函数模型的应用实例1
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函数模型的应用实例 课件
所以 y＝－0.15(x－4)2＋2. B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律是线 性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示． 设 y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入， 得01.＝254＝k＋k＋b，b， 解得kb＝＝00..25， 所以 y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时 间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)， 通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞 分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 ( 1 ) _收_ _集_ _数_ _据_ ； ( 2 ) _ _描_ _点_ _ ； ( 3 ) _ _ _选_ _择_ _函_ 数_ _模_ _型_ ； ( 4 ) _求_ _函_ _数_ _模_ 型_ _ ； ( 5 ) _ _检_ 验_ _ ； ( 6 ) _用_ _函_ _数_ _模_ _型_ _解_ _决_实_ _际_ _问_ _题_ ．
1．利用我们所得到的函数模型有什么用途？
【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋 势进行预测．
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时 间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)， 通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞 分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 ( 1 ) _收_ _集_ _数_ _据_ ； ( 2 ) _ _描_ _点_ _ ； ( 3 ) _ _ _选_ _择_ _函_ 数_ _模_ _型_ ； ( 4 ) _求_ _函_ _数_ _模_ 型_ _ ； ( 5 ) _ _检_ 验_ _ ； ( 6 ) _用_ _函_ _数_ _模_ _型_ _解_ _决_实_ _际_ _问_ _题_ ．
1．利用我们所得到的函数模型有什么用途？
【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋 势进行预测．
3.2.2_函数模型的应用实例(一)
3.2.2函数模型的应用实例（一）1、某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数2、某种植物生长发育的数量y与时间A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋23、如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③ C．②③D．①②4、长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.6、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？7、．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.8、有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？9、某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.10、某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？11、该经营者准备下月投入12. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).。
3.2.2函数模型应用实例1
h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.
中学数学网（群英 学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时， 一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型） 予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型的 解
布置作业 1 . (必做)课本第107页 习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用实例
2.5 t 3.5,
150 50(t 3.5), 3.5 t 6.5.
它的图象如图：
2
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为：
60, v 0,
50,
它的图象如图：
0 t 2.5, 2.5 t 3.5, 3.5 t 6.5.
思路分析： 完成全部任务的时间就是两组中需要用时较多的那组所 用时间，因此要想最快完成任务，两组所用时间之差应 为0或最小。
5
解：设x名工人制作课桌，(30 名x)工人制作椅子，
由题意知，一个工人制作一张课桌与制作一把椅子用时 之比为10：7，则一个工人制7张桌子和制作10把椅子所 用时间相等，不妨设为1个时间单位，那么
7 13
g(13)
200
1.18
10(30 13)
所以 t(13) 1.18
因为 t(12) t(13)
所以 x 1时3用时最少。
答：用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务 最快。
8
3
练习： 某人如果将进货价为8元的商品按每件10元售出时
每天可销售50件,现在他采用提高价格销售,减少进货量 的办法增加利润,己知商品每件售价每提高1元,其日销 售量就减少5件,为使每天赚得的利润最大,该商品的定 价应为多少元?
为使每天赚得的利润最大,该商品的定价应为14元.
4
例3:某车间有30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知 制作一张课桌与制作一把椅子的工时之比为10：7，问30名工 人应当如何分组（一组制作课桌，另一组制作椅子），才能保 证完成全部任务最快？
解函数应用题的方法和步骤： 1．审题:（1）设出未知量;（2）找出量与量的关系. 2．建摸:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量.
全国高中数学优质课比赛一等奖【教学课件】牛松函数模型的应用实例
=－40(x － 19.5)2+1490 (13＜x＜26)
所以，当x=19.5时，y有最大值. 故将销售单价
定为19.5元，就可获得最大的利润.
小组实验 【医学专家提醒 】人们日常饮水时既不能喝生水， 也不能喝过烫的水。生水含有大量的寄生虫，过烫的水
不仅会损伤牙釉质，还会强烈刺激咽喉、消化道和胃的
粘膜，长期饮用过烫的水会导致各种器官起变化。 因此推荐：饮用的最佳水温为 180c—450c。
一杯烧开的水从初始温度开始，大约经过多长时间可以冷却到450c？
合作探究 【例2】1～12分钟之间每隔1分钟采集一次水的温度
（单位0C），数据分别如下：
请根据以上数据预测， 从初始温度(92.90C)开始大约经过
网络资源
1、构造函数模型,解生活中的实际问题：
/Article/CJFDTotal-XXZY200911071.htm
2、函数拟合 ：
/view/9ecf2eee5ef7ba0d4a733b5b.html
归纳总结
通过这堂课，你学到了什么？ 给你留下印象最深的是什么？ 你还有一些什么想法？
归纳总结
一、知识要点：
收集数据 画散点图 选择函数模型
求函数模型
No
检验
Yes
用函数模型解释 实际问题
二、数学思想与方法：
数形结合、函数拟合、化归转化、待定系数法
作业布置
1、必做作业：P106练习第2题、 P107A组—1、2
多少分钟可以冷却到450c？
合作探究
※说说我们的研究方案 步骤1
收集数据
仔细观察这组数据： 在观察过程中你能发现什么？又能想到什么？
合作探究
步骤2 画散点图
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型的生活中的例子
指数函数模型在生活中有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.指数增长模型：人口增长是一个经常被描述为指数增长的
例子。
随着时间的推移，人口数量以指数形式增加。
这意
味着每个时间段的增长量都与当前的总人口数量成正比，
而不是与固定值相等。
类似的情况还可以用于描述病毒传
播、社交媒体用户数量等。
2.化学反应速率：在化学反应中，一些反应的速率可以用指
数函数模型来描述。
例如，放射性衰变是一个常见的指数
过程。
放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，因
此可以用指数函数来建模。
3.衰减过程：指数函数模型也可以用于描述衰减过程。
例如，
放置在室外的热液体将以指数形式冷却。
温度的变化量与
当前的温度差成正比，因此可以用指数函数来描述冷却过
程。
4.资产贬值：一些资产，如汽车、电子设备等，在使用过程
中会贬值。
资产值的减少可以用指数函数模型来描述，其
中资产价值每年以固定比例减少。
5.金融利率：指数函数模型在金融领域也有应用，例如利率
的复利计算。
在复利计算中，投资本金和利率成指数关系，可以利用指数函数模型来计算投资的增长。
这些只是一些常见的例子，指数函数模型在现实生活中的应用
非常广泛，可以涵盖许多不同的领域。
4.5.3函数模型的应用实例
(2).现某人乘坐一次出租车付费22.6元,求此次出租车行 的路程。
练习：
1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个 销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价， 减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售 单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每 个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？ 并求出最大值。
基本步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景 中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念， 进而把握住新信息。
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知 条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函 数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学式为___y____k_x____b_(_k____0, )其图像是一条__直__线，
当________时，一次函数在( , )上为增函数，当_______时，
一次函数在 (,)上为减函数。
2.二次函数的解析式为___y___a_x__2___b_x___c_(_a____0_), 其图像是一条 4ac b2
练习：
2.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水 不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时， 超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费 y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x， 3x吨.
（1）求y关于x （2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分 别求出甲、乙两户该月的用水量和水费
分段函数模型：
例2.某市出租车收费标 准如下：起步价为8元，起步里程为 3 km(不超过3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km时, 超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过的部分按每 千米2.85元收费,每次乘车还需付燃油附加费1元.
练习：
1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个 销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价， 减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售 单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每 个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？ 并求出最大值。
基本步骤：
第一步：阅读理解，认真审题
读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景 中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念， 进而把握住新信息。
第二步：引进数学符号，建立数学模型
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知 条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函 数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学式为___y____k_x____b_(_k____0, )其图像是一条__直__线，
当________时，一次函数在( , )上为增函数，当_______时，
一次函数在 (,)上为减函数。
2.二次函数的解析式为___y___a_x__2___b_x___c_(_a____0_), 其图像是一条 4ac b2
练习：
2.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水 不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时， 超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费 y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x， 3x吨.
（1）求y关于x （2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分 别求出甲、乙两户该月的用水量和水费
分段函数模型：
例2.某市出租车收费标 准如下：起步价为8元，起步里程为 3 km(不超过3 km按起步价收费);超过3 km但不超过8 km时, 超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过的部分按每 千米2.85元收费,每次乘车还需付燃油附加费1元.
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
【精选】函数模型的应用实例
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
知识小结
解决函数应用问题的基本步骤：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
函数模型应用实例
根据表中数据作出散点图．
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
每间每天房价 20元 18元 16元 14元
住房率
65％ 75％ 85％ 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
知识小结
解决函数应用问题的基本步骤：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
函数模型应用实例
根据表中数据作出散点图．
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
增长模型： y＝y0ert 其中t表示经过的时间，y0 表示 t＝0时的
人口数，r表示人口的年平均增长率． 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
必修1课件3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
年份 人数/ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 1954 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207 58796 60266
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
年份 人数/ 万人
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
1958 65994
1959 67207
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。 v (km/h) (1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义； 解：(1)阴影部分的面积为
例2.人口问题是当年世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： y
y0e
rt
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950～1959年我国的人口数据资料：
高中数学-函数模型的应用实例
y0 55196，则我国在1951~1959年期间的人 口增长模型为
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50
y 55196e0.0221t，t N
从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000
0
2
4
6
8
t
（2）将y=130 000代入
y 55196e0.0221t
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符；
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 我国的人口达到13亿？
因为 Байду номын сангаасi
ai ai 1 ，所以可以得出 ai 1
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函y数解析式，并作出相应的图像。
90 80 70
60
50
40
30
20
10
t
123 45
y
2400 2300
2200
2100
2000
x
123 45
2:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:
函数模型的应用实例
1:一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图:
y (Km/h)
90
90
80
80
75
70
65
60 50 50
高一数学函数模型的应用实例1
3. 分段函数模型的应用 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
(1) 求图中阴影部分 v/(km·h－1) 的面积，并说明所 100
90
求面积的实际含义； 80
70 60 50 40 30 20 1010
O 1 2 3 4 5 t/h
3. 分段函数模型的应用
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
3.2.2函数模型的 应用实例
主讲老师：
复习引入
一次函数、二次函数的 解析式及图象与性质.
讲授新课
1. 一次函数模型的应用 例1 某列火车从北京西站开往石家庄， 全程277km.火车出发10min开出13km 后，以120km/h的速度匀速行驶.试写 出火车行驶的总路程s与匀速行驶的 时间t之间的关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程.
(2)
50t 2004,
函数解析式
s
9800((tt
s
9800((tt
1) 2054, 2) 2134,
v/(km·h－1)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 1010
75(t 3) 2224, 65(t 4) 2299,
O 1 2 3 4 5 t/h
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
(2)假设这辆汽车的里 v/(km·h－1)
程表在汽车行驶这段 100
路程前的读数为2004
90 80
km, 试建立行驶这段
70 60
路程时汽车里程表读 50
数skm与时间th的函
40 30
数解析式, 并作出相
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函数模型的应用(一)
例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间关系如图所示 ：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 ） 2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm， ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 ， 与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。 与时间 的函数解析式，并作出相应图象。 的函数解析式
练习1：东风旅社有 张普通客床， 练习 ：东风旅社有100张普通客床，若每床 张普通客床 每夜租费10元时 客床可以全部租出， 元时， 每夜租费 元时，客床可以全部租出，若每床 每夜收费提高2元 便减少10张客床租出 张客床租出， 每夜收费提高 元，便减少 张客床租出，若 再提高2元 便再减少10张客床租出 张客床租出， 再提高 元，便再减少 张客床租出，依此情 况变换下去，为了投资少而获利最多， 况变换下去，为了投资少而获利最多，每床每 夜应提高租金多少元？ 夜应提高租金多少元？
r1 + r 2 + L + r9 9 ≈ 0 . 0221
令y0=55196，则我国在 ，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 ～ 年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t (t∈N) ∈
根据表中的数据作出散点图，并作出函数 根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N) ∈ 的图象， 的图象，如图
二次函数
解：从表格上易知销售单价每增加1元，销售量就减 从表格上易知销售单价每增加 元 元后， 少40桶，设在进价基础上增加 元后，日均销售利润 桶 设在进价基础上增加x元后 为y元，则 元
y= =-40x2+520x-200(0<x<13)
易知：当且仅当x=6.5时，y有最大值即将单价定 易知：当且仅当 时 有最大值即将单价定 元时， 为11.5元时，可获利最大 元时
104页1题 页 题
1、解：)已知人口模型为y = y0 e 其中y0 (1
rt
表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率 若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3% 估计，则有y = 5e
0.003t
当y = 10时，解得t ≈ 231 所以， 年世界人口约为1650年的2倍 1881 同理可知， 年世界人口数约为1970年的2倍 2003
请根据以上数据作出分析，这个经营部这样定价才能获得更大利润？ 请根据以上数据作出分析，这个经营部这样定价才能获得更大利润？
单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的， 单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的， 要求利润必须首先找到单价与销售量的关系，列出函数 要求利润必须首先找到单价与销售量的关系，列出函数 最大值。 关系式，再求函数最大值 关系式，再求函数最大值。
5
y = 0.90 ×10 分别代入y = ce ，得到
5 kx
c = 1.01× 105 { −5 k = −4.805 × 10
。
所以，y = 1.01×10 e
5
− 4.805×10 −5 x
当x = 5596m时， 5 5 y = 0.772 ×10 ( Pa) < 0.775 ×10 ( Pa)
人口问题是当今世界普遍关注的问题。 例4 人口问题是当今世界普遍关注的问题。认识人口数量的 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年， 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在 年 英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型： 英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型：
(12 x + 12 y ) ⋅ 95 + 135 xy ≤ 70000...(2)
将(1)代入(2)可得 2400 (12 x + ) ⋅ 95 + 135 ⋅ 200 ≤ 70000 x 解得6.4 ≤ x ≤ 31.3
107页5题 页 题
5解：将x = 0, y = 1.01×10 和x = 2400,
107页2题 页 题
20 1 2 2、解：由 3 ＝(60) a, 得a = 3 10 36 × 5 ×10
50 1 2 由 3＝ x 得x = 30 10 3 10 36 × 5 ×10
因为30 10 < 100
所以，这辆车没有超速。
107页4题 页 题
4、解：设长为x, 宽为y, 根据题意可得 6 xy = 1200....................(1)
年的人口增长率分别为r 解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 1，r2，…，r9 ：（ ） ～ 年的人口增长率分别为 ， 由表中数据可得
r1≈0.020 r3≈0.0229 r5≈0.0197 r7≈0.0276 r9≈0.0184
故平均增长率 r =
r2≈0.0210 r4≈0.0250 r6≈0.0223 r8≈0.0222
函数图象如图所示： 函数图象如图所示：
教材： 教材：107页3题 页 题
5 60t ,0 ≤ t ≤ 2 5 7 3、 ) x = { (1 150, < t ≤ 2 2 7 7 13 150 − 50(t − ), < t ≤ 2 2 2
5 60,0 ≤ t ≤ 2 5 7 3、 )v = { 0, < t ≤ (2 2 2 7 13 − 50, < t ≤ 2 2
答：这位游客的决定是冒险的决定
107页6题 页 题
6、解：根据题意可得如下关系
500 ≤ 2500(1 − 0.2) < 1500
t
解得2.3 < t ≤ 7.2
答：应该在用药2.3小时后及7.2小时以前 补充药。
练习2：截止到 年底， 练习 ：截止到1999年底，我国人口约 亿，如 年底 我国人口约13亿 果经过30年后 我国人口不超过18亿 年后， 果经过 年后，我国人口不超过 亿，那么人 口平均增长率不应超过多少（精确到0.01）? 口平均增长率不应超过多少（精确到 ）
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨 由此看出， 由此看出 度时间非常大的人口增长情况
函数模型的应用(二)
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元， 例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 元 每桶水的进价是5元 每桶水的进价是 元，销售单价与日均销售量的关系如表所示
解：（1）阴影面积为： ：（ ）阴影面积为： 表示汽车5小时内行驶的路程为 表示汽车 小时内行驶的路程为360km。 小时内行驶的路程为 。
阴影部分的面积表示汽 车在这5小时内行驶的路 车在这 小时内行驶的路 程为360km 程为
从图上很明显看出汽车在每一小时 都有固定速度， 都有固定速度，而进入下一小时后 速度则变为另一个固定值， 速度则变为另一个固定值， 这是很明显的分段函数特征。 这是很明显的分段函数特征。
y=y0ert
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年 其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年 表示经过的时间 时的人口数 平均增长率。 平均增长率。 下表是1950～1959我国的人口数据资料： 我国的人口数据资料： 下表是 ～ 我国的人口数据资料
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 ） 增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 ），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 增长率（精确到 ）， 这一时期的具体人口增长模型， 这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据 是否相符； 是否相符； （2）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到 亿？ ）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿
如图可知，所得模型与实际情况基本吻合。 如图可知，所得模型与实际情况基本吻合。 代入y=55196e0.0221t （2）将y=130000代入 ） 代入 由计数器可得t≈38.76 由计数器可得 所以，如果按表中增长趋势，大约在1950年后的第 年，我国 年后的第39年 所以，如果按表中增长趋势，大约在 年后的第 人口会达到13亿 人口会达到 亿
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 ） 2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 km， ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s ， 与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。 与时间 的函数解析式，并作出相应图象。 的函数解析式 50t+2004, 80(t-1)+2054, （2）据图有：S= ）据图有： 90(t-2)+2134, 75(t-3)+2224, 65(t-4)+2299, 0≤t<1 1≤t<2 2≤t<3 3≤t<4 4≤t≤5
例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间关系如图所示 ：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 ） 2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm， ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 ， 与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。 与时间 的函数解析式，并作出相应图象。 的函数解析式
练习1：东风旅社有 张普通客床， 练习 ：东风旅社有100张普通客床，若每床 张普通客床 每夜租费10元时 客床可以全部租出， 元时， 每夜租费 元时，客床可以全部租出，若每床 每夜收费提高2元 便减少10张客床租出 张客床租出， 每夜收费提高 元，便减少 张客床租出，若 再提高2元 便再减少10张客床租出 张客床租出， 再提高 元，便再减少 张客床租出，依此情 况变换下去，为了投资少而获利最多， 况变换下去，为了投资少而获利最多，每床每 夜应提高租金多少元？ 夜应提高租金多少元？
r1 + r 2 + L + r9 9 ≈ 0 . 0221
令y0=55196，则我国在 ，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 ～ 年期间的人口增长模型为 y=55196e0.0221t (t∈N) ∈
根据表中的数据作出散点图，并作出函数 根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N) ∈ 的图象， 的图象，如图
二次函数
解：从表格上易知销售单价每增加1元，销售量就减 从表格上易知销售单价每增加 元 元后， 少40桶，设在进价基础上增加 元后，日均销售利润 桶 设在进价基础上增加x元后 为y元，则 元
y= =-40x2+520x-200(0<x<13)
易知：当且仅当x=6.5时，y有最大值即将单价定 易知：当且仅当 时 有最大值即将单价定 元时， 为11.5元时，可获利最大 元时
104页1题 页 题
1、解：)已知人口模型为y = y0 e 其中y0 (1
rt
表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率 若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3% 估计，则有y = 5e
0.003t
当y = 10时，解得t ≈ 231 所以， 年世界人口约为1650年的2倍 1881 同理可知， 年世界人口数约为1970年的2倍 2003
请根据以上数据作出分析，这个经营部这样定价才能获得更大利润？ 请根据以上数据作出分析，这个经营部这样定价才能获得更大利润？
单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的， 单价与销售之间的关系题目是通过表格的形式给出的， 要求利润必须首先找到单价与销售量的关系，列出函数 要求利润必须首先找到单价与销售量的关系，列出函数 最大值。 关系式，再求函数最大值 关系式，再求函数最大值。
5
y = 0.90 ×10 分别代入y = ce ，得到
5 kx
c = 1.01× 105 { −5 k = −4.805 × 10
。
所以，y = 1.01×10 e
5
− 4.805×10 −5 x
当x = 5596m时， 5 5 y = 0.772 ×10 ( Pa) < 0.775 ×10 ( Pa)
人口问题是当今世界普遍关注的问题。 例4 人口问题是当今世界普遍关注的问题。认识人口数量的 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年， 变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在 年 英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型： 英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型：
(12 x + 12 y ) ⋅ 95 + 135 xy ≤ 70000...(2)
将(1)代入(2)可得 2400 (12 x + ) ⋅ 95 + 135 ⋅ 200 ≤ 70000 x 解得6.4 ≤ x ≤ 31.3
107页5题 页 题
5解：将x = 0, y = 1.01×10 和x = 2400,
107页2题 页 题
20 1 2 2、解：由 3 ＝(60) a, 得a = 3 10 36 × 5 ×10
50 1 2 由 3＝ x 得x = 30 10 3 10 36 × 5 ×10
因为30 10 < 100
所以，这辆车没有超速。
107页4题 页 题
4、解：设长为x, 宽为y, 根据题意可得 6 xy = 1200....................(1)
年的人口增长率分别为r 解：（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 1，r2，…，r9 ：（ ） ～ 年的人口增长率分别为 ， 由表中数据可得
r1≈0.020 r3≈0.0229 r5≈0.0197 r7≈0.0276 r9≈0.0184
故平均增长率 r =
r2≈0.0210 r4≈0.0250 r6≈0.0223 r8≈0.0222
函数图象如图所示： 函数图象如图所示：
教材： 教材：107页3题 页 题
5 60t ,0 ≤ t ≤ 2 5 7 3、 ) x = { (1 150, < t ≤ 2 2 7 7 13 150 − 50(t − ), < t ≤ 2 2 2
5 60,0 ≤ t ≤ 2 5 7 3、 )v = { 0, < t ≤ (2 2 2 7 13 − 50, < t ≤ 2 2
答：这位游客的决定是冒险的决定
107页6题 页 题
6、解：根据题意可得如下关系
500 ≤ 2500(1 − 0.2) < 1500
t
解得2.3 < t ≤ 7.2
答：应该在用药2.3小时后及7.2小时以前 补充药。
练习2：截止到 年底， 练习 ：截止到1999年底，我国人口约 亿，如 年底 我国人口约13亿 果经过30年后 我国人口不超过18亿 年后， 果经过 年后，我国人口不超过 亿，那么人 口平均增长率不应超过多少（精确到0.01）? 口平均增长率不应超过多少（精确到 ）
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨 由此看出， 由此看出 度时间非常大的人口增长情况
函数模型的应用(二)
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元， 例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 元 每桶水的进价是5元 每桶水的进价是 元，销售单价与日均销售量的关系如表所示
解：（1）阴影面积为： ：（ ）阴影面积为： 表示汽车5小时内行驶的路程为 表示汽车 小时内行驶的路程为360km。 小时内行驶的路程为 。
阴影部分的面积表示汽 车在这5小时内行驶的路 车在这 小时内行驶的路 程为360km 程为
从图上很明显看出汽车在每一小时 都有固定速度， 都有固定速度，而进入下一小时后 速度则变为另一个固定值， 速度则变为另一个固定值， 这是很明显的分段函数特征。 这是很明显的分段函数特征。
y=y0ert
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年 其中 表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年 表示经过的时间 时的人口数 平均增长率。 平均增长率。 下表是1950～1959我国的人口数据资料： 我国的人口数据资料： 下表是 ～ 我国的人口数据资料
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 ） 增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 ），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 增长率（精确到 ）， 这一时期的具体人口增长模型， 这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据 是否相符； 是否相符； （2）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到 亿？ ）如果按表中增长趋势，大约哪一年我国的人口达到13亿
如图可知，所得模型与实际情况基本吻合。 如图可知，所得模型与实际情况基本吻合。 代入y=55196e0.0221t （2）将y=130000代入 ） 代入 由计数器可得t≈38.76 由计数器可得 所以，如果按表中增长趋势，大约在1950年后的第 年，我国 年后的第39年 所以，如果按表中增长趋势，大约在 年后的第 人口会达到13亿 人口会达到 亿
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 ） 2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 km， ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s ， 与时间t h的函数解析式，并作出相应图象。 与时间 的函数解析式，并作出相应图象。 的函数解析式 50t+2004, 80(t-1)+2054, （2）据图有：S= ）据图有： 90(t-2)+2134, 75(t-3)+2224, 65(t-4)+2299, 0≤t<1 1≤t<2 2≤t<3 3≤t<4 4≤t≤5