时变时滞非线性系统的间歇控制

时变时滞非线性系统的间歇控制?フ? 要:时变时滞广泛存在于各种非线性系统中，研究了时变时滞非线性系统的间歇控制及其在保密通信中的应用问题,提出了一种间歇控制策略，理论上分析了其正确性，并且给出一个定理来确定控制器的相关参数。

根据提出的定理，设计出间歇控制器使得两个含有时变时滞的Chua电路指数达到同步。

将该方法应用到混沌保密通信中，在两个系统达到同步的基础上，发送端的信号能够在接收端很好地恢复出来，表明了该方法的可行性。

?ス丶?词:间歇控制；时变时滞；指数同步；保密通信；Chua电路?ブ型挤掷嗪?: TP309.2 文献标志码:AAbstract: Time??varying delay widely exists in nonlinear systems. This paper investigated the intermittent control problem of nonlinear systems with time??varying delay and its applications in chaotic secure communications. The authors proposed an intermittent control scheme, and analyzed its correctness theoretically. Moreover, a theorem was also givento determine the corresponding parameters in the controller. According to the proposed theorem, the synchronization of two chaotic Chua’s circuits can be achieved by designing intermittent controller. The method was applied to chaotic secure communications, and the sender’s signal could be recovered well at the receiving end after the synchronization was achieved. This also shows that the proposed method has some engineering applications.??Key words: intermittent control; time??varying delay; exponential synchronization; secure communications; Chua’s circuit??0 引言??混沌是非线性动力系统固有的一种行为，是服从某种确定规律，但同时又具有一定随机性的一种运动形式。

由于混沌时间序列具有非周期性、连续宽频谱、类似噪声、高度类随机性、对初值的敏感依赖性等诸多性质，使得混沌在保密通信和扩频通信中展现出了很好的应用价值。

自从1990年Pecora等人????［1］??提出了混沌同步的原理, 并在电路中得以实现以来, 各国学者们掀起了一股将混沌应用包括保密通信、扩频通信在内的信息安全领域的热潮。

近年来，各种混沌同步方法不断提出, 主要有状态反馈同步控制????［2］??、耦合同步控制????［3］??、脉冲控制????［4］??、观测器同步控制????［5］??等。

纵观现在已有的混沌同步方法，大多都是基于连续控制进行的，不连续的控制策略还很少被研究。

然而，以连续控制方法为基础的混沌保密通信方案很容易被跟踪或者复制，这大大限制了这些方法在混沌保密通信中的应用????［6-8］??。

周期间歇控制是不连续的控制方法中的一种，目前这方面的研究还较少。

其基本思想是在一系列的时间段上注入一定强度的控制量，通过改变系统的状态变量来使系统达到同步。

虽然周期间歇控制同步法使得单位时间内传输的有用信息量减少，但在保密通信的实际应用中，由于密钥的“支离破碎”将使得其加密的信息被窃取后难以破译????［6-7］??，从而增强了系统的保密性能。

??另一方面，时滞尤其是时变时滞广泛存在于非线性动力系统中????［9-12］??。

时滞对系统动力学行为的影响是巨大的，因为它可以将一个有限维系统映射为无穷维系统(因为时滞系统对应的特征方程为超越方程，具有无穷多个实根)。

一般来说，在混沌保密通信中，当接收和发送端系统因为受到外界影响，如传输延迟，而变成时滞动力系统时，传统的混沌同步发都失效????［8］??。

为此，研究一种不连续的控制方法来同步时变时滞的混沌系统就显得尤为必要。

??本文研究了时变时滞非线性系统的间歇控制及其在保密通信中的应用问题。

设计出一种间歇控制策略，理论上严格分析了其正确性，并且给出一个定理来确定控制器的相关参数。

根据提出的结果，我们设计出间歇控制器使得两个含有时变时滞的Chua电路指数达到同步。

最后，将该方法应用到混沌保密通信中，在两个系统达到同步的基础上，发送端的信号能够在接收端很好地恢复出来，表明了该方法的有一定的工程应用前景。

??1 问题描述??在本章，我们给出一类抽象的时变时滞非线性动力系统的周期间歇控制策略。

假设驱动系统和响应系统用微分方程分别描述为:????(t)=Ax(t)+Bf(t,x(t),x(t-τ(t)))??(t)=Ay(t)+Bf(t,y(t),y(t-τ(t)))+u(t) ??(1)??其中??x(t),y(t)∈R??n??是状态向量；??f:R??+×R??n×R??n→R??n??是一个连续的向量值非线性函数；时滞?Е?(t)??是已知的，或者是未知的但是以某一个常数为有界的，即??0≤τ(t)≤τ。

给定x(t;t??0,x??0)∈R??n，其中x??0∈R??n?П硎臼?(1)的第一个方程的初始值，是时滞动力系统(1)的第一个方程的解。

本文的目的就是设计一种合理的间歇控制策略??u(t)?Ю词沟檬敝拖低呈?(1)的第二个方程的解??y(t)??能够全局渐近追踪(1)的第一个方程的解??x(t)，?Ъ椽И┆?lim????t→∞‖x(t)-y(t)‖=0，其中??‖•‖???П硎鞠蛄康?Eucleaden范数。

??为了达到此目的，我们设计出以下的间歇控制策略????u(t)=d(t)(y(t)-x(t))??(2)??其中间歇反馈控制增益??d(t)?Фㄒ逦?????d(t)=-d,t∈［mT,mT+δ)??0,t∈［mT+δ,(m+1)T) ??(3)??其中：??d>0??是一个正常数，??T>0??是控制周期，?Е?>0??是一个周期内的控制宽度。

??定义同步误差??e(t)=y(t)-x(t)∈R??n?Ш涂刂坡湿Е?=δ/T，?Ц?据间歇控制器(3)，并根据式(1)，不难得到????e(t)=??Ae(t)+B??f~??(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t)))-de(t),??t∈［mT,(m+θ)T)??Ae(t)+B??f~??(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t))),??t∈［(m+θ)T,(m+1)T) ??(4)??其中?И?f~??(t,x(t),y(t),x(t-τ(t)),y(t-τ(t)))=f(t,y(t),y(t-τ(t)))-f(t,x(t),x(t-τ(t)))。

?オ?很容易看出，在间歇控制器(2)的作用下，如果式(4)零解，??e(t)=0，??全局渐近指数稳定，那么响应系统将会全局指数收敛到驱动系统。

为了便于下面的理论分析，需要以下的条件。

??假设1????［9］?? 对于向量值函数??f(t,x(t),x(t-τ(t)))，?О胍恢?Lipschitz条件成立。

即对于任意的向量??x(t),y(t)∈R??n，都存在两个正常数L??1,L??2，使得以下不等式成立:?オ??В?x(t)-y(t)］????T??［f(t,x(t),x(t-τ(t)))-f(t,y(t),??y(t-τ(t)))］≤L??1［x(t)-y(t)］????T??［x(t)-y(t)］+??L??2［x(t-τ(t))-y(t-τ(t))］????T??［x(t-τ(t))-??y(t-τ(t))］?オ?假设1给出了系统中非线性函数必须满足的条件。

实际上，假设1比通常的一致Lipschitz条件还要弱一些。

一致Lipschitz条件可以描述为：对于任意的两个向量??x(t),y(t)∈R??n，总是存在两个正常数K??1,K??2，使得‖f(t,x(t),x(t-τ(t)))-f(t,y(t),y(t-τ(t)))‖≤K??1‖x(t)-y(t)‖+K??2‖x(t-τ(t))-y(t-τ(t))‖。

这时可以取L??1=K??1+K??2/2,L??2=K??2/2?Ю词沟眉偕?1成立。

而且，很容易验证著名的带或者不带时滞的Lorenz系统、Rossler系统、Chen系统、Chua电路，以及经典的Hopfiled神经网络，细胞神经网络(Cellular Neural Network，CNN)等一系列非线性系统均满足假设1。

可见，假设1具有较强的普适性。

??2 主要结论??定理1 对于驱动系统和响应系统,在间歇控制器(2)的作用下，如果控制参数满足以下条件：??1)??A-dI??n+a??1I??n+‖B‖L??1I??n‖B‖L??2>0?オ?4)?Е?=ξ-2a??2(1-θ)>0?И?在下面的推导中，为了方便描述，将??2‖B‖L??2记为??L^????2。

????上式中?Е?>0是方程-2a????1??+ε+2??L^??????2????exp??(ετ) = 0的唯一正根，I??n表示n 维单位矩阵。

那么，误差系统(4)将全局指数稳定于e(t)=0。

?オ?证明构建如下的Lyapunov函数：????V(t)=12e????T??(t)e(t)??(5)??情形1 当??mT≤t‖B‖L??2>0，故g(0)0,且g′(ε)=1+2??L^????2τ??exp??(ετ)>0。

利用函数g(ε)的连续性和单调性，方程?│?-??2a??1+2??L^????2 ??exp??(ετ)=0有唯一的正根ξ>0。

取M??0=?┆?sup????-τ≤s≤0V(s),W(t)=??exp??{ξt}V(t)，其中t≥-τ。