复数域和实数域 - 西安电子科技大学个人主页系统 我的西 …
1.4复数域、实数域、有理系数多项式
一、C上多项式 对于 F x 上的多项式 f x ，它在F上未必有根，
那么它在C上是否有根？ 定理1.4.1（代数基本定理）：
每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 一个根。
定理1.4.2： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。
解：2的因数是1, 2, 1的因数是 1,
1 故 f x 可能的有理根只能是 1, 2 1 对1, 用综合除法逐一检验知：
f x 的有理根只能是 1 2 。
2
第一章
多项式
x 2
k2
x r
kr
其中 1 , , r 是不同的复数， k1 ,
k
i 1
r
, kr 是自然数且
i
n.
多项式
第一章
二、实数域上的多项式 定理1.4.3 每个次数 1 的实系数多项式都可 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积。
第一章
多项式
有理系数多项式 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
第一章
多项式
推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多 项式。 推论2：任一个n（n>0）次多项式 f x 在 C x 上都能分解成一次因式的乘积，即
f x a0 a1x
an xn 的标准分解式是：
高等代数域的例子,复数域的构造
这方程在 R 中无解. 但实际上从 16 世纪开始就有数学家引入形如
a + b√−1 的数，其中 a, b 是实数，并且认为它也适合实数所适合
的运算规则.
这样所有负数的平方根可通过
√ −1
来表达，且能对
形如 a + b√−1 的数进行加减乘除四则运算.a + b√−1 这种形式的
数称为复数. 其后，人们证明了三次和四次复系数多项式（包括实
复数域的构造
命题 令 R 为实数域，C = {(a, b)|a, b ∈ R}. 令
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc),
则 C 对于上述加法和乘法成为一个域，称为复数域.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
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复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
复数域的性质
复数域 C 有下列性质：
(i) C 中子集 {(a, 0)|a ∈ R} 对于 C 的加法和乘法成为一个子域. 一个自然的对应 (a, 0) → a 建立了这个子 域与 R 之间的一个 域同构，我们干脆记它为 R，这即说明 C 包含实数域 R. R 自然是 R 上二维向量空间：任意 (c, 0) ∈ R，(c, 0) 对 (a, b) 的数量乘积就是它们在 C 中的乘积，(c, 0)(a, b) = (ca, cb). 于 是有 (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1). 干脆将 (a, 0), (b, 0) 写成 a, b， 则 (a, b) = a + b(0, 1).
第三节 实数域和复数域
第三节实数域和复数域1．实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米德序域．反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是即lima n＝a即R中任意数a都是有理数基本列的极限．若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．实数集R的若干性质．1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…．这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：实数b．这时规定B与b对应．建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．3°实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第a n(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．4° R不是可数集这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0．a11a12a13…a2＝0．a21a22a23………a n=0．a n1a n2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．*2．实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公理对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．3．复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素叫做复数．如果复数域C存在，则C具有形式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0中其余元素组成．作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1°复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理复系数n次方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C中有n个根．只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．2°复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．第四节代数数、超越数和作图不能问题1．代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次为它们满足一次方程qx-p=0．代数数，而是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfond(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，u n是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．*2．π和e这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lambert(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即b n不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．e不是二次代数数即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！S n为整数，故也应为整数．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．3．几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1°所有正整数n(长度为n的线段)；3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何作图问题，我们先证明定理Q上三次方程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．证设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a=a′因此，方程(5)有根x1或x2，即由此定理得推论如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．4．“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．研究与思考题1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？7．“复数不能规定大小”的含义是什么？8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？。
信号与系统(第四版)第四章课后答案
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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1
t
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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0
2
4
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
信号与系统教案第4章FT的性质
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量；
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；
A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
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信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
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a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
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可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
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T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算不便，因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 欧拉公式：cosx=(ejx + e–jx)/2
有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记
有限维线性空间上子空间并的性质的一个注记孙丽雪;李永彬;林晨【摘要】对于特征为零的域上的有限维线性空间的子空间的并,我们知道下述性质:有限个互不包含的非平凡子空间的并不是原来的线性空间.一方面,本文通过介绍有限维线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系,及商空间的维数公式,给出了上述性质的一个改进证明.另一方面,本文把仿射簇的概念和子空间联系起来,并根据仿射簇的一个简单性质,给出了上述性质的另一个更为简洁的证法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)004【总页数】4页(P29-32)【关键词】子空间;商空间;维数公式;子空间的并;特征;仿射簇【作者】孙丽雪;李永彬;林晨【作者单位】电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731;电子科技大学数学科学学院,四川成都611731【正文语种】中文【中图分类】O1431 引言高等代数中介绍了线性子空间的交与和，对于线性子空间的并，多数教材中并未详细讨论.本文主要讨论了特征为零的域上的有限维线性空间中有限个非平凡子空间的并这个问题，并试图用更本质的方法证明：特征为零的域上的有限维线性空间中互不包含的非平凡子空间的并不能构成线性子空间.文献[1]中给出了一个相当巧妙的证明，本文一方面结合商空间的维数公式给出一个改进证法，另一方面结合代数几何中仿射代数簇的一个简单性质给出了另一个更为简洁的证法.首先，对于线性空间的子空间，在各版教材(文献[1],[2],[3])习题中有下述结论，设Fn是数域F上的全体n维向量构成的线性空间，则Fn的任一子空间V1必至少是一个n元齐次线性方程组的解子空间.而商空间是我们不太熟悉的一个概念，在文献[2]中详细介绍了这个概念及商空间的维数公式.从上述线性空间中任一子空间与齐次线性方程组解子空间的关系，及商空间的维数公式，文中讨论了特征为零的域上的有限维空间上有限个子空间的并集是否是子空间这一问题，并且给出否定回答，从而这个并集不是原来的线性空间.其次，由线性子空间与仿射簇概念的相似性，引出仿射簇的定义.从而考虑仿射簇的并，不同的是仿射簇虽与子空间定义类似，但仿射簇的定义方程不要求是线性的，从而仿射簇的并与子空间的并的性质也不相同，由此可以更好地理解子空间与仿射簇的区别.最后，由每个线性子空间可以找到一个包含它的仿射簇，从仿射簇的角度，同样得出，该并集不是原来的线性空间.2 特征为零的域上的有限维线性空间V上子空间的并集在线性空间这一章中，有下述结论：定理1 设W1,W2,…,Ws(s>1)是特征为零的域F上的n维线性空间V的s个互不包含的非平凡子空间，那么这s个非平凡子空间的并不等于整个空间V，即V≠为证明上述定理，通常证明V中至少有一个向量不属于W1,W2,…,Ws中任何一个，并用数学归纳法来证.即先证明s=2时定理成立，然后设s=k时成立，证明s=k+1时定理也成立即可，详见[2].注意上述定理要求n维线性空间V所在域的特征为零，这个条件是不可缺少的.因为对于特征不为零的域上的线性空间，如中，上述定理的结论是不成立的，即不等式要改为等式，详见[4].文献[1]给出了定理1的一个相当巧妙的证明，在原证法的基础上，我们将给出一种改进的证法.下面首先介绍域的特征的概念.定义1 设F为域，如果存在最小的正整数n，使得对所有的a∈F，有na=0，则称n为域F的特征.如果这样的正整数不存在，则称域F的特征为零.通常熟悉的复数域、实数域、有理数域都是特征为零的域.而上文提到的Z2就是特征不为零的域，Z2的特征是2，是域Z2上的3维线性空间.又如Z2上所有3阶方阵的全体M3(Z2)是域Z2上的9维线性空间；系数在Z2上的所有多项式的全体Z2[x]是域Z2上的无穷维向量空间.注意，特征为零的域一定是无限域.因为有限域可以看作关于加法运算构成了一个群，所以这个群的阶数就是有限的，从而一定存在最小的正整数n，使得对于域中所有的元素a，都有na=0.再来介绍商空间的一些知识.设V是域F上的线性空间，W是V的子空间，可以把V中的向量这样分类：α和β属于同一类当且仅当α-β∈W.显然，与α同类的向量全体为α+W=α+w w∈W，这称为模W的一个同余类，α称为此类的代表元.此类中的任一元素β都可以作为代表元，即若有β∈α+W，则β.于是V中的向量被划分为许多个同余类.同余类的全体记为V/对于α1,α2∈V,c∈F，在V/W中定义加法和数乘如下：，或(α1+W)+(α2+W)=(α1+α2)+W；或c(α+W)=cα+W.定义2[2] 设W是域F上线性空间V的子空间，V/W是V对模W的同余类全体，则V/W是域F上的线性空间，称为商空间.引理1[2] 商空间的维数公式：dimV/W=dimV-dimW以下在[1]中证法的基础上，借助引理1，我们给出定理1的一个替代的证明.证法一用反证法.假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，且不妨设W⊂Fn.由于任一线性空间的子空间都是一个齐次线性方程组的解子空间，对每个i(i=1,2,…,s)，不妨设Wi均为n-1维子空间(不然将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性方程分别为ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.由这些方程导出关于未定元T的多项式fi(T)=ai1+ai2T+ai3T2+…+ainTn-1，i=1,2,…,s.对每一个i，fi(T)最多有n-1个根，故这些多项式最多有s(n-1)个根.而F中有无限多个元素，因此存在t∈F，使得fi(t)≠0，即ai1+ai2t+ai3t2+…+aintn-1≠0，i=1,2,…,s.设βj=(1,tj,,…,T，j=0,1,2,…,n-1，其中tj(j=0,1,2,…,n-1)满足 0于是，由…≠0可知βj(j=0,1,2,…,n-1)不是以W1为解子空间的齐次线性方程组的解，即βj∉W1.同理，由…≠0(其中i=2,…,s)得βj∉W2,…,βj∉Wn.因此βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以βj(j=0,1,2,…,n-1)为列向量构成行列式，于是得到范德蒙行列式.由于tj互不相同，故D≠0，从而(1,tj,,…,T,j=0,1,2,…,n-1线性无关.于是(1,tj,,…,T+W,j=0,1,2,…,n-1也是线性无关的.由此得到商空间V/W的一组基(1,tj,,…,T+W，j=0,1,2,…,n-1，且商空间V/W的维数是n.由商空间的维数公式dimV/W=dimV-dimW，有n=n-dimW，从而dimW=0，即W为零空间.由已知条件W1,W2,…,Ws都是非平凡子空间，且W=W1∪W2∪…∪Ws，这与W是零空间矛盾.所以，假设不成立，即W1∪W2∪…∪Ws不能构成子空间.注该以上证法与[1]中给出的证法没有太大的差异，但能较好的理解定理1的结论.下节给出一种更为简洁和本质的证法.3 另一种证法由线性子空间与仿射簇二者概念的相似性，引入下面仿射簇的概念，详见文献[5]. 定义3[5] 设F是一个域，f1,f2,…,fs是Fx1,x2,…,xn中的多项式.令集合V(f1,f2,…,fs)=(a1,a2,…,an)∈Fn对所有的1≤i≤s都有fi(a1,a2,…,an)=0，则称V(f1,f2,…,fs)是由f1,f2,…,fs定义的仿射簇.由定义可知，V(f1,f2,…,fs)是使得所有f1,f2,…,fs等于零的点的集合.线性空间的任一子空间对应一个n元齐次线性方程组的解子空间，而在仿射簇的定义中没有要求它的定义方程是线性的，因而子空间可以看作是特殊的仿射簇，仿射簇是子空间的推广.那么对应子空间的并，仿射簇的并还是仿射簇吗？下面定理2讲述了这个问题.定理2 如果V,W⊂Fn是仿射簇，证明V∪W也是仿射簇.证假设V=V(f1,f2,…,fk)，W=V(g1,g2,…,gl)，其中k和l为正整数.则有V∪W=V(fpgq:1≤p≤k,1≤q≤l).一方面，如果(a1,a2,…,an)∈V，那么所有的fp在这一点为0，也就蕴含着所有的fpgq在(a1,a2,…,an)点也等于0.因此V⊂V(fpgq).类似地，有W⊂V(fpgq).这就证明了V∪W⊂V(fpgq).另一方面，取(a1,a2,…,an)∈V(fpgq)，如果该点在V中，那么就完成了证明.如果该点不在V中，那么对某个p0，有fp0(a1,a2,…,an)≠0.又因为fp0gq对所有的q，在(a1,a2,…,an)点都等于0，那么gq一定在这个点为0，这就证明了(a1,a2,…,an)∈W.于是得到V(fpgq)⊂V∪W.综上有V∪W=V(fpgq).因此V∪W也是仿射簇.从定理2的证明过程可见下述推论1显然成立.推论1 设f,g∈Fx1,x2,…,xn，则有V(f)∪V(g)=V(fg).定理2蕴含着有限个仿射簇的并集还是仿射簇，只需将这有限个仿射簇的定义方程写出来即可证明.从定理2可以看到子空间的并不同于仿射簇的并，二者既有联系又有区别.以下从仿射簇的角度证明定理1.定理1证法二与第一种证法类似，对每个i，不妨设Wi均为n-1维子空间(不然将Wi扩大即可)，设以Wi为解子空间的线性方程分别为ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.对于每个i，ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0表示一个超平面.令fi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn，则fi=0(即该超平面的定义方程)在几何上表示由多项式fi定义的仿射簇Vi.由于对于每个子空间，存在一个包含它的超平面，从而对于每个子空间Wi，存在一个包含它的仿射簇Vi，其中i取值均为1,2,…,s.因此，由推论1易知⊂V(g),其中显然g为s次齐次多项式，现设h=g(1,t,…,tn-1)∈F[t]，则有h(t)在F上最多有有限个根. 而F中有无限多个元素，因此存在tj∈F(j=0,1,2,…,n-1)，使得h(tj)≠0.设βj=(1,tj,,…,T，j=0,1,2,…,n-1，则βj∉V(g)(j=0,1,2,…,n-1)，因而βj∉V1∪V2∪…∪Vs，从而βj∉W1∪W2∪…∪Ws，j=0,1,2,…,n-1.以下证明过程同证法一，假设W=W1∪W2∪…∪Ws构成子空间，采用反证法可得到相同的结论.[参考文献]【相关文献】[1] 张贤科,许甫华.高等代数学 [M]. 2版.北京:清华大学出版社，2004.[2] 丘维声.高等代数学习指导书(上、下册)[M].北京:清华大学出版社，2009.[3] 黄廷祝,何军华,李永彬.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2012.[4] 韩士安,林磊.近世代数 [M]. 2版.北京:科学出版社，2009.[5] David Cox,John Little,Donal o’shea.Ideal Vari eties,and Algorithms [M]. 2nd. Ed. New York: Springer，2006.。
实数域与复数域在几何中的应用
在几何学中，实数域和复数域是两个重要的数学概念。
实数是指包括有理数和无理数的数集，而复数是指由实数和虚数相加而成的数集。
实数和复数在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和描述几何形状和变换。
首先，实数域在几何中的应用可以帮助我们确定一条直线或曲线的方程。
以直线为例，如果我们知道直线上的两个点的坐标，那么我们可以通过求斜率和选择其中一个点作为起点来确定直线的方程。
方程的形式可以是一般式、点斜式或截距式，而实数域可以帮助我们解决这些方程并得出直线的准确位置。
其次，复数域在几何中的应用主要体现在平面几何中的复平面上。
复平面是由实部和虚部组成的平面，可以将复数表示为一个有序对(x, y)，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
复数域的应用使得我们能够更方便地描述和分析二维空间中的点和形状。
例如，利用极坐标系可以将复平面的点表示为极坐标(r, θ)，其中r是极径，θ是极角。
这种坐标系可以让我们更容易地理解和展示复数的模和幅角。
复数的模表示复数到原点的距离，而幅角表示复数与复平面的实轴之间的夹角。
通过极坐标系，我们可以更好地理解和运用复数在几何学中的运算和变换。
此外，复数域也可以用于表示和分析几何中的旋转和变换。
以平面上的旋转为例，我们可以将旋转的中心点表示为一个复数，并以旋转的角度表示。
利用复数的旋转公式，我们可以很容易地计算出一个点经过旋转后的新位置。
这种方法在计算机图形学和工程应用中有着广泛的应用。
最后，实数和复数域还在几何学的几何体积计算中发挥着重要的作用。
例如，在计算三角形、矩形、圆形等几何形状的面积时，我们需要用到实数域的数值计算方法。
而在计算复杂的几何体积，如球体、圆柱体等，我们需要借助复数的数学性质和计算方法。
实数和复数域为我们提供了一种更准确和有效的方式来处理几何学中的数据和问题。
综上所述，实数域与复数域在几何学中扮演着重要的角色。
实数域可以帮助我们确定直线或曲线的方程，而复数域可以在复平面上描述和分析二维空间中的点和形状。
有理数域实数域
全体有理数：对加法构成群；对乘法构成群（除0元素）
模m的全体剩余类
：对模m加法构成
群；对模m乘法，除0,01外, ，,根m据1m值不同有不同的结论。
如m=4时，剩余类 中的元素的逆元不存在。如对模
m=3乘法，除0外，剩余2类全体构成群。
11
群实例
设G={1, -1, i, -i}, ×为数的乘法，则(G, ×)是一 个交换群。
1）任给a∈P, a≤ a（反身性）；
2）任给a, b∈P, a≤b并且b≤a则a=b （反对称性）；
3）任给a, b, c∈P, a≤b并且b≤c则a ≤ c （传递性）。
则称≤是P的一个偏序关系，具有偏序关系≤的集合P，
称为偏序集，记为（P, ≤ ）。
例：设P={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}, 如果偏序关系≤为整 除关系，那么(P, ≤)的偏序集合如下图
3
同余和剩余类
同余
若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的余数，则称
a、b关于模m同余，记为 a b(mod m)
若 a1 b1(mod m), a2 b2 (mod m), 则
a1 a2 b1 b2 (mod m), a1 a2 b1 b2 (mod m)
9
群的定义
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运 算 “ 。”，若满足： 1) 封闭性。对任意 a, b G，恒有 a bG
2) 结合律。对任意a, b, c G，恒有a b c a b c
3) G中存在一恒等元e,对任意 aG，使 a e e a a 4) 对任意 aG，存在a的逆元 a 1 G，使
27复数域和实数域上的多项式
定理2.14说明，实系数多项式的虚根（非 实复数根）成对.
例2.13 已知i ( i 2 =-1)是 f ( x) x6 3 x2 2 的一个二重根，求f ( x )在 中的全部根.
定理2.15： 上的不可约多项式只有一次多 项式和含有一对非实共轭复数根的二次多项式.
推论2.15 每个次数大于零的实系数多项式 都可唯一地分解成实系数的一次或二次不可约 因式的乘积.
利用根与系数的关系可以构造一个n次多项式使其恰以事先给定的n个数例212使它以5和2为单根以3为二重根
2.7.1 复数域C上的多项式
对于 一般的数域F上的多项式 f x ，它在F中 未必有根. 那么，它在复数域（这个最大的数域上）
是否有根？ 定理2.13（代数基本定理） 每个次数… 大于零的 复系数多项式在复数域内至少有一个根. 推论2.13.1 每个n（n>0）次复系数多项式在 复数域内恰有n个根（k重根按k个计）.
xn c1
xn1
cn .
1i j n
ci c j xn2
比较系数， 得到根与系数的关系为：
a2 c1c2 c1c3
a1 c1 c2
cn ,
cn1cn ,
cn2cn1cn ,
并且l1 ls 2k1 2kr n.
, r).
注：四次及四次以下的方程可用根号解（公 式解），五次和五次以上的方程不能用根号解.
, cn 为根.
例 2.12 求一个最高次项系数为1的4次多项式， 使它以5和-2为单根，以3为二重根.
2.7.2
定理2.14
实数域R上的多项式
设f ( x ) [ x ], 是一个非实复数.
域定义与性质-文档资料
二、域的同构 定义 5 如果在域 F 和 K 之间可以建立一个同态双射， 那么那么我们说 F 和 K 同构。 定理 6 设 F1 和 F2 是域，：F1→F2 是一个同构，那么 把 F1 的 0 映射到 F2 的 0，把 F1 的 1 映射到 F2 的 1，而且(-a)=-(a)；（a1）=(a)1. 证明：课堂练习。 定理 7 设 F1 和 F2 是域，：F1→F2 是一个同构，那么这两个域的特征一样。 证明：如果 F1 特征为 0，对任意正整数 m， m 1 不为 0。那么由定理 6，( m 1) 也不为 0。也就是说，对任意正整数 m，m ( 1) 不为 0。于是 F2 特征为 0。 如果 F1 特征为 p，那么 p 1=0。由定理 6，( p 1) = p ( 1)=0。所以 F2 特征不为 0， 且是一个整除 p 的素数。于是 F2 特征为 p。
定理 1 设 R 是无零因子环，|R|﹥1，则 （1） 、 R 中所有非零元素对加法的阶相同； （2） 、 若 R 的特征有限，则必为素数。 证 1）若 R 中所有非零元素的阶为零，则证毕。否则，存在非零元素 a 的阶为 n，则在 R 中任取 b ≠ 0，有 a（nb） =（n a）b = 0. 因为 R 是无零因子环，所以 nb = 0。即|b|是 n 的因子。 不妨设|b|=m，于是（m a）b= a（mb） = 0. 即 n|m。综上|b|=n。 2）如果 R 的特征 n=s t，s，t﹥1。 那么 sa，ta ≠ 0，然而（sa） （ta）=na2=0，与 R 是无零因子环矛盾。 注意：域是无零因子环（域的特征只能为 0 或素数） 。
e3 F \ F2 ，令 F2 {a1 a2 e2 a3e3 : a1 , a2 , a3 F1} ，类似我们可证明 F3 中的恰好有 q 3 个元素。依次类推，假如 F 就是一个包含 N 个元素的有限 n n 1 域，而且 q N q 。我们就得到了一个序列 Fi {a1 a2 e2 ... ai ei : a1 ,...,ai F1}, 1 i n 。
复数域的概念和概念
复数域的概念和概念复数域，又称复数数域，是数学中的一个非常重要的概念。
复数域是由实数域扩充而得到的，它包含了实数域中不存在的一种元素，这个元素通常被称为虚数单位i（或j）。
复数域可以表示形如a+bi的数，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数的概念最早可以追溯到16世纪。
当时，人们在求解方程时发现，有时方程没有实数解，但可以用虚数来表示方程的解。
这就引起了人们对虚数的探索和研究。
随着研究的深入，人们发现复数的运算规则和性质与实数非常相似，因此复数域的概念逐渐形成。
复数域的一个重要性质是它是一个域，也就是说它满足了域的九大公理。
其中，加法构成一个交换群，乘法满足结合律和分配律，同时存在加法单位元0和乘法单位元1，对于每个非零元素a，存在加法逆元-b和乘法逆元1/a。
复数的加法和乘法规则可以通过对实部和虚部的分别相加和相乘来定义。
例如，对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和z1+z2=(a+c)+(b+d)i，乘积z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
通过这种方式，可以将复数的加法和乘法推广到任意两个复数的运算。
复数域中还有一些重要的概念，如共轭复数和复数的模。
对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数是z* = a-bi，即实部不变，虚部取相反数。
复数的模定义为z =sqrt(a^2 + b^2)，它表示复数到原点的距离。
通过共轭复数和复数的模，可以定义复数的除法和求倒数的运算。
例如，对于一个非零复数z=a+bi，它的倒数表示为1/z = (a-bi)/(a^2+b^2)，即将z除以它的模的平方，并取其中的共轭。
这样定义的除法保证了复数域中的除法是良定义的，而不会引起除零错误。
复数域的应用非常广泛，几乎涉及到数学的方方面面。
在代数学中，复数域是一个重要的研究对象，如复数域上的多项式理论、代数方程的解析解和代数结构的研究。
在分析学和函数论中，复数域是一种方便和强大的工具，如复数域上的函数、复变函数、傅里叶变换等。
从复数域的发展过程,谈谈您对数和数学的认识(论文).
从复数域的发展过程，谈谈您对数和数学的认识摘要:域是数学上的一个概念，简单的说就是数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为零）四则运算封闭，复数域是由全体复数组成，是特殊的实数域，也是目前发现的最大的一个数域，在数学方面有着很广泛的应用。
本论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学。
关键字：复数域扩充应用Abstract: domain is a concept of mathematics, It a collection of several in brief, this collection of addition, subtraction, multiplication, and division (the denominator is not zero) arithmetic closed, complex domain is composed of all the complex, is a special real domain, also is currently the largest discovery of a number field, has a wide application in mathematics. This thesis mainly from the complex arithmetic, triangle on the complex plane form, the application in modern algebra, complex domain expansion and in other areas of application in five aspects to know Numbers and math.Key word: complex Domain expansion application目录摘要 (1)引言 (3)1.复数的发展过程 (3)2.复数域内复数的四则运算 (4)2.1复数的加法运算 (4)2.2复数的减法 (4)2.3复数的乘法 (4)2.4复数的除法 (4)3.复数域内复数在复平面的三角形式 (5)3.1复平面 (5)3.2复数在平面内的表示 (5)3.3复数的三角形式 (5)3.3.1复数的三角形式 (5)3.3.2 非零复数z 辐角θ的多值性 (6)3.3.3 辐角主值 (6)3.3.4复数三角形式)sin (cos θθi r z +=的特点 (6)3.4复数的向量表示 (7)3.5极坐标形式 (9)3.6复数的指数形式 (10)4.复数域内复数在近世代数中的应用 (11)5.关于复数的扩充 (11)6.复数域在其他领域的应用 (15)6.1拉普拉斯变换 (15)6.2根轨迹法 (16)6.3希尔伯特空间 (17)总结 (18)参考文献 (20)引言正如大家所知道的，全体自然数、全体整数不够成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域，全体复数构成复数域。
有向符号网络的边能控性研究
第40卷第1期2023年1月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.40No.1Jan.2023有向符号网络的边能控性研究任世超,关永强†,谌煜(西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安710071)摘要:符号网络是一类具有正负符号特征的网络.在多智能体系统中,符号网络能够描述智能体之间的合作与对抗交互关系,因此受到学者的广泛关注.本文主要研究有向符号网络的边能控性.首先,对具有符号网络的多智能体系统边动力学进行建模,得到边能控性模型.其次,从网络拓扑结构角度对边能控子空间进行定量刻画,利用有向符号网络的距离和等价划分得到能控子空间的上下界估计.进一步,讨论了符号网络边能控性与顶点能控性的关系.所得结果表明:当顶点符号图为结构非平衡时,符号网络的边能控性与顶点能控性等价.最后,通过仿真结果验证所得理论的有效性.关键词:多智能体系统;边能控性;有向符号图;图划分;关联矩阵引用格式:任世超,关永强,谌煜.有向符号网络的边能控性研究.控制理论与应用,2023,40(1):74–82DOI:10.7641/CTA.2021.10391Edge controllability of directed signed networksREN Shi-chao,GUAN Yong-qiang†,SHEN Yu(School of Mechano-electronic Engineering,Xidian University,Xi’an Shaanxi710071,China)Abstract:Signed network is a type of network with positive and negative signed characteristics.In multi-agent systems, the signed network can describe the cooperative and antagonistic interaction between agents,so it has received extensive attention from scholars.This paper mainly studies the edge controllability of directed signed networks.Firstly,the edge dynamics of the multi-agent systems with the signed network is modeled,and the edge controllability model is proposed. Secondly,the edge controllability subspace is quantitatively described from the perspective of the network topology,the upper and lower bounds of the edge controllable subspace are estimated by using the distance partition and equitable par-tition of the directed signed network,respectively.Furthermore,the relationship between edge controllability and vertex controllability of the signed network is discussed.The results show that when the vertex signed graph is structurally unbal-anced,the edge controllability and the vertex controllability of signed network are equivalent.Finally,simulation results are given to verify the effectiveness of the theoretical analysis.Key words:multi-agent system;edge controllability;signed directed graph;graph partition;incidence matrixCitation:REN Shichao,GUAN Yongqiang,SHEN Yu.Edge controllability of directed signed networks.Control Theory &Applications,2023,40(1):74–821引言近年来,随着计算机、通信、传感、机器人等技术的高速发展,多智能体系统分布式协调控制受到诸多领域学者的广泛关注[1–7],相关研究成果已应用到智能电网优化[8]、卫星簇网姿态控制[9]、水下航行器控制[10]等工程实践中.能控性的概念最早是由Kalman 于19世纪60年代提出的[11].能控性是指在有限时间内,通过外界控制输入使得系统从任意初始状态到达任意的最终状态.实质上能控性描述的是外界控制输入对系统状态的控制能力.进一步,多智能体系统能控性是由Tanner于2004年首次提出[1].多智能体系统能控性是指通过对多智能体系统内的部分智能体(通常称为领导者(leader))施加外部控制输入,通过智能体之间的交互使得其他智能体(通常称为跟随者(follower))从任意初始状态达到任意最终状态.能控性是多智能体系统分布式协调控制中的一个基本而又重要的问题,其研究为脑网络控制[12]、机器人编队控制[13]、网络信息处理[14]等提供了理论指导.由此,收稿日期:2021−05−10;录用日期:2021−09−24.†通信作者.E-mail:***************;Tel.:+86137****5926.本文责任编委:左志强.国家自然科学基金项目(62073253,62036002).Supported by the National Natural Science Foundation of China(62073253,62036002).第1期任世超等:有向符号网络的边能控性研究75越来越多的研究学者开始关注多智能体系统能控性问题.文献[1,5,7]针对不同的多智能体系统,通过分析系统矩阵的特征值与特征向量得到能控的代数判据.需要指出,代数判据并不直观,且计算复杂度较大,实际应用并不方便.为此,部分学者采用图论工具研究多智能体系统网络拓扑结构与能控性之间的关系,从而获得能控性的图论判据.文献[15–16]基于距离划分研究了多智能体系统能控子空间的下界;文献[16–18]基于等价划分、几乎等价划分研究能控子空间的上界.值得注意的是,以上研究都是针对无符号网络,即,多智能体之间均是合作交互.然而,在现实世界中,对抗交互是普遍存在的,如社交网络中的竞争关系[19]、信息领域中用户对某些信息的不信任态度[20]、生物领域中神经元之间的抑制关系[21].因此,许多学者对符号网络下的多智能体系统分布式协调控制进行了深入研究[22–25].文献[22]研究了符号网络下多智能体系统的二分一致性问题,即在结构平衡图下达成一致的智能体收敛到一个绝对值相同的非零共同值;文献[23]通过分析有向符号图的拉普拉斯矩阵,得到结论:如果有向符号图包含生成树,则所有智能体达到区间二部一致性;文献[24]基于广义几乎等价划分得到对抗交互下多智能体系统能控子空间的上界,进一步给出了求解能控子空间上界的算法;文献[25]研究了具有有向加权符号网络的多智能体系统的能控性,结果表明:结构平衡网络的能控性与无符号网络的能控性等价.上述研究均是针对具有顶点动力学的多智能体系统,即网络中的每个顶点具有一个动力学方程.然而,以边动力学为研究对象的多智能体系统同样具有十分重要的研究意义[26–30].例如,在研究城市交通流量控制问题中,以每一条道路(交通网络中的边)的流量动态建立的交通流量控制模型比基于每个交通路口(交通网络中的顶点)的流量动态建立的模型更加符合实际[26];在研究社交网络团队协作效率问题中,以每对成员之间的沟通频率(社交网络中的边)建立的团队协作模型比基于团队中成员(社交网络中的顶点)的团队协作模型更加符合实际[27].文献[28]刻画了具有合作和对抗相互作用的符号网络的边动力学,并解决了由此产生的边系统的状态收敛问题,进一步作者证明了对于一个符号网络,无论其关联的符号有向图是结构平衡的还是结构非平衡的,其边系统的状态都收敛到一个常数向量;文献[29]基于网络的边动态研究了无向图的非负边一致性问题,并构造了相应的分布式算法.文献[30]基于SBD(switchboard dynamics)模型研究了具有边动力学的有向复杂网络的结构能控性.截至目前,有向符号网络下具有边动力学的多智能体系统能控性尚未有学者研究.本文研究具有有向符号网络的多智能体系统边能控性问题.首先,在符号网络下建立具有边动力学的能控性模型,并通过分析边拉普拉斯矩阵得到边能控性的基本性质;其次,定量刻画边系统能控子空间的大小,特别地,基于距离划分得到能控子空间的下界,基于等价划分得到能控子空间的上界,并且所得的上下界具有紧性(tight);最后,基于符号网络的关联矩阵,给出了边能控性与顶点能控性的关系.结果表明:二者之间的关系取决于顶点图的结构平衡性,特别地,当顶点图是结构非平衡时,边图能控性与顶点图能控性等价.本文研究内容安排如下:第2节介绍图论的相关概念;第3节对边能控性问题进行描述;第4节对边系统能控性进行分析;第5节给出仿真实例;第6节对本文的研究进行总结.符号说明:在本文中,R与C分别表示实数域与复数域.I n={1,2,···,n}表示从1到n的整数集合.对于a∈R,令|a|与sgn a分别表示a的绝对值与符号,其中a可以是一条边、一个实数或者一条路径.I n表示n×n的单位矩阵,rank(A)表示矩阵A的秩,im(A)表示矩阵A的列空间,[A]i,·表示矩阵A的第i行,[A]ij 表示矩阵A第i行第j列的元素.对于任给两个集合S, R(S⊂R),用R\S表示集合S在集合R的补集,|S|表示集合S中的元素个数.2预备知识一个有向符号图由顶点集V={v1,v2,···,v n},边集E={e1,e2,···,e m}⊆V×V构成,记为G=(V, E,A),其中A=[a ij]∈R n×n表示邻接矩阵,具有如下形式:a ij=1或−1,(v j,v i)∈E,0,其他.注1在这里a ij=1表示智能体之间是合作关系,a ij =−1表示智能体之间是对抗关系.如果顶点v i可以接收到顶点v j的信息,则称v j是v i 的入–邻居,v i是v j的出–邻居,v j是边(v j,v i)的起始顶点,v i是边(v j,v i)的终止顶点,(v j,v i)∈E.N in i= {v j∈V|(v j,v i)∈E}表示顶点v i的所有入–邻居的集合.本文研究的图G均为简单图,即不包含自环与多重边.P=(v i,(v i,v i1),v i1,···,(v iq−1,v iq),v iq)表示一个长度为q的路径,其中(v ik,v ik+1)∈E,k=0,1,···,q−1.用d ij表示v i到v j的最短路径(即v i到v j之间最少边的数目).特别地,d ii=0.diam(G)=maxijd ij 表示图G的直径.π={C1,C2,···,C q}表示图G的一个划分,当i=j,i,j∈I q时满足q∪k=1C k=V且C i∩C j=∅.定义1将图G的所有有向边替换为无向边,所76控制理论与应用第40卷得到的无向图G′称为G的基图.如果基图G′是连通的,即G′中的任意两个顶点之间都存在路径,则称有向图G是弱连通的.定义2[22]给定符号图G.对于两个集合V1和V2,V1∩V2=∅且V1∪V2=V,使得∀v i,v j∈V s,(s∈{1,2}),有a ij 0成立;∀v i∈V s,v j∈V t,s=t(s,t∈{1,2}),有a ij 0成立,那么称符号图G是结构平衡的;否则称图G是结构非平衡的.引理1考虑具有n个顶点m条边的弱连通图G,如果满足m=n−1,那么G是结构平衡的.证当m=n−1时,图G的基图G′是一棵生成树,而生成树总是结构平衡的(参看文献[22]),因此G′是结构平衡的.进一步,由结构平衡的定义可知,G′中的顶点能被分成两个集合,而这两个集合的划分对G也适用,并不受边方向的影响.因此,结构平衡性并不改变,即G也是结构平衡的.证毕.值得注意的是本文所述的顶点图与边图本质上都是有向符号图.为了表述方便,分别采用G v与G e进行标记.2.1顶点符号图考虑一个具有n个顶点m条边的顶点图G v.定义G v的拉普拉斯矩阵为L v=C v−A v,其中:C v=diag{n ∑j=1|a1j|,n∑j=1|a2j|,···,n∑j=1|a nj|}表示G v的入度矩阵,A v表示G v的邻接矩阵.定义3G v的关联矩阵H=[h qk]∈R n×m是一个仅包含{0,±1}的矩阵.具体来说,任取一条边e k,相关联的两个顶点为v q与v s,那么∀q,s∈I n,k∈I m满足h qk=1,如果v q是e k的起点;−a qs,如果v q是e k的终点; 0,其他.为了区别一个顶点的入边与出边,引入入–关联矩阵与出–关联矩阵的定义.定义4给定G v及任一条边e k,相关联的两个顶点为v q与v s,入–关联矩阵H in=[h in qk]∈R n×m描述为:∀q,s∈I n,k∈I m有h in qk =−a qs,如果v q是e k的终点;0,其他.出–关联矩阵H out=[h out qk]∈R n×m描述为:∀q,s ∈I n,k∈I m有h out qk =1,如果v q是e k的起点;0,其他.由定义3和定义4显然有H=H in+H out.引理2[31]令H∈R n×m表示G v的关联矩阵,那么有以下结果成立:rank(H)=n−1,G v是结构平衡的;n,G v是结构非平衡的.2.2符号边图给定一个图G v,G e=(V e,E e,A e)表示G v对应的边图,其中V e表示边图G e的顶点集,E e表示边图G e中的连接边集,A e表示边图G e的邻接矩阵.取G v中的两条边e h=(v j,v i)和e k=(v s,v q),其中h=k.如果e k指向e h的任一顶点,那么称e k是e h的入–邻居.为了便于理解,给出e h的入–邻居如图1所示.定义N ine h= {e k=(v s,v q):e k∈E,e k=e h且v q=v j或v q= v i}表示e h的入–邻居集合.A e=[¯a hk]∈R m×m满足:如果e h∈N in e k,有[¯a hk]∈{1,−1};否则[¯a hk]=0,即¯a hk=−a qs,e k∈N in eh且v q=v j;a qs a ij,e k∈N in e h且v q=v i;0,其他.图1e h的入–邻居的两种情况Fig.1Two cases of in-neighbors of edge e h 定义5给定一个具有n个顶点m条边的顶点图G v,G v对应的边图G e的拉普拉斯矩阵定义为L e=I m+A e.(1)引理3[28]给定一个顶点图G v,对应的边图为G e,H与H in分别表示G v的关联矩阵与入–关联矩阵,则顶点拉普拉斯矩阵L v∈R n×n与边拉普拉斯矩阵L e∈R m×m分别满足L v=H in H T,(2)L e=H T H in.(3)基于引理3有H T L v=L e H T成立.3问题描述考虑一个具有n个顶点m条连接关系的多智能体系统.假设边集V e被分为领导者集合V e l以及跟随者集合V e f,其中V e l∪V e f=V e,V e l∩V e f=∅.不失一般性,假设前p(p<m)条边选作为领导者,即V e l={e1, e2,···,e p},那么跟随者集合为V e f={e p+1,e p+2,···,e m}.定义6给定边图G e,如果对于每一个跟随者都至少有一条从某一个领导者出发的路径,那么称图G e 是领导者–跟随者(leader-follower)连通的.第1期任世超等:有向符号网络的边能控性研究77注2本文中考虑的图均为领导者–跟随者连通的.在领导者–跟随者框架下,边e i的动力学方程为˙x i(t)=−x i(t)−m∑j=1¯a ij x j(t)+u i(t),i∈V e l,˙x i(t)=−x i(t)−m∑j=1¯a ij x j(t),i∈V e f,(4)其中:x i(t)∈R表示边e i的状态,u i(t)表示作用在第i 条边上的外界控制输入.令x(t)=[x1(t)x2(t)···x m(t)]T∈R m,u(t) =[u1(t)u2(t)···u p(t)]T∈R p.整个多智能体系统的演化边动力学方程为˙x(t)=−L e x(t)+Bu(t).(5)其中:L e∈R m×m是边拉普拉斯矩阵,B=[I p0]T∈R m×p是控制输入矩阵.系统(5)可采用矩阵对(−L e, B)表示.定义7如果存在一个控制输入u(t)能在有限时间t1−t0(t1>t0)内使得系统(5)由任意初始状态x(t0)能够到达任意最终状态x(t1),则称系统(5)是能控的.定义矩阵Q=[B L e B···L m−1eB]和矩阵¯Q=[B A e B···A m−1eB]分别表示系统(5)以及矩阵对(A e,B)的能控性矩阵.定理1系统(5)的能控性等价于矩阵对(A e,B)的能控性,即rank(Q)=rank(¯Q).证首先,系统(5)的能控性矩阵Q可写成如下形式:Q=[B,L e B,···,L m−1eB]=[B,(I m+A e)B,···,(I m+A e)m−1B]=[B,B+A e B,···,B+(m−1)A e B+···+A m−1eB].显然存在一个可逆矩阵K∈R mp×mp(在矩阵Q 上经过多次列变换所得),使得¯Q=Q K.因此,rank(Q) =rank(¯Q),表明系统(5)的能控性等价于矩阵对(A e, B)的能控性.证毕.4边能控性分析在本节中,从图论的角度对系统(5)的能控性进行分析.特别地,基于符号边图的距离划分得到能控子空间的下界,基于符号边图的等价划分得到能控子空间的上界.进一步,分析了边能控性与顶点能控性的关系.4.1边能控子空间下界给定边图G e.用P ei→e j,d =(e i,ℓ1,e i+1,ℓ2,···,ℓd,e j)表示从e i到e j长度为d的一条路径,其中e i∈V e,ℓd∈E e.考虑路径P e i→e j,d的符号sgn(P ei→e j,d)=∏ℓd∈P e i→e j,dsgn(ℓd).(6)考虑路径P ei→e j,d的权重ω(P ei→e j,d)ω(P ei→e j,d)=∏ℓd∈P e i→e j,dω(ℓd),(7)其中ω(ℓd)表示边ℓd的权值.不难发现,从e i到e j的路径可能不唯一,因此sgn(P ei→e j,d)可能也不唯一.如果sgn(P ei→e j,d)=1,称该路径为正路;如果sgn(P ei→e j,d)=−1,称该路径为负路.注3本文所考虑的边图G e的权重值¯a ij∈{±1,0},因此|sgn(P ei→e j,d)|=|ω(P ei→e j,d)|.考虑sgn(P ei→e j,d)=1的所有路径的总权重为ρ+e i→e j,d=∑P ei→e j,d∈Γ+e i→e j,dω(P ei→e j,d),(8)其中Γ+e i→e j,d表示sgn(P ei→e j,d)=1的所有路径.考虑sgn(P ei→e j,d)=−1的所有路径的总权重ρ−e i→e j,d=∑P ei→e j,d∈Γ−e i→e j,dω(P ei→e j,d),(9)其中Γ−e i→e j,d表示sgn(P ei→e j,d)=−1的所有路径.因此,从e i到e j长度为d的所有路径的总权重为ρei→e j,d=ρ+e i→e j,d+ρ−e i→e j,d.(10)特别地,当|sgn(P ei→e j,d)=1|=|sgn(P ei→e j,d) =−1|时,有ρei→e j,d=0.引理4给定边图G e,则如下等式成立:[A de]ji=ρei→e j,d,(11)其中d表示e i到e j的长度.证采用对d的数学归纳法进行证明.首先,当d=1时,从e i到e j有长度为1的路径当且仅当¯a ji=±1;其次,假设[A d−1e]ji=ρei→e j,d−1成立;最后,对于[A de]ji有[A de]ji=[A e A d−1e]ji=m∑r=1[A e]jr[A d−1e]ri=m∑r=1[A e]jrρei→e r,d−1=ρei→e j,d.综上所述,等式(11)成立.证毕.考虑边图G e,用πD(e i)={C0,C1,···,C q}表示关于e i的距离划分(distance partition).其中Cκ={e k∈V e|d ik=κ}.如果∀e j∈Cκ都有ρe i→e j,κ=0,那么记ρei→Cκ,κ=0,其中1 κ diam(G e).令z C={κ|ρei→Cκ,κ=0},δei=|πD(e i)|−|z C|.定理2系统(5)的能控性矩阵Q满足rank(Q) max{δe1,δe2,···,δep}.(12)78控制理论与应用第40卷证首先考虑单领导者的情况.不失一般性,假设e1为领导者,令πD(e1)={C0,C1,···,C q}为相对于e1的距离划分,其中q diam(G e),那么C0={e1},Cκ={e iκ+1,e iκ+2,···,e iκ+1},1 κ diam(G e).即V e l={e1},给定e i=e1,则[A d1ie B]i1=n∑r=1[A d1ie]ir[B]r1=[A d1ie]i1B=[A d1ie]i1.因此,当[A e]d1i i1=0,有[A d1i e B]i1=0;否则[A d1i e B]i1 =0.给定一个整数κ,其中1 κ diam(G e).当κ<d1i,不难发现[AκeB]i1=0.构造矩阵M∈R m×diam(G e)M=[B A e B···Aκe B···A diam(G e)e B]=1∗···∗···∗0M1···*···*............ 00···Mκ···*............00···0···M diam(Ge),其中Mκ=[ρe1→e iκ+1,κρe1→e iκ+2,κ···ρe1→eκ+1,κ]T∈R|Cκ|,1<i r |Cκ|.显然M表示能控性矩阵¯Q的一个子矩阵.接下来,分两种情况来讨论rank(M):1)如果ρe1→Cκ,κ=0,∀1 κ diam(G e),可得rank(M) diam(G e)=|πD(e1)|=δe1;2)如果ρe1→Cκ,κ=0,∃1<κ diam(G e),可得rank(M) |πD(e1)|−|z C|=δe1.综上所述,rank(Q)=rank(¯Q) rank(M) δe1.在多领导者的情况下,针对每个领导者单独分析,按照单领导者的情况易得rank(Q)=rank(¯Q)max{δe1,δe2,···,δep}.证毕.注4定理2所得到的下界是紧的.事实上,可以构造一些边图使得下界成立.例1给定一个如图2所示的边图G e.在此假设e1是唯一的领导者,基于距离划分有πD(e1)={C0, C1,C2,C3}={{e1},{e2},{e3,e4},{e5}}.对于C3={e5}来说,有两条从e1到e5长度为3的路径P1e1→e5,3=(e1,(e1,e2),e2,(e2,e3),e3,(e3,e5),e5)和P2e1→e5,3=(e1,(e1,e2),e2,(e2,e4),e4,(e4,e5),e5),其中(e i,e j)∈E e.不难发现P1e1→e5,3是一条正路,P2e1→e5,3是一条负路,因此有ρe1→C3,3=0,z C={3},|z C|=1且δe1=3,通过计算能控性矩阵Q,有rank(Q)=δe1=3.图2有向符号边图G e.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.2Signed edge graph G e.The solid and the dashed lines represent the positive and negative edges,respectively同理,当选择e1和e2作为领导者时,有πD(e2)= {C0,C1,C2}={{e2},{e3,e4},{e5}},z C={2}且δe2=2.通过计算能控性矩阵Q,可得rank(Q)= max{δe1,δe2}=3.4.2边能控子空间上界令π={C1,C2,···,C q}是边图G e的一个划分,定义βij=∑e k∈C i∑e g∈C j¯a kg|C i|,i,j∈I q,βij表示在划分π下C j到C i中的度.用G e/π=(Vπ,Eπ, Bπ)表示边图G e在划分π下的商图,其中Vπ={C1, C2,···,C q}表示商图G e/π顶点集,Eπ={(C j,C i)|βij =0}表示商图G e/π边集,[Bπ]ij=βij表示商图G e/π邻接矩阵第i行第j列的元素.对于给定的划分π的特征矩阵定义为Pπ=[p ij]∈R m×q,若e i∈C j,则p ij= 1;否则p ij=0.定义8令π={C1,C2,···,C q}是边图G e的一个划分,如果划分π下有如下等式成立:∑e s∈C i¯a ks=∑e g∈C i¯a tg,∀e k,e t∈C j,(13)则称π是一个等价划分(equitable partition).引理5π={C1,C2,···,C q}是边图G e的一个等价划分当且仅当A e Pπ=PπBπ,即im(Pπ)是A e的不变子空间.证充分性:不失一般性,假设e k∈C j.如果A e Pπ=PπBπ,有[A e Pπ]kj=m∑r=1[A e]kr[Pπ]rj=m∑r=1¯a kr[Pπ]rj=∑e s∈C j¯a ks.由于[P Bπ]k,·=[Bπ]j,·,那么对于e t∈C j有[A e P]kj=[A e P]tj,即∑e s∈C i¯a ks=∑e g∈C i¯a tg,e k,e t∈C j.因此π是一个等价划分.必要性:假设π是一个等价划分,令e k∈C j,进而A e Pπ的第k行可以表示为[A e Pπ]k,·=[∑e t∈C1¯a kt···∑e t∈C j−1¯a kt∑e t∈C j¯a kt···∑e t∈C q¯a kt]= [βj1···βj(j−1)βjj···βjq].由特征矩阵Pπ的定义可得,PπBπ的第k行可以表示为[PπBπ]k,·=[Bπ]j,·=第1期任世超等:有向符号网络的边能控性研究79[βj 1···βj (j −1)βjj ···βjq ],因此,A e P π=P πB π是成立的.证毕.定义9给定一个等价划分π,如果选取的每个领导者都单独在一个胞腔中,则称π为领导者孤立的等价划分(leader-isolated equitable partition,LEP),简记为πLEP .引理6假设πLEP 是边图G e 的一个领导者孤立的等价划分,则系统(5)的能控性矩阵Q 满足rank(Q ) |πLEP |.(14)证令P πLEP 表示πLEP 的特征矩阵,不难得到im(B )⊆im(P πLEP ).进一步地,结合式(11)可得im(Q )=im(¯Q)=im([B A e B ···A m −1eB ])=im(B )+A e im(B )+···+A m −1eim(B )⊆im(P πLEP )+···+A m −1eim(P πLEP )=im(P πLEP ),这里运算符“+”表示两个空间的并.证毕.值得注意的是,一个边图G e 的领导者孤立的等价划分可能不唯一.假设πLEP1,πLEP2是边图G e 的两个不同的领导者孤立的等价划分,如果对于每一个在πLEP1的胞腔是πLEP2中一些胞腔的子集,那么称πLEP1比πLEP2更好(finer),用πLEP1 πLEP2来表示.如果πLEP1 πLEP2,易得im(P πLEP2)⊆im(P πLEP1).因此在寻找能控子空间的上界时,要求去找到一个最好的领导者孤立的等价划分,简记为π∗LEP .定理3假设π∗LEP 是边图G e 的最好领导者孤立的等价划分,那么系统(5)的能控性矩阵Q 满足rank(Q ) |π∗LEP |.(15)例2给定如图3中左图所示的边图G e .假设e 1作为领导者,可以得出π∗LEP ={{e 1},{e 2,e 3,e 4},{e 5,e 6,e 7}}.通过计算易得A e P π∗LEP =P π∗LEP B π∗LEP .进一步有rank(Q )=|π∗LEP|=3成立.图3边图G e (左)与其商图G e /π∗LEP(右).Fig.3Edge graph G e (left)and quotient graph G e /π∗LEP(right).The solid line and the dashed lines represent the positive and negative edges,respectively4.3边能控性与顶点能控性本节研究顶点能控性与边能控性之间的关系.首先引入顶点能控性模型.考虑一个具有n 个顶点m 条边的顶点图G v ,假设前p (p <n )个顶点作为领导者集V l ={v 1,v 2,···,v p },那么剩余的顶点集即为跟随者集V f =V\V l .令u (t )表示对顶点施加的控制量,每一个智能体服从以下的动态方程: ˙x i v (t )=n ∑j =1a ij [x j v (t )−sgn(a ij )x iv (t )]+u i (t ),i ∈V l ,˙x i v (t )=n ∑j =1a ij [x j v (t )−sgn(a ij )x i v (t )],i ∈V f ,其中:x i v (t )∈R 表示第i 个智能体的状态,u i (t )表示对智能体i 施加外部的控制输入.令x v (t )=[x 1v (t )x 2v (t )···x n v (t )],u (t )=[u 1(t )u 2(t )···u p (t )].整个多智能体系统的顶点动力学方程为˙x v (t )=−L v x v (t )+˜Bu(t ),(16)其中:L v ∈R n ×n ,˜B=[I p 0]T ∈R n ×p 表示控制输入矩阵.考虑顶点图G v 中的一条边e k =(v j ,v i ),定义边e k 的状态为x k (t )=x j v (t )−a ij x iv (t ).(17)从式(17)得所有边的状态可以表达为x (t )=H T x v (t ).因此,基于式(17)边系统模型可以描述为˙x (t )=−L e x (t )+¯Bu(t ),(18)其中¯B=H T ˜B ∈R m ×p .注5系统(16)的控制输入是一个独立控制输入(如图4中左图所示),即˜B=[e 1e 2···e p ]∈R n ×p ,其中e i 表示I n 的第i 列;系统(18)的控制输入为广播控制输入(如图4中右图所示),即¯B =[b 1b 2···b p ]∈R m ×p ,其中b k ∈{−1,0,1}m ,k ∈I p.图4独立控制输入(左)和广播控制输入(右)Fig.4Independent control input (left)and broadcastcontrol input (right)定义如下3个矩阵:Q v :=[˜B L v ˜B ···L n −1v ˜B ]∈R n ×np ,Q e :=[¯B L e ¯B ···L m −1e¯B ]∈R m ×mp ,Q ′:=[˜B L v ˜B ···L m −1v˜B ]∈R n ×mp ,(19)其中:Q v 表示系统(16)的能控性矩阵;Q e 表示系统(18)的能控性矩阵.根据引理3不难得出Q e =H T Q ′.80控制理论与应用第40卷定理4假设一个具有n 个顶点m 条边的顶点图G v ,边状态服从式(17).以下结果成立:1)如果G v 是结构平衡的,则有rank(Q e ) rank(Q v ).2)如果G v 是结构非平衡的,则有rank(Q e )=rank(Q v ).证显然,对于一个领导者–跟随者连通的顶点图G v ,有m n −1.1)顶点图G v 是结构平衡时,由引理2可得rank(H T )=n −1,当m =n −1时,有rank(Q ′) rank(Q v )成立;当m >n −1时,rank(Q ′)=rank(Q v )成立.因此可得rank(Q e ) min {rank(H T),rank(Q ′)}=min {n −1,rank(Q ′)} rank(Q ′) rank(Q v ).2)顶点图G v 是结构非平衡时,由引理1可知m >n −1,rank(Q ′)=rank(Q v )成立.进一步,由引理2可得rank(H T )=n .因此rank(Q e )=rank(H T Q ′)=rank(Q ′)=rank(Q v ).证毕.例3给定如图5(a)所示的结构平衡顶点图G v 1.假设v 1作为单独的领导者,即˜B=[1000]T .根据式(17)得¯B=[100]T .通过计算可得rank(Q e )=rank(Q v )=3成立.同理,给定如图5(c)所示的结构非平衡顶点顶点图G v 2,仍然假设v 1作为单独的领导者,有rank(Q e )=rank(Q v )=4.(a)结构平衡顶点图G v1(b)G v 1对应的边图G e1(c)结构非平衡顶点图G v2(d)G v 2对应的边图G e 2图5数值例子.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.5Numerical example.The solid and the dashed linesrepresent the positive and negative edges,respectively推论1假设顶点图G v 对应的系统(16)是能控的,则1)如果G v 是结构平衡的,那么rank(Q e )=n −1.2)如果G v 是结构非平衡的,那么rank(Q e )=n .例4给定如图6(a)所示的结构平衡顶点图G v 1.假设v 1作为单独的领导者,即˜B=[1000]T .根据式(17)得¯B=[1000]T .通过计算可得rank(Q v )=4,rank(Q e )=3.同理,给定如图6(c)所示的结构非平衡顶点图G v 2,仍然假设v 1作为单独的领导者,有rank(Q e )=rank(Q v )=4.(a)结构平衡顶点图G v1(b)G v 1对应的边图G e1(c)结构非平衡顶点图G v2(d)G v 2对应的边图G e 2图6数值例子.实线和虚线分别表示正边与负边Fig.6Numerical example.The solid and the dashed linesrepresent the positive and negative edges,respectively5仿真实例为了验证本文所得到的理论结果,考虑由4个智能体构成的顶点图G v ,如图7中左图所示.G e 表示G v 对应的边图,如图7中右图所示.给出G e 的拉普拉斯矩阵L e = 100−1110−10−110−10−11.图7有向符号顶点图G v (左)与其对应的边图G e (右).实线和虚线分别表示正边与负边Fig.7Directed signed vertex graph G v (left)and its corre-sponding edge graph G e (right).The solid and dashed lines represent the positive and negative edges,re-spectively假设e 4作为领导者,即B =[0001]T ,通过计算可得rank(Q )=4,表明系统(5)是能控的.为了更加直观的理解,给定边初始状态x (t 0)=[0000]T ,边最终状态x (t f )=[−5101010]T ,在有限时间t f =第1期任世超等:有向符号网络的边能控性研究8110内边状态的变化曲线如图8所示,控制输入的变化曲线如图9所示.U1086420−50−40−30−20−101020䗩⣦ Y J J 1, 2, 3, 4图8边状态曲线Fig.8Curves of edgestateU1086420−80−60−40−202040 䗃 V (U )图9控制输入曲线u (t )Fig.9Curve of control input u (t )6结论与展望本文基于领导者–跟随者结构研究了有向符号网络下多智能体系统边能控性问题.首先,在符号网络下建立具有边动力学能控性模型,通过分析边拉普拉斯矩阵得到边能控性的一些性质;其次,从图论的角度对边能控性子空间进行定量分析.特别地,基于距离划分给出了边能控子空间的下界以及基于等价划分给出了边能控子空间的上界,并且得到的上下界具有紧性.最后,基于图的关联矩阵研究了顶点图能控性与对应边图能控性之间的关系,得出当顶点图为结构非平衡时,顶点图的能控性等价于对应边图的能控性.本文考虑了固定拓扑结构的情形,未来将进一步考虑动态拓扑结构下的边能控性.此外,文本考虑的边权取值范围是{0,±1},当系统的权重为任意取值时,同样是一个值得研究的问题.参考文献:[1]TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor intercon-nections.Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision andControl .Paradise Island,the Bahamas:Springer,2004,3:2467–2472.[2]LI A,CORNELIUE S P,LIU Y ,et al.The fundamental advantages oftemporal networks.Science ,2017,358(6366):1042–1046.[3]GUAN Y ,LI A,WANG L.Structural controllability of directedsigned networks.IEEE Transactions on Control of Network Systems ,2021,DOI:10.1109/TCNS.2021.3059836.[4]GUAN Yongqiang,JI Zhijian,ZHANG Lin,et al.Recent develop-ments on controllability of multi-agent systems.Control Theory &Applications 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1证明 实数 域和复数域不存在其它 的数 域
25. 设 p ( x ) 为数域 P 上的次数大于零的多项式。证明：如果 p ( x ) 对任意多项式 f ( x ) ，或
p ( x ) | f ( x ) 或 ( p ( x ), f ( x )) = 1 ，则 p ( x ) 为 P 上的不可约多项式 。
26. 设 P[ x ] 为数域 P 上全体多项式的集合， a 为一复数。证明：数集 P[ a ] 作成数域的充分 与必要条件是， a 为 P 上某个不可约多项式的根。 27. 设 多 项 式 f ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an , a0 ≠ 0, an ≠ 0 的 n 个 根 是
f ( x 2 ) − f ( x) f ( x + 1) = 0
的一切复系数多项式 f ( x ) 。 44．证明： x n −
1 1 可表为 y = x − 的实系数多项式的充分与必要条件是 n 为奇数。 n x x
f ( x) = x 3 + a1 x 2 + a2 x + a3
45．证明：实系数三次多项式
( f ( x ) g ( x), f ( x ) + g ( x)) = 1 。
24. 证明：若 ( s, n + 1) = 1 ，则多项式
f ( x) = x sn + x s ( n −1) + L + x s + 1
可被 g ( x) = x + x
n n −1ຫໍສະໝຸດ + L + x + 1 整除，且其商的系数只能是 0或 ± 1 。
2） f ( x) = x − 3 x − 1, g ( x) = x − 2 。
对实数域的认识
实数域认识摘要：实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。
本来实数只唤作数，後来引入的虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
关键词：实数域，特性，传递性，公理系统阿基米德（Archimedes）性，稠密性，唯一性正文：实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母R 或R^n 表示。
而R^n 表示n 为实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象实数可以用来测量连续的量的。
实数是不可数的。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点後n位，n为正整数)。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a。
2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|=a(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。
)3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a 的倒数是：1/a （a≠0）4）数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
1、2复变函数
1.复数的概念
在实数范围内x
2
2
1无 解 ， 引 入 新 数 i， 称 为 虚 数 单 位 。
2
规 定 i 1, i 是 方 程 x 1一 个 根
复 数 集 ： C z x iy x , y R x R （ z） y Im z）i e , （ , 1
) i sin (
7 6
)
3 2
1 2
i
二.复变函数的预备知识:
z z ： 表 示 z 的 邻 域
0 0
0 z z :表示z 的去心 邻域;
0 0
区域：复平面上的点集若是一个开集且为连通集。 闭 区 域 ： 区 域 D及 其 边 界 的 并 。 单连通域：复平面上 一个区域 曲线的内部总属于 B 。 一个区域不是单连通域就是多连通域。 B ，如果在其中任作一条简单闭曲线，
( 2 )( x1 iy 1 )( x 2 iy 2 ) ( x1 x 2 y 1 y 2 ) i ( y 1 x 2 x1 y 2 )
(3) x1 iy 1 x 2 iy 2 x1 x 2 y 1 y 2 x2 y2
2 2
i
y 1 x 2 x1 y 2 x2 y2
z z
0
z z
0
作业
习题1 (P5) 1(5),(6); 2(1),(2) ,(3)
习题2 (P11) 1(1),(2), (3), (9)
lim u ( x , y )
( x , y ) ( x0 , y 0 )
A,
1
lim v ( x , y )
A
the real field theorem 实数域基本定理
实数域基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）
实数域基本定理指出，任意非零复数多项式都可以表示为若干个一阶多项式的乘积。
换句话说，任何复数多项式都可以用因式分解式表示。
定理表述：
设
p(x)
是一个次数为
n
（其中
n≥1
，且系数在实数域上的复数多项式。
那么，存在
n
个复数
r1,r2,...,r n
，使得：
p(x)=a(x−r1)(x−r2)⋯(x−r n)
其中
a
是一个非零复数常数。
定理推论：
•任意非零复数多项式都有至少一个复数根。
•任意
n
次复数多项式有恰好
n
个复数根（包含重根）。
•复数域是代数封闭域。
证明：
证明过程涉及到复分析中的柯西积分公式和留数定理。
这里我们省略证明。
应用：
实数域基本定理在数学和工程等领域有广泛的应用，例如：•解复数多项式方程
•分析复函数
•控制理论
•信号处理。
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复数域和实数域
在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。
域是数学上的一个概念，简单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为0）四则运算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集合里。
根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域。
在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成复数域。
那么，实数域和复数域是什么关系呢？
也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。
这样一种观点不能算是正确的。
的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看起来就表示了全体实数。
但是当复数z 在这上面取值的时候，是不是表示z 就是一个实数呢？
不是的。
不管z 在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即z x iy =+是由实部和虚部的二元结构表示的数。
只是当z 在实轴上取值时，其虚部0y ≡，因此对复数z 进行运算时相当于只对其实部x 做运算，而其虚部将不会对运算结果起任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。
虽然如此，请记住：此时只是复数z 的虚部等于0，并不等于说此时复数z 变成了实数x ，更不能说复数z 没有虚部。
而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。
这种关系还可以这样理解：实数轴上的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，0x i x +→，
此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。
在整个复平面内，只有实轴对四则运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭，不能构成一个数域。
而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。
留数定理在实变函数积分中的应用中，就是利用了这种关系。
在实轴上的积分，等价于在实轴上取值的复数的积分，从而把运算转化到复数域中。
假如实数域对积分（实际上就是乘法和加法）不封闭，那么就无法实现这种转化了。