常微分方程题库

常微分方程试题库

（一）、填空题（每空3分）

1、 当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。

2、形如________________的方程，称为齐次方程。

3、求),(y x f dx

dy =满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ϕ是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。

5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt

dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组

AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。

8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

9、设)(),(21x x ϕϕ是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。

11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt

dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt

dy ==ϕ的解ϕ存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。

14、方程04=+''y y 的基本解组是 ．

15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的

________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．

16、若)(t Φ是常系数线性方程组X t A dt

dX )(=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________

17、n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．

18、方程 称为黎卡提方程。

19、如果),(y x f 在R 上： ，则方程),(y x f dx

dy =存在唯一的解)(x y ϕ=定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中=h ，=M 。

20、若)(t x i =i (1，2，……，)n 是n 阶齐线性方程的n 个解，)(t W 为其伏朗斯基行列式，则)(t W 满足一阶线性方程 。

21、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。其积分因子为： ；有只含y 的积分因子的充要条件是 ，其积分因子为： 。

22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解）（x ϕ,则经过变换 ，可化为伯努利方程。

23、若dx d D =

，而n n n n a D a D a D D L ++++=--111)( ϕ（x ）、且0)(≠λL 时，则：x e D L λ)

(1= 。 24、若)(t ϕ是n 阶非齐线形方程的一个特解，)(t i ψ（n i ,,2,1 =）是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。

25、如果)(t A 是n ×n 矩阵，)(t F 是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上 时，方程组)()(t F X t A dt

dX +=满足初始条件η=)(0t X 的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。

26、若dx

d D =，而n n n n a D a D a D D L ++++=--111)( ，)(x f k 是关于x 的k 次多项式.则当0)0(≠=n a L 时, 有)()()()

(1x f D Q x f D L k k k =，其中)(D Q k 是D 的k 次多项式,它是将)(D L 按D 的升幂排列后用通常的多项式除法去除1,在第 步上得到的商式。

27、在用皮卡逐步逼近法求方程组)()(t F X t A dt

dX +=，η=)(0t X 的近似解时，则=)(t k ϕ 。

28、若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ． 29、线性齐次微分方程组Y x A dx dY )(=的一个基本解组的个数不能多于 个。

30、二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．

31、方程

y x x

y tan d d 2=的所有常数解是 ． 32、方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ． 33、 线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．

34、微分方程0)(22=+-+x y dx

dy dx dy n 的阶数是____________ 35、对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件.

36、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 。

37、若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应

的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= 线性方程组AX dt

dX =的一个基解矩阵。 38、设)(t Φ是方程组X t A dt

dX )(=的基本解矩阵，)(t ϕ为)()(t F X t A dt

dX +=的某一解，则它的任一解都可表为 。 39、方程 称为变量分离方程,它有积分因子 。

40、若)(t Φ是

X t A dt

dX )(=的基解矩阵，则向量函数 )(t ϕ= 是)()(t F X t A dt

dX +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= 是)()(t F X t A dt

dX +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。 41、方程2231)(ds

r d ds dr +=是 阶方程。 42、方程0==+x x x x

是 阶方程。 43、函数满足的一阶方程是 。