180根轨迹绘制法则

zj到pi的向量相角
pj到pi的向量相角
m
n
zi (2k 1) ( z jzi ) pjzi k 0,1,2,
ji
j 1
某一开环复数零点
zj到zi的向量相角
pj到zi的向量相角
例4-3 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
K*(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) G(s)
n
m
pi z j
a i1
j 1
4
1.25
(2k 1) a 4 , k 0,1,2,3
即 45o ,135o
由法则5，确定分离点。
4
没有有限零点，故
1 0
i1 d pi
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
K*(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) G(s)
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
② 终止角
作各开环零极点到开环复 数零点（-2+j）的向量，测出 相应的角度。
故开环复数零点（-2+j）处的终 止角为：
z2 149.50
§ 4.2 根轨迹绘制的基本规则
根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出八条绘制 根轨迹的基本法则。 法则1：根轨迹的起点和终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0时的根轨迹点； 根轨迹终点是指根轨迹增益K*→∞时的根轨迹点。
n
m
闭环特征方程为： (s pi ) K * (s z j ) 0
无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角
a

(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
,n m 1
（2）渐近线与实轴的交点
n
m
pj zi
a
j 1
i 1
nm
式中，zi , pj 分别为开环系统的零点和极点。
注：只有在 (n m) 2 时，需要计算渐近线与实轴的交点 和夹角。
例4-4 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
K* G(s) s(s 3)(s2 2s 2)
解：将开环零极点标注在s平面上。 由法则1，确定根轨迹起点和终点。 由法则2，确定有4条根轨迹分支。 由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-3,0] 。 由法则3，确定根轨迹有4条渐近线
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n

1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0

p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2
p2
z2
p2
j
[s] p1
p1
[s]

0

p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。
根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的 大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。
根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨 迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。
法则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向
注：只有在 (n m) 2 时，需要计算渐近线与实轴的交点 和夹角。
法则4：根轨迹在实轴上的分布。 在实轴上的某一区域，若其右边开环实数零极点个数
之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则5：根轨迹的分离点与分离角。
两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即
分开的点称为根轨迹的分离点。
分离点坐标d：
(2k 1) a 4 3
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
43
2
由法则5，确定分离点。（本例无分离点）
由法则6，确定起始角和终止角。
①起始角
作各开环零极点到开环复数极点 （ -0.5+1.5j ） 的 向 量 ， 测 出 相 应的角度。
故 开 环 复 数 极 点 （ -0.5+1.5j ） 处的起始角为：
法则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向
无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角
a

(2k 1)
nm
;
k 0,1, 2,
,n m 1
（2）渐近线与实轴的交点
n
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m
pj zi
a
j 1
i 1
nm
式中，zi , pj 分别为开环系统的零点和极点。
l=2时，分离角必为直角。
有关分离点的说明： 根轨迹的分离点，实质上就
是系统特征方程的等实根（实轴 上的分离点）或等共轭复根（复 平面上的分离点）
• 分离点位于实轴上，或以共轭的形 式成对出现在复平面中。
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环极点之间（其中一个可以是无限 极点），这两个极点之间至少存在 一个分离点。
C(s)
s(s 2)(s 3)
由法则5知，[-2,-3]之间必有一分离点d。
m 1
n1

j1 d z j i1 d pi
1 1 1 1 d (1) d 0 d (2) d (3)
因为d在[-2,-3]之间，用试探法，设d=-2.5
1 0.67 1 1 1 0.4
p2 (2k 1) (1 2 3) (1 3 4 ) (2k 1) 1010 790
根 据 根 轨 迹 的 对 称 性 开 环 复 数 极 点 （ -0.5-1.5j ） 处
的起始角为：-790。
p2
例4-3 设系统开环传递函数如下，试绘制概略根轨迹。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
称为终值角，以 zi 标志。
m
n
pi (2k 1) ( z j pi ) pj pi k 0,1,2,
j 1
ji
某一开环复数极点
• 如果根轨迹位于实轴上两个相邻开 环零点之间（其中一个可以是无限 零点），这两个零点之间至少存在 一个分离点。
d2
d1
A
图4-5 实轴上根轨迹的分离点
B
图4-6 复平面上的分离点
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)
试绘制其概略根轨迹。
-
解：将开环零极点标注在s平面上。
K *(s 1)
C(s)
(2k1) (2k1) a n m 3 1 ; k 0,1 即900、2700
n
m
a

i 1
pi z j
j 1
nm

[0

(2)
(3)] 31

(1)
2
例4-1 设系统结构图如右图所示， R(s)
试绘制其概略根轨迹。
-
K *(s 1)
d 1
d d 2 d 3
-2.47 -3 -2
j
-1 0
左边略小于右边，重取d=-2.47两边近似相等。
分离角为直角。概略根轨迹如右图所示。
法则6：根轨迹起始角和终止角。
根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，
称为起始角，以 pi 标志。
根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，
根据根轨迹的对称性开环复数零点 （-2-j）处的起始角为：-149.50。
法则7：根轨迹与虚轴的交点。
若根轨迹与虚轴相交，则交点上的K*值与ω值可以用 劳斯判据确定； 也可令闭环特征方程中的s=j ω，然后分别令其实部和 虚部为零而求得。
先令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定K*的值， 即K*取此值时根轨迹与虚轴相交。 其次构造辅助方程，通常是利用s2行的系数构造辅助方 程（一对纯虚根），求出的ω数值；如果有多对纯虚根， 则采用幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程。
s(s 2)(s 3)
由法则4知，实轴上区域[-3,-2]、[-1,0]是根轨迹的一部分。
由法则2知，有3条根轨迹分支。
j
由法则1知，有1条根轨迹起开环极点0，终于开环零点-1； 另外2条分别起于开环极点-2，-3，终于∞。
由法则3知，2条终于∞的根轨迹的渐近 线与实轴的夹角和交点为：
-3 -2 -1 0
列劳斯表如下：
S4
1
8
K*
S3
5
6
S2
34/5
K*
S1 (204-25K*)/34
S0
K*
令S1 行系数=0，得K*=8.16。 根据s2行的系数构造辅助方程：
34 s2 K* 0 5
将K*=8.16代人，并令s=jω代人，得ω =±1.1。
继续画根轨迹。
i 1
j 1
在实际系统中，开环传递函数分子多项式的次数m与分
母多项式的次数n满足m≤n， 即零点个数≤极点个数。
m＜n 时，n条轨迹从开环极点出发，只能有m条 终止在开环零点, 另外n-m条应终止何处？
——终止在无穷远处
若有限数值的零点称为有限零点，无限数值的零点 称为无限零点，则此时开环零极点的个数是相等的。