分析：两小题所处理的具体事情都可视为找满足条件的点的坐标，问题是点的坐标有多少个．

(1)因为a 、b 互相制约，可以把点的坐标按a 的取值进行分类，比如1=a ，b 可以取5,4,3,2,1共五个值，2=a ，b 可以取4,3,2,1共四个值，以此类推，然后再用分类计数原理解题．

(2)因为x 、y 的取值相互独立，可以把找点的坐标的过程分成找横坐标和纵坐标分别进行，然后用分步计数原理解题．

解：(1)按a 的取值分类：1=a 时，b 有5个值，2=a 时，b 有4个值，3=a 时，b 有3个值，4=a 时，b 有2个值，5=a 时，b 有1个值．

用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1512345=++++(个)．

(2)先确定x 的取值，共有13个值，再确定y 的取值，共有15个值，用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1951513=⨯(个)．

说明：本例中找点的坐标，也可换成确定一个两位数，如：个位、十位数字之和小于b

的二位数是多少个？

按个位的取值进行分类：个位取0，十位可取5个数，个位取1，十位可取4个数，以此类推，所有满足条件的两位数共有：1512345=++++(个)．

典型例题三

例3 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．

分析与解：男生38人，女生18人，

由分步计数原理共有6841838=⨯（种）

答：选取代表的方法有684种．

说明：本题是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n 个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对n 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．

典型例题九

例9 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件和磁盘至少各买2件，则不同的选购方法种数有多少种？

分析：由于该电脑用户买两种材料所用总钱数不超过500元，所以购买软件和磁盘的数量互相制约，我们可以按购买软件的个数进行分类，用分类计数原理解题．

解：购买单片软件、盒装磁盘各2件，需260元，用钱总数不超过500元，

所以最多还可使用240元，按额外购买的单片软件的数目分类：

购买4件，磁盘不再购买；

购买3件，磁盘不再购买；

购买2件，磁盘不再购买或买1件；

购买1件，磁盘不再购买或买1件，或买2件；

不购买，磁盘不再购买或买1件、2件、3件；

使用分类计数原理，不同的购买结果共有1143211=++++（种）．

典型例题二

例2 在由电键组A 与B 所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？

解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在

电键组A 中有2个电键，电键组B 中有3个电键，应用分类计

数原理，所以共有：

2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。

典型例题五

例5 在电键组A 、B 组成的串联电路中，如图，要接通

电源使灯发光的方法有几种？

解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：

2×3=6中不同的方法接通电源，使电灯发光。

典型例题八

例8 (1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？

(2)六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？

分析：(1)可以把报名过程分成六步，你可以充当一个体育班委的角色，先让第一个人报名，有3种不同方法，再让第二个人报名，仍然有3种不同的方法，以此类推，用分步计数原理解题．

(2)本题可视为通过比赛找出三个项目的冠军，仍然可以分为三步，第一步进行第一个项目的比赛，第二步进行第二个项目的比赛……用分步计数原理解题．

解：(1)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，

36=种．

以此类推，不同的报名结果共有：729

(2)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一项目的冠军，有6种结果，再决出第

63=种．

二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：216说明：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？

我们把三个项目记为a、b、c，这样每个人就有八种不同选择，分别为选a、选b、选c、选ab、选ac、选bc、选abc以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有

6

8种不同的投报结果．

典型例题六

例6同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）

A．6种B．9种C．11种D．23种

分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为A、B、C、D，他们的卡片依次记为a、b、c、d，如果第一步A抽取b，接着B可抽a、c、d，有三种方法，而A抽c或d，B仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就A抽的结果进行分类．解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B 可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此