一维熵和二维熵
基于融合边缘算子和最大熵的低质量指纹分割研究
基于融合边缘算子和最大熵的低质量指纹分割研究摘要：针对指纹低质量指纹图像分割的特征，并总结了常见指纹分割算法存在的缺点，引出采用边缘检测的方法进行低质量指纹分割算法的设计研究。
本文考虑由于单纯采用sobel-snake算子仅能起到平滑和抑制噪声的作用，并不能实现指纹图像和背景的分离，故此在sobel-snake算子检测之前采用二维最大熵的方法对图像进行二维最大熵技术，然后通过sobel-snake算子获取边缘图像，并根据给定阈值向量实现了低质量指纹分割算法。
最后给出实验效果和分割图像的评价指标。
关键词：低质量指纹图像 sobel-snake算子二维最大熵中图分类号：tp391.41 文献标识码：a 文章编号：1007-9416（2013）01-0063-031 引言指纹识别是模式识别领域中使用最早的，也是最为成熟的生物鉴定技术，它是集传感器技术、生物技术、电子技术、数字图像处理、模式识别于一体的高技术。
我国唐代作家贾公秀在其作品中就着重提到了指纹是确认个人身份的方法。
现代指纹识别起源于16世纪后期，henry faulds[1，2]首先提出指纹人各不同，恒久不变，并利用现场指纹来鉴定犯罪。
然而，直到今天，很多现场采集的指纹由于污渍、破损造成残缺不全，很难指正嫌疑犯。
为此，通过何种方法提高残缺指纹质量，将噪声同指纹进行有效分割成为有效指纹图像已经受到学术界的广泛重视。
如tou和hankley提出了检测模式的无噪声指纹图像中心点方法；ausherman提出了用傅里叶变换的方法来获取中心点，这类方法都是采用频域的方法提取指纹图像特征，效果较好，但运算量大效率较低[3，4]。
指纹识别包括很多重要的处理过程，而指纹分割是自动指纹识别系统中很重要的一个步骤，其目标是减少后续处理的时间开销和提高特征提取的正确率。
从近些年来国内外学者提出的各种方法看，可将指纹分割方法分为三类分割方法，即区域分割方法、基于边缘的分割方法和基于阈值的分割方法。
二维最大熵
二维最大熵二维最大熵是一种基于最大熵原理的图像分割方法，它利用了图像的灰度信息和邻域的空间相关信息，通过构造二维直方图来选择最佳的分割阈值。
二维最大熵不仅反映了灰度分布信息，还反映了邻域平均灰度信息，因此在图像信噪比较低时，二维最大熵法明显优于一维最大熵法。
最大熵原理最大熵原理是统计学习的一般原理，它指出，当我们需要对一个随机事件的概率分布进行预测时，我们的预测应当满足全部已知的条件，而对未知的情况不要做任何主观假设。
换句话说，我们应该选择使得信息熵最大的概率分布作为最优的预测模型。
信息熵是一种衡量随机变量不确定性的度量，它定义为：H(X)=−∑xP(x)log P(x)其中X是一个离散随机变量，P(x)是X取值为x的概率。
信息熵越大，表示X的不确定性越大。
按照最大熵原理，我们应该选择使得H(X)最大的概率分布P(x)作为最优模型。
当然，在选择模型时，还要满足一些已知的约束条件，例如期望值、方差等。
这样，我们就可以将最大熵模型转化为一个约束优化问题，利用拉格朗日乘子法或者其他优化算法求解。
二维直方图二维直方图是一种描述图像中两个相关变量之间分布关系的直方图。
在二维最大熵方法中，我们通常使用点灰度和区域灰度均值作为两个相关变量。
点灰度指的是图像中每个像素的灰度值，区域灰度均值指的是每个像素邻域内（例如3×3或5×5）所有像素灰度值的平均值。
这样，每个像素都对应一个点灰度-区域灰度均值对(f(x,y),g(x,y))，其中f(x,y)是点灰度，g(x,y)是区域灰度均值。
如果图像有L个灰度级（例如L=256），那么这样的数据对有L×L种可能的取值。
设n ij为图像中点灰度为i及其区域灰度均值为j的像素点数，p ij为点灰度-区域灰度均值对(i,j)发生的概率，则p ij=n ij N×N其中N×N是图像的总像素数。
则{p ij,i,j=0,1,…,L−1}就是该图像关于点灰度-区域灰度均值的二维直方图。
熵的简单解释-概述说明以及解释
熵的简单解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物理学和信息论中，熵是一种描述系统无序程度或混乱程度的数学量。
它在热力学领域中起源于对能量转化和传递过程的研究，后来被引入到通信和信息处理领域中。
熵的概念最早由克劳修斯·拜依乌斯于19世纪提出，他将熵定义为系统的热力学态的一个函数。
简单来说，熵可以视为衡量能量在系统中的分布方式的一种指标。
当系统的能量均匀分布时，熵较低；而当能量分布不均匀时，熵较高。
在信息论中，熵被引入用来度量信息的不确定性。
这里的熵可以理解为信息的平均信息量或信息量的期望。
当一个事件具有确定性时，它所携带的信息量为0；而当一个事件具有较高的不确定性时，它所携带的信息量较大。
总之，熵是一个关于系统有序性或信息不确定性的度量。
它不仅在物理学和信息论中具有重要意义，还在其他许多学科领域中有着广泛的应用，如统计学、生态学、经济学等。
在接下来的文章中，我们将探讨熵的计算方法以及它在不同领域中的应用。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容进行简要介绍。
以下是对"文章结构"部分的内容的编写示例："1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分来讲解熵的概念和应用。
在引言部分，我们将对整篇文章的主题进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将进一步探讨什么是熵以及熵的计算方法。
结论部分将对文章进行总结，并展示熵的应用领域。
通过这样的结构，读者可以逐步了解熵的概念与计算方法，并了解到熵在现实生活中的实际应用。
接下来，我们将开始正文部分，详细介绍什么是熵及其计算方法。
"文章1.3 目的部分的内容:目的：本文的目的是为读者提供一个简单易懂的解释，通过介绍熵的概念和计算方法，使读者对熵有一个基本的了解。
熵是信息理论中一个重要的概念，它可以用于衡量系统的混乱程度和不确定性。
通过解释熵的概念和计算方法，读者可以更好地理解信息论中的相关概念，同时也可以将熵应用到其他领域中。
基于熵模型的多维变量熵不确定度
基于熵模型的多维变量熵不确定度摘要：基于信息熵概念在测量精度分析中的应用特点，从理论上推出信息熵和不确定度的关系式。
试图寻找合适的模型，将已知一维随机变量的熵不确定度指标推广到二维、三维和N维的情况，得出多维变量的熵不确定度指标的统一公式，并对结果加于讨论和验证。
关键词：熵不确定度；信息熵；多维随机变量；1 熵与不确定度的关系首先我们从理论上推出信息论中的熵和误差理论中的不确定度的关系式，并着重说明二者在物理意义上的一致性。
1.1 信息论中的熵在信息论中，熵可用作某一事件不确定度的量度。
信息量越大，体系结构越规则，功能越完善，熵就越小。
利用熵的概念可以从理论上研究信息的计量、传递、变换和存储。
信息论中的熵：由信息论的创始人Shannon在著作《通信的数学理论》中提出，并建立在概率统计模型上的信息度量。
他把信息定义为“用来消除不确定性的东西”。
Shannon公式：I(A)=-log P(A)（1）公式中：I(A)为度量事件A发生所提供的信息量，称之为事件A的自信息；P(A)为事件A发生的概率。
熵定义为信息量的概率加权统计平均值：如果一个随机试验有个可能的结果，或一个随机消息有n个可能值，若它们出现的概率分别为P\-1,P\-2…,P\-n，则这些事件的自信息的平均值：H=-SUM(P\-i×log(P\-i))，i=1,2,…,n。
[JY]（2）或H(x)=-∫p(x)log p(x)dx（连续型）[JY]（3）式中p(x)为概率密度函数。
1.2 误差理论中的不确定度测量不确定度是与测量结果相联系的参数，是表示对测得值不能肯定的程度的分散性参数。
当此参数以标准差表征时，其不确定度为标准不确定度；当此参数以标准差σ乘以一个倍数k表征时，不确定度为扩展不确定度，这一倍数称为包含因子，也称其为置信系数。
不确定度可表示为：U=kσ[JY]（4）1.3 熵与不确定度的关系由上面对信息熵和不确定度的含义分析，可以得出它们共有的一个特性：都代表随机事件的不确定性。
二维最大熵阈值分割法
二维最大熵阈值分割算法[引用]杜峰，施文康，邓勇等：《一种快速红外图像分割方法》1. 二维最大熵阈值分割熵是平均信息量的表征。
二维最大熵法是基于图像二维直方图。
图像二维直方图定义如下：NM n P j i j i ⨯=,,其中N M ⨯表示图像大小，j i n ,表示图像灰度值为i ，邻域灰度平均值为j 的像素个数。
通常二维直方图的平面示意图可以用下图1表示：其中区域1和2表示背景和目标像素，区域3和4通常表示边界和噪声信息。
阈值向量(t ,s )，t 表示灰度值，s 表示像素邻域均值（通常是8邻域）。
对于L 个灰度级的图像，设在阈值(t,s)定义区域1和2的概率P1，P2：∑∑-=-==101,1s i t j ji PP ，∑∑-=-==11,2L s i L tj j i P P定义二维离散熵H 的一般表示：∑∑-=ijji ji P PH ,,lg对各区域概率j i P ,进行归一化处理可得区域1的二维熵：11)1lg(1lg 1)1(101,,P H P P P P P H s i t j j i ji +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑-=-= 同理区域2的二维熵：22)2lg()2(P H P H +=其中，H 1，H 2为：∑∑-=-=-=101,,lg 1s i t j ji ji P PH ，∑∑-=-=-=11,,lg 2L s i L tj j i j i P P H那么整个图像中目标和背景熵之和的函数)2()1(),(H H t s +=φ根据最大熵原则，存在最佳的阈值向量满足条件：图1 二维直方图平面示意图灰阶)},(max{),(t s t s φφ=**图2显示了一幅图像的二维直方图说明了背景和目标的主要分布情况，其中图2(b)横坐标表示邻域的均值，纵坐标表示灰度值分布：2. 微粒群寻优算法（PSO ）PSO 最早由Kenredy 和Eberhart 于1995年提出。
基于神经网络量子态的横场Ising模型研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
北京工业大学理学硕士学位论文
4.2 平均磁矩和磁敏感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 关联函数与关联⻓度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 纠缠熵的测量 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 结论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 攻读硕士期间发表的论文 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49 致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
摘要
摘要
我们使用神经⺴络量子态表示一维与二维横场 Ising 模型的波函数，这样的波函数 相当于一种从自旋位形空间到由⺴络参数序列决定的复数域的映射，也就是说当我们 给波函数输入一种自旋位形时，它就会反馈一个复数。我们使用无监督机器学习方法 去寻找基态波函数，具体是，我们采用随机重构 (SR) 方法不断调整波函数中的⺴络参 数，使得这个波函数不断逼近基态。同时，我们还从最小作用量原理和信息几何的角度 为 SR 方法提供了一种理解方式。在找到基态波函数之后，我们根据它并且使用重要性 抽样方法计算了几种关键的热力学量，它们包括，每个格点的平均能量、两点关联函数 和关联⻓度、平均磁矩和磁敏感度。我们探究了这些物理量与外加横场强度的关系，我 们得到的结果与已有文献的结果高度一致。特别地，纠缠熵的计算不同于这些物理量， 因为在其计算过程中会面临对密度矩阵 ρ 的操作，以致无法使用简单的重要性抽样方 法计算他们的统计平均值。我们提供了一种可行的用于计算纠缠熵的近似方法，并且 其一维结果与已有解析结果高度一致，其二维结果也与已有的几种其它数值结果给出 了相近的量子相变的位置。另外，我们还讨论了⺴络参数 α 对计算精度的影响，结果 显示出 α 的值对计算精度的影响很小。 关键词：横场 Ising 模型，神经⺴络量子态，随机重构方法，纠缠熵
关于信源熵的实验报告讲解
实验报告实验名称关于信源熵的实验课程名称信息论与编码姓名xxx 成绩90班级电子信息1102学号**********日期2013.11.22地点综合实验楼实验一关于信源熵的实验一、实验目的1. 掌握离散信源熵的原理和计算方法。
2. 熟悉matlab 软件的基本操作，练习使用matlab 求解信源的信息熵。
3. 自学图像熵的相关概念，并应用所学知识，使用matlab 或其他开发工具求解图像熵。
4. 掌握Excel的绘图功能，使用Excel绘制散点图、直方图。
二、实验原理1. 离散信源相关的基本概念、原理和计算公式产生离散信息的信源称为离散信源。
离散信源只能产生有限种符号。
随机事件的自信息量I（xi）为其对应的随机变量xi 出现概率对数的负值。
即： I （xi ）= -log2p ( xi)随机事件X 的平均不确定度（信源熵）H（X）为离散随机变量 xi 出现概率的数学期望，即：2.二元信源的信息熵设信源符号集X={0，1} ，每个符号发生的概率分别为p(0)= p，p(1)= q，p+ q =1，即信源的概率空间为：则该二元信源的信源熵为：H( X) = - plogp–qlogq = - plogp –(1 - p)log(1- p)即：H (p) = - plogp –(1 - p)log(1- p) 其中 0 ≤ p ≤13. MATLAB二维绘图用matlab 中的命令plot( x , y) 就可以自动绘制出二维图来。
例1-2，在matlab 上绘制余弦曲线图，y = cos x ，其中 0 ≤ x ≤2。
>>x =0:0.1:2*pi； %生成横坐标向量，使其为 0，0.1，0.2，…，6.2>>y =cos(x )； %计算余弦向量>>plot(x ,y ) %绘制图形4. MATLAB求解离散信源熵求解信息熵过程：1) 输入一个离散信源，并检查该信源是否是完备集。
一维均熵流方程组cauchy问题
一维均熵流方程组cauchy问题一维均熵流方程组Cauchy问题是一项具有重要意义的数学实验。
在计算流体动力学和定常非线性动力学等理论领域，它是一个有助于改善有关数值计算精度的工具。
它的定义是由一组多元组成的常微分方程组定义的，其中之一是一维均熵流方程组，它在许多真实的动力学系统中得到了广泛的应用。
关于这个问题的研究有着悠久的历史，这段历史可以追溯到18世纪。
贝尔松是一维均熵流方程组Cauchy问题的先驱之一，他于1788年发现了均熵流方程。
他提出了基于贝尔松方程的Cauchy问题，并用函数解决它。
这一发现开创了Cauchy问题的研究历史，并最终导致了一维均熵流方程组Cauchy问题的研究。
克劳斯及其同事于1871年首次提出了一维均熵流方程组Cauchy 问题。
他们基于贝尔松方程构造了一组问题，提出了一维均熵流方程组的Cauchy问题。
此后，有大量的研究人员持续不断地利用不同的方法来解决克劳斯Cauchy问题，如微分法、积分法、变分法和动力学系统等。
此外，近年来，随着科学计算技术的发展，若干动力学方法和机器学习技术被用于求解一维均熵流方程组Cauchy问题。
在一维均熵流方程组Cauchy问题的解决过程中，有几种重要的思路和原则。
首先，在构建均熵流方程组的Cauchy问题时，应考虑系统的初始条件和边界条件的确定。
其次，为了提高求解过程的准确性，应慎重选择求解方案，选择有效的数值方法和计算技术，采用合理的参数设置等。
最后，应考虑实际应用中可能存在的诸多限制，如复杂场景、大规模系统等。
此外，在均熵流方程组Cauchy问题的研究中，还存在一些其他挑战，如近似计算、衰减等。
针对这些挑战，有许多现有的方法，如拟牛顿法、调和方法、基于模型误差的自适应步长等。
因此，一维均熵流方程组Cauchy问题是一项具有重要意义的数学实验。
它的求解过程和结果对于许多非线性动力学系统的研究都具有重要意义，并为有关计算技术的发展提供了值得思考的经验教训。
风力机空气动力学5.3气体一维定熵流动5.3 气体的一维定常等熵流动
2
h0
第三节 气体的一维定常等熵流动
二、滞止状态
cp
R 1
Ma2 v2 c2
c2 RT
同理
T v2 2c p
T0
T0 T
c02 c2
1 -1 Ma2
2
1
p0 1 -1 Ma2 1
p 2
0 1 -1 Ma2 -1
2
1
-1
第三节 气体的一维定常等熵流动
五、速度系数
M v ccr
当v=vmax时
M max
vmax ccr
1 -1
M*与Ma的关系
M
2
1Ma2 2 -1Ma2
Ma2
2M
2
1
1M
2
第三节 气体的一维定常等熵流动
2
第三节 气体的一维定常等熵流动 三、极限状态
气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R 1
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
第三节 气体的一维定常等熵流动
四、临界状态
ห้องสมุดไป่ตู้
ccr
2 1c0
1
v 1
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1
-
-1 1
M
2
基于分解的二维指数交叉熵图像阈值分割
Ｓａｎ ｎ ｈｎ ｏ 交叉熵法其运行速度仍有提升空问。为此 ，提 出了一 维和二维指数交叉熵 阈值分割算法。首先给出 了指数交 叉熵 的 一 定义 ，并导 出了一维指数交叉熵阈值选取方法 ；然后将其推广提 出了基 于分解 的二 维指数交叉熵 阈值分 割算法 。通过分 别 求原像 素灰度级 图像和邻域平均灰度级图像 的一维指数交叉熵 最佳 阈值 ，并将其组 合求解二 维指数交叉 熵最佳 阈值 ，从 而 将 二维运算转换到两个一维空间上 ，大大缩小 了搜索空间 ，使计算 复杂度 由 Ｏ Ｌ ） （ ４ 降为 Ｏ Ｌ 。实验结果表明 ，与最 近提 出 （） 的二维 Ｓａｎ ｎ ｈｎ ｏ 交叉熵法及二维 Ｔａｌ 交叉熵法相 比，所提出的方法 能够得到更为优越的分割效 果 ，且运行时间大幅减少。 ｓｌｓ ｉ 关键词 ：图像分割 ；阈值选取 ；二维指数交叉熵 ； 分解
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒｃ ：
Ａ ｔ ｏ ｇ ｈ ｈ ｎ ｏ ｎ ｒ ｐ ｅ ｉｅ ｙ ｌｇ ｒ ｈ ｉ ｅｆ ｃｉｅ ｙｕ ｅ ｏ ｍｅ ｓ ｒ ｎ ｏｍａｉｎ ｕ ｃ ｒ ｉ ，ｔｅ ｅ ｅ ｉｔ ｌ ｕ ｈ ｔ ｅ Ｓ ａ ｎ ｎ ｅ ｔｏ ｙ ｄ ｆ ｄ ｂ ｏ ａｉ ｍ ｓ ｆ ｔ ｌ ｓ ｄ ｔ ａ ｕ ｅｉ ｆｒ ｔ ｎ ｅ ｔ ｎ ｈ ｒ ｘｓｓ ｈ ｎ ｔ ｅ ｖ ｏ ａ
中 图分 类 号 ：Ｔ ９ １７ Ｎ １． ３ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ — ５ ０ ２ １ ） ４ ０４ — ６ ０ ３ ０ ３ （０ １０ — ５ ６ ０
Ｔ ｗｏ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｓ ｎ ｒ ｐ ｍａ ｅ ｔ ｒ ｓ ｏｄ ｎ － ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ ｐ ｎ ｎ ｉ ｏ ｓ ｅ ｔｏ ｙ ｉ ｇ ｈ ｅ ｈ ｌｉｇ ｅ ａ ｃ ｂ ｓ ｄｏ ｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｏ ｉｏ ｉ
一维信息熵
一维信息熵一维信息熵是信息论中的重要概念，用于衡量一组数据的不确定性或信息量。
它是指在给定条件下，每个事件所携带的平均信息量。
在信息论中，一维信息熵是通过概率论和统计学方法来计算的。
在信息论中，一维信息熵的计算公式为H(X) = -ΣP(xi)log2P(xi)，其中H(X)表示一维信息熵，P(xi)表示事件xi发生的概率，log2P(xi)表示以2为底的对数。
一维信息熵的值越高，表示数据的不确定性越大，所携带的信息量也越大。
相反，一维信息熵的值越低，表示数据的确定性越高，所携带的信息量也越小。
在实际应用中，一维信息熵可以用于衡量一个系统或一个数据集的复杂程度。
例如，在分类问题中，一维信息熵可以用来评估一个特征在分类中的重要性。
如果一个特征的一维信息熵较高，说明该特征对分类的贡献较大；反之，如果一维信息熵较低，说明该特征对分类的贡献较小。
一维信息熵还可以用于分析文本的信息量。
在文本处理中，我们可以通过计算一个词在文本中的出现概率，来判断该词所携带的信息量。
如果一个词在文本中频繁出现，那么它的一维信息熵就会较低；反之，如果一个词在文本中很少出现，那么它的一维信息熵就会较高。
除了用于衡量数据的不确定性和信息量外，一维信息熵还可以应用于密码学领域。
在密码学中，我们希望通过加密算法来保护数据的安全性。
一维信息熵可以用来评估密码算法的强度，即衡量一个密码算法所能提供的信息安全性。
如果一个密码算法的一维信息熵较高，那么它的安全性也较高；反之，如果一个密码算法的一维信息熵较低，那么它的安全性较低。
除了应用于分类、文本处理和密码学等领域外，一维信息熵还可以用于衡量信道的容量。
在通信系统中，我们希望通过信道来传输尽可能多的信息。
一维信息熵可以帮助我们评估一个信道的传输容量，即在给定条件下，一个信道所能传输的平均信息量。
一维信息熵是信息论中的重要概念，可以用于衡量数据的不确定性和信息量。
它在分类、文本处理、密码学和通信系统等领域中都有广泛的应用。
论熵的定义与熵的物理意义
Vol. 41 No. 12(2020)物理教师P H Y S IC S T E A C H E R第41卷第12期2020 年论熵的定义与熵的物理意义邢红军(首都师范大学教师教育学院，北京100048)摘要：鉴于墒的定义与墒的物理意义晦涩难懂.提出了把熵的定义与墒的物理意义分开研究的观点.即熵的定义应当从“能量分布”的角度进行研究，而墒的物理意义则应当从“能量做功”的角度进行研究.研究认为，墒的定义是：随着时间的流逝，描述热量在空间分布均匀程度的物理量；熵的物理意义是：描述系统与环境相互作用过程中，热量不能做功程度的一种量度.这为准确理解熵的定义与熵的物理意义提供了有益的启示.关键词：墒；定义式；物理意义；温度场；能量分布在热力学乃至整个物理学中，熵都称得上是一个很重要的物理概念.它对于透彻理解和深入掌握热力学第二定律，甚至是了解物质世界的演化过程都有着非常重要的作用.由于熵的概念比较抽象.一直以难懂而闻名于世.美国著名物理学家P.W.A tk in也说：科学对解放人类精神的贡献没有任何部分像热力学第二定律那样大，同时科 学的其他部分也几乎没有这样高深莫测.”他称熵 是“永远难以透彻了解的.”可见熵的概念确实是不易理解的，对初学者尤其如此.为了确切了解熵的定义和深人理解熵的物理意义，本文先对熵的定义与熵的物理意义研究现状进行综述，而后在对熵的研究过程中，采用“两 步走”的方法，即把熵的定义的研究与熵的物理意义的研究分开，避免将二者混在一起进行研究.先从“能量分布”的角度研究熵的定义，而后再从“能 量做功”的角度研究熵的物理意义.1“熵”的定义与熵的物理意义研究现状摘（英文entropy，德文entropie)是由德国物理学家克劳修斯于1865年提出来的，它表示系统的“转变含量"（transformation content),即对热转 化为功本领的量度.如果用S表示这个量，则dS=学自克劳修斯提出熵这一概念后，150多年来，“熵问题的讨论已波及信息论、控制论、概率论、天 体物理、宇宙论、生命与社会等多个不同领域.由于自然界存在的复杂性，使熵的定义出现了极大的混乱，各种议论概念含糊、问题矛盾多多.[2]”究 其原因，正是对经典热力学中“熵”的定义缺乏准确理解所致.曹则贤认为，熵是一个非常独特的概念，就不易理解和容易误解这两点来说，在整个物理学领域，熵都是鲜有其匹的一个词.他进一步指出，中文熵，或曰热温熵.确实让人联想到除式dS=^，而非能量转换的内在问题.他认为：此公式是计算 工具，却不是熵的定义.若由熵，或热温商来理解熵，难免误人歧途.其根据积分公式而来的汉译有其历史的合理性，但从根本上来说确是错误的，似 乎熵的定义或计算依赖温度的存在.熵是比温度更基本的物理量，对温度无从定义的体系，熵一样 是可定义、可计算的.曹则贤承认，熵的概念是一个丰富的矿藏，他未能窥见其奥妙之万一，且一篇 短文也不足以描绘神龙之首尾.ra对于熵的理解，只从微观层次上解释熵对于人们认识熵的物理本质还是不够的.著名物理学家吴大猷先生曾指出：“熵的观念是很复杂很深的，很多书为了方便.只从统计观点来解释熵，虽 不说这是错，但这是不够的.”[<]因为对于一些研究人员或工程师来说，他们更关心熵的宏观应用.例如用熵来描述热机的热功转换效率，分析热传 递过程的不可逆性等.而且，即使已有“熵是系统混乱程度的度量”这一微观物理意义的解释，也似 乎没有减少熵的神秘色彩.正如我国著名物理学家冯端所说，“熵是一个极其重要的物理量，但却 又以其难懂而闻名于世.”[5]赫尔曼.哈肯也曾指出：“在涉及到熵这一概念时，物理学家们本身也存在着相当的混乱.”[6]就连以熵作为主要研究内容之一并获得诺贝尔化学奖的科学家普利高津都认为，“熵是一个很奇怪的物理量，不可能给出一个完备的解释.”[7]而从下面这个有关信息熵的有趣故事中，更能够深刻体会到科学家们对于熵概念难懂的无奈.1948年，贝尔实验室的电气工程师64第41卷第12期2020 年物理教师P H Y S IC S T E A C H E RVol. 41 No. 12(2020)申农（Claude Shannon)在研究通讯信号时，提出了 一个表征“丢失的信息（lost information)”或“不确 定度（uncertainty)”的物理量.但他一直苦于找不到合适的名字来命名该物理量.一次偶然的机会，申农遇到了冯.诺依曼（John Von Nouma)并向 他请教这个问题.冯•诺依曼说：“为什么不叫它熵呢？一方面它和统计熵的数学表达式很相像，但最重要的一点是，现在根本就没有人知道熵是什么，因此取名熵别人也不会提出反对.’’[8]那么熵的物理学意义究竟是什么呢？成如山 认为，“熵是一个像体积、压强、温度、内能那样真 实的物理量”，“正如温度是系统分子热运动剧烈程度的量度、气体压强是大量分子碰撞器壁强度的量度一样，熵的物理意义应该是构成系统的微观粒子热运动混乱程度量度”.[9]这种对熵物理意 义的认识正如吴大猷先生所指出的那样，是只从 统计观点来解释熵，显然并没有触及到熵的本质. 赵凯华等人认为，热量从高温传到低温熵增加意味着能量的分散和退降，即把熵看作是能量退化贬值的量度.[1°]这种对熵物理意义的理解是从能量退降的角度出发的，但并不能从熵的表达式中直接得出熵的物理意义，所以，也不能认为是熵的 一个满意的定义.也有研究者提出，“熵是表示任何一种能量在空间分布均匀程度的物理量.”[11]这 一定义已经比较接近熵概念的本质了，但也并不 是熵概念的全部，而且也不能从熵的表达式中直接得出.纵观对熵的定义与熵的物理意义的探讨，不 难发现，人们从不同角度对熵的定义与物理学意义做了解释，均有其合理之处.然而，这些解释都是间接或内隐的，无法给人一目了然之感，因此，对认识熵的定义与熵的物理意义就产生了严重障碍.我们认为，人们之所以长期以来觉得熵的概念难以理解，归根结底是因为一个关键问题没有搞清楚.即：熵的定义应当从“能量分布”的角度进 行定义，而熵的物理意义则应当从“能量做功”的角度进行定义.不能将二者区分而将两者混淆在一起讨论，是导致熵的概念艰涩难懂的重要原因.2“熵”的定义在确立上述观点的基础上，我们从熵的原始定义式出发，借助一种重要的科学方法—比值 定义法，通过剖析熵的定义式中物理量的深层含义，尝试从“能量分布”的角度对熵的定义给出符合熵概念本质的解释.由克劳修斯熵公式：可知，式中d Q是可逆循环中热量的变化量，T为热力学温度，d S是 可逆过程中熵的变化量.根据比值定义法可知.熵可以看作是“单位热力学温度热量的变化量”.然 而，这种表述仍处于一种“含苞待放”状态，需要进 一步明确才能展现出熵的定义.在熵定义式的分子上，d Q表示热量，它是能 量的一种，这是易于理解的.因此，要想真正理解熵的定义，就必须对定义式中分母T的深层含义进行剖析.像重力场、速度场等一样，物理学中存在着温度的场称为温度场，它是各时刻物体中各点温度分布的总称.温度场理论表明，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，反映了温度在空间和时间上的分布.因此，温度T这个变量通常是空间坐标和时间变量《的函数，B P r=7X：〇z“）.该公式描 述的是三维非稳态（瞬态）温度场，在此温度场中发生的导热为三维非稳态（瞬态）导热.不随时间而变的温度场称为稳态温度场，即了=了（:0 2)，此时为三维稳态导热.对于一维和二维温度场，稳态时可分别表示为：r=/(：r)和:r=/(x，y), 非稳态时则分别表示为T=/(jr，〖）和T=/(:c，：y，0.由于温度T这个变量通常是空间坐标和时间变量的函数，即了=/(r,«).所以，克劳修斯熵公式就可以表示为：dS=^^，由比值定义法可知，熵的定义就是：随着时间的流逝，描述热量在空间分布均匀程度的物理量.热量在空间分布的越均匀，则熵越大.反之，熵则越小.比如，把温度一端高一端低的铁棒用一个绝热材料包裹起来，此时 铁棒上的热量在空间分布的不均匀，铁棒的熵值较低.经过一段时间后把绝热材料去掉，虽然铁棒上的热量没有任何散失，但是此时铁棒上所有位置的温度都变成一样了，即热量已经均勻地分布到了整个铁棒上.此时铁棒的熵就增加了.从能量分布或能量储存的角度讨论熵的定义，不难理解，要使一个系统以做功的形式向外输出能量，该系统必须与外界有能量密度的差异.只有存在这种差异，能量才会自动地从高密度区域流向低密度区域，直到能量密度的差异消失为止. 换句话说，我们只能从能量的流动过程中得到功. 例如，水从高处流向低处推动水轮机而做功，热量 从高温物体流向低温物体推动热机而做功，都是65Vol. 41 No. 12(2020)物理教师P H Y S IC S T E A C H E R第41卷第12期2020 年能量密度从非均匀分布趋于均匀分布的结果.能 量分布越不均勻，熵就越小，反之熵就越大.如果 能量分布完全均匀，熵值就达到最大.这时就不可 能再发生能量从这一区域自发转移到另一区域的 宏观流动，也就是不再对外做功.除非由于外界的 原因，再度造成能量密度的不均匀，才能形成能量 的流动，从而可以对外做功.由此可见，熵可以作 为系统能量储存在空间均匀程度的一种量度.3 ‘‘熵”的物理意义如前所述，经过长达一个半世纪的探讨，有的 学者利用微观统计学的方法对熵的物理学意义进 行解释，有的学者从能量退化贬值角度对其进行 阐述，还有的学者从能量分布视角进行说明.至今 为止，对熵的物理意义的认识仍在继续探究.我们认为，在熵的定义研究的基础上，从“能 量做功”的角度可以给出熵的物理意义的解释.假设有一个热力学系统，高温热源温度为1， 输出热量为0,低温热源的温度为乃，因而可以在 系统的高温热源A 与低温热源C 之间构成一卡诺热机（如图l a )，这一热机的效率7/=1 —产生的机械功为A = Q ，(1一|^，热量Q 中不可用部 分（即排放到低温热源去而不能用来做功的部分）为Q’ = Q . # •(a ) (b )图1现在假定这个热力学系统在高温热源A 与低 温热源C 之间还存在着一个较低温热源B ,3个热 源的温度关系为高温热源A 先把热 量Q 传给温度为T 2的另一较低温热源B ，于是在 较低温热源B 和低温热源C 之间构成一卡诺热机 (如图l b )，此时，热量Q 的可用部分（即对外做功的部分）将减少为A ' = Q . — 而不可用部分则增加为Q " = Q ^前后两次比较，热量Q 的不可用部分增加了 Q 〃一Q ’ = Q (去一去）.7V 同时温度为乃和乃的两个物体所构成的系统，其熵的增量为A S s Q *因此，热量的不可用部分的增量为CT _Q ' = T3 . AS .可见，熵可以 作为能量的不可用程度的一种量度.不难发现.熵的物理意义是：它是作为能量的 不可使用程度的一种量度.这是因为，在一切实际 过程中，能量的总值虽然保持不变（能量守恒），但 能量可以利用的程度却随着熵的增加而降低了. 换句话说，从能量的数量上说，能量的总量保持不 变，而从能量的品质上说，品质变差了，可以用来 做功的部分变少了.也可以说，能量的价值降低 了.从以上分析可以知道，储存于高温下的热量， 能够对外做较多的功，也就是具有较好的品质.储 存于低温下的热量，同样数量的热量却只能对外 做较少的功，因为其品质较差，故称其为贬值的 能量.参考文献：1申先甲等.物理学史简编[M ].济南：山东教育出版 社，1985.2李玉山.熵的本质与宇宙生命创造演化[J ].前沿科学， 2008(01) ：80-90.3曹则贤.物理学咬文嚼字[M ].合肥：中国科学技术大 学出版社，2015.4吴大猷.吴大猷文集[M ].杭州：浙江文艺出版社，1999. 5冯端，冯少彤.溯源探幽熵的世界[M ].北京：科学出版 社，2005.6哈肯.协同学：理论与应用[M ].北京：中国科学技术出 版社，1990.7I Prigogine . What is entropy ? Naturwissenschaften , 1989(76):l -8.8 M Tribus , E C Mclrvine . Energy and information . SciA m ,1971(225)：179—184.9大学物理编辑部.力学热学专辑[M ].北京：对外贸易 教育出版社，1987.10赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：热学[M ]•北京：高等教育出版社，1998.11陈清梅，刘志璟•邢红军.论墒概念的宏观物理意义[J ].中学物理教学参考，2006(11):10.12蹇继勋.混乱程度、剧烈程度、熵变辨析[J ].四川师范大学学报（自然科学版），1998(01): 113—116.(收稿日期：2020 —03 —17)66。
信息熵与图像熵的计算
实验一信息熵与图像熵计算一、实验目的1．复习MATL AB 的基本命令，熟悉MATL AB 下的基本函数。
2．复习信息熵基本定义, 能够自学图像熵定义和基本概念。
二、实验仪器、设备1．计算机－系统最低配置256M 内存、P4 CPU。
2．Matlab仿真软件－ 7.0 / 7.1 / 2006a等版本Mat lab 软件。
三、实验内容与原理（1）内容：1．能够写出MATLAB源代码，求信源的信息熵。
2．根据图像熵基本知识，综合设计出M ATLAB程序，求出给定图像的图像熵。
（2）原理1． MATLAB中数据类型、矩阵运算、图像文件输入与输出知识复习。
2．利用信息论中信息熵概念，求出任意一个离散信源的熵（平均自信息量）。
自信息是一个随机变量,它是指某一信源发出某一消息所含有的信息量。
所发出的消息不同，它们所含有的信息量也就不同。
任何一个消息的自信息量都代表不了信源所包含的平均自信息量。
不能作为整个信源的信息测度，因此定义自信息量的数学期望为信源的平均自信息量：信息熵的意义：信源的信息熵H是从整个信源的统计特性来考虑的。
它是从平均意义上来表征信源的总体特性的。
对于某特定的信源，其信息熵只有一个。
不同的信源因统计特性不同，其熵也不同。
3．学习图像熵基本概念，能够求出图像一维熵和二维熵。
图像熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少。
图像的一维熵表示图像中灰度分布的聚集特征所包含的信息量，令Pi 表示图像中灰度值为i的像素所占的比例，则定义灰度图像的一元灰度熵为：255log i iip p ==∑H图像的一维熵可以表示图像灰度分布的聚集特征，却不能反映图像灰度分布的空间特征，为了表征这种空间特征，可以在一维熵的基础上引入能够反映灰度分布空间特征的特征量来组成图像的二维熵。
基于最大模糊熵和遗传算法的图像分割方法研究
摘要图象分割是数字图象处理与机器视觉的基本问题之一，是目标检测和识别过程中的重要步骤。
由于待分割图象的可变性比较大，且混有噪声，构成了图象分割所面临的主要困难。
到目前为止还不存在一种通用的、能使各种类型的图象达到最优分割质量的图象分割方法。
近年来一些学者将模糊理论和遗传算法引入到图象分割中，较传统方法取得了更好的分割效果。
本文在研究传统的模糊阈值分割的基础上，提出了一种基于改进的自适应遗传算法的图象分割方法，提高了图象的分割质量和分割效率。
本文具体研究工作如下：首先，针对标准遗传算法容易“早熟”的缺点，提出一种改进的自适应遗传算法。
该算法引进新的变量来衡量群体适应度的集中程度，从而对交叉概率和变异概率进行自适应调整，提高了算法的收敛率。
然后，将模糊理论和遗传算法结合起来应用于图象分割处理。
针对目标和背景两类图象分割，考虑二维灰度直方图，采用了一种更符合图象空间分布特点的隶属函数，建立了对应的二维图象模糊熵，分别采用标准遗传算法和改进的自适应遗传算法对二维图象模糊熵的各个参数进行优化，根据最大模糊熵准则，确定目标和背景的最佳分割阈值。
实验结果表明，基于改进的自适应遗传算法的二维最大模糊熵阈值分割法具有较好的分割性能和较快的分割速度，对噪声有一定的抑制能力。
另外，针对多目标的复杂图象分割问题，本文采用了一种三类阈值分割法，该方法将图象分为暗区、灰度区和亮区，通过建立相应的模糊隶属函数，对图象各个灰度级属于暗区、灰度区和亮区的模糊特性进行描述，并采用改进的自适应遗传算法对模糊熵参数进行优化，根据最大模糊熵准则，确定最佳的分割阈值；实验结果表明，基于改进的自适应遗传算法的三类阈值分割法能快速有效地分割复杂图象。
关键词：图象分割；模糊熵；遗传算法AbstractImage segmentation is one of basis problem of digital image processing and machine vision, and it is also an important step for detecting and identifying objects. The main difficulties lie in the great variability of images and the presence of noises.Recently, many researchers have introduced fuzzy set theory and genetic algorithm to image segmentation, which can get better results than traditional algorithms. An improved adaptive genetic algorithm in image segmentation is proposed to improve image division performance and division efficiency based on the study of fuzzy threshloding methods.Firstly, because the simple genetic algorithm is easily premature, an improved adaptive genetic algorithm is proposed. This method adopts a new variable to evaluate the concentration degree of population fitness. According to the concentration degree, the crossover probability and mutation probability is adaptively changed, which could improve the convergence of the genetic algorithm.Then, a thresholding method for image segmentation is presented, based on two-dimensional maximum fuzzy entropy and genetic algorithm. Utilizing two-dimensional histogram, the method defines a membership function that is fitter for image characteristics, and then gives the description of image’s fuzzy entropy. The procedure for finding the optimal combination of fuzzy parameters is implemented by simple genetic algorithm and improved adaptive genetic algorithm. Finally, the optimal threshold is determined by maximizing the fuzzy entropy. The experimental results indicated that the proposed method gave better performance and higher calculation speed, and the ability of resisting noise is improved. For multi-target image segmentation, a three-level thresholding method is presented. The method defines different membership functions for dark part, gray part and bright part of the image, and then gives the definition of fuzzy entropy. An improved adaptive genetic algorithm is proposed for the optimization of fuzzy parameters. Finally, the optimal thresholds can be determined by maximizing the fuzzy entropy. The experimental results demonstrated that the proposed method could segment the image effectively and fast.Keywords：image segmentation; fuzzy entropy; genetic algorithm目录第一章绪论 (1)1.1图象分割技术简介及其意义 (1)1.2遗传算法发展简介 (4)1.3模糊理论简介 (5)1.4本文的研究内容和拟解决的关键问题 (5)1.5本文的章节安排 (6)第二章图象分割原理和方法 (7)2.1图象分割的理论基础 (7)2.2图象分割的基本方法 (7)第三章遗传算法的基本理论 (11)3.1遗传算法的基本概念 (11)3.2标准遗传算法 (12)3.3遗传算法的基本定理 (15)3.4遗传算法的特点 (15)3.5遗传算法的理论及应用研究现状 (16)第四章模糊理论基础与应用 (18)4.1模糊理论的提出 (18)4.2模糊集基础 (18)4.3模糊理论在图象处理中的应用 (20)4.4图象分割中的模糊技术 (21)第五章基于最大模糊熵和遗传算法的图象阈值分割 (23)5.1引言 (23)5.2阈值分割原理 (23)5.3基于一维最大模糊熵的图象分割算法 (23)5.4基于二维最大模糊熵的图象分割算法 (25)5.5遗传算法的改进 (27)5.6利用遗传算法优化二维最大模糊熵进行图象分割 (29)5.7基于最大模糊熵和改进的自适应遗传算法的三类阈值分割 (33)第六章结束语 (38)6.1论文的主要工作 (38)6.2论文的创新点 (38)参考文献 (40)研究生期间发表的论文 (45)致谢 (46)第一章绪论1.1图象分割技术简介及其意义图象分割一直是图象处理领域中的重点和难点。
热力学中的熵概念
热力学中的熵概念热力学是研究能量转化和宏观性质变化的学科，而熵则是热力学中的一个重要概念。
熵可以用来描述系统的无序程度和混乱程度，是描述热力学过程中能量转化和热流动方向的基本物理量。
本文将详细介绍熵的概念、计算方法以及与其他热力学量的关系。
一、熵的概念熵（entropy）是热力学中的一个重要概念，它描述了一个系统的混乱程度或者无序程度。
熵的概念最早由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）提出。
克劳修斯在1865年的一篇论文中，定义了熵的初步概念，即系统的熵增加等于系统吸收的热量与温度的乘积。
后来，熵的概念逐渐被完善和发展，并成为热力学的基本理论之一。
熵的物理意义在于描述了系统中微观粒子的无序分布程度。
当系统处于有序状态时，熵的值较低；而当系统处于混乱无序状态时，熵的值较高。
例如，在一个有序的晶体中，粒子的分布是有规律的，熵较低；而在一个无序的气体系统中，粒子的位置和速度是无规律的，熵较高。
二、熵的计算方法熵的计算方法有多种，其中最常见的方法是使用熵的定义公式：ΔS = Q/T在这个公式中，ΔS表示系统的熵变，Q表示系统吸收的热量，T表示温度。
这个公式表明，熵的变化与系统吸收的热量和温度有关。
对于一个封闭系统，如果吸收的热量为正值，那么系统的熵也将增加，即系统的无序程度增加；反之，如果吸收的热量为负值，系统的熵将减小，即系统的有序程度增加。
当系统吸收的热量为零时，熵的变化也将为零，系统的无序程度保持不变。
除了使用熵的定义公式外，还可以通过其他方法计算熵的变化。
例如，对于理想气体，可以使用玻尔兹曼熵公式：S = k ln W在这个公式中，S表示系统的熵，k表示玻尔兹曼常数，W表示系统的微观状态数。
这个公式表明，系统的熵取决于系统的微观状态数，微观状态数越多，系统的熵越大，即系统的无序程度越高。
三、熵与其他热力学量的关系熵与其他热力学量有许多重要的关系。
其中最重要的关系是熵与热力学的第二定律之间的关系。
基于模糊熵的ＧＬＬＥ 熵阈值分割方法
噪性．
此外，本文还使用模糊熵来处理 ＧＬＬＥ 直方图
并计算熵值，可以提升效率和分割精度，并通过自适
应参数使得本方法可以适用于更多类型的图片．
ｇ（ ｘ，ｙ） ∈ （０，２５５） ．因此，Ｋ ＝ ｛ ｇ（ ｘ，ｙ） ｜ ｘ ∈ ｛１，２，
之后选择 ｈｉｓｔ（ Ｋ） 来表示图像的灰度直方图，
何春明，等．基于模糊熵的 ＧＬＬＥ 熵阈值分割方法．
７５８
ＨＥ Ｃｈｕｎｍｉｎｇ，ｅｔ ａｌ．ＧＬＬＥ ｅｎｔｒｏｐｉｃ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ．
该方法对于图像的空间信息的描述能力略显欠缺，
不同 图 像 的 分 割 精 度 也 存 在 着 较 大 的 差 异 ［２０］ ．
割被广泛应用于目标检测 ［１］ 、人脸识别 ［２⁃３］ 、医学图像检测 ［４］ 和视觉
追踪 ［５］ 等领域．
关于图像分割，目前已经提出了多种切实可行的方法：基于阈值
的分割方法 ［６］ 、基于边缘的分割方法 ［７］ 、基于区域的分割方法 ［８］ 、基
于图论的分割方法 ［９］ 以及基于泛函的分割方法 ［１０］ 等． 基于阈值的分
立对应的灰度⁃相似性二维直方图． 因为这种方法需要手动设定相似
度阈值且无法很好地区别边缘点和噪声点，所以实验总是难以取得
预期的效果．２Ｄ⁃Ｄ 首次将梯度方向引入图像熵阈值分割中，但是由于
其未能很好地挖掘梯度方向对于图中特征的群体性提取特点，导致
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是通过像素点的灰度值和局部像素的灰度均值作为两个测度来建立
的．二维 ｒｅｎｙｉ 熵 ［１７］ 和 二 维 Ｔｓａｌｌｉｓ 熵 ［１８］ 也 被 证 明 比 一 维 方 法 效 果
一维交叉熵值法_解释说明以及概述
一维交叉熵值法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在数据分析和机器学习领域中，一维交叉熵值法是一种常用的计算方法。
它通过测量两个概率分布之间的差异性，来评估一个模型或者预测结果的表达能力和准确性。
随着大数据时代的到来，数据量庞大且复杂，如何从海量的数据中提取有价值信息成为了一个重要而具有挑战性的问题。
在这个背景下，一维交叉熵值法作为一种快速、有效、可靠的指标被广泛应用于数据分析与挖掘、模式识别、风险评估等领域。
本文旨在详细介绍一维交叉熵值法的概念及其应用领域，并对其与其他方法进行比较。
同时，还将总结算法原理和基本步骤，并提供实现过程中需要注意的事项。
最后，通过介绍一个具体的应用案例，展示一维交叉熵值法在实际问题中的应用效果。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、一维交叉熵值法解释说明、一维交叉熵值法概述、实验结果与讨论以及结论与展望。
在引言部分，我们将首先对一维交叉熵值法进行概述，并介绍文章的结构和目的。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍一维交叉熵值法，包括其定义、应用领域、与其他方法的比较等内容。
同时，通过实际案例和实验结果，验证一维交叉熵值法在数据分析中的有效性和可行性。
最后，我们还将总结研究成果并提出后续工作的展望。
在下一部分中，我们将详细解释一维交叉熵值法是什么以及它在实际应用中的意义。
2. 一维交叉熵值法解释说明：2.1 什么是一维交叉熵值法？一维交叉熵值法是一种用于评估指标间关联性和重要性的统计分析方法。
它通过比较指标之间的概率分布差异，量化不同指标对目标变量的影响程度。
其核心思想是基于信息论中的交叉熵概念，通过计算指标变量与目标变量之间的条件概率分布互信息来衡量其相关程度。
2.2 一维交叉熵值法的应用领域一维交叉熵值法被广泛应用于多个领域，如金融风险评估、医学诊断、工业生产等。
在金融领域，可以利用该方法来评估不同经济指标对股市等资产价格波动的影响程度，并为投资决策提供科学依据。
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图像的熵是一种特征的统计形式，它反映了图像中平均信息量的多少。
图像的一维熵表示图像中灰度分布的聚集特征所包含的信息量，令P i表示图像中灰度值为i的像素所占的比例，则定义灰度图象的一元灰度熵为：H= - E i=0255P i lnP i(其中，E i=0255表示从灰度0到255进行求和运算，因为公式无法输入，暂且这样表示)图象的一维熵可以表示图像灰度分布的聚集特征，却不能反映图像灰度分布的空间特征，为了表征这种空间特征，可以在一维熵的基础上引入能够反映灰度分布空间特征的特征量来组成图像的二维熵。
选择图像的邻域灰度均值作为灰度分布的空间特征量，与图像的像素灰度组成特征二元组，记为(i,j)，其中i表示像素的灰度值(0<=i<=255)，j表示领域灰度均值(0<=j<=255),P ij=(f(i,j))/N2即可反应某像素位置上的灰度值与其周围像素的灰度分布的综合特征，其中f(i, j)为特征二元组(i,j)出现的频数，N为图像的尺度，定义离散的图像二维熵为：H= - E i=0255E j=0255 (P ij lnP ij )依此构造的图像二维熵可以在反映图像所包含的信息量的前提下，突出反映图像中像素位置的灰度信息和像素邻域内灰度分布的综合特征；本文是Li和Lee关于一维最小交叉熵图像阈值分割的原文。
这里进行了简单翻译，有不足的地方请大家一起讨论完善。
后续有文章对信息熵学进行初窥，敬请期待。
摘要：通过最小化图像与其部分区域之间的交叉熵解决了图像分割中的阈值选取问题。
其中交叉熵基于两幅图像之间的像素运算得到，同时提出一种基于统计直方图的实现算法。
该方法提出了一种信息理论意义上针对二值图像的无偏估计，因而不需要了解图像灰度分布的先验知识。
1、介绍在众多的模式识别系统中，图像阈值化是重要的一个初步环节。
其中阈值的选取会影响到后期图像分割的精度以及效率。
本文的方法假设图像中的背景和待分割目标可以通过将图像的灰度值与选定的一个合适的阈值对比而区分。
分割图像可能不适合作为通常意义上的图像处理例程的输入，因为在空间范围内它缺少对图像像素的更多有效信息。
尽管如此，这种阈值化算法实现简单并且运行速度高，这使得它成为目前包括从医学英语到工业制造的众多自动化系统中使用最广泛的算法。
二值化图像同样很适合在硬件上通过相关性以及实时识别进行模板匹配处理。
除了在图像分割中全局阈值化的应用外，这种方法同样可以用于模式识别领域的众多分类问题中。
关于阈值选取研究工作的详细总数可以在参考文献1-3中找到。
通常来说，阈值选取算法可以根据算法的性质粗略划分为全局方法和局部方法。
局部阈值化算法基于直方图函数的局部属性来选取阈值，比如根据存在的极大值和极小值。
一个典型局部阈值化算法的例子是基于直方图局部最小值定位的谷底（thebottom of the valley approach）算法。
从原理上讲，这种方法依赖于灰度差值因此对噪声比较敏感。
因而在这个过程中很重要的预处理就是对图像及其直方图进行平滑。
此外，往往当地的极值点不一定保证存在，这时可采用直方图增强或者锐化算法用来克服解决这些困难。
局部阈值化算法的一个优点就是它不需要先验知识就可以确定类别的数量。
全局阈值化算法则是通过对直方图进行全局统计而得到选取标准。
这种方法降低了对噪声的敏感度并且不需要进行图像增强，这些增强通常对单个的图像特征很敏感并且需要监督。
最近以来，Wilson和Spann介绍了一种将局部阈值化方法和全局阈值化方法结合起来的集群算法，这种算法消除了以上大多数的不足之处。
在本文中，作者仅讨论全局阈值化方法，同时采用目前使用最广的两种算法进行了对比：Kittler 与Illingworth提出的最小误差阈值算法以及Ostu算法。
在大津算法中，阈值的选取是通过最大化类间方差实现的，这种方法基于类内的方差，类间方差以及整个灰度级的全局方差。
该方法不需要输入参数，无需监督并且无需先验知识。
该方法目前应用广泛，并且通常被当做标准算法与其他阈值算法结果进行比较。
其主要不足是当两个基本分布存在不同方差时或者两个分布所包含元素数有较大不同时，该方法在阈值估计上存在偏差。
在最小误差算法中，包括目标和背景的像素集都假定为正态分布。
阈值选取的准则是使得像素集之间的平均误差最小。
除了假设正态分布外，该方法还假设两个总体分布重叠较小同时推倒中所产生的截断误差可忽略。
该方法试图绕过对直方图中两个分布均值，方差以及标准差的估计。
当灰度确实是正态分布时该方法可以对阈值给出较好的估计，而当分布为单峰的正态分布时，该方法不能给出阈值估计。
Cho等人对最小误差算法提出了改进，他们对截断造成的方差估计偏差进行了修正。
由于建模的原理都是一致的，我们将参考文献5作为基础进行讨论和比较。
以上两个算法是将统计直方图作为唯一输入的的阈值化算法的代表。
另外一类的阈值化算法同样仅仅使用到了统计直方图，这些方法应用到了包括图像分割问题的最大熵值原理。
这些方法用到了信息理论中熵的概念，其不用明确参考图像属性，比如二维分布以及在实际应用中有显著的限制。
算法细节将在第3部分讨论。
2、最大熵原理最大熵原理最早由Jaynes提出来，用于估计限制条件下的未知概率分布。
这些限制的作用是将解决方案集限制在只包括与数据相一致的解决方案范围内。
推理问题常常因为数据不足而变得不确定，因此在应用了所有的限制条件后，往往还有多种解决方案存在。
最大熵值原理允许我们选择给出最大熵值（信息）的方案。
最初的想法是它将会给出无偏的估计，并且在限制范围内允许最大的自由度。
这些年来，最大熵理论经历了广泛的理论辩论并且已经成功的应用到了科学与工程的多个领域。
浓度定理（ConcentrationTheorem）和多重性的研究表明，更高的熵值具有更好的多重性，因而更易被观测到。
显而易见的，在新信息以期望值给定的时候最大熵值方法是归纳推理的唯一正确方法。
它被延伸到一般的推理方法，用于处理包括非相干图像强度或者功率谱密度的分布等领域。
总的来说，该方法已经被广泛应用于各种领域并且证明是成功的。
例如，在谱估计领域，最大熵可以提供比传统估计方法如极大似然法更高的分辨率。
Kullback提出交叉熵的时候命名为定向差异（directed divergence）。
交叉熵测量两个分布P和Q之间的信息理论距离，其中定义如下：公式（1）Renyi等人同样对D的测量进行了研究，他们将D看做这两个分布之间的信息理论距离。
Renyi还指出当我们用Q取代P时，此公式可解释为信息内容变化的期望。
最小交叉熵方法可以看做是最大熵法的扩展，条件是为上公示中所有的p设置相等的初始估计，并且没有先验信息存在。
3、最小交叉熵分割法对于投掷筛子这样一个实验来说，每次投掷是一个单独的事件，不会影响其他投掷的结果，熵最大化会导致不同投掷的独立结果概率。
尽管如此，对于时间序列分析或者图像建模来说，数据间有较强的联系，为了考虑相互之间的信息内容，模型必须将时间序列或者图像作为一个单一的抽样，同时将最大熵原理的组合参数应用到许多不同抽样试验中。
将最大熵方法用于图像分割，之前的研究工作没有考虑上述的区别并且将像素产生的过程看做是独立试验。
他们基于具有一定灰度级单个像素的随机试验和测量像素分布的熵，将归一化的灰度直方图作为灰度级的概率分布。
Kapur提出的最大熵阈值化方法被认为由于其他的熵谱阈值算法。
尽管如此，最大熵方法仍然没有被很好接受，并且性能较差，因而有大量工作对其进行了改进。
Wong和Sahoo 结合图像中的空间信息和熵来产生阈值选取标准。
在最大熵值方法中保留了直方图熵函数的同时，Kapur介绍了一系列附加的启发式原则来选择阈值。
综上可知，不采用附加准则而仅仅通过熵原理制定通用的直方图阈值算法是不成功。
在计划中，分割过程是一个图像分布重建的过程。
考虑图像函数如下：其中N是正整数，G为灰度集合。
分割过程就是重建如下函数:其中的R+是正的实整数。
图1和图2展现了一个源图像f(x,y)和一个分割图像g(x,y)，其中坐标系的z轴代表了图像的灰度级。
分割图像g(x,y)将按照下式进行重构：公式（2）图1 灰度图像的三维图（Z为灰度级）图2 分割图像的三维图此分割图像g(x,y)来自f(x,y)，具体形式由三个未知的参数决定。
必须建立准则来寻找最有的g，或者等价的三个参数，使其尽可能的与f相似。
可表达如下：公式（3）准则函数一般是某种失真测量，例如从f到g的均方根差时常用的措施。
最小误差法和大津法都属于这种方法。
在这一章的结尾，我们将会展示大津法最小化图像和分割区域之间的最小均方差，而我们提出的是最小化交叉熵方法。
交叉熵法没有采用均方差，这种方法注重对正像分布的测量。
上面提出的问题可以作为一个带限制条件的经典的最大熵推理问题。
对问题重述如下：G为一系列的值，N是图像中的像素点个数，F为源图像，现在要根据F和可用的限制条件来求得G向量。
这里用相同的方式通过线性化2维分布得到新的分布，因此G和F中的元素来自图像空间同样的像素位置，同时G包括了只有两个值的元素，该元素目前还未知。
接下来，将要用到强度保护约束。
由于我们想要重建图像的分布，观测图像强度F会给G中的两个元素带来约束，这样使得重建图像中总的强度与观测图像相等。
限制表达式如下：公式（4）这样，该两个参数可以由如下公式来确定：公式（5）其中N1和N2分别为两个区域内的像素点个数。
联合以上公式1、2和5可以得到：公式（6）阈值可以选取为：公式（7）其中t0即为所需要的门限值。
以上的和在整幅图像上进行，尽管如此，有一些可替换的计算可分类。
这样就得到了如下的公式：公式（8）以上模型中的交叉熵的形式看起来和Skilling推倒的图像分割方法很相似，在他的方法中用到了4个公理推出如下的熵函数：公式（9）其中f(x)是图像强度分布函数，m(x)是图像模型。
实际上，如果包括总的强度转换限制，这两个方程只差一个符号，因为8公式中的两个积分在整个类上积分将会抵消。
以上的方法介绍了最小化图像和分割区域之间的交叉熵。
大津法最小化类间方差也可以从以上的方法中推导出来，这要用到两幅图像之间的均方差并且如4式所示的同样的限制。
这样标准函数就变为如下形式：公式（10）用直方图进行分类，标准函数就如下所示：公式（11）类内方差6式进行了定义，最小化11式所定义的函数等效于最大化大津法的准则，因为类内方差以及类间方差的和与选择的阈值相独立。
交叉熵函数的使用不仅仅限于阈值图像分割。
结合其他的限制，可以将该算法扩展到图像分割的其他领域。
例如，有些基于区域的分割方法就用交叉熵作为准则，比如分裂与合并方法，合并的地区可根据空间坐标标签的限制来确定。