湘教版数学八年级上册5.1二次根式
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中关于二次根式的重要内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质及其运算。
通过本节的学习，学生能理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，并为后续的二次根式运算打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固二次根式的概念及性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但二次根式作为新的数学概念，对其性质的理解和运用需要一定的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，合理设计教学环节，引导学生逐步理解和掌握二次根式的概念及性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，并能运用性质进行简单的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。
2.二次根式的运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲授法：教师讲解二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：学生通过动手操作，巩固二次根式的性质。
4.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决二次根式运算问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念及性质。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生对二次根式的理解。
3.黑板：准备黑板，用于板书解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如车轮直径、高楼高度等，引导学生思考实际问题中的二次根式。
让学生感受二次根式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，引导学生理解二次根式的含义。
通过PPT 展示二次根式的图像，让学生直观地感受二次根式的特点。
3.操练（10分钟）学生动手操作，巩固二次根式的性质。
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》 课件
怎样化去分母中的根号？
在二次根式的运算中，最后结 果一般要 求分母中不含二次根式.
通常的方法
（1）将式子的分子、分母同时乘以一个“适当” 的因式，就可以化去分母中的根号.如何选择这个 因式呢？一般来说这个因式就是原式分母中的那 个二次根式. （2）采用约分的办法有时也可以起到化去分母中
花一样美丽，感谢你的阅读。 5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Sunday, July 5, 2020July 20Sunday, July 5, 20207/5/2020 6、路遥知马力日久见人心。2时47分2时47分5-Jul-207.5.2020 7、山不在高，有仙则灵。20.7.520.7.520.7.5。2020年7月5日星期日二〇二〇年七月五日 8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。14:4714:47:527.5.2020Sunday, July 5, 2020
(其中是 R 地球半径).现有两座高 分别为 h1 = 400m, h2 = 450m 的电视
塔,请聪明的你计算它们的传播半 径之比等于多少?
解： 设两座电视塔的传播半径分别 为 r1, r2 .
因为r 2Rh,400m 0.4km,450m 0.45km
所以 r1 = r2
2Rh1 = 2Rh2
5.2 二次根式的乘法和除法
二次根式的除法
旧知回顾
1.二次根式的乘法法则：
a b ab(a 0,b 0)
积的算术平方根性质：
b a
=
b a
(a>0 ,b≥0).
利用这个公式可以进行二次根式的化简。
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开得尽方的因数或因 式
66
3
最新【湘教版】数学八年级上册：5.1《二次根式》教案
最新教学资料·湘教版数学5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S= 46.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x 、42、1x y +． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．xD ．x 22．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ．5 C ．15D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0） 2．a3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义．3. 1 34． B5． a=5，b=-45.1.2二次根式的化简（1）（第2课时）教学内容 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．教学目标理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a ≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 例1 计算1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2 分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32， （35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56， （72）2=22(7)724=． 三、巩固练习 P157 练习 2、计算下列各式的值：（18）2 ；（23）2 ；（94）2 ； （0）2 ；（478）2 ；22(35)(53)- 四、应用拓展例2 计算1．（1x +）2（x ≥0）2．（2a ）2 3．（221a a ++）2 4．（24129x x -+）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0； （2）a 2≥0； （3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x +）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结 本节课应掌握：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A 组 2、 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（-3）2=________． 2．已知1x +有意义，那么是一个_______数．三、综合提高题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5) (2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3．已知1x y-++3x-=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=（5）2（2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2（4）x=（x）2（x≥0）3．103304x y xx y-+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y=34=81 4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略5.1.2二次根式的化简（2）（第3课时）教学内容：2a＝a（a≥0）教学目标：理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2a＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数；3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知 （学生活动）填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________；20=________；23()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 P157 练习 3．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业 1．P159 习题 5.1 A 组 3 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ．2a =2()a -≥-2aB ．2a >2()a ->-2aC ．2a <2()a -<-2aD ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．-0.0004=________． 2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
最新 公开课课件 新湘教版数学八年级上册5.1《二次根式》课件(共15张PPT)
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
ａ ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________ 例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
掌握二次根式的概念
定义:
0 形如 a a 的式子 叫做二次根式，其 中 根号下的数 a叫做被开方数。
注意 在实数范围内，a< 0时，
意义，只有当 a 0 时，
a
没有
a 有意义。
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》教学设计1
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的化简》教学设计1一. 教材分析《二次根式的化简》是湘教版数学八年级上册第五章第一节的内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次根式的化简方法，理解二次根式之间的运算规律，为后续学习二次根式的综合应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对二次根式有一定的了解。
但部分学生对二次根式的化简和运算规律理解不深，容易混淆。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的化简方法，理解二次根式之间的运算规律。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的化简方法。
2.难点：二次根式之间的运算规律。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的化简，使学生能够更好地理解抽象的数学概念。
2.启发式教学法：引导学生主动思考、探索，培养学生的创新意识。
3.合作学习法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的化简和运算规律。
2.练习题：准备一些有关二次根式化简的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如估算房屋面积、计算物体体积等，引入二次根式的化简。
引导学生思考：如何将复杂的二次根式化为简单的形式？2.呈现（10分钟）展示二次根式的化简和运算规律，引导学生观察、总结。
示例：将二次根式 () 化简为最简形式。
学生思考、讨论，教师引导总结：( = = = 3)3.操练（10分钟）让学生独立完成一些有关二次根式化简的练习题，教师巡回指导。
1.将 () 化简为最简形式。
2.() 等于多少？3.计算 (( + ) ( - )) 的值。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，探索二次根式之间的运算规律。
湘教版(2012)初中数学八年级上册5.1二次根式 教案
展示课题：二次根式
（二）探究新知
探究1、二次根式的概念
（1）一个正数的平方根有个，它们是。
（2）当a>0时 ， 表示； 表示。
（3）当a=0时， 表示；
（4）4的算术平方根是， 的算术平方根是， 的算术平方根是
（教师出示问题，学生思考解决，并阐述做题依据和方法，之后教师总结归纳，师生达成一致，教师板书解题过程，给学生示范）
探究3、探究非负数的算术平方根平方后的结果规律
（1）根据算术平方根的意义填空
= =
通过上述计算，可归纳性质为：（ ）2=（a ）
探究3：被开方数含平方的二次根式的结论规律
填空：
= =
=
通过上述计算，可归纳性质为： =（a ）
教学片段标题：
《二次根式》 新授课
学情分析：
学生根据已有的知识经验，通过类比，讨论等亲身经历二次根式化简的过程。
教学目标：
1、了解并熟记二次根式的概念，理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围。
2、理解公式（ ）2=a, （a≥0）,并能利用公式进行一般的二次根式的化简,经历公式的推导过程,并能够总结出公式（ ）2=a（a≥0）.
= =
通过上述计算，（教师布置课堂限时训练，检测教学效果，之后师生订正答案，并根据解题情况进行针对性的评析）
（五）小结归纳
（教师组织学生回顾本节知识，学生谈个人收获，师生交流）
板书设计
二次根式
一、二次根式的定义
二、二次根式的性质
三、例题
教学重难点：
重点：二次根式的概念；
湘教版数学八年级上册_2020秋：5。1_二次根式(1)-教学设计
新湘教版数学八年级上 5.1二次根式（1）教学设计解：因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度v gR =即：(0)a a ≥例1：下列式子一定是二次根式的是( )A.2x --B.xC.22x +D.22x -答案：C练习1：下列式子不一定是二次根式的是( ) A.a B.21b + C.0 D.2a b +（） 答案：A例2：当x 是怎样的实数时，二次根式1x -在实数范围内有意义？ 解：由x -1≥0，解得 x ≥ 1.因此，当x ≥1时，1x -在实数范围内有意义.练习2：式子12a a +-有意义，则实数a 的取值范围是( )答案：C2．若2(3)3a a -=-，则a 与3的大小关系是( )A ．a ＜3B ．a ≤3C ．a ＞3D ．a ≥3 答案：D 3.计算：2222()()5(1)(2)35(3)6.－解：222(1)()55= 22(2)(35)9545(3)6 6.=⨯==－我们一起完成下面的问题：作业布置基础作业教材第159页习题5.1A组第1、2、3题能力作业作业布置当x是怎样的条件时，二次根式2131xx+-+在实数范围内有意义？答案：13x x>-≠且学生课下独立完成.检测课上学习效果.板书设计借助板书，让学生知道本节课的重点。
课题：5.1 二次根式（1）教师板演区学生展示区1.二次根式；2.二次根式的条件；3.二次根式的性质.。
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3. 计算：
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)
-
3 4
2
；
(4)
2
-0.01
.
答案：7 答案：3 答案：3
4 答案：0.01
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动脑筋
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) 49 =
, 4 9=
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2. 化简下列二次根式．
(1)
45 ； 2
(2)
125 ． 12
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解
(1)
45 2
=
452 22
=
1 2
2
90
=
1 2
32 10 = 3 10. 2
(2)
125 12
=
12512 1212
=
1 12
2
v与地球半径R之间存在如下关系：v2 = gR，其中重
力加速度常数g 9.8m / s2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
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因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是± ，5 0 的平方根是0， 正实数a的平方根是± a．
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12512
=
1 12
25543
= 1 52 22 15 12
=
5 6
15.
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本章内容 第5章
二次根式
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本课节内容 5.1
湘教版八年级数学上册第五章《二次根式》教案
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.4.经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.5.经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.()25x --x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 【分析】1231x x +++在实数范围内有意义，23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（118（220（372【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.2.化简216x(x>0)6.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法⨯=(a≥0,b≥0).1.使学生掌握二次根式乘法法则a b ab2.使学生掌握2a=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.3.通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.4.培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm22=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？a b a b=a≥0,b≥0)··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⋅⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因a b在实数范围内却没有意义，乘为当a<0，b<0时，虽然ab有意义，而，法法则显然不能成立．3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.4.经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.5.通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.31 / 31。
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 二次根式 课件
本课节内容 5.1
二次根式
说一说
(1)平方根的定义是什么？算术平方根呢？
（2）说说下列各数的平方根和算术平方根。
①5
②4 ③0
④ -2
定义：我们把形如 a 的式子叫作二次根式，
根号下的数叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因 此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在 实数范围内有意义．
2
1 3
（2）根据以上例子，你能猜想得到怎样的一般结论吗？
( a )2 = a( a ≥ 0 ).
例2 计算：
( 1 )( 5 )2 ；
( 2 )( 2 2 )2 .
解 ( 1 ) ( 5 )2 = 5 ；
( 2 ) ( 2 2 )2 = 22× ( 2 )2 = 4× 2 =8 .
练习 计算：
则以x，y的值为两边长的等腰三角形 的周长是
思考题
已知实数a、b对应数轴上的点，如图所示：
化简：a b a2 a b2 b a2
a．
．．
0b
（2）若 y x 3 3 x 2 ，求 x y 的值.
3若a 12 b 3 c 2 0，求abc的值.
检测
（1）当x是怎样的实数时，下列式子有意义？
① 3-x
② x 1 x 1
③1 x 1
（2）计算：
① 112
② 62
③ 3
2
2
3已知实数x，y满足 x 2 y 5 0，
1.从运算顺序来看:
2 a
先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围来看:
2 a
a≥0
a 2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中的重要内容，它为学生深入学习二次函数、不等式等知识打下基础。
本节内容通过引入二次根式，让学生了解其定义、性质和运算规则，从而提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、分数、有理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需关注学生的认知差异，采用合适的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，提高运算能力。
3.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲授法：讲解二次根式的概念、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生在实际操作中掌握二次根式的运算技巧。
4.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的相关实例和运算过程。
2.练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。
3.教学黑板：准备黑板，用于板书关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入二次根式，如直角三角形的斜边长度，引发学生对二次根式的兴趣。
提问：你们知道直角三角形的斜边长度是如何计算的吗？2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，如什么是二次根式，如何表示二次根式等。
同时，通过示例讲解二次根式的性质，如二次根式的平方、乘除法等。
3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。
题目包括：判断一个式子是否为二次根式，对二次根式进行化简等。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享各自在操练过程中的经验和困惑。
八年级数学上册5.1二次根式教学课件新版湘教版
判断
1.下列(xiàliè)各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 ,
(4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数(fùshù)没有平 方根
第八页，共18页。
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围有意义？
yx
第十四页，共18页。
思考 (sīkǎo)
( a )2与 a2 有区别吗?
第十五页，共18页。
1:从运算(yùn suàn)顺序来看,
a 2先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围(fànwéi)来看,
2 a
a≥0
3.从运算结果来看:
a 2 a取任何
(rènhé)实数
a 2 =a
a2 2500
s
b3
表示(biǎoshì)一些正数的算术
平方根．
第六页，共18页。
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式.
3. 形式上含有(hán yǒu)二次根
4号. a≥0, ≥0 a ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第十二页，共18页。
堂练习(liànxí)
计算(jì
suàn)：
8
2
8
2
3 3
2
2 3 12
2
3
2 3
6
x xy 2 x3 y
第十三页，共18页。
数学湘教版八上5.1 二次根式 (课件)
5.1 二次根式(2)
湘教版 八年级上
目标
导入
1、什么是二次根式？ 我们把形如
的式子叫作二次根式
2、二次根式满足什么一说二次根式的性质？
探究
思考：计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
探究
一般地，当a≥0，b≥0时，有
因此 即：
例题
结束
例4 化简下列二次根式： 解：
注意：化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
例题
例5 化简下列二次根式： 解：
注意：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
探究
二次根式化简后的结果，具有以下特点： （1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.
练习
计算:
练习
计算:
总结
1、如何利用积的算术平方根的性质化简二次根式？
2、满足最简二次根式的条件有哪些？ （1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，对根式的进一步学习。
本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
教材通过实例引入二次根式，让学生理解二次根式的实际意义，进而学习二次根式的性质和运算。
教材内容丰富，既有理论知识，又有实际应用，能激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等知识，对根式有一定的了解。
但二次根式作为一种新的根式，对学生来说还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解二次根式的概念和性质，掌握二次根式的运算方法。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的混合运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究二次根式的概念和性质。
2.采用讲解法，讲解二次根式的运算方法。
3.运用实例分析法，让学生了解二次根式在实际问题中的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关课件，展示二次根式的概念、性质和运算。
2.准备一些实际问题，让学生进行二次根式的应用。
3.准备一些练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次根式，让学生感受二次根式的实际意义。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，掌握二次根式的运算方法。
例如，计算以下二次根式：(1)√9 + √16(2)√（25 + 1）(3)√（25 - 1）4.巩固（10分钟）讲解一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决。
5.1 二次根式 课件 2024-2025学年湘教版数学八年级上册
＝
2
)
＝(－3) 2×(
2
)
＝ 9× ＝ 6.
. － =|3.14－π|=π－3.14. 注意 π ≠ 3.14
知3－练
2－ 3
4-1.化简：(1) ( － ) =_________；
(2)(－3
2
)
解： －3
.
12
2
＝(－3) ×
解：由题意得
(2)
知2－练
0
－ － ≥ ，
∴x≤－3且x≠
+ ≠ ，
－ 5.
+
由题意得
+
≥ ，
+ ≠
，∴ x> －
.
(3) － － －
解：由题意得
(4)
－ ≥ ，
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
－ ≥ ，
+
－
方根同样适用；
(2) 运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因式，
把含有 a2 形式的 a 移到根号外面 .
例6 [母题 教材 P158例 4 ]化简：
知4－练
(1) (－ ) × (－ )； (2) + ；
(3) . �� (x ≥ 0， y ≥ 0)；
根是 2______．
知3－练
3-2.已知 － ＋ － ＝ b+8，求 － 的值．
a－1≥0，
解：由题意得
1－a≥0，
a≥1，
解得
即
a≤1，
a＝1，∴0＝b＋8，∴b＝－8，
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初中数学试卷
5.1二次根式
一、填空题
1．a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，12
--
x 有意义，当x ______时，3
1+x 有意义． 3．若无意义2+x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49＝_______；
(2)2)7(_______； (3)2
)7(-_______；
(4)2)7(--_______； (5)2)7.0(_______；(6)22])7([- _______． 二、选择题
5．下列计算正确的有( )．
①2)2(2
=- ②22=- ③2)2(2=- ④2)2(2-=-
A ．①、②
B ．③、④
C ．①、③
D ．②、④
6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ．23-
B ．2)3.0(-
C ．2-
D ．x
7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2-x
B ．x -2
C ．22-x
D ．22x -
8．已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是( )． A ．2
1>
a B ．2
1<
a C ．2
1≥
a D ．2
1≤
a 三、解答题
9．当x 为何值时，下列式子有意义? (1);1x - (2);2x -
(3);12+x (4)
⋅+-x
x
21
10．计算下列各式：
(1);)23(2 (2);)1(22+a
(3);)4
3
(22-⨯-
(4).)3
23
(2-
综合、运用、诊断
一、填空题
11．x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使
1
2-x x
有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时，2244121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题
15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )．
A ．2-x
B ．
2
1-x C ．
x
-21 D ．
1
21-x
16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )．
A ．－7
B ．－5
C ．3
D ．7
三、解答题
17．计算下列各式：
(1);)π14.3(2- (2);)3(22--
(3);])3
2
[(21-
(4).)5.03(
22
18．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式a
ac
b b 242-±-的值．
拓广、探究、思考
19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：
化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______________________．
20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求
△ABC 的c 边的长．
答案与提示
1．a ≥－1．2．<1， >－3．3．x <－2．
4．(1)7； (2)7； (3)7； (4)－7； (5)0.7； (6)49． 5．C ． 6．B ． 7．D ． 8．D ．
9．(1)x ≤1；(2)x ＝0；(3)x 是任意实数；(4)x ≤1且x ≠－2．
10．(1)18；(2)a 2＋1；(3);23
- (4)6．
11．x ≤0． 12．x ≥0且⋅=/
2
1
x 13．±1． 14．0． 15．B ． 16．D ． 17．(1)π－3．14；(2)－9；(3);23 (4)36． 18．2
1
-或1．
19．0． 20．提示：a ＝2，b ＝3，于是1<c <5，所以c ＝2，3，4．。