非线性系统李雅普诺夫稳定性分析(2)
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第5章李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
5.4_非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析解析
克拉索夫斯基法(3/7)
V ( x ) [ f ( x ) f ( x )] f ( x ) f ( x ) x f ( x ) f ( x ) x x x f ( x) J ( x) f ( x) f ( x) J ( x) f ( x) ˆ ( x) f ( x) f ( x) J
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
3x1 x2 f ( x) x 3 x x x 2 1 2
(t ) f ( x ) x
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x ) J ( x) J ( x) J
为负定的矩阵函数,且
V ( x) x x f ( x) f ( x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
由于 V ( x) f ( x) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x) f ( x) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
0 1 ˆ J ( x) J ( x) J ( x) 1 14
不是负定矩阵 , 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法(5/7)
若 V(x)=f(x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量xi, 否则 , 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性分析方法
则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
非线性系统李雅普诺夫稳定性分析(2)
✓ 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
✓ 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
✓ 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
➢ 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
➢ 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V(x)x & x & f(x)f(x)
则其导数为
x(t)f(x) V(x)x & x & f(x)f(x) 克拉索夫斯基法(3/7)
V&(x) [ f (x) f (x)]
J(x)f(x)/x
➢ 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
x(t)f(x)
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
Jˆ(x)J(x)J(x)
为负定的矩阵函数,且
V(x)x & x & f(x)f(x)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
✓ 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
✓ 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
➢ 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
➢ 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V(x)x & x & f(x)f(x)
则其导数为
x(t)f(x) V(x)x & x & f(x)f(x) 克拉索夫斯基法(3/7)
V&(x) [ f (x) f (x)]
J(x)f(x)/x
➢ 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
x(t)f(x)
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
Jˆ(x)J(x)J(x)
为负定的矩阵函数,且
V(x)x & x & f(x)f(x)
非性线性连续系统李雅普诺夫第二方法稳定性分析
非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析目录1、前言 (7)1.1发展状况 (7)1.2 Lyapunov稳定性实际应用 (7)1.3 Lyapunov应用研究现状 (9)1.4 Lyapunov关于稳定性定义 (10)1.5 Lyapunov第一方法 (11)2 、非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (13)2.1 引言 (13)2.2 问题描述 (13)2.3 Lyapunov第二方法直观解释 (13)2.4 标量函数的符号性质 (14)2.5 Lyapunov第二方法相关定理 (14)2.6非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (16)3、仿真示例 (20)4、总结与展望 (23)致谢 (24)参考文献 (25)摘要对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。
Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。
Lyapunov第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。
现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。
本文主要通过分析李雅普诺夫当前发展状况和在实际中的应用，进而研究非线性连续系统Lyapunov第二方法的稳定性分析。
关键字：非线性连续系统 Lyapunov第二方法稳定性AbstractDirectly determine the stability of system state equation. The limitations of lyapunov second method is that the need when using the stability of the system problem. Now, with the development of computer technology, with the aid of a digital computer can find not only the need of lyapunov function, but also can determine the stability regions of the system. In this paper, by analyzing the lyapunov's current development status and application in the actual, and study the nonlinear stability analysis of continuous system lyapunov second method.Keywords：Stability of nonlinear; continuous system; Lyapunov second method1 前言（Introduction）1.1 Lyapunov发展状况Lyapunov稳定性理论能同时适用于分析定常系统和时变系统的稳定性、线性系统和非线性系统、，是更为一般的稳定性分析方法。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
李雅普诺夫稳定性理论
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
域选得多么小，只要其中有一条轨迹脱离球域， 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统：如果它是渐近稳定的，必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统：稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当，会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论：
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ，则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的，与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g (x)有关，
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫稳定性分析
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
李亚普诺夫稳定性分析
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有 引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时 讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地 位。 ➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域 人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要 方法,并得到了进一步研究和发展。 ➢ 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。
定理2 设定常系统的状态方程为 x f (x)
其中xe=0为其平衡状态。 ➢ 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足 下述条件: 1) 若 V ( x ) 为负定的; 2) 当||x||→,有V(x)→, 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。
李亚普诺夫稳定性分析
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
况，则 V ( x ) 为正半定或负半定。不属以上所有情况的V ( x ) 不定。
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: ➢ 渐近稳定性定理 ➢ 稳定性定理 ➢ 不稳定性定理
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
李亚普诺夫稳定性分析
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有 引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时 讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地 位。 ➢ 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制 理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域 人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要 方法,并得到了进一步研究和发展。 ➢ 本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普 诺夫第一法和第二法的理论及应用。
定理2 设定常系统的状态方程为 x f (x)
其中xe=0为其平衡状态。 ➢ 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x),满足 下述条件: 1) 若 V ( x ) 为负定的; 2) 当||x||→,有V(x)→, 则该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。
李亚普诺夫稳定性分析
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
况，则 V ( x ) 为正半定或负半定。不属以上所有情况的V ( x ) 不定。
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理: ➢ 渐近稳定性定理 ➢ 稳定性定理 ➢ 不稳定性定理
李亚普诺夫稳定性分析
2. 李雅普诺夫第二法的主要定理
(1) 定常系统大范围渐近稳定性定理1
✓ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。
对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： ➢ 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 ✓ 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域 S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 ✓ 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出 球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
克拉索夫斯基法 (1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
� 设非线性定常连续系统的状态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
� 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
� 对上述非线性系统 ,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
0
1
x1
x2
0
(x1 , x2 ,0,⋯ ,0)
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,⋯, x ) dxn
0
1 2
xn
n
变量梯度法 (5/10)
� 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
⎡ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + ⋯ + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ grad V = ⎢ 21 1 ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ a x + a x + ⋯ + a x ⎣ n1 1 2n 2 nn n ⎦
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
� 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 � 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 � 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 � 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
̇1 = x2 ⎧x ⎨ ̇2 = − x2 − x13 ⎩x
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
自动控制--第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) ，0 使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
1）外部稳定性：
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出 是有界的，则称该系统是外部稳定的。
外部稳定性也称为有界输入有界输出BIBO （Bounded Input Bounded Output）稳定性。
4)、5.1不李同雅的普稳诺定夫性意概义念下的稳定性
2）内部稳定性（或称状态稳定性）：
系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收 敛性，而与输入作用无关。
系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
即：对 x0 s( )
都有
lim
t
x(t; x0, t0 ) xe
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
• 当 与 t0无关 一致大范围渐近稳定。
• 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
❖1892年在博士论文中提出稳定性理论 ----不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非 线性、时变系统，是确定系统稳定性的更一般性理论。
❖1907（15年后）出版了法文版 ❖1992（100年后）出版了英文版 ❖当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字。
引言
李雅普诺夫 通过求解特征方程的特征值，利
x2
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性(2)
x f (x)
的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即
V dV (x) V x V f (x) 0 dt x x
那么称V (x) 为系统的李雅普诺夫函数。
x2
x2
V V3
V V2
V
V V1
0
V1 V2 V3 x1
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫理论基础
几何解释：表示 V(x) 值的点总是指向杯底，或指向越来 越小的V (x)值等高线。
R a 1
李雅普诺夫理论基础
x1
极限环
从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近 一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 R 为足够小，使得半径为 R 的圆完全落入极限环的封 闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将 越出这个圆,因此原点是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
2、渐近稳定性与指数稳定性
李雅普诺夫理论基础
例：对于一阶系统 x ax bx5
原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的
线性化是：
x ax
应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳
定性性质：
（1）a 0 渐近稳定； （2）a 0 不稳定；
（3）a 0 不能从线性化说明系统稳定性性源自。在第三种情况下，非线性系统为
征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的 （对实际的非线性系统）；
2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征
值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳 定的（对实际的非线性系统）；
3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那 么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性 系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。
第11讲 李雅普诺夫第二方法
➢ 在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程:
m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/7)
➢ 因此,有 mx’’=-mg(cos-fsin)
➢ 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos
定义 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数 V(x,t)是定义在[t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连 续函数(||x||)和(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 (0)=(0)=0,
1) 如果对任意tt0和x0, V(x,t)为有界正定的,即
0<(||x||)V(x,t)(||x||)， 称函数V(x,t)为[t0,)上的(时变)正定函数。
的几个定理。
李雅普诺夫第二法的几个定理(1/1)
3. 李雅普诺夫第二法的几个定理
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 ➢ 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。 ➢ 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。 ➢ 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
0
2
1
-1 2 5
-1 1 5
1 0 0
行:(3)(1)(3)
0 列:(3)(1)(3)
2
1
0 1 4
1 0 0
行:(3)(2) / 2(3)
0 列:(3)(2) / 2(3)
2
0
0 0 7/2
李雅普诺夫方法
x2
L
xn
p21 p22 L MM
pM 2nxM 2i n1pijxixj
pn1 pn2 L pnnxn j1
为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
而P的定号性由Sylvester准则确定：
p11
设1 p11， 2
p11 p21
1．自治系统
自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。
x&(t) = f ( x,t)
x
(t
0
)
x0
线性系统：
x&(t) = A(t x(t0 ) x0
)
x(t)
2．受扰运动
将自治系统在初始状态 x(t0) x0 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 x(t; x0,t0)。
都不超越球域 S ( ) 。
x2
一个二维状态空间中零平衡
状态 x e 0 是稳定的几何解释
S ( )
如右图 。
S ( )
如果 与t 0 无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
x (t0 )
xe
x1
上述稳定保证了系统受扰运动的有
x (t)
界性，通常将它称为李雅普诺夫意义
下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
③ 若V(x) 0 ，V ( x ) 为负定； ④ 若V(x) 0 ，V ( x ) 为负半定；
⑤ 若V ( x ) 可正可负，V ( x )为不定。
2. 二次型函数 设x为n维向量，则称标量函数
权矩阵 P为实对称矩阵
p11 p12 L p1nx1
V(x)xTPx=x1
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➢ 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+J(x)为负定矩阵函数。
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
xf(x)x13x1x2x2x23
解 由于f(x)连续可导且
f ( x ) f ( x ) ( 3 x 1 x 2 ) 2 ( x 1 x 2 x 2 3 ) 2 0
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
J(x) fx(x)13
f (x) x
x&
f (x)
f
(
x)
f (x) x
x&
f (x)J (x) f (x) f (x)J(x) f (x)
f (x)Jˆ(x) f (x)
➢ 由于V (x) f (x) f (x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f (x) f (x)正定。
➢ 因此,若 Jˆ(x)负定,则 V(x,t) f (x)Jˆ(x) f (x)必为负定。
✓ 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。 ➢ 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。
设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则 V(x)的单值梯度gradV存在。
✓ 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
✓ 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
✓ 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
1 14
不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
✓ 可见,该定理仅是一个充➢ 若V(x)=f(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。
✓ 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性 分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 ➢ 对非线性系统则不然。 ✓ 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 ✓ 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
1 13x2 2
J ˆ(x)J(x)J(x) 2 6
2 26x2 2
克拉索夫斯基法(7/7)
➢ 由塞尔维斯特准则有
1 6 0 , 2 2 6 2 2 6 x 2 2 3 6 x 2 2 8 0
➢ 故矩阵函数 Jˆ(x) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
J(x)f(x)/x
➢ 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
x(t)f(x)
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
Jˆ(x)J(x)J(x)
为负定的矩阵函数,且
V(x)x & x & f(x)f(x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 ➢ 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。
➢ 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。
下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 ➢ 克拉索夫斯基法 ➢ 变量梯度法 ➢ 阿依捷尔曼法
5.4.1 克拉索夫斯基法
克拉索夫斯基法(1/7)
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
➢ 对该系统有如下假设:
1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
➢ 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳
定的。
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。
➢ 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。
✓ 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
✓ 由于
x&1 x&2
0 2
1 x1
7x2
Jˆ(x)J(x)J(x)01
➢ 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V(x)x & x & f(x)f(x)
则其导数为
x(t)f(x) V(x)x & x & f(x)f(x) 克拉索夫斯基法(3/7)
V&(x) [ f (x) f (x)]
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 ➢ 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)
✓ 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线 元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包 含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。
➢ 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称 矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
克拉索夫斯基法(6/7)
例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
xf(x)x13x1x2x2x23
解 由于f(x)连续可导且
f ( x ) f ( x ) ( 3 x 1 x 2 ) 2 ( x 1 x 2 x 2 3 ) 2 0
可取作李雅普诺夫函数,因此,有
J(x) fx(x)13
f (x) x
x&
f (x)
f
(
x)
f (x) x
x&
f (x)J (x) f (x) f (x)J(x) f (x)
f (x)Jˆ(x) f (x)
➢ 由于V (x) f (x) f (x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f (x) f (x)正定。
➢ 因此,若 Jˆ(x)负定,则 V(x,t) f (x)Jˆ(x) f (x)必为负定。
✓ 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。 ➢ 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。
设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为V(x),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则 V(x)的单值梯度gradV存在。
✓ 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
✓ 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法)
✓ 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)
1 14
不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
✓ 可见,该定理仅是一个充➢ 若V(x)=f(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。
✓ 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性 分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 ➢ 对非线性系统则不然。 ✓ 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 ✓ 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
1 13x2 2
J ˆ(x)J(x)J(x) 2 6
2 26x2 2
克拉索夫斯基法(7/7)
➢ 由塞尔维斯特准则有
1 6 0 , 2 2 6 2 2 6 x 2 2 3 6 x 2 2 8 0
➢ 故矩阵函数 Jˆ(x) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
J(x)f(x)/x
➢ 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
x(t)f(x)
克拉索夫斯基法(2/7)
定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
Jˆ(x)J(x)J(x)
为负定的矩阵函数,且
V(x)x & x & f(x)f(x)
为该系统的一个李雅普诺夫函数。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 ➢ 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。
➢ 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。
下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 ➢ 克拉索夫斯基法 ➢ 变量梯度法 ➢ 阿依捷尔曼法
5.4.1 克拉索夫斯基法
克拉索夫斯基法(1/7)
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
➢ 对该系统有如下假设:
1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
➢ 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳
定的。
克拉索夫斯基法(4/7)
在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。
➢ 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。
✓ 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
✓ 由于
x&1 x&2
0 2
1 x1
7x2
Jˆ(x)J(x)J(x)01
➢ 更进一步,当||x||→∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。
证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
V(x)x & x & f(x)f(x)
则其导数为
x(t)f(x) V(x)x & x & f(x)f(x) 克拉索夫斯基法(3/7)
V&(x) [ f (x) f (x)]
5.4.2 变量梯度法
舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 ➢ 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。
设非线性定常连续系统的状态方程为
x(t)f(x)
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)