拉普拉斯变换410线性系统的稳定性
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
动力学系统中的稳定性分析方法和准则
动力学系统中的稳定性分析方法和准则动力学系统是研究物体或系统在时间变化中的行为和变化规律的学科。
在实际应用中，我们经常需要分析系统的稳定性，以便了解系统的演化趋势和预测未来的行为。
本文将介绍动力学系统中的稳定性分析方法和准则。
一、线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法是一种常用的分析动力学系统稳定性的方法。
它基于线性化假设，即假设系统在某一点附近可以近似为线性系统。
线性稳定性分析方法的基本思想是通过研究线性系统的特征值来判断系统的稳定性。
线性稳定性分析方法中的一个重要工具是雅可比矩阵。
雅可比矩阵是一个方阵，其元素是系统的偏导数。
通过计算雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统在某一点的稳定性。
如果所有特征值的实部都小于零，那么系统在该点是稳定的。
二、非线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法只适用于线性系统，而在实际应用中，我们经常遇到非线性系统。
非线性稳定性分析方法通过研究系统的相图来判断系统的稳定性。
相图是描述系统状态随时间变化的图形。
通过绘制相图，我们可以观察系统的稳定点、极限环等特征，从而判断系统的稳定性。
例如，如果相图中存在一个稳定点，那么系统在该点是稳定的。
非线性稳定性分析方法中的一个重要工具是李雅普诺夫函数。
李雅普诺夫函数是一个能够衡量系统状态随时间变化的函数。
通过研究李雅普诺夫函数的变化趋势，我们可以判断系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数随时间递减，那么系统是稳定的。
三、稳定性分析准则稳定性分析准则是判断系统稳定性的一些基本规则。
在动力学系统中，有许多经典的稳定性分析准则。
其中一个著名的稳定性分析准则是拉普拉斯稳定性准则。
拉普拉斯稳定性准则是基于拉普拉斯变换的方法，通过计算系统的传递函数来判断系统的稳定性。
如果系统的传递函数的所有极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
另一个常用的稳定性分析准则是Nyquist准则。
Nyquist准则是基于奈奎斯特曲线的方法，通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
拉普拉斯终值定理使用条件
拉普拉斯终值定理使用条件拉普拉斯终值定理是控制工程中一种常用的稳态分析方法，主要用于计算线性时不变系统的稳态响应。
它提供了一个便捷的方式，可以通过求解系统的拉普拉斯变换，而不必直接求解系统的微分方程。
拉普拉斯终值定理适用于线性、时不变、因果系统，并且要求系统是稳定的。
以下将详细介绍拉普拉斯终值定理的使用条件和基本原理。
1.线性性：拉普拉斯终值定理只适用于线性系统。
线性系统是指输出和输入之间遵循线性关系的系统，即输出的线性组合等于输入的线性组合。
2.时不变性：时不变性是指系统的行为不随时间的推移而改变。
即系统需要满足输入信号的延时或提前相应相同的时间，才能认为系统是时不变的。
3.因果性：因果系统是指输出只依赖于当前时刻及之前的输入，而不依赖于未来的输入。
因此，拉普拉斯终值定理只适用于因果系统。
4.系统稳定性：系统稳定性是指系统在有界输入下的输出也是有界的。
拉普拉斯终值定理要求系统是稳定的，否则无法使用该定理进行稳态分析。
拉普拉斯终值定理的基本原理是通过利用拉普拉斯变换的技巧，将原始问题转化为解析函数的计算问题。
具体来说，先将系统的微分方程用拉普拉斯变换转化为代数方程，然后利用拉普拉斯变换表格查找变换后的解析函数，最后应用拉普拉斯终值定理计算系统的稳态响应。
y(t) = \lim_{s\to0}sY(s)其中，Y(s)为系统的拉普拉斯变换函数，y(t)为系统的稳态响应。
通过拉普拉斯终值定理，可以方便地计算出一些系统的具体参数，如稳态误差、稳态增益等。
此外，拉普拉斯终值定理可以推广到多变量系统和离散系统中，为控制工程提供了更广泛的应用。
需要注意的是，拉普拉斯终值定理只适用于稳态分析，即在系统达到稳定状态后的分析。
它不能提供关于系统的瞬态响应信息。
如果需要完整地了解系统的动态行为，还需要结合其他方法，如零极点分布等。
综上所述，拉普拉斯终值定理的使用条件包括线性性、时不变性、因果性和系统稳定性。
它为稳态分析提供了一种有效的方法，可以在一定的假设和条件下，通过拉普拉斯变换和终值定理计算线性时不变系统的稳态响应。
第四章 线性系统的稳定性
K H1 ( s ) = s( s + 1)( s + 10)
K取何值时系统为稳定系统。
＋
F(s)
X(s) H1(s) Yf(s)
－
解 令加法器的输出为X(s)， 则有
X ( s) = F ( s) − Y f ( s) Y f ( s ) = H1 ( s ) X ( s ) = H1 ( s )[ F ( s ) − Y f ( s )]
由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为 (4.8-20) (4.8-21)
1 an cn −1 = − an −1 an −1 k = 10 − 11 1 an cn −3 = − an −1 an −1
an − 2 1 1 10 =− an −3 11 11 k
1 11 K 10 − 11 K
N ( s) H ( s) = D( s)
D ( s ) = an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
稳定系统的极点应位于s平面的左半平面， 因此D(s)根的 实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a>0 (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2 =s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c 将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。 这两类因式相乘后， 得到的多项式系数必然为 正值， 并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可 得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：
线性系统的稳定性
-
1
传递函数为：
K1
(s)
n2 (s K1)
s
s3 2ns2 n2s K1n2
闭环系统特征方程为：
n2 s(s 2n )
C(s)
D(s) s3 2ns2 n2s K1n2
s3 2 0.2 86.6s2 86.62 s K186.62 s3 34.6s2 7500s 7500K1
一种代数判据，1895年由Hurwitz提出。
设系统特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
其系数行列式为：
a1 a3 a5 a7
a2n1
a0 a2 a4 a6
a2n2
0 a1 a3 a5
a2 n 3
Dn 0 a0 a2 a4
a2n4
0 0 a1 a3
a2n5
0000
例8：系统特征方式为 s4 2s3 8s2 4s 2 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0
D1 2 0 240
D3 1 8 2 40 0 024
所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0 ，故系统稳定。
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D(s1) 2(s1 1)3 10(s1 1)2 13(s1 1) 4 2s13 4s12 s1 1
列劳斯表：
s13
4
1
s12
4
1
s11
1 2
s10
1
劳斯第一列系数的符号变化了1次, 因此该方程中
有1个根在s＝－1（新的虚轴）的右边, 故系统稳定裕
量达不到－1。
3.5.6 赫尔维茨(Hurwitz)判据（补充）
自动控制原理线性系统的稳定性分析
ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线如下图：
2.0
1.8
1.6
1.4
c(t)
1.2 1.0
0.8
0.6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
1 右移一位降两阶 2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s0 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
6 一行可同乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行
表 劳=0s4 1 7 6
s3 51 51
② 由零行的上一行构成
辅助方程:
s2+1=
斯 s2 61 61
2) 忽略偶极子的影响。
例 如 ： (s)
(s
10 5)(s2 1.5s
2)
5( s
10 1)(s2 1.5s
2)
'(s)
s2
2 1.5s
2
52 (s 0.75 j1.2)( s 07.5
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
第四章拉普拉斯变换
拉氏变换定义
如有界非周期信号 ; 有稳定幅度的周期信号 0;
随时间成正比增长的信号 0; 按指数eat 增长的信号 a。
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def
0
f (t )e st dt
2. 基本信号的单边拉氏变换 (1)阶跃函数
时间微分性质(续)
t 0 时， f t 0 ，且无原始储能， 若 f t 为有起因信号，即
即 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 2 f ( t ) sF ( s ) f ( t ) s F ( s ), 则 ，
常用函数的拉氏变换表可查用。
3. 常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
1 阶跃函数 u (t ) , 0 1 s
L
L 2 冲激函数 (t )
1,
3 指数函数 e
at
1 , －a sa
L
常用信号的拉氏变换(f(t), t>0)
单边周期信号的拉氏变换(续)
（2）周期性脉冲的拉氏变换
f T ( t ) f 1 ( t ) f 1 ( t T ) f 1 ( t 2T )
FT ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e sT F1 ( s )e 2 sT F1 ( s )(1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin t[u (t ) u (t )] T 2
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
LT
sT 2
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3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)
（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；
线性系统稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
g1
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1aΒιβλιοθήκη 1an an4b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
s
例：P70 稳定程度应用
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3。
1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的.否则，系统不稳定.一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的.因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应,因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多.然而，对于非线性系统和线性时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫（A 。
M. Lyapunov ）稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的.技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要.在本章中,对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3。
2。
1 外部稳定:考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t),所产生的输出y （t)也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定.注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的. 系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a)时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
傅里叶拉普拉斯变换的意义
傅里叶拉普拉斯变换的意义1.泛函变换：傅里叶拉普拉斯变换可以将一个函数转化为复变量的函数，即将时域中的函数变换为复频域中的函数。
这种转换将时间域表示的信号转化为新的复变量域中的频率表示，从而方便我们分析和处理信号的频率特性。
通过傅里叶拉普拉斯变换，我们可以更好地理解信号的频域特性，包括频率范围、频谱形状、频率成分等。
2.线性时不变系统分析：傅里叶拉普拉斯变换在线性时不变系统的分析中起到了重要的作用。
通过将系统的输入和输出信号转化为复频域中的函数，我们可以有效地分析系统对不同频率输入信号的响应特性。
傅里叶拉普拉斯变换可以将线性时不变系统的微分方程转化为代数方程，从而可以更好地理解和解决系统的稳定性、频率响应、系统函数等问题。
3.信号处理和滤波器设计：傅里叶拉普拉斯变换在信号处理和滤波器设计中起到了重要的作用。
通过对信号进行傅里叶拉普拉斯变换，可以将信号分解为不同频率成分，从而可以更好地处理和分析信号的频率特性。
对于滤波器设计来说，傅里叶拉普拉斯变换可以帮助我们了解滤波器的频率响应、通带和阻带特性等，从而设计出具有特定频率响应的滤波器。
4.系统稳定性分析：傅里叶拉普拉斯变换对于分析系统的稳定性具有重要意义。
通过将系统的微分方程转换为复频域的代数方程，我们可以通过计算解析函数的极点和零点来判断系统的稳定性。
如果系统的所有极点都位于复平面的左半部分，则系统是稳定的；如果存在至少一个极点位于复平面的右半部分，则系统是不稳定的。
5.信号传输和控制系统分析：傅里叶拉普拉斯变换对于分析信号传输和控制系统的性能具有重要意义。
通过傅里叶拉普拉斯变换，我们可以分析信号在信号传输过程中的衰减、失真和延迟等问题，从而设计出具有稳定传输特性的通信系统。
在控制系统中，傅里叶拉普拉斯变换可以帮助我们分析系统的稳定性、响应时间、超调量等性能指标，从而设计出具有良好控制特性的控制系统。
综上所述，傅里叶拉普拉斯变换在数学、工程和物理等领域中都具有重要的意义。
拉普拉斯变换法则
拉普拉斯变换法则引言：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、电路分析、控制系统等领域。
它将时域中的函数转换为复频域中的函数，使得分析和处理连续时间系统更加简洁和方便。
本文将介绍拉普拉斯变换法则及其应用。
一、拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是指对函数f(t)进行变换，得到一个新的函数F(s)，其中s是一个复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt二、拉普拉斯变换的法则：1. 线性性质：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2. 延时性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(t - τ)的拉普拉斯变换为e^(-sτ)F(s)3. 导数性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f'(t)的拉普拉斯变换为sF(s) - f(0)4. 积分性质：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则∫[0,t]f(τ)dτ的拉普拉斯变换为1/(sF(s))5. 初值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(0+) = lim(s→∞) sF(s)6. 终值定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则lim(t→∞) f(t) = lim(s→0) sF(s)7. 卷积定理：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则它们的卷积f(t)*g(t)的拉普拉斯变换为F(s)G(s)三、拉普拉斯变换的应用：1. 线性时不变系统分析：通过将系统的输入信号和系统的冲击响应函数进行拉普拉斯变换，可以得到系统的频域响应函数，从而分析系统的稳定性、频率特性等。
2. 电路分析：拉普拉斯变换可以简化电路分析的过程，尤其是对于复杂的电路网络。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉普拉斯变换，可以得到复频域中的电压和电流关系，从而分析电路的动态特性。
线性系统的稳定性
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
自动控制原理3.5 线性系统的稳定性分析
§ 3---5 线性系统的稳定性分析
五、稳定判据的应用：
例7．单位反馈：
Gk (s)
s(s
K1 1)(s
2)
，确定使系统稳
定的临界值 K1c和Kc。
K1
解：Gk (s)
2 s(s 1)(0.5s 1)
§ 3---5 线性系统的稳定性分析
稳定的充要条件（续）
C(s) M(s) P(s) M0(s) n
Ai
q
Bj
n
Ci
D(s) Q(s) D(s) i1 s si j1 s srj i1 s si
c(t)
n
( Ai Ci )eSit
s4 1 s3 2
35 40
s2 6 4 1
5
2
s1 4 10＝ 6 1
s0 5
所以系统不稳， 且有两个右根。
§ 3---5 线性系统的稳定性分析
四、劳斯判据：
[为简化计算，可用某个正数去乘或除劳斯表中任意 一行的系数，不会改变稳定性的结论。]
例4． s4 3s3 3s2 2s 2 0
§ 3---5 线性系统的稳定性分析
三、古尔维茨判据： 行列式中对角线各元素为特征方程中自第二项开始
的各项系数。每列皆以对角线的元素为准，系数a
的角标向上 依次上升，向下依次下降，当写到特征
方程中不存在的系数时，补零。
★系统稳定的充要条件：在 a0 0 的条件下，各阶主
子式均大于零，否则系统不稳。
稳定的充要条件（续）
拉普拉斯变换§4.10 线性系统的稳定性
•引言 •定义（BIBO） •证明 •由H(s)的极点位置判断系统稳定性
一．引言
某连续时间系统的系统函数
Hs 1 0.001
s1 s2
当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs
s
1
0.005 s
s
1
1
0.005 s2
稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励 信 号 的 情 况 无 关 。 冲 激 响 应 和 h(t) 、 H(s) 系 统 函 数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。
X
二．定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO） 稳定的系统，简称稳定系统。
对所有的激励信号e(t)
其响应r(t)满足
et Me rt Mr
则称该系统是稳定的。式中，Me , Mr为有界正值。 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：
ht d t M
M为有界正值。
X
三．由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
rzs t 1 et 0.005e2t ut
但t很大时，这个正指数项
超过其他项并随着t 的增
大而不断增大
X
……续
实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号 将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或 截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使 系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设 备等。
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稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激 励信号的情况无关 。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确 定系统的稳定性。
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶
（或以上）极点 lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。
t 为,非h(零t) 数值或等幅振荡。
X
4．系统稳定性的判据
时域： h(t) d t
从频域看要求H(s)的极点： ①右半平面不能有极点(稳定) ②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。
X
X
二．定义（BIBO）
一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也 是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳 定的系统，简称稳定系统。
对所有的激励信号e(t)
其响应r(t)满足
et Me rt Mr
则称该系统是稳定的。式中， Me , Mr为有界正值。 稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：
ht d t M M为有界正值。 X
三．由H(s)的极点位置判断系统稳定性
1．稳定系统
若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚 轴），则可满足
系统是稳定的。
lim h(t) 0
t
例如 1 ,
s p
p0
系统稳定；
1 s 2 ps q
p 0, q 0 系统稳定。
X
2．不稳定系统
一．引言
某连续时间系统的系统函数
H s 1 0.001
s1 s2ຫໍສະໝຸດ 当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为
0.005 1
Rzs s
1
0.005 s
s
1
1
0.005 s2
rzs t 1 et 0.005 e2t ut
但t很大时，这个正指数项
超过其他项并随着t 的增
大而不断增大
X
……续