误差与数据处理练习题
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误差与数据处理练习题
1．用螺旋测微计测量某一铜环的厚度七次，测量数据如下：
求H 的算术平均值、标准偏差和不确定度，写出测量结果。
【解】∑==+++=
=
7
1
(mm)515.9)517.9514.9515.9(7
1
7
1
i i
H
H []
(mm)0018.0)515.9517.9()515.9514.9()515.9515.9(6
1
)
(171
2227
1
=-++-+-=
--=
∑= i i
H H H
S
mm 005.0004.00018.0222
2=+=∆+=仪H H S U
mm 005.0515.9±=∴H
计算结果表明，H 的真值以%95的置信概率落在mm]520.9mm,510.9[区间内。
2．试比较下列测量的优劣：
(1) mm 03.098.551±=x ； (2) mm 004.0488.02±=x ； (3) mm 0012.00098.03±=x ； (4) mm 05.098.14±=x 解答:
(1) %054.0%10098.5503.0=⨯=
E (2) %82.0%100488.0004
.0=⨯=E (3) %12%1000098
.00012.0=⨯=E (4) %5.2%10098.105
.0=⨯=E
优劣次序为：(1)、(2)、(4)、(3)。
3．用电子秒表(s 01.0=∆仪)测量单摆摆动20个周期的时间t ，
测量数据如下：
试求周期T 及测量不确定度，并写出测量结果。 解答:
s 0007.120
140.20)17.2019.2012.20(720120==+++⨯==
t T 0015.06
)140.2017.20()140.2012.20(20117)(201202
22=-++-=--∑==
t t S S i t T 0016.0)20/01.0(0015.02222
=+=∆+=仪T T S U
s 0016.00070.1±
=∴T
4．利用单摆测重力加速度g ，当摆角︒<5θ时有g l T /2π≈的关系。式中l 为摆长，T 为摆动周期，它们的测量结果分别为cm 03.069.97±=l ，s 023.0984.1±=T ，试求重力加速度g 的测量值及其不确定度，并写出测量结果。
解答:
6.9799842.169.97442
222=⨯==ππT l g (cm/s 2)
0022.09842.10021.0269.9703.022
222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T U l U g U T l g 2.20022.06.979=⨯=g U (cm/s 2) 2.26.979±=∴g (cm/s 2)
5．试推导下列间接测量的不确定度合成公式。
(1) v u uv
f +=
； (2) D
L D f 42
2-=；
(3) 2
sin
)(21
sin αδα+=n 。 解答:
(1)解法一(直接求偏导数)：
,)()()(22
2v u v v u uv v u v u f +=+-+=∂∂ 2
22)()()(v u u v u uv v u u v f +=+-+=∂∂ 24
242
22
22)(1v u v u f U u U v v u U v f U u f U ++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 解法二(先求自然对数再求偏导数)：
)ln()ln(ln v u uv f +-=
,)(11ln v u u v v u u u f +=+-=∂∂ )
(11ln v u v u
v u v v f +=+-=∂∂ 22
2222222
2)()(ln ln v u v u f U v u v u U v u u v v u uv U v f U u f f U ++++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 2
4242
)(1
v u U u U v v u ++=
(2)解法一(直接求偏导数)：
,4222D L D D f +=∂∂ D
L L f 2-=∂∂ 2
2
22
2
222
224L D L D f U D L U D L D U L f U D f U ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 2
2222222
4)(41L D U L D U L D D
++=
解法二(先求自然对数再求偏导数)：
D L D f ln 4ln )ln(ln 22---=
,)(12ln 222222L D D L D D L D D D f -+=--=∂∂ 2
22ln L D L
L f --=∂∂ 2
2ln ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=L D f U L f U D f f U
2
222
22222
22)(4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=
L D U L D L U L D D L D D
L D 22
222222
4)(41L D U L D U L D D
++=
(3)解：)2/sin(ln ]2)(sin[ln ln αδα-+=n