名校高三AB滚动测试示范卷数学数学ab滚动卷9-15

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重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题

重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由④⑤得()()24-+-=g x g x ，则()()24++=g x g x ，所以()()424+++=g x g x ，得到()()4g x g x +=，()g x 周期为4，因为()()24-+-=g x g x ，令1x =，则()()114g g +-=，又因为()g x 为偶函数，则()()11g g =-，则()241=g ，所以()12g =，()()()20254506112=´+==g g g ，故选项B 错误；因为()()422f x g x -+-=，得()()22f x g x +-=，()()22f x g x -+=，又因为()()24-+=g x g x ，所以()()20f x f x +-=，又因为()()4f x f x =-，所以()()420-+-=f x f x ，所以()()20f x f x ++=，则()()42()f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，由③知，()()()4f x f x f x =-=-，所以()f x 是R 上的偶函数，故选项C 正确；由选项B 知，()()22f x g x +-=，()()4f x f x =-，()()24-+=g x g x ，对三个式子分别关于x 求导可得，()()20¢¢--=f x g x ⑥，()()4f x f x ¢¢=--⑦，()()20¢¢--=g x g x ⑧，由⑥得()()20¢¢--=f x g x ⑨，⑥-⑨结合⑧可得()()2f x f x ¢¢=-，又因为()()4f x f x ¢¢=--，则()()()22¢¢¢+=--=-f x f x f x ，即()()2f x f x ¢¢+=-，则()()()42f x f x f x ¢¢¢+=-+=，()f x ¢周期为4，由()()4f x f x ¢¢=--知，()()22¢¢=-f f ，()20f ¢=，所以DM AD^，因为AP^平面ABCD，且DMÌ平面ABCD，，所以AP DM^因为AP AD AAP ADÌ平面PAD，Ç=，,所以DM^平面PAD，且ANÌ平面PAD，所以DM AN^，因为AP AD=，且点N是线段PD的中点，所以AN PD^，又因为DM PD DDM PDÌ平面PDM，I，,=所以AN^平面PDM，（2）因为AP^平面ABCD，且90Ð=°，BAD所以直线,,AB AD AP两两垂直，以A为原点，分别以直线,,AB AD AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由2224====得，BC AB AP AD利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式.。

重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。

吉林省2024-2025学年高三上学期10月期中考试(第78届联考)数学试题含答案

2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】因为{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，所以A B = {}0,2，故选:A.2.已知命题p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，那么命题p ⌝为（）A.x R ∃∈，2e 1x x ≥-B.x R ∀∈，2e 1x x <-C.x R ∀∈，2e 1x x ≥-D.x R ∀∈，2e 1x x >-【答案】C 【解析】【分析】利用特称命题的否定变换形式即可求解.【详解】p ：x R ∃∈，2e 1x x <-，则p ⌝：x R ∀∈，2e 1x x ≥-.故选：C3.函数()2ln 6f x x x =+-的零点所在区间为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,3【答案】D 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断出函数()y f x =的零点所在的区间.【详解】易知函数()y f x =在 ꌸध 上单调递增，又()150f =-<，()2ln 220f =-<，()3ln 330f =+>，故函数()y f x =的零点所在区间为()2,3．故选：D.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.4.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30330m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4-︒=A.30mB.60mC.303mD.603m【答案】D 【解析】【分析】在ACM △中，利用正弦定理，得sin15sin 30AM CM ︒=︒，再结合锐角三角函数的定义，求得AM ，CD ，得解．【详解】由题意知，45CAM ∠=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt ABM 中，sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒，在ACM △中，由正弦定理得，sin 30sin 45AM CM=︒︒，所以sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ︒︒==︒︒⋅︒，在Rt DCM中，()30sin 45sin 60sin 6060sin15sin 30AB CD CM -⋅︒⋅︒=⋅︒==︒⋅︒所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故选：D ．5.设π02θ<<，若()2sin cos 3θθθ++=，则sin2θ=（）A.32B.12C.2D.34【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出πsin(2)13θ+=，结合角的范围求得θ，即可求得答案.【详解】由题意()2sin cos 3θθθ++=，则12sin cos 3θθθ++=，即sin22θθ+=，故π2sin(2)23θ+=，即πsin(2)13θ+=，由于π02θ<<，所以ππ4π2(,333θ+∈，则ππ232θ+=，即π12θ=，故π1sin2sin 62θ==，故选：B6.曲线2e x y x =在点()1,e 处的切线方程为（）A.e 2e 0x y +-=B.3e 4e 0x y +-= C.3e 2e 0x y --= D.e 32e 0x y -+=【答案】C 【解析】【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由2e x y x =，得22e e e (2)x x x y x x x x '=+=+，所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为3e k =，故所求切线方程为e 3e(1)y x -=-，即3e 2e 0x y --=．故选：C.7.已知4log 2a =，8log 3b =，1215c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.a b c << B.c a b<< C.a c b<< D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得12a =，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出12b >和12c <即可得解.【详解】由题41log 22a ==，又由3log y x =是增函数可知881log 3log 2b =>=，121152c ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，∴c a b <<，故选：B.8.函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1【答案】A 【解析】【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在时，2log y x =存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件B.221log 4y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最大值为2-C.若22cos sin 1αβ+=，则αβ=D.命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∀∈+∞，11x x+≤”【答案】AB 【解析】【分析】利用特殊值判断A ，根据对数函数的性质判断B ，利用平方关系及诱导公式判断C ，根据含有一个量词命题的否定判断D.【详解】对于A ：若0a =，1b =-，满足a b >，但是22a b <，故充分性不成立，若1a =-，0b =，满足22a b >，但是a b <，故必要性不成立，即“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故A 正确；对于B ：由2104x -+>，解得1122x -<<，所以函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，又211044x <-+≤，所以当0x =时函数221log 4y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，且max 21log 24y ==-，故B 正确；对于C ：因为22cos sin 1αβ+=，又22cos sin 1ββ+=，所以22cos cos αβ=，所以πk βα=+，Z k ∈，故C 错误；对于D ：命题“()0,x ∀∈+∞，11x x +>”的否定是“()0,x ∃∈+∞，11x x+≤”，故D 错误；10.下列说法正确的是（）A.函数()f x =()g x =是相同的函数B.函数()f x =的最小值为6C.若函数()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则1k =D.已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()f x 的定义域为[]1,3-【答案】AD 【解析】【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A ，由基本不等式即可求解B ，根据奇函数的性质即可求解C ，由抽象函数定义域的性质即可求解D.【详解】对于A ，由题意可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，所以()f x =[1-，1]．由210x -≥得11x -≤≤，所以()g x =[1-,1]．又因为()()f x g x =，故函数()f x 与()g x 是相同的函数，故A 正确．对于B,()6f x ==2169x +=方程无解，故等号不成立，故B 错误．对于C,若()313xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，当0k <时，x 需要满足01313xxkk +≠≠-⋅⇒，则由奇函数定义域关于原点对称，可得0131k k-=⇒=-，此时()()133031131x x x x f x x --==≠-+-，()()13313131x x x xf x f x ---===--++-，为奇函数，所以1k =-满足题意；若0k ≥，可得函数的定义域为R ,故()1001k f k-==+，解得1k =，经检验符合题意，所以1k =±，故C 错误，对于D ，对于已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则11x -≤≤，故1213x -≤+≤，则函数()f x 的定义域为[]1,3-，D 正确，故选：AD ．11.已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =++的图象为C ，以下说法中正确的是（）A.函数()f x 的最大值为12+B.图象C 关于π8,0⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D.函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到2sin 12y x =+【答案】CD 【解析】【分析】根据降幂公式、二倍角正弦公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】()211cos 2112πsin sin cos sin 2sin 21222224x f x x x x x x -⎛⎫=++=++=-+ ⎪⎝⎭.A ：函数()f x 的最大值为12+，因此本选项不正确；B ：因为π2ππsin 2118284f ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图象C 不关于π8,0⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，因此本选项不正确；C ：当π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,422x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，因此本选项正确；D ：函数()f x 图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到2πsin 124y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再向左平移π4可得到2sin 12y x =+，所以本选项正确，故选：CD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.设1x >-，则函数461y x x =+++的最小值是__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，化简4461511y x x x x =++=+++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由1x >-，可得10x +>，则446155911y x x x x =++=+++≥+=++，当且仅当411x x +=+时，即1x =时，等号成立，所以函数461y x x =+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.13.已知集合2}71|0{2A x x x =++≤，集合{}|122B x m x m =-<<其中x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是________________．【答案】5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由条件可得AB ，化简集合A ，根据集合的包含关系列不等式可求m 的取值范围.【详解】因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以AB ，因为不等式27120x x ++≤的解集为{}43x x -≤≤-，所以{}43A x x =-≤≤-，所以23124m m >-⎧⎨-<-⎩，所以52m >，所以m 的取值范围是5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.14.关于函数()22sin cos f x x x x =-，有如下命题：（1）3x π=是()f x 图象的一条对称轴；（2）,06π（）是()f x 图象的一个对称中心；（3）将()f x 的图象向左平移6π，可得到一个奇函数的图象．其中真命题的序号为______________．【答案】(2)(3)【解析】【分析】将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题．【详解】由题意得()sin22cos 26f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，对于（1），当3x π=时，22cos 2336f πππ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3x π=不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确．对于（2），6x π=时，2cos 0636f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06（）是()f x 图象的一个对称中心，所以（2）正确．对于（3），将()f x 的图象向左平移6π后所得图象对应的解析式为()2cos 266f x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦2cos 2222x sin x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，为奇函数，所以（3）正确．综上可得（2）（3）为真命题．故答案为（2）（3）．【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的形式后，将26x π+作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题．四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U R =，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ð；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<I ð；（2）[]3,0-【解析】【分析】（1）分别求出U B ð和A ,再取交集，即可．（2）因为B A ⊆且11m m -<+恒成立，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解出即可．【详解】解：（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<ð或 h ，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤<I ð．（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得[]3,0m ∈-．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．16.已知函数()ln sin f x x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值．【答案】（1）()1cos1sin1cos11y x =++--（2）sin1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线方程即可.（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.【小问1详解】由题意得，()1cos f x x x+'=，所以()11cos1f =+'，又()1sin1f =，所以曲线 y m 在点 ꌸm 处的切线方程为()()sin11cos11y x -=+-，即()1cos1sin1cos11y x =++--；【小问2详解】由上问得()1cos f x x x +'=，因为1y x =和cos y x =均在区间[]1,e 上单调递减，所以m 在区间[]1,e 上单调递减，因为()11cos10f +'=>，()112π11e cose cos 0e e 3e 2f =+<+=-<'，所以()0f x '=在()1,e 上有且只有一个零点，记为0x ，所以[)01,x x ∈时，m ；(]0,e x x ∈时，m ，所以()f x 在[)01,x 上单调递增，在(]0,e x 上单调递减，因为()()1sin1,e 1sine f f ==+，所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值为sin1．17.已知函数()22sin .f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）最小正周期T π=，单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由周期公式计算得()f x 的最小正周期，由222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈可解得函数()f x 的单调增区间；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，进一步求出sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得结果．【详解】（1）()22sin 1cos2f x x x x x=+=+-12sin2cos212sin 21226x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()f x \的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，Z k ∈，得63k x k ππππ-＃+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为1-()2216f x sin x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3．【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>，把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；18.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =.（1）求A ；（2）求2b c a +的最大值.【答案】（1）π3A =（2）2213.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan A =，结合角的范围即可求解；（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()23b c B a ϕ+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】方法1：由sin cos b A B +=及正弦定理可得：()sin sin cos B A A B C A B +==+，所以sin sin cos cos sin B A A B A B A B +=+，故sin sin sin B A A B =，因为0πB <<，即sin 0B >，故sin 0A A =>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.方法2：由sin cos b A B +=及余弦定理可得：()222sin2a c b b A ac +-+=，所以)222sin 02b c a A A bc +-==>，所以tan A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由正弦定理可知22sin sin sin b c B C a A++=，即()2232π23532212sin sin sin cos sin 333223b c B B B B B a ϕ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其中πtan 52ϕϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，2π7π0,036B B ϕ<<∴<+< ,故当π2B ϕ+=时，2b c a +19.设函数()2ln 25f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若关于x 的方程()()226f x x m x =+-在区间2[1,e ]上有唯一实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）极小值为()13f =-；（2）222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【解析】【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解，设()ln 1x g x x=+，然后得到函数()g x 的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据y m =和函数()g x 的图象可得到所求的范围．【详解】（1）依题意知()f x 的定义域为()0,+∞，∵()2ln 25f x x x x =+-，∴()()()2411145145x x x x f x x x x x---+='=+-=，令()0,f x '=解得1,x =或14x =则()()1010,4x x f x f x '当或时，单调递增，()1104x f x <<<'当时，，()f x 单调递减．∴所以当 y 时函数()f x 取得极小值，且极小值为()13f =-．（2）()()()226ln 1f x x m x x m x =+-=-由得，0x >又，所以ln 1x m x=-，()()22261,e ,f x x m x ⎡⎤=+-⎣⎦要使方程在区间上有唯一解只需2ln 11,e x m x ⎡⎤=+⎣⎦在区间上有唯一解．令()ln 1(0)x g x x x =+>，则()21ln x g x x -'=，由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得2e x e ≤≤∴()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数.∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e =+，又()()2222ln 211,11e g g ee e ==+=+，∴当11m e =+或2211m e ≤<+时，ln 1x m x =+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一解，∴实数m 的取值范围为222{|11,=1}m m m e e≤<++或．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．。

湖北武汉九月调考2024届高三数学试卷

2023～2024学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2023.9.5本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={xlx²-2x-8<0},B={-2,-1,0,1,2}, 则ANB=A.{-2,-1,0,1,2B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1D.{-2,-1,0,1}2.复数,则z-i=A B C. 口3.两个单位向量e₁与e₂满足e₁·e₂=0, 则向量e₁-√3e₂与e₂的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°数学试卷第1页(共5页)4.要得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移个单位B. 向左平个单位C. 向右平个单位D.向右平移个单位5.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示(图中数据单位为cm), 则该玻璃杯近似模型的体积(单位：cm³)为图1 图2B6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h) 的关系为N=N ₀e-“, 其中N ₀ 为初始污染物的数量，k 为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%,则可计算前6小时共能过滤掉污染物的A.49%B.51%C.65.7%D.72.9% 7.过双曲线)的左焦点F 作圆x²+y²=a²的一条切线，设切点为T,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A,若FA=3 FT,则双曲线E 的离心率为A.√3B.√58.已知A,B,C,D 是半径为√5的球体表面上的四点，AB=2,∠ACB=90°,∠ADB=30°,则平面CAB 与平面 DAB 的夹角的余弦值为B.C.数学试卷第2页(共5页)A口口口二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末数学试卷(附答案)

福建省高中名校2024学年高三年级第一学期期末试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（）A 2B. 2i -C. 2-D. 2i2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D. (4,)+∞3. 已知向量(3,5)a =r，(1,21)b m m =-+，若//a b，则m =（）A. 8B.8- C. 213-D. 87-4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（） A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（）A 4B. 8C. 6D. 107. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（） A. 52π B. 52π3 C. 208π3D.103π38. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的..取值范围为（）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D. (,4]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +的最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 9295 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（）A. 直线AB 截圆C 所得的弦长为B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）的A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项D.20241()2024i f i ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC所成角的余弦值为10，则1CC =_________.15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且的()320D X >，求K 的最小值.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =，求b c +.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.22. 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由.的答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数2i1i z =+，则z z -=（）A. 2B. 2i -C. 2-D. 2i【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据条件，利用复数的运算即可求出结果. 【答案详解】因为2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-，所以1i z =-，故2i z z -=，故选：D.2. 已知集合{}2680A x x x =-+>，{}30B x x =-<，则A B = （） A. (2,3)B. (3),-∞C. (,2)-∞D.(4,)+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】解一元二次不等式化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【答案详解】因为{4A x x =>或}2x <，{}3B x x =<，所以{}2A B x x ⋂=<. 故选：C.3. 已知向量(3,5)a =r ，(1,21)b m m =-+ ，若//a b ，则m =（）A. 8B.8- C. 213-D. 87-【答案】B 【答案解析】【详细分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.【答案详解】因为//a b ，所以3(21)5(1)m m +=-，所以8m =-.故选：B.4. 已知0.3log 2a =，0.23b =，0.30.2c =，则（） A. b c a >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】A 【答案解析】【详细分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较.【答案详解】因为0.30.3log 2log 10a =<=，0.20331b =>=，0.30.2(0,1)=∈c ，所以b c a >>.故选：A5. 已知函数()ππcos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2()sin 22cos 1g x x x =-+的图象，只需将()f x 的图象（）A. 向左平移π8个单位长度 B. 向左平移3π4个单位长度 C. 向右平移3π4个单位长度D. 向右平移3π8个单位长度【答案】D 【答案解析】【详细分析】先把()f x ，()g x 的答案解析式都化成()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，再用图象的平移解决问题.【答案详解】()πππππcos sin 2244442f x x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2π3πsin 22cos 1sin 2cos 22244g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得3π3π2284y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()g x 的图象. 故选：C6. 抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（） A. 4 B. 8C. 6D. 10【答案】B 【答案解析】【详细分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案. 【答案详解】因为OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，||2pOF =，所以OFM △的外接圆的圆心到准线的距离624p p+=，可得8p =.故选：B.7. 已知ABC 是边长为8的正三角形，D 是AC 的中点，沿BD 将BCD △折起使得二面角A BD C --为π3，则三棱锥C ABD -外接球的表面积为（） A. 52πB. 52π3 C. 208π3D.103π3【答案解析】【详细分析】根据给定条件，结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得. 【答案详解】在三棱锥C ABD -中，,,,,BD AD BD CD AD CD D AD CD ⊥⊥=⊂ 平面ACD ，由二面角A BD C --为π3，4AD CD ==，得ACD 是正三角形，令其外接圆圆心为O '，则2πsin 333O D AD '==，令三棱锥C ABD -外接球的球心为O ，球半径为R ，则OO '⊥平面ACD ，即有//OO BD '，显然球心O 在线段BD 的中垂面上，令线段BD 的中垂面交BD 于E ，则OE BD ⊥，显然O D BD '⊥，于是//OE O D '，四边形OEDO '是平行四边形，且是矩形，而12==DE BD22222252(33R OD OE DE ==+=+=，所以三棱锥C ABD -外接球的表面积22084ππ3S R ==. 故选：C8. 在数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=，当2n ≥时，1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，则实数λ的取值范围为（） A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (0,1]D.(,4]-∞【答案解析】【详细分析】先根据递推关系得到111n n na a a +-=-，把条件转化为22λ≤，从而可得答案. 【答案详解】因为1n n a a n +=，11a =，所以21a =，且当2n ≥时，11n n a a n -=-，所以111n n n n a a a a +--=，所以111n n na a a +-=-，所以3142531123111n n na a a a a a a a a a a +-+++=-+-+-++-= 12112n n n n a a a a a a ++--++=+-.因为1231112n n na a a a a λ++++≤+- ，所以1122n n n n a a a a λ+++-≤+-，所以22λ≤，故1λ≤. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（） A. 若0a b <<，则22a ab b >> B. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2 C. 若2a b +=，则22a b +最大值为2 D. 若(0,2)x ∈，则1122x x+≥- 【答案】AD 【答案解析】【详细分析】利用作差法比较大小判断A ，利用基本（均值）不等式判断BCD ，要注意“一正二定三相等”.【答案详解】因为2()0a ab a a b -=->，所以2a ab >，的因为2()0=->-b a b ab b ，所以2ab b >，所以22a ab b >>，故A 正确；因为221222x x ++≥+的等号成立条件22122x x +=+不成立，所以B 错误；因为222122a b a b ++⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以222a b +≥，故C 错误；因为11111121(2)2(22)2222222xx x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当112x x=-，即1x =时，等号成立，所以D 正确. 故选：AD10. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 早睡群体睡眠指数 65 68 75 85 85 85 88 92 92 95 晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A. 早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小【答案】BD 【答案解析】【详细分析】由样本数据可判断A ；样本数据的集中程度可判断D ；由众数的概念可判断B ；由百分位数的概念可判断C.【答案详解】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A 错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B 正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为6668672+=，所以C 错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D 正确. 故选：BD. 11. 已知点()0,5A，()5,0B -，动点P 在圆C ：()()22348x y ++-=上，则（）A. 直线AB 截圆C所得的弦长为 B. PAB 的面积的最大值为15C. 满足到直线AB的P 点位置共有3个 D. PA PB ⋅的取值范围为22⎡---+⎣【答案】BCD 【答案解析】【详细分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【答案详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d ==，又因为圆C 的半径r =所以直线AB 截圆C所得的弦长为2=A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P到直线AB的距离的最大值为r d +==，所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 正确．对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB 的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P到直线AB 的距离的范围是(0,r，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知()()()2PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以()3,1CA = ，()2,4CB =--，故()()321410CA CB ⋅=⨯-+⨯-=- ，()1,3CA CB +=-．设点()00,D x y 满足CA CB CD +=，则()003,4CD x y =+- ，故0031,43,x y +=⎧⎨-=-⎩解得002,1,x y =-⎧⎨=⎩即()2,1D -，CD =所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+ ．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅取值范围为[2--，2-+，D 正确．故选：BCD12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（）A. (1)(3)2f f +=B. (2023)(2025)(2024)f f f +=的C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项. 【答案详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=，所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=，两式相减得(4)()f x f x +=，所以()f x 的周期为4. 因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=，即()(2)2f x f x -++=，令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==，令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=，所以(4)0f =，即(0)0f =. 因为()(2)2f x f x -++=，令0x =，得(0)(2)2f f +=，所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=，所以(3)(1)2f f +=，故A 正确. 因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误. 因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确故选：ACD【点评】关键点评：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一详细分析选项即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，则=a _________. 【答案】2- 【答案解析】【详细分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【答案详解】由题意得()2e x f x x a '=--，由函数21()2e 2x f x x x a =--的图象在点(0,(0))f 处的切线平行于x 轴，可得(0)20f a '=--=，得2a =-，故答案为：-214. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为10，则1CC =_________. .【答案】【答案解析】【详细分析】利用直线的平移，把两条异面直线所成的角转化为平面角，再解三角形求角. 【答案详解】连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点E ，连接OE ，BE . 因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE （或其补角）. 令EC x =，在BEO △中，由8AB =，6AD =，得5OB =.又OE =，BE =cos 10BOE ∠=，由余弦定理得22222225536210x x OE OB BE OE OB ++-++-==⋅，解得x =1CC =.故答案为：15. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种. 【答案】60 【答案解析】【详细分析】先选菜品，再选饮品，结合分步计数原理可得答案.【答案详解】由题意可知凉菜选择方案共有24C 6=种，饮品选择方案共有2144C C10+=种，因此该套餐的供餐方案共有61060⨯=种. 故答案为：6016. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的蒙日圆为22273x y b +=，则C 的离心率为_________. 【答案】12##0.5 【答案解析】【详细分析】根据蒙日圆的定义得出点(,)a b 一定在其蒙日圆上，从而可得离心率. 【答案详解】由题意可知点(,)a b 一定在其蒙日圆上，所以22273a b b +=，所以234b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故椭圆C的离心率为12c e a ===. 故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足210n n S a +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设27log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）91n nT n =+ 【答案解析】【详细分析】（1）根据条件，利用n a 与n S 间的关系，得到13n n a a -=，从而得出数列{}n a 为等比数列，即可求出结果；（2）由（1）得出3n nb =-，从而得出111191n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法即可求出结果.【小问1答案详解】因为210n n S a +-=，所以当1n =时，113a =，当2n ≥时，11210n n S a --+-=，两式相减得13n n a a -=，又1103=≠a ，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，则1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问2答案详解】因为27271log log (33nn n n b a ===-，所以119119(1)1n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1111111119991122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ . 18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K （K 为正整数）包，记质量在248g ~252g 内的包数为X ，且()320D X >，求K 的最小值. 【答案】（1）0.243 （2）2001 【答案解析】【详细分析】（1）根据正态分布的性质求出(248)P M ≥的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；（2）根据正态分布的对称性求出(248252)P M <<的值，确定~(,0.8)X B K ，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案. 【小问1答案详解】由题意知每包牛肉干的质量M （单位：g）服从正态分布()2250,N σ，且(248)0.1P M <=，所以(248)10.10.9P M ≥=-=，则这3包中恰有2包质量不小于248g 的概率为223C 0.90.10.243⨯⨯=.【小问2答案详解】因为(248)0.1P M <=，所以(248252)(0.50.1)20.8P M <<=-⨯=，依题意可得~(,0.8)X B K ，所以()0.8(10.8)0.16D X K K =⨯⨯-=，因为()320D X >，所以0.16320,2000K K >>，又K 为正整数，所以K 的最小值为2001.19. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）作角A 的平分线与BC 交于点D，且AD =，求b c +.【答案】（1）π3（2）6 【答案解析】【详细分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1答案详解】因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin cos sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠，则有1cos sin 22A A =，即tan A =，因(0,π)A ∈，故π3A =. 【小问2答案详解】因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠. 因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =，则444AB AC AB AC +=⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=. 又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，E 为PC 的中点，//OE 平面PAD ．（1）证明：PC PD =；（2）若24==A D A B ，OC OD ⊥，PC 与平面ABCD 所成的角为60°，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）17．【答案解析】【详细分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得//OF AD ，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1答案详解】证明：取CD 的中点F ，连接EF ，PF ，OF ，因为E 为PC 的中点，所以//EF PD ．又EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//EF 平面APD ．因为//OE 平面PAD ，OE EF E = ，,OE EF ⊂平面OEF ，所以平面//OEF 平面PAD ．因为平面ABCD ⋂平面OEF OF =，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以//OF AD ．因为AD CD ⊥，所以OF CD ⊥．由PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，可得PO CD ⊥．又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ,所以CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF , 从而PF CD ⊥．因为PF 是CD 的中垂线，所以PC PD =．【小问2答案详解】因为PO ⊥平面ABCD ，所以PC 与平面ABCD 所成的角为60PCO ∠=︒，又OC OD ⊥，OC OD =,2AB CD ==，所以OC OD PO ====．作OG BC ⊥，垂足为G ，分别以OG，OF ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0D -，()1,3,0B -，()1,1,0C，(P ，()0,4,0BC =，(1,1,PC = ，()2,0,0DC =uuu r ．设平面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则111140,0,m BC y m PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11z =，得)m = ．设平面PCD 的法向量为()222,,x n y z =，则222220,0,n DC x n PC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令2y =，得()n = ．所以1cos ,7m n m n n m ⋅===，即平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为17．21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为6，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求C 的方程；（2）若动直线l 与C 恰有1个公共点，且与C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.【答案】（1）2216x y -=（2）证明见答案解析【答案解析】【详细分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±.动直线l 与C 相切可得Δ0=即2261k m =+，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合2261k m =+即可得解.【小问1答案详解】设右焦点为(),0F c ，一条渐近线方程为0bx ay -=，1b ==.因为222,6c e c a b a ===+，所以a c ==. 故C 的方程为2216x y -=.【小问2答案详解】当直线l 的斜率不存在时，l的方程为x =，此时12,22OPQ PQ S ==⨯= . 当直线l 的斜率存在时，不妨设:l y kx m =+，且6k ≠±. 联立方程组22,1,6y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2221612660k x mkx m ----=. 由()()2222Δ144416660m k km=+-+=，得2261k m =+.联立方程组6y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得x =. 不妨设l与,66y x y x ==-的交点分别为,P Q，则P x =同理可求Q x =P Q PQ x =-=因为原点O 到l的距离d =，所以221216OPQS PQ d k=⋅=- . 因为2261k m =+，所以OPQ S =.故OPQ △.22 已知函数ln ()x af x x+=，[1,)x ∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性.（2）是否存在两个正整数1x ，2x ，使得当12x x >时，()12121212x x x x x x x x -=？若存在，求出所有满足条件的1x ，2x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见答案解析（2）14x =，22x = 【答案解析】【详细分析】（1）求得()f x '，分 1a ≥，1a <讨论()f x 的单调性. （2）将问题转化为()121212ln ln ln x x x x x x -=+，根据ln ()x f x x=的值域确定122x x -=，分别就13,4,x =⋅⋅⋅详细分析是否满足题意. 【小问1答案详解】21ln ()a xf x x'--=，当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,)+∞上单调递减. 当1a <时，令()0f x '=，得1e a x -=.)11,e a x -⎡∈⎣，()0f x '>，则()f x 在)11,e a-⎡⎣上单调递增， ()1e ,a x ∞-∈+，()0f x '<，则()f x 在()1e ,a ∞-+上单调递减.【小问2答案详解】由（1）知，令0a =，得ln ()xf x x=在[1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，则11()(e)e 2f x f ≤=<. 因为121x x >≥，所以()12211212x x x x x x x x -=，即()12122112ln ln ln x x x x x x x x -=+，即()121212ln ln ln x x x x x x -=+， .因为1x ，2x 为正整数，所以121x x -≥.当121x x -=时，21121x xx x =，因为21x ≥，12x ≥，所以21121x x x x >，这与21121x xx x =矛盾，不符合题意.当121x x ->时，因11ln 12x x <，22ln 12x x <，所以()121212ln ln ln 1x x x x x x -=+<，所以12e x x -<，得122x x -=，即1212ln ln ln 2x x x x =+. 经检验，当21x =，13x =时，不符合题意，当22x =，14x =时，符合题意，当23x =，15=x 时，因为53153037532763528<==⨯，所以ln3ln5ln 235+<，当24x ≥时，11ln ln 6ln565x x ≤<，22ln ln 4ln343x x ≤<，所以1212ln ln ln5ln3ln 253x x x x +<+<. 综上，仅存在14x =，22x =满足条件.【点评】关键点评：本题关键点在于根据ln ()xf x x =的值域确定12x x -的范围，再根据12,x x 为正整数得122x x -=，从而就12,x x 的取值讨论即可为。

全国100所名校单元测试示范卷高三数学

全国100所名校单元测试示范卷高三数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = tan(x)D. y = e^x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 4}3. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)：A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，求ab的最大值：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/65. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (1, 0)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. -4C. -3D. 47. 根据题目所给的三角函数关系，求cos(α + β)的值：A. cosαcosβB. sinαsinβC. cosαsinβ - sinαcosβD. sinαcosβ + cosαsinβ8. 若a, b, c ∈ R，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值：A. 1B. 3/2C. 2D. 9/49. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x - 3|，求f(2)：A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。

答案：__________12. 若sinθ = 1/3，且θ为锐角，求cosθ的值。

答案：__________13. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求第5项b5。

浙江省宁波市九校(余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题

浙江省宁波市九校（余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（） A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12） D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-5．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．16．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（）A ．12B ．1C ．3πD ．2π 7．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ． B ． C ．D ． 8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（） A ．18- B ．63-C ．18 D ．6310．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则AB =( ) A ．{}32x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<11．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立12．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师21(文)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)第二十一单元高中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0<x<2},则M∩N等于A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<2}解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1<x<3},N={x|0<x<2},那么M∩N={x|1<x<3}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析:a<0,b>1,0<c<1,故选B.答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所示,阴影部分为正方形,面积为4,而圆C的面积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的一条对称轴方程为x=,则以a=(m,n)为方向向量的直线的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜角α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,所以<a<.答案:C8.如图是一个几何体的三视图,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底面是一个等腰直角三角形,高为2的三棱锥,可求得球半径R=,表面积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:∀x∈R,x+≥2,q:∃x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件C.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成立解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三角形大角对大边,所以a>b⇔A>B⇔cos A<cos B,故B正确;对于C项,p:存在x∈R,使x2-x+1≤0,故C错;对于D项,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而∈[-,],故D错.答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满足-,则的最大值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求目标函数z=2x+y的最大值,作出x,y的可行域,可得当x=3,y=10时,z有最大值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为自然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为自然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平行线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线方程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所示的程序框图,若输入的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m<ln-.答案:(-∞,ln-)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本小题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最大值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,又bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进行试卷分析,求这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班人数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法一)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法二)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本小题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥面ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB.又PB⊂面PQB,∴PB⊥AD.又PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,又AM∩AD=A,∴PB⊥面ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.又BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共面,又CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使方程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成立,则g(x0)的值必须包含[0,].又g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本小题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4.(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC 面积的最大值.解析:(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的方程为+y2=1.4分(2)(法一)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的方程y=n(x-3)(n>0),则AC的方程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC面积的最大值为.12分(法二)显然直线l与x轴不平行,不妨设直线l的方程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代入上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0<t≤,则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最大值.12分。

江西省九校联盟2023-2024学年高三上学期8月联合考试数学答案和解析

2024届江西省九校第一次联考数学试题答案1.【答案】B 【解析】{}{}1,0,1,0,1,2A B =-=，则{}0,1A B ⋂=.故选：B.2.【答案】D【解析】由()1i 20z -+=可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z +=-=-=----+，所以z =故选:D.3.【答案】C 【解析】由||||a b a b +=-两边平方并化简得0a b ⋅= ，所以()2101t t t ++=⇒=-.故选：C.4.【答案】A 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若120a a >>，则,011q a a >>所以,,1,0,11111n n nn n n a a q a a q a a q <∴>=∴<=∴>++-}{n a ∴为递减数列，若{}n a 为递减数列，当,21,211==q a 时,,21n n a =数列{}n a 为递减数列,此时,021>>a a 所以由{}n a 为递减数列,不一定能得到120a a >>,所以“120a a >>”是“{}n a 为递减数列”的充分而不必要条件,故选：A ．5.【答案】D 【解析】设1122(,),(,)E x y F x y ，则由题意得1122cos ,sin ,cos ,sin x y x y ααββ====，由221=+3+=1y x b x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得22113x x b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简整理得22106990x bx b ++-=，因为11b -<<，所以直线1(11)3y x b b =+-<<与单位圆恒有两个不同的交点，所以21212399,510b x x b x x -+=-=，所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-1212x x y y =-12121133x x x b x b ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212128193x x b x x b =-+-228991391035b b b b -⎛⎫=⋅-⋅-- ⎪⎝⎭22244145555b b b =-+-=-，故选：D.6.【答案】C 【解析】由于c b a ,,都与1.0有关系，如果1.0是x 的话，对应c b a ,,分别是1-x e ，x sin 和()1ln +x ，先比较b a ,，设()x e x f x sin 1--=，求导()x e x f x cos '-=，()0'≥x f 恒成立。

数学高三滚动测试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。

12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。

13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。

14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期11月份考试数学试卷

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期11月份考试数学试卷一、单选题1．已知a 为实数,i 为虚数单位,若复数234(4)z a a a i =--+-为纯虚数,则复数a ai -在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知两条直线m ，n 及平面α，则下列推理正确的是（）A ．m α∥，n m n α⇒∥∥B ．m n ∥，n m αα⊂⇒∥C ．m n ⊥，n m αα⊂⇒⊥D ．m α⊥，n m nα⊂⇒⊥3．若圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:4320C x y x y ++++=，则圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程是（）A ．12x =B ．12x =-C ．12x y +=-D ．12x y -=-4．已知直线210x y -+=的倾斜角为α，则2cos21sin αα=+（）A ．-3B ．13-C ．19-D ．125．在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =，则BC OM ⋅的值为（）A ．6-B ．9-C ．15-D ．06．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2223sin sin sin 2sin sin C A B A B =++，3cos 5C =，且4ABC S = ，则c =（）A ．3B ．4C D ．57．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n 日布施了n a 子安贝（其中131n ≤≤，*N n ∈），数列{}n a 的前n 项和为n S .若关于n 的不等式247n n n S a ta -<-恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．69,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),12-∞C ．57,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．97,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，若实数m ，n 满足等式()30f n f-+=，则nm的取值范围是（）A ．2233⎡-+⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,3二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件B ．已知x ，y 是实数，则“21x y ->”的一个必要不充分条件是“22log log x y >”C ．命题“Z,Q n n ∀∈∈”的否定为“00Z,Q n n ∃∈∉”D ．若命题“2[1,2],0x x a ∀∈--<”是真命题，则实数a 的取值范围是(4,)+∞10．已知空间四点()()()()0,0,0,4,3,0,3,0,4,5,6,4O A B C -，则下列说法正确的是（）A ．12OA OB ⋅= B ．12cos ,25OB =-C ．点O 到直线BCD ．,,,O A B C 四点共面11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是棱11,AB A B 的中点，动点P 满足AP AB AD λμ=+，其中,(0,1]λμ∈，则下列命题正确的是（）A ．若2λμ=，则平面1AB P ⊥平面DEFB ．若λμ=，则1D P 与11AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若12λμ=-，则1PD ∥平面11A C E D ．若32λμ+=，则线段PF三、填空题12．函数()ln 2f x x x ax =++在点1,1处的切线与直线220x y -+=相互垂直，则实数a =13．在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数()32151623f x x x x =-++的极值点，则5a =14．在边长为4的正方形ABCD 中，如图甲所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把,AEB AFD 和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图乙所示，则三棱锥P AEF -外接球的体积是；过点M的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是.四、解答题15．已知圆心为C 的圆经过()()1,3,1,1A B -两点，且圆心C 在直线:0l x y +=上.(1)求圆C 的方程：(2)求过点()3,1-且与圆C 相切的直线方程.16．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-(1)求角B ；(2)若点D 在AC 上，BD 为ABC∠的角平分线，BD =2a c +的最小值．17．已知数列{}n a 满足1222222n n n a a a n+++= ．数列{}n b 满足313log 1log n n b b +-=，且11b a =．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求{}n n a b 的前n 项和n T ．18．如图，在三棱台ABC DEF -中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B --的大小为θ．(1)求证：AC BN ⊥；(2)若π2θ=，求三棱台ABC DEF -的体积；(3)若A 到平面BCFE 的距离为2，求cos θ的值．19．在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处及其附近用一个多项式函数近似表示，具体形式为()()()()()()()()20000000()2!!n nf x fx f x f x f x x x x x x x n =+-+-++-+''' （其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的秦勒展开式.例如sin x 在0x =处的泰勒展开式为：1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++- .(1)分别求cos x 和e x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：iπe 10+=.（其中i 为虚数单位）；(3)当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin e 1x x >+.（参考数据5ln 0.92≈）。

福建省名校联盟2024-2025学年高三上学期9月质量检测试题数学(含解析)

高三9月数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数的概念与性质、一元函数的导数及其应用、平面向量、三角函数与解三角形。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．若向量，，且，则（）A ．B ．8C ．D ．23．已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若，则（）A ．B ．CD ．5．已知是奇函数，且在上单调递减，则（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数的部分图象如图所示，则（）{}1,2,3M =-{}1,0,2,5N =-M N = {}1,2-{}1,2,3-{}1,0,2,5-{}1,0,2,3,5-()1,2a =- ()1,2b m =+ ()a b a +⊥m =8-2-()f x x α=α()f x [)0,+∞π1sin 83α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-79()f x ()f x ()2,+∞()()440f f -->()()440f f -+>()()340f f -+>()()340f f -+<()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><()2f =A ．B ．C ．D ．7．“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（）A ．47.6mB ．35.7mC ．23.8mD ．11.9m8．已知函数，．当时，恒成立，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）A ．在上单调递减B ．在上单调递增C ．有3个零点D ．直线与的图象仅有1个公共点10．记的内角的对边分别为，且，，的面积为的周长可能为（）A ．8B．C ．9D ．11．已知函数，则下列结论正确的是（）A ．的图像关于轴对称1-2-B C D 30CBD ∠=︒23.8m CD =C A 45︒D A30︒AB =()()ln 11f x x a x =-++()()21g x a x =+1x ≥()()20f x g x +≥a ()0,1()1,+∞(]0,1[)1,+∞()()()2623f x x x =--()f x ()0,1()f x ()1,2()f x 3y =-()f x ABC △,,A B C ,,a b c sin sin 5sin a B c A A +=1bc b c =++ABC △ABC △5+5+()sin cos f x x x x =++()f x yB ．的图象关于点对称C ．的图象关于直线对称D ．是的极大值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则______．13．已知，，且______的最小值为______．14．对于任意的，函数满足，函数满足．若，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值；（2）求的单调区间与最大值．16．（15分）在中，角的对边分别为．已知．（1）求角的大小；（2）若；（3）若，求的值．17．（15分）已知函数（1）求函数的解析式；（2）若函数在上单调，求的取值范围．18．（17分）()f x ππ,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x π2x =π2x =()f x ()tan 4αβ+=()tan 3αβ-=-tan2β=0a >0b >2ab ==,x y ∈R ()f x ()()()()2f x y f x y f x f y ++-=()g x ()()()g x y g x g y +=()21f =-()38g =()()2024g f =()ln f x x x x a =--()y f x =()()1,1f 2y bx =+a b ()f x ABC △,,A B C ,,a b c sin cos 0b A a B -=B c =b =ac =tan A ()()211,0,122211,0.ax a x f x ax a x a x ⎧+<⎪+=⎨⎪+-++≥⎩()f x ()f x R a已知函数．（1）将化成的形式；（2）求的单调区间；（3）若在上的值域为，求的取值范围．19．（17分）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由．（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．①求的取值范围；②证明：．()2cos f x x x x =+()f x ()()()cos 0,0,πf x A x B A ωϕωϕ=++>><()f x ()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦[],a b b a -()f x [],a b ()1212,x x a x x b <<<()()()1f b f a f x b a-='-()()()2f b f a f x b a-='-()f x [],a b 12,x x ()f x [],a b ()3231f x x x =-+[]1,3-()21ln 2f x x x x ax =--0m n >>()()f m f n =()f x [],n m 12,x x ()f x [],n m a 122x x a +>+高三9月数学试卷参考答案1．D ．2．B 由题意得．因为，所以，即．3．A 当是正偶数时，的值域为．当的值域为，但不是正偶数．故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．4．D 由题意可得．5．D 因为是奇函数，所以，则，，所以A ，B 均错误．因为在上单调递减，所以，则，得，C 错误，D 正确．6．B 由，得，．由图可知，则，得，又，所以．由图可知，得．综上，，得7．C 设，则，，在中，由余弦定理得，即，得．8．D 令，则．若，则在上恒成立，则在上单调递减，则，不符合题意．若，则当时，，单调递减，则，不符合题意．若，则在上恒成立，则在上单调递增，即，符合题意．故的取值范围为．9．ACD 由题意得．当或时，，{}1,0,2,3,5M N =- (),4a b m += ()a b a +⊥ ()80a b a m +⋅=-+=8m =α()f x [)0,+∞()f x =()f x [)0,+∞αα()f x [)0,+∞22πππ17cos 2cos 212sin 1244839ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()44f f -=-()()440f f -+=()()()4424f f f --=-()f x ()2,+∞()()34f f >()()()334f f f =-->()()340f f -+<732222T =-=4T =2ππ2T ω==33πsin 024f A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3ππ2π4k k ϕ+=+∈Z ()π2π4k k ϕ=+∈Z πϕ<π4ϕ=()π0sin 4f A ==2A =()ππ2sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π22sin π4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭m AB x =m BC x =m tan30xBD ︒==BCD △2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠222223.833x x x =+-23.8x =()()()()()222ln 2121h x f x g x x a x ax a x =+=-++++≥()()()()2112212x ax h x a ax x x--=-='++0a ≤()0h x '≤[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≤=01a <<11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x ()()10h x h ≤=1a ≥()0h x '≥[)1,+∞()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=a [)1,+∞()()()()()222326612f x x x x x x =-+-=+-'1x <-2x >()0f x '>单调递增；当时，，单调递减．故A 正确，B 错误．的极大值为，的极小值为，所以有3个零点，直线与的图象仅有1个公共点，C ，D 正确．10．AB 由正弦定理得，得，则．由，得，得．由余弦定理，得或17，即，所以的周长为8或．11．BD易知，故A 错误；，所以的图象关于点对称，故B 正确；，故C 错误；，则，并结合的图象（图略），可知是的极大值点，故D 正确．12．．13．1；8，则，当且仅当即时，等号成立．14．2 令，得，则或（舍去）．令，得，则，则，则，则．因为，所以，则，从而．()f x 12x -<<()0f x '<()f x ()f x ()125f -=()f x ()22f =-()f x 3y =-()f x 5ab ac a +=5b c +=16bc b c =++=1sin 2ABC S bc A ==△sin A =1cos 3A =±2222cos a b c bc A =+-()2222cos 9a b c bc bc A =+--=3a =ABC △5+()()f x f x -≠-()πππππsin cos sin cos 22222f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+--+--+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ππ,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()()()πsin πcos ππsin cos πf x x x x x x x f x -=-+-+-=-+-≠()πcos sin 114f x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭'π02f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝()y f x ='π2x =()f x 711-()()()()()tan tan 7tan2tan 1tan tan 11αβαββαβαβαβαβ+--⎡⎤=+--==-⎣⎦++-1=+=448+=≥+==416a b ==0y =()()()220f x f f x =()01f =()0f x =1x y ==()()()220210f f f ⎡⎤+==⎣⎦()10f =()()110f x f x ++-=()()4f x f x +=()()202401f f ==()()()g x y g x g y +=()()()()332118g g g g ⎡⎤===⎣⎦()12g =()()()202412g f g ==15．解：（1），所以．又，所以，则．（2）的定义域为．，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．16．解：（1）由正弦定理得．因为，所以，则，即．因为，所以．（2）根据余弦定理得，解得或（舍去），故．（3）方法一．由，得，即．，得．方法二．根据余弦定理得，则．，，()()1ln 1ln f x x x '=-+=-()10f b '==()11f a =-12a -=1a =-()f x ()0,+∞()ln f x x'=-01x <<()0fx '>1x >()0f x '<()f x ()0,1()1,+∞()f x ()11f a =-sin sin sin cos 0B AA B -=()0,πA ∈sin 0A ≠sin cos 0B B -=tan 1B =()0,πB ∈π4B =252a =+-3a =1-3a =c =sin C A =πsin 4A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A A A +=A A =1tan 3A =22222222cos 85b a c acB a a a =+-=+-=b =222cos 2b c a A bc +-===sin A ==故．17．解：（1）令，得，则得即（2）当时，在上不单调．当在上单调递增时，得．当在上单调递减时，得．综上，的取值范围为．18．解：（1）．（2）由，得，所以的单调递增区间为．由，得，所以的单调递减区间为．sin 1tan cos 3A A A ==1t x =+1x t =-()()()()()2111,10,2212111,10,a t a t f t a t a t a t ⎧-+-<⎪=⎨⎪-+--++-≥⎩()21,1,22,1,at t f t at t t ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩()21,1,22, 1.ax x f x ax x x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩0a =()0,1,2,1x f x x x <⎧=⎨-+≥⎩R ()f x R 0,11,2112,2a aa a ⎧⎪>⎪-⎪-≤⎨⎪⎪≤-+⎪⎩12a ≥()f x R 0,11,2112,2a a a a ⎧⎪<⎪-⎪-≤⎨⎪⎪≥-+⎪⎩2a ≤-a (]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭()1cos22xf x x x x +=+=++π2cos 24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π22π,4k x k k -+≤-≤∈Z 3ππππ,88k x k k -+≤≤+∈Z ()f x 3πππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z π2π2π2π,4k x k k ≤-≤+∈Z π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（3）由题意得的最小正周期，由（2）可知图象的对称轴为直线．若在上单调，则，得，则．由，得，则，所以．若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点，且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同．假设在上的图象的最高点为，则当，即时，，此时取得最小值，且最小值是．易得，则，所以．综上，的取值范围为．19．（1）解：函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以．()f x 2ππ2T ==()fx ππ,82kx k =+∈Z ()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ππ82ππππ,4822k k αα⎧≥+⎪⎪⎨⎪+≤++⎪⎩，k ∈Z ππ3ππ,8282k k k α+≤≤+∈Z ()πππ2cos 22cos 2444b a ff αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααππ3ππ,8282k k k α+≤≤+∈Z π3ππ2π,44k k k α+≤≤+∈Z sin2α⎤∈⎥⎦2,b a α⎡-∈⎣()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦b a -()f x π,4αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦π,28A ⎛+ ⎝2b =+ππ248αα++=⨯0α=()0a f ==b a -2-ππ84a f ⎛⎫>+=⎪⎝⎭2b a -<)22b a ⎡-∈-⎣b a -2⎡⎣()f x []1,3-()3231f x x x =-+()236f x x x '=-因为，，所以．令，得，即，解得．因为，所以是上的“双中值函数”．（2）①解：因为，所以．因为是上的“双中值函数”，所以．由题意可得．设，则．当时，，则为减函数，即为减函数；当时，，则为增函数，即为增函数．故．因为，所以，所以，即的取值范围为．②证明：不妨设，则，，即，．要证，即证．设，则．设，则，所以在上单调递增，所以，所以，则在上单调递减．因为，所以，即．因为，所以．()31f =()13f -=-()()()31131f f --=--()1f x '=2361x x -=23610x x --=x =13-<<<()f x []1,3-()()f m f n =()()0f m f n m n-=-()f x [],n m ()()120f x f x ''==()ln 1f x x x a '=---()()ln 1g x f x x x a ==---'()111x g x x x'-=-=()0,1x ∈()0g x '<()g x ()f x '()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()f x '()()min 1f x f a ='=-'()()120f x f x ''==0a -<0a >a ()0,+∞1201x x <<<11ln 10x x a ---=22ln 10x x a ---=11ln 1x x a -=+22ln 1x x a -=+122x x a +>+21121ln x a x x >+-=-()()()()()1ln 1ln 1ln 01h x g x g x x x x =--=-+-<<()()()11011ln h x x x x =-<<-'()()()1ln 01x x x x ϕ=-<<()ln 0x x ϕ'=->()x ϕ()0,1()()011x ϕϕ<<=()()1101ln h x x x -'=-<()h x ()0,1()()()1110h g g =-=()0h x >()()1ln g x g x >-101x <<()()111ln g x g x >-因为，所以．因为，所以．由①可知在上单调递增，所以，即得证．()()120g x g x ==()()211ln g x g x >-101x <<11ln 1x ->()g x ()1,+∞211ln x x >-122x x a +>+。

湖北省武汉市部分市级示范高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

湖北省武汉市部分市级示范高中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（）A ．5B ．10C ．15D ．203．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1 D4．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6136．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞7．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,58．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 9．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．610．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ．B ．C ．1D ．211．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2πC ．πD ．32π 12．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师17(理)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十七)第十七单元平面解析几何综合测试(120分钟 150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线y 2=-16x 的焦点坐标为A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,4)D.(-4,0)解析:抛物线y 2=-16x 的焦点在x 轴的负半轴上,其坐标为(-164,0),即(-4,0). 答案:D2.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的周长被双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分,则双曲线E 的离心率为A.√2B.√3C.√52D.2√5解析:圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为(2,1),根据题意可知,双曲线的一条渐近线通过圆心,即(2,1)在直线y=b ax 上,即a=2b,此时c=√a 2+a 24=√52a,则e=√52. 答案:C3.已知曲线x 28-λ+y 24-λ=1(4<λ<8),则此曲线的焦点坐标为 A.(±2,0) B.(±2√3,0)C.(0,±2)D.(±√12-2λ,0)解析:因为4<λ<8,则x 28-λ+y 24-λ=1可整理为x 28-λ-y 2λ-4=1,则c 2=8-λ+λ-4=4,故焦点坐标为(±2,0). 答案:A4.若圆O:x 2+y 2=4与圆C:x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0解析:圆x 2+y 2+4x-4y+4=0即(x+2)2+(y-2)2=4,则圆心C 坐标为(-2,2),∵直线l 过OC 的中点(-1,1)且垂直于OC,k OC =-1,故直线l 的斜率为1,直线l 的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.答案:C5.若两个椭圆的离心率相同,则称此两个椭圆相似.已知椭圆的焦点在x 轴上,与x 24+y 23=1相似且过点(2,3),则此椭圆的长轴长为A.4B.6C.8D.16解析:椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),则c a =12, 且4a2+9b2=1,又c 2=a 2-b 2,解得a 2=16,b 2=12,故2a=8.答案:C6.已知圆C:(x-1)2+(y-√3)2=2与直线l:x+√3y-6=0相交于A,B 两点,O 为坐标原点,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为A.60°B.90°C.120°D.150°解析:∵k OC =√3,k AB =-√33,∴k OC ·k AB =-1,∴OC ⊥AB,直线OA 与直线OB 关于直线OC 对称,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为直线OC 倾斜角的两倍,即60°×2=120°.答案:C7.若椭圆的中心为坐标原点,过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方形,则此类椭圆称为“漂亮椭圆”.类比“漂亮椭圆”,可推出“漂亮双曲线”的离心率为A.√2B.√5+12C.√5D.√5+32解析:b 2a =c,则b 2=ac,c 2-a 2=ac,e 2-e-1=0,故e=1+√52. 答案:B8.已知O 是坐标原点,A,B 是直线l:x-y+t=0与圆C:x 2+y 2=4的两个不同交点,若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则实数t 的取值范围是 A.(-2√2,-2]B.[2,2√2)C.(-2√2,-2]∪[2,2√2)D.[-2√2,-2]∪[2,2√2]解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,两边同时平方整理得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥0,则∠AOB ≤90°,又直线l:x-y+t=0的斜率为1,经过(-2,0),(0,2)或(0,-2),(2,0)时恰好满足∠AOB=90°,此时t=2或-2;当l:x-y+t=0与圆相切时是一种临界状态,此时t=2√2或t=-2√2,数形结合可知,t ∈(-2√2,-2]∪[2,2√2).答案:C9.已知定点M(-1,0),N(1,0),P是椭圆x 24+y 23=1上动点,则1|PM |+4|PN |的最小值为A.2B.94C.3D.3+2√2解析:因为M(-1,0),N(1,0)是椭圆的焦点,则有|PM |+|PN |=2a=4, 则1|PM |+4|PN |=14(1|PM |+4|PN |)(|PM |+|PN |)=14(5+|PN ||PM |+4|PM ||PN |)≥14(5+4)=94. 答案:B10.已知线段AB=4,其中点A,B 分别在x 轴与y 轴正半轴上移动,若点A 从(2√3,0)移动到(2,0),则AB 中点D 经过的路程为A.4B.8-4√3C.π3D.π2解析:点D 在圆x 2+y 2=4上,其中点D 沿圆周从(√3,1)移动到(1,√3),此时转过的圆心角为π3-π6=π6,故D 经过的路程为弧长π6×2=π3.答案:C11.函数f(x)=(x+2013)(x-2014)的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是A.(0,12)B.(0,1)C.(0,√20132014)D.(0,√20142013)解析:函数f(x)的图象与坐标轴的交点分别是A(-2013,0)、B(2014,0)、C(0,-2013×2014),经过这三点的圆与y 轴的另一个交点必在y 轴的正半轴上,设其坐标D(0,m),则根据相交弦定理可得|OA|×|OB|=|OC|×|OD|,即2013×2014=(2013×2014)×m,解得m=1,故另一个交点的坐标为(0,1).答案:B12.已知椭圆C:x 216+y 24=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点(如图),则这个平行四边形面积的最大值为A.8B.8√3C.16D.16√3解析:先求弦AB 长,再求高,即点F 2到直线AB 的距离.因为x 216+y 24=1,所以a 2=16,b 2=4,c 2=12,F 1(-2√3,0). 若直线AB 的斜率不存在时,即x=-2√3,此时A(-2√3,1),B(-2√3,-1),故S ▱ABCD =2×4√3=8√3;若直线AB 的斜率存在且设为k,即y=k(x+2√3),与x 216+y 24=1联立方程组整理得: (1+4k 2)x 2+16√3k 2x+48k 2-16=0,有x 1+x 2=-16√3k 21+4k 2,x 1x 2=48k 2-161+4k 2,则|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8√1+k 2√1+k2(1+4k 2)2.AB 边上高,即点F 2(2√3,0)到直线y=k(x+2√3)的距离为√3k √1+k,则S ▱ABCD =|8√3k|√16+16k 2(1+4k 2)2=8√3√16k 2+16k 4(1+4k 2)2=8√3√1+8k 2-11+8k 2+16k 4.令8k 2-1=t,t ≥-1,则8k 2=1+t,则8k 2-11+8k 2+16k4=4tt 2+6t+9,当t=0时,4tt 2+6t+9=0,S ▱ABCD =8√3.若t ≠0,4tt 2+6t+9=4t+9t +6,则当t=3时,4t t 2+6t+9取得最大值13,此时S ▱ABCD =8√3·√43=16.综上,S ▱ABCDmax =16.答案:C第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若y=x 是双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线,则实数m= .解析:标准方程为x 2-y 2-m=1,则-m=1,即m=-1.答案:-114.已知过点(1,1)且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y 2=mx 的焦点,则m= .解析:2x+y+c=0过点(1,1),则c=-3,即2x+y-3=0,令y=0得x=32, 即焦点为(32,0),故m=4×32=6. 答案:615.过已知圆x 2+y 2-x+2y+1=0的圆心,且与直线x+y+1=0垂直的直线的一般方程为 .解析:已知圆的圆心坐标为(12,-1),所以经过已知圆的圆心,斜率为1的直线方程为y+1=x-12,即x-y-32=0. 答案:x-y-32=016.已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,P 是椭圆上在第一象限内的点,当△F 1PF 2的面积为√32,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:由题知|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2√3,则12×2√3|y P |=√32,则y P =12,则P(√3,12),F 1(-√3,0),F 2(√3,0),PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-12)·(0,-12)=14.答案:14三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x+4y=0,直线l:2x-y+t=0. (1)若直线l 与圆C 相切,求实数t 的取值;(2)若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,且|MN |=√15,求实数t 的取值.解析:圆C 的方程配方,得(x-1)2+(y+2)2=5,故圆心为C(1,-2),其半径r=√5. (1)因为直线l 与圆C 相切,所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径, 即√2+(-1)=√5,整理得|4+t|=5,解得t=1或t=-9.5分(2)由(1)知,圆心到直线l 的距离d=√5,又|MN |=√15,所以d=√r 2-(|MN|2)2=(√5)2-(√152)2=√52, 故√5=√52,整理得|4+t|=52,解得t=-32或t=-132.10分 18.(本小题满分12分)已知焦距为4的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 2为椭圆C 的右焦点,A,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,M,N 分别是AF 2,BF 2的中点,以线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0). (1)证明:点A 在定圆上;(2)若直线AB 的倾斜角为30°,求椭圆C 的离心率.解析:(1)因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4,所以右焦点F 2(2,0).设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0),M(x 0+22,y 02),N(2-x 02,-y 02).因为线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0),所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4-x 024-y 024=0,即x 02+y 02=4,故点A 在以原点O(0,0)为圆心,半径为2的圆上.6分(2)因为直线AB 的倾斜角为300,所以直线AB 的斜率为√33,即直线AB 的方程为y=√33x.因为A(x 0,y 0),所以有y 0=√33x 0,又由(1)知x 02+y 02=4,解得x 02=3,y 02=1.又点A(x 0,y 0)在椭圆C 上,则x 02a 2+y 02b 2=1,即3a 2+1b 2=1,又a 2-b 2=4,解得a 2=6,a=√6,故椭圆离心率e=c a =√6=√63.12分 19.(本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N 内切于圆M. (1)求圆N 的方程;(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点,圆内的动点D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析:圆M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故M(1,1),R=2√2. (1)圆N 的圆心为(0,0),设其半径为r,故|MN|=√12+12=√2,因为圆N 内切于圆M,所以有|MN|=R-r,即√2=2√2-r,解得r=√2.所以圆N 的方程为x 2+y 2=2.6分 (2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由{x 2+y 2=2,y =0,解得{x =√2,y =0,{x =-√2,y =0,故E(-√2,0),F(√2,0). 设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,得|DO|2=|DE|×|DF|, 即√(x +√2)2+y 2×√(x -√2)2+y 2=x 2+y 2, 整理得x 2-y 2=1.由于点D 在圆N 内,故有{x 2+y 2<2,x 2-y 2=1,由此得y 2<12.而DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x,-y),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2-x,-y),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x)(√2-x)+(-y)(-y)=x 2+y 2-2=2y 2-1, 所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-1,0).12分 20.(本小题满分12分)已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点,圆C 以点F 为圆心,且经过原点O(0,0). (1)求圆C 的方程;(2)过点P(-1,0)作圆C 的两条切线,与抛物线y 2=4x 分别交于点A,B 和C,D,求经过A,B,C,D 四点的圆C'的面积.解析:(1)由题知抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),则设圆C 的方程为(x-1)2+y 2=r 2,又圆C 经过原点O(0,0),则1=r 2,故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=1.5分(2)根据题意可知,圆C 与抛物线y 2=4x 都关于x 轴对称,且P(-1,0)在x 轴上,则A,B 与C,D 分别关于x 轴对称,且圆C'的圆心在x 轴上.设过点P(-1,0)与圆C 相切,且斜率为正的一条切线AB 的方程为y=k(x+1)(k>0),即kx-y+k=0,则有√k +1=1,则k=√33,即AB 方程为y=√33(x+1),代入y 2=4x 整理得x 2-10x+1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=10,x 1x 2=1,|AB |=√(y 2-y 1)2+(x 2-x 1)2=√13(x 2-x 1)2+(x 2-x 1)2 =√43(x 2+x 1)2-163x 1x 2=8√2. 又y 1+y 2=√33(x 1+x 2)+2√33=4√3,即AB 的中点为(5,2√3),则线段AB 的中垂线方程为y-2√3=-√3(x-5),令y=0得x=7,即圆C'的圆心C'(7,0).则圆心C'(7,0)到直线AB 的距离d=|7×√33-0+√33|(√33)+1=4,故圆C'的半径R 2=(4√2)2+42=48,故圆C'的面积为48π.12分21.(本小题满分12分)已知A(-1,0)、B(1,0)为双曲线的左、右顶点,F(2,0)是其右焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)过点A 的直线l 与双曲线右支交于另一个点P(不同于B 点),且与在点B 处x 轴的垂线交于点D,求证:以BD 为直径的圆与直线PF 相切.解析:(1)由题知a=1,c=2,则b 2=22-12=3,故双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.5分 (2)设P(m,n),则直线AP 的方程为y=n m+1(x+1),令x=1得D(1,2nm+1),则以线段BD 为直径的圆的圆心为M(1,n m+1),半径为|nm+1|. ①当m=2时,直线PF ⊥x 轴,此时圆心到直线PF 的距离为1,而圆的半径为|n3|.又点P(2,n)在椭圆上,则有4-n 23=1,则n 2=9,n=±3,则圆的半径|n3|=1,则以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切; ②当m ≠2时,则直线PF 的方程为y=nm -2(x-2),即nx+(2-m)y-2n=0,则圆心M 到直线PF 的距离为d=|n+(2-m)nm+1-2n|√n 2+(2-m)=|(2-m)nm+1-n|√n 2+(2-m)=|1-2m|√n 2+(2-m)|nm+1|, 又P(m,n)在椭圆上,则有m 2-n 23=1,即n 2=3(m 2-1),则√n 2+(2-m)2=√3(m 2-1)+4-4m +m 2=√(2m -1)2=|2m -1|, 则d=|1-2m ||2m -1|·|n m+1|=|n m+1|,故以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切. 综上,线段BD 为直径的圆与直线PF 相切.12分22.(本小题满分12分)已知一动圆与直线x=-2相切,且经过椭圆x 29+y 25=1的右焦点F. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2)经过点F 作两条互相垂直的直线分别交曲线C 及椭圆x 29+y 25=1于M,N,P,Q 四点,其中M,N 在曲线C 上,P,Q 在椭圆上,求四边形PMQN 的最小值.解析:(1)由椭圆x 29+y 25=1可知c 2=9-5=4,则椭圆的右焦点为F(2,0).由抛物线的定义可知,动圆的圆心轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,故轨迹C 的方程为y 2=8x.4分(2)当直线MN 的斜率不存在时,|MN |=8.此时PQ 的长为椭圆的长轴长,PQ=6,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12×8×6=24.当直线MN 的斜率存在时,且设为k(k ≠0),则直线MN 的方程为y=k(x-2),则直线PQ 的方程为y=-1k(x-2).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4).由{y =k(x -2),y 2=8x消去y 整理得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,由抛物线定义可知|MN |=|MF |+|NF |=x 1+2+x 2+2=x 1+x 2+4=4k 2+8k2+4=8+8k2,由{y =-1k (x -2),x 29+y 25=1消去y 整理得(5k 2+9)x 2-36x+36-45k 2=0, |PQ |=√1+(-1k)2√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=√1+1k2√(365k 2+9)2-436-45k 25k 2+9=30(1+k 2)5k 2+9,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12·8(1+k 2)k 2·30(1+k 2)5k 2+9=120(1+k 2)25k 4+9k 2, 令1+k 2=t,t>1,则S PMQN =120t 25t 2-t -4=1205-1t -4t 2, 而5-1t -4t2∈(0,5),则S PMQN ∈(24,+∞). 综上,四边形PMQN 的最小值为24.12分。

全国名校2024届高三单元滚动卷

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2024届湖南炎德英才大联考名校联考联合体高三第三次联考数学数学试卷

名校联考联合体2024届高三第三次联考数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U={x ∈Z|(x+4)(x —3)<0}, 集合A={0,1,2}, 则集合CuA 为 A.{-4,-3,-2,-1} B.{-3,-2,-1} C.{-3,—2,-1,3} ,D.2. 已知复数zi=-2+i, 则z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度x (单位；千米)与气压y (单位：千帕)的六组数据 (x ₁,y)(i=1,2,…,6) 绘制成如下散点图，分析研究发现B 点相关数据不符合实际，删除B 点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是A. 删除点B 后，样本数据的两变量x,y 正相关B. 删除点B 后，相关系数r 的绝对值更接近于1C. 删除点B 后，新样本的残差平方和变大D. 删除点B 后，解释变量x 与响应变量y 相关性变弱 4.若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数 y=g(x) 的图象，则)的值为A B.数学试题第 1 页 ( 共 5 页)C5.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为A B.C.6. 已知函数f(x)=(x²—x+1)e ⁷(e 为自然对数的底数),则函数f(x) 的极小值为B.eC.e²D.1 7.在△ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足BM=λBA+μBC(x,μ∈R),命题P:AM=2 Mc,, 则P 是 Q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下；将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的 ,记为第1次操作；再将剩下的两个区间,去掉中间的区间段，记为第2次操作； …;每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第n 次操作去掉的区间长度为an, 数列 {bn}满足：bn=n²an, 则数列 {bn}中的取值最大的项为A. 第 3 项B. 第 4 项C. 第 5 项D. 第 6 项二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是A. 若 a>b>0, 则 a-c>b —cB. 若 a>b>0, 则 a|c|>b|c|C. 若 a>b>0,D. 若 a<b<0, 则 a²<b² 10.设(3x —2)(1+r)⁶=ao+a ₁x+a ₂x²+a ₃x³ 十…+a ₇x¹, 则下列结论正确的是A.ao=-2B.a ₃=85C.a ₁+a ₃+a ₅+a ₇=32D.ao+2a ₁+2²a ₂+2a ₃+…+2'a ₇=2916数学试题第2页(共5页)分别均分为三段，并各自区间段A11.已知平面向量a,b,c 满足：b||=2|a|=4, 且a⊥(a-b),|c-b|=√3, 则下列结论正确的是A. 与向量a 共线的单位向量为B. 平面向量a,b 的夹角为C.|a—b|=2√3D.|c—a| 的取值范围是[ √3,3√3]12.已知函数f(x)及其导函数f(x) 的定义域为R,若f(2)=8, 函数f(2x+1) 和f(x+2) 均为偶函数，则A. 函数f(x) 的图象关于点(1,0)对称B.函数f(x) 是周期为4的周期函数C. 函数f(x)的图象关于点(3,0)对称三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知,且sin 2α—√3 sin α=0,则α=14. 已知a>0,b>0, 且2a+b—ab=0, 则2a+b 的最小值为15.国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字1,2,3,4,5,6,7的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有种. (用数字作答)16.已知正实数a,b 满足：,则a 与36大小关系为四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 已知(1)求角A 的大小；(2)已知b=3,△ABC 的面积为6,求边a 的大小.18. (本小题满分12分)2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查，统计整理数据得到如下的2×2列联表：选物理类选历史类合计男生35 15女生25 25合计100数学试题第3页(共5页)(1)依据小概率值a=0.05 的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联?(2)在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈.设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.附,其中n=a+b+c+d.α0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001Ta 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819. (本小题满分12分)设数列{an}的前n 项和为S,, 已知S,=n²(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：b₂=2b₁=4,b≠0, 且b2=b₀-1bn+1(n≥2,n∈N*), 设cn=an+ (一1)"6n, 求数列{cn}的前n 项和Tn.20. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=0,120°≤0<180°(1)若θ=120°,AD=6, 求∠ADC 的大小；(2) ,求四边形ABCD 面积的最大值.数学试题第4页(共5页)21. (本小题满分12分)2022年北京冬奥会成功举办后，冰雪运动深受人们喜爱.高山滑雪运动爱好者乙坚持进行高山滑雪专业训练，为了更好地提高滑雪技能，使用A,B 两个气候条件有差异的标准高山滑雪场进行训练(1)已知乙第一次去A,B 滑雪场训练的概率分别为0.4和0.6.选择A,B 高山滑雪场的规律是：如果第一次去A 滑雪场，那么第二次去A 滑雪场的概率为0.6;如果第一次去B 滑雪场，那么第二次去A 滑雪场的概率为0.5,求高山滑雪运动爱好者乙第二次去A 滑雪场的概率；(2)高山滑雪爱好者协会组织高山滑雪挑战赛，挑战赛的决赛由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的“飞雪”队进行比赛，约定赛制如下：“飞雪”队的乙、丙两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场比赛则甲获胜；若甲连续输两场比赛则“飞雪”队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，若甲与乙比赛，乙赢的概率为;甲与丙比赛，丙赢的概率为p, 其中赛事组委会规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.若“飞雪”队第一场安排乙与甲进行比赛，设赛事组委会预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望E(X) 的取值范围.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2ln x-ax+1(a∈R).(1)讨论函数f(x) 的零点个数；(2)已知函数g(x)=e“-ex²(a∈R), 当时，关于x 的方程f(x)=g(x) 有两个实根x₁,x₂(x₁<r₂), 求证：. (注：e=2.71828 …是自然对数的底数)数学试题第5页(共5页)。

重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高一上学期10月联合性诊断测试数学试题

重庆市渝东九校联盟2024-2025学年高一上学期10月联合性诊断测试数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -<≤C ．{}01x x ≤<D ．{}02x x ≤≤2．命题“230,x x x ∃>>”的否定是（）A ．230,x x x ∀>>B ．230,x x x ∀>≤C ．230,x x x ∀≤≤D ．230,x x x ∃>≤3．若,,a b c R ∈，a b >则下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．22a b <C ．a c b c>D ．2211a bc c >++4．集合{}10,R A x x x =-=∈，{}2650,R B x x x x =-+=∈，那么“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设2247M a a =-+，236N a a =-+，则有（）A ．M N<B ．M N≤C ．M N>D ．.M N ≥.6．{}2{1,,},1,,2A x y B x y ==，若A B =，则实数x 的取值集合为（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,22⎧⎫-⎨⎩⎭C ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．110,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，1ab =，求证11111a b+=++．证明：1111111111ab b a b ab a b b b+=+=+=++++++．结合阅读材料解答下列问题：已知2ab =，则226622a b +++的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．68．某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（）人A ．1B ．3C ．5D ．7二、多选题9．已知集合{}{},0A =∅，则下列关系正确的是（）A ．0A∈B ．A∅∈C ．A∅⊆D ．{}0A⊆10．设{}{},31,,31,a b A xx m m c B x x k k ∈==+∈∈==-∈Z Z ∣∣，则（）A ．a b A +∈B ．ab A ∈C ．a b B+∈D ．ac B∈11．若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy有最大值为18B ．14x y+有最小值为6+C ．224x y +有最小值为12D ．()1x y +有最大值为12三、填空题12．已知函数()()0,0af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =．13．定义集合运算(){}2,,A B z z x y x A y B ==+∈∈ ，若集合{}1,1A =-，{}2,3B =，则集合A B 所有元素之和为．14．已知集合()(){}2310,R A x x x ax a =--+=∈，若集合A 只有两个元素，则实数a 可取的一个值为；若集合{1,4}B =，集合C A B = ，当集合C 有8个子集时，实数a 的取值范围为．四、解答题15．已知{}13M x x =≤≤，{}2133N x a x a =-≤≤+.(1)若M N ⊆，求实数a 的取值范围；(2)若M N N ⋂=，求实数a 的取值范围.16．（1）已知(),,,0,a b x y ∈+∞，且11,x y a b >>，试比较x x a+与y y b +的大小．（2）已知21,23x y -≤≤-≤≤，求2,xx y y-的取值范围．17．解答下列各题.(1)若3x >，求43x x +-的最小值.(2)若正数,x y 满足9x y xy +=，①求xy 的最小值.②求23x y +的最小值.18．如图（示意），在公路AB 的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中Rt ABC △），其中道路AC 与BC 为健身步道，ABC V 内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，AC 段的造价为每米3万元，BC 段的造价为每米2万元，ABC V 内部的造价为每平方米2万元.设AC 的长为x 米，BC 的长为y 米.(1)若建造健身步道的费用与建造ABC V 内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑ABC V 内部）最少(2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长?19．已知{}{}22{(,)2},(,),(,)2(42)A x y y x k B x y y x C x y y x k x k ==+====+--∣∣∣.(1)若A B =∅ ，求实数k 的取值范围;(2)若()()A B A C ⋂⊆⋂，求实数k 的取值范围.。

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