五年级奥数余数问题讲练PPT
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20.五年级奥数第20讲——余数问题
学生课程讲义【基础知识】：两个整数相除或能整除（又称余数为零）；若不能整除，则余数不为零，用式子表示有以下等价的两种：A＝B·C＋D（0≤D＜B） A÷B＝C（0≤D＜B）A被称为被除数，B称为除数，C称为商，D称为余数（0≤D＜B）。
本讲我们只讨论D≠0的情况。
巧妙地利用余数可以解决一些看似复杂（常常又很有趣）的问题。
余数应用的“巧妙”常在于它的“化简”功能。
（将对数的运算转化为对该数除以某数的余数的运算，而往往余数比该数要小得多）【例1】一个两位数除310，余数是37.求这样的两位数。
随堂练习1已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足条件的所有两位数是（）【例2】有一个整数，用它去除70,110,160所得到的3个余数和是50，这个整数是多少？随堂练习2两个整数相除商8，余16，并且被除数，除数，商及余数和是463。
那么被除数是（）。
【例6】有一列数：1,3,9,25,69,189,517，……，其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么着列数中的第2014个数除以6，得到的余数是（）。
随堂练习61除以44的商，从小数点右边开始的第1位到第100位的各个数位的数字相加的和是（）。
练习题一、填空题1、写出全部除109后余数为4的两位数。
2、任意写一个两位数，再将它重复3遍成一个8位数，将这个8位数除以这个两位数所得到的商再除以9，问得到的余数是多少？3、5122除以一个两位数得到的余数是66.求这个两位数。
4、甲、乙两数和是1088，甲数除以乙数商11余32.求甲、乙两数。
5、桌子上放着6包糖，分别装有3,4,5,7,9,13块糖，小华拿走2包，已知小明拿走的糖的块数是小华的2倍，那么剩下的那包糖中，糖有（）块。
6、前2014个既能被2整除又能被3整除的正整数的和，除以9的余数是（）。
余数的除法解决问题教学ppt
应用
余数除法的基本原理
03
余数除法问题的建模
被除数、除数、商和余数。
建立数学模型
定义变量
被除数 = 除数 × 商 + 余数。
建立数学方程
余数总是小于除数。
余数的性质
1
解析余数除法问题
2
3
除法是数学中的一个基本运算，将一个数分成若干等份。余数是指在除法运算后剩余的部分。
理解除法的基本概念
余数总是小于除数，这是因为如果余数等于或大于除数，那么商可以增加1，而余数则变为小于除数的值。
练习二：提升练习
01
题目一
有18个蛋糕，需要分给6个小朋友，每个小朋友能得到多少个蛋糕？
02
题目二
有23个巧克力，需要分给7个小朋友，每个小朋友能得到多少个巧克力？
有25个玩具，需要分给9个小朋友，每个小朋友能得到多少个玩具？
练习三：挑战练习及答案解析
有33个气球，需要分给11个小朋友，每个小朋友能得到多少个气球？
详细描述
策略一：循环相消法
总结词
通过将除数乘以一个整数，得到一个与被除数相关的倍数，再根据倍数关系解决问题。
详细描述
倍数关系法是一种基于乘法运算的解决余数除法问题的方法。在解决实际问题时，我们可以利用这种方法来简化计算过程。例如，如果我们有15个苹果，需要平均分给5个人，那么我们可以将除数5乘以一个整数3，得到15个苹果的倍数15，再根据倍数关系解决问题。具体来说，我们可以将15个苹果分成3组，每组5个苹果，这样就没有余数了。因此，商是3，余数是0。
xx年xx月xx日
《余数的除法解决问题教学ppt》
CATALOGUE
目录
引言余数的除法基础知识余数除法问题的建模余数除法问题的解决策略余数除法问题的应用实例余数除法问题的巩固练习与答案解析
余数除法的基本原理
03
余数除法问题的建模
被除数、除数、商和余数。
建立数学模型
定义变量
被除数 = 除数 × 商 + 余数。
建立数学方程
余数总是小于除数。
余数的性质
1
解析余数除法问题
2
3
除法是数学中的一个基本运算，将一个数分成若干等份。余数是指在除法运算后剩余的部分。
理解除法的基本概念
余数总是小于除数，这是因为如果余数等于或大于除数，那么商可以增加1，而余数则变为小于除数的值。
练习二：提升练习
01
题目一
有18个蛋糕，需要分给6个小朋友，每个小朋友能得到多少个蛋糕？
02
题目二
有23个巧克力，需要分给7个小朋友，每个小朋友能得到多少个巧克力？
有25个玩具，需要分给9个小朋友，每个小朋友能得到多少个玩具？
练习三：挑战练习及答案解析
有33个气球，需要分给11个小朋友，每个小朋友能得到多少个气球？
详细描述
策略一：循环相消法
总结词
通过将除数乘以一个整数，得到一个与被除数相关的倍数，再根据倍数关系解决问题。
详细描述
倍数关系法是一种基于乘法运算的解决余数除法问题的方法。在解决实际问题时，我们可以利用这种方法来简化计算过程。例如，如果我们有15个苹果，需要平均分给5个人，那么我们可以将除数5乘以一个整数3，得到15个苹果的倍数15，再根据倍数关系解决问题。具体来说，我们可以将15个苹果分成3组，每组5个苹果，这样就没有余数了。因此，商是3，余数是0。
xx年xx月xx日
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优选小学奥数有余数的除法ppt(共16张PPT)
例题讲练4
【例4】在算式（ ）÷（ ）=（ ）……4中，除数和商相 等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4，除数和商相等， 因为余数必须必除数小，所以除数必须比4大，但题中 要求最小的被除数，因而除数应填5，商也是5， 5×5+4=29，所以被除数最小是29.
练一练
1、在算式（ 8）÷7=（ 1）……（ ）1 中，商和余数
课前操菇
每份5个，可以分成几份？
□÷□=□（份）
每份6个，最多可以分成几份，还多几 个？
□÷□=□（份）……□（个）
每份7个，最多可以分成几份，还多几 个？
□÷□=□（份）……□（个）
圈一圈，填一填。
共15个蘑菇
每份5个，可以分成几份？
□÷□=□（份）
每份6个，最多可以分成几份，还多几个？
每份6个，最多可以分成几份，还多几个？ 【思路导航】根据“被除数=商×除数+余数”，可以得知“除数×商=被除数－余数”，所以本题中商×除数=28－2=24.
□÷□=□（份）……□（个） 每份6个，最多可以分成几份，还多几个？ （1）22÷( )=( )……4
□÷□=□（份）……□（个） 每份5个，可以分成几份？
（1）22÷( )=( 7)…×…43+3=24 7×6+6=48
即被除数可以是8,16,24,32,40,48.
练一练
1、下列算式中，商和余数相同，被除数可以是哪些？
（1）（ ） ÷6=（ ） … …（ ）
（2）（ ） ÷5=（ ） … …（ ）
2、一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出
五个这样的除法算式。
（1）（ ） ÷6=（ ） … …（ ） （3） 商×除数+余数=被除数 □÷4=7……□ 【例1】在算式 ÷6=8…… 中，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
2023五年级秋季奥数材料第十五讲带余除法课件通用版
1、713，1103，830，947 被某一自然数除，所得余数相同（不为零），求除数。
2、三个数 23、51、72 各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，那么这 个除数是多少？
3、有三个自然数 a、b、c，已知 b 除以 a，商 3 余 3；c 除以 a，商 9 余 11。那 么 c 除以 b，得到的余数是多少？
5、某班同学排队，如果每队3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人， 就多出2人。这个班至少有多少同学？
6、被 2,3,5 除都余 1，且不等于 1 的最小整数是多少?
7、已知一个两位数除 1477，余数是 49。那么满足这样条件的所有两位数有几个？
2、已知 2008 被一些自然数除，得到的余数都是 10，这些自然数共有多少个？
3、甲、乙两人做同一个数的带余除法，甲将其除以 8，乙将其除以 9，甲所得 的商与乙所得的余数之和为 13，求甲所得的余数。
例 5：如果某数除 492，2241，3195 都余 15，那么这个数是多少？
能力冲浪5
随堂练习
1、同学们做操,无论排成 6 人一行,8 人一行,10 人一行,最后一行都只站 3 人。 至少有多少人做操?
2、一个数除以 5 余 4，除以 9 余 7。这个数最小是多少?
3、一个整数,除以 8 缺 3，除以 12 余 5，除以 18 余 5。这个数最小是多少?
4、一个数,除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 3，这个数最小是多少?
3、一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个地数余 1 个，五个五个地数余 2 个，七个七 个地数余 6 个，这篮鸡蛋至少有多少个？
例3：一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23。这个数最小是多少？
能力冲浪3
2、三个数 23、51、72 各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，那么这 个除数是多少？
3、有三个自然数 a、b、c，已知 b 除以 a，商 3 余 3；c 除以 a，商 9 余 11。那 么 c 除以 b，得到的余数是多少？
5、某班同学排队，如果每队3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人， 就多出2人。这个班至少有多少同学？
6、被 2,3,5 除都余 1，且不等于 1 的最小整数是多少?
7、已知一个两位数除 1477，余数是 49。那么满足这样条件的所有两位数有几个？
2、已知 2008 被一些自然数除，得到的余数都是 10，这些自然数共有多少个？
3、甲、乙两人做同一个数的带余除法，甲将其除以 8，乙将其除以 9，甲所得 的商与乙所得的余数之和为 13，求甲所得的余数。
例 5：如果某数除 492，2241，3195 都余 15，那么这个数是多少？
能力冲浪5
随堂练习
1、同学们做操,无论排成 6 人一行,8 人一行,10 人一行,最后一行都只站 3 人。 至少有多少人做操?
2、一个数除以 5 余 4，除以 9 余 7。这个数最小是多少?
3、一个整数,除以 8 缺 3，除以 12 余 5，除以 18 余 5。这个数最小是多少?
4、一个数,除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 3，这个数最小是多少?
3、一位妇女提一篮鸡蛋，三个三个地数余 1 个，五个五个地数余 2 个，七个七 个地数余 6 个，这篮鸡蛋至少有多少个？
例3：一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23。这个数最小是多少？
能力冲浪3
小学奥数五年级上第21讲《余数的性质与计算》教学课件
答案：1，2，1
巩固提升
mathematics
作业2：151515151515除以8、11、7的余数分别是多少?
答案：3，2，0
巩固提升
mathematics
作业3：算式2009×2009+2010×2010+2011×2011除以31的余数是多少?
答案：15
巩固提升
mathematics
作业4：自然数42011除以9的余数是多少?
例题讲解
例题2：
mathematics
(1)20132013除以4和8的余数分别是多少?
(2)20142014除以3和9的余数分别是多少?
分析：根据4、8、3、9的特性求余法，可以很快计算出结果.
答案：（1）1，5；（2）2，5
例题讲解
mathematics
练习2： (1)20121221除以5和25的余数分别是多少? (2)20130209除以3和9的余数分别是多少? 答案：（1）1，21；（2）2，8
例题讲解
mathematics
例题4：一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按6个一包 的规格打包，最后一包不够6个，请问：最后一包有多少个零件? 分析：最后一包的零件数实际上就是零件总数除以6的余数. 答案：2
例题讲解
mathematics
练习4： (1)123+456+789的结果除以111的余数是多少? (2)224468-6678的结果除以22的余数是多少? 答案：（1）36；（2）12
例题讲解
例题3：
mathematics
(1)123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？
巩固提升
mathematics
作业2：151515151515除以8、11、7的余数分别是多少?
答案：3，2，0
巩固提升
mathematics
作业3：算式2009×2009+2010×2010+2011×2011除以31的余数是多少?
答案：15
巩固提升
mathematics
作业4：自然数42011除以9的余数是多少?
例题讲解
例题2：
mathematics
(1)20132013除以4和8的余数分别是多少?
(2)20142014除以3和9的余数分别是多少?
分析：根据4、8、3、9的特性求余法，可以很快计算出结果.
答案：（1）1，5；（2）2，5
例题讲解
mathematics
练习2： (1)20121221除以5和25的余数分别是多少? (2)20130209除以3和9的余数分别是多少? 答案：（1）1，21；（2）2，8
例题讲解
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例题4：一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按6个一包 的规格打包，最后一包不够6个，请问：最后一包有多少个零件? 分析：最后一包的零件数实际上就是零件总数除以6的余数. 答案：2
例题讲解
mathematics
练习4： (1)123+456+789的结果除以111的余数是多少? (2)224468-6678的结果除以22的余数是多少? 答案：（1）36；（2）12
例题讲解
例题3：
mathematics
(1)123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？
数学奥数通用版上册五年级带余除法课件完整版
• 2、当题目中所给的条件与被除数，除数， 商及余数有关时，常常可以考虑利用关系 式被除数=除数×商+余数进行分析和解答
简单应用（2） 利用余数解决排序问题
• 例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠 子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大 家第2011个珠子的颜色吗？
• 分析：所穿珠子的规律 • 解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，
• 被除数、除数、商、余数之间的关系
被除数=除数×商+余数
简单应用（1） 被除数=除数×商+余数的应用
• 例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数
• 解：∵被除数=除数×商+余数
∴被除数=26×15+12= 390+12=402
• 例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个 数
补充作业
• 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三， 这年的十月一日是星期几？
• 解：十月份有31天，31÷7＝4……3，由题 意知，这一月的31日是星期二，有五天的 是星期日、星期一，星期二，所以这一年 的十月一日是星期日。
• 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二， 二月一是星期几？
• 分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7 ＝4。都是4天，由题意知，这一年是闰年， 有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是 星期一。
15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5 • 即 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 • 被除数=除数×商
带余除法的意义
• 做除法16÷3你发现它与15÷3有什么不同：
16÷3=5……1 即16=3×5+1 ，此时被除
数除以除数出现了余数，我们把这种除法
叫做
带。余除法
简单应用（2） 利用余数解决排序问题
• 例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠 子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大 家第2011个珠子的颜色吗？
• 分析：所穿珠子的规律 • 解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，
• 被除数、除数、商、余数之间的关系
被除数=除数×商+余数
简单应用（1） 被除数=除数×商+余数的应用
• 例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数
• 解：∵被除数=除数×商+余数
∴被除数=26×15+12= 390+12=402
• 例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个 数
补充作业
• 1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三， 这年的十月一日是星期几？
• 解：十月份有31天，31÷7＝4……3，由题 意知，这一月的31日是星期二，有五天的 是星期日、星期一，星期二，所以这一年 的十月一日是星期日。
• 2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二， 二月一是星期几？
• 分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7 ＝4。都是4天，由题意知，这一年是闰年， 有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是 星期一。
15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5 • 即 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 • 被除数=除数×商
带余除法的意义
• 做除法16÷3你发现它与15÷3有什么不同：
16÷3=5……1 即16=3×5+1 ，此时被除
数除以除数出现了余数，我们把这种除法
叫做
带。余除法
数学五年级竞赛讲座第9讲同余课件
但如果计算得到4278×39682=169759896。 从末位看不出问题，不敢确定计算有无错误。
在“同余的几条简单性质”的例题中，我们
曾计算三个数的乘积437×309×1993被7除的余 数，若改为计算437×309×1993被9除的余数，
根据同余的性质可以分别计算437、309、 1993被9除的余数，再求余数之积被9除的余数。
例5．用弃九法检验465187586÷9762=47653是 否可能正确。 解：转化为检验乘法9762×47653=465187586。
9762≡(9+7+6+2)(mod 9)≡6(mod 9)， 47653≡(4+7+6+5+3) (mod 9)≡7(mod 9)， 所以9762×47653≡6×7(mod 9)
所以3145×92653≡1(mod 9)， 设2910 93995的横线处填写的是a， 即2910a93995 ≡(2+9+1+0+a+9+3+9+9+5)(mod 9)≡a+2(mod 9)， 所以a=8.
334≡1(mod 9)， 而1226452≡(1+2+2+6+4+5+2) (mod 9)
≡4(mod 9)， 用弃九法知道计算不正确。
5．乘法算式3145×92653=2910 93995的横线处 漏写了一个数字，那么横线处应填写 8 。 解：3145≡4(mod 9)，92653≡7(mod 9)，
≡42(mod 9)≡6(mod 9)，
465187586≡(4+6+5+1+8+7+5+8+6)(mod 9) ≡5(mod 9)，
小学奥数中的余数问题PPT课件.ppt
是22(如果商更大的话 ,与题目条件“三位数”不 符合). 因此,这个三位数是 37×22+17=831.
7
? 4. 393除以一个两位数 ,余数为8,这样的两位数有 _____ 个,它们是 _____.
解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除 .
∵393-8=385
4
同余定理（三）
a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c 的余数之积（或这个积除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以 （23×16）除于5的余数等于3×1＝3 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以 （23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5 的余数，即2
5
? 1．小东在计算除法时，把除数 87写成78，结果 得到的商是54，余数是8.正确的商是 _____,余数 是_____.
? 2. a÷24=121…… b,要使余数最大，被除数应该
等于_____. ? 3. 一个三位数被 37除余17,被36除余3,那么这个
三位数是_____.
6
解1. 48,44. 依题意得 被除数=78×54+8=4220 而4220=87 ×48+44,所以正确的商是 48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小 ,所以余数最大为 23,故有 被除数 =24×121+23=2927 解3. 831 这个三位数可以写成 37×商+17=36×商+(商+17). 根据“被 36除余3”.(商+17)被36除要余 3.商只能
9
? 6. 888……8 乘以666……6的积，除以 7余数是
50个8
50 个6
7
? 4. 393除以一个两位数 ,余数为8,这样的两位数有 _____ 个,它们是 _____.
解：4. 4; 11,35,55,77 393减8,那么差一定能被两位数整除 .
∵393-8=385
4
同余定理（三）
a与b的乘积除于c的余数，等于a，b分别除于c 的余数之积（或这个积除于c的余数）
例：23,16除于5的余数非别是3和1，所以 （23×16）除于5的余数等于3×1＝3 例：23，19除于5的余数非别是3和4，所以 （23×19）除于5的余数等于（3×4）除于5 的余数，即2
5
? 1．小东在计算除法时，把除数 87写成78，结果 得到的商是54，余数是8.正确的商是 _____,余数 是_____.
? 2. a÷24=121…… b,要使余数最大，被除数应该
等于_____. ? 3. 一个三位数被 37除余17,被36除余3,那么这个
三位数是_____.
6
解1. 48,44. 依题意得 被除数=78×54+8=4220 而4220=87 ×48+44,所以正确的商是 48,余数是44. 解 2. 2927 因为余数一定要比除数小 ,所以余数最大为 23,故有 被除数 =24×121+23=2927 解3. 831 这个三位数可以写成 37×商+17=36×商+(商+17). 根据“被 36除余3”.(商+17)被36除要余 3.商只能
9
? 6. 888……8 乘以666……6的积，除以 7余数是
50个8
50 个6
五年级数学拓展专题 余数问题 PPT带答案
20092009 → A → B → C → D
因为D≤9，所以D＝5
练习1
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除 数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
分析：和倍问题。注意和包含了被除数，除数，商和余数
解答： 被÷除=商……余数
17 13 被＋除＋商＋余=2113
17 13 除：（2113-13-17-13）÷（17+1）=115 被：115x17＋13=1968
解答： 1999÷9 余 1
小结：各数位数字之和加起来是9的倍数就能被9整除。 连续的9个自然数也能被9整除。
练习2
1234567891011121314……20132014除以9的余数是 多少？
分析：任意连续9个自然数的数字和也是9的倍数，此题可9个自然数为一组，刚好是9 的倍数，看余几个数，只用计算余下来的数除以9的余数即可。
余数具有可加性特征，因为数比较大，所以可以分开求出除以11的余数，然后将余数相加再除以11即可
解答： 16755÷11余2 28696÷11余3 （2+3）÷11余5
例题4
（1）(16755x28696) ÷4的余数是几？（2）71427和19 的积被7除，余数是几？
分析:利用余数的可乘性，只用分别计算16755和28696除以4的余数，再将余 数相乘。判断两个数除以4的余数只用看末2位。
【解答】：2012÷5余2 次方 1 2 3 4 5 6 … 余数 2 4 3 1 2 4 … 4个一组 2012÷4余0 ，答案为1。
小结：余数具有可乘性。
练习5
1997的100次方除以7，余数是几？
【分析】：本题用余数的可乘性找规律可求解， 1997的100次方相当于7的100 次方，每一次算出的余数×2再除以7的余数即为下一次的余数
小学五年级奥数举一反三第六周尾数和余数讲解学习共22页文档共24页PPT
小学五年级奥数举一反三第六周尾数 和余数讲解学习共22页文档
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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验证：
两两作差求公因数，除数就是公因数
45÷1274＝＝2362‧‧‧‧‧‧‧‧‧3‧3‧1 59－45＝14
5599÷÷217＝4＝＝2849‧‧‧‧‧‧‧3‧31 101－59＝42 101÷1274＝＝51704 ‧‧‧‧‧‧‧313
14的因数有：1、2、7、14 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
15×4－1＝59 59÷7＝8 ‧‧‧‧‧‧ 3 （不符合）
精炼1
（1）3356+7685+904除以13的余数是多少？
3356÷13＝258 ‧‧‧‧‧‧ 2 7685÷13＝591 ‧‧‧‧‧‧ 2 904÷13＝பைடு நூலகம்9 ‧‧‧‧‧‧ 7 2＋2＋7＝11 11＜13 答：3356+7685+904除以13的余数是11。
精炼1
（2）17×354×409×672除以13的余数是多少？
答：这个数可能是2、7或14。
精炼2
73、216、227被某个数b除余数相同，那么，108被这个数除的余数是多少？
216－73＝143
143的因数有：1、11、13、143
227－216＝11
11的因数有：1、11
108÷11＝9 ‧‧‧‧‧‧ 9
答：108被这个数除的余数是9。
例题3
一个大于1的数去除290、235、200时，得余数分别为a，a+2，a+5，则这个自然
17÷13＝1 ‧‧‧‧‧‧ 4
354÷13＝26 ‧‧‧‧‧‧ 6
409÷13＝31 ‧‧‧‧‧‧ 6 672÷13＝51 ‧‧‧‧‧‧ 9
4×6×6×9＝1296
1296＞13
1296÷13＝99 ‧‧‧‧‧‧ 9
答： 17×354×409×672除以13的余数是9。
例题2
有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？
求满足下列条件的最小自然数：用3除余2，用5除余4，用7除余4。请找出这个最 小的自然数。 余数和除数的差相同，可以先找3和5的最小公倍数
3×5＝15
15－1＝14
14÷7＝2 （不符合）
15×2－1＝29 29÷7＝4 ‧‧‧‧‧‧ 1 （不符合）
15×3－1＝44 44÷7＝6 ‧‧‧‧‧‧ 2 （不符合）
答：这个整数是29。
例题5
求满足下列条件的最小自然数：用3除余2，用5除余1，用7除余1。请找出这个最
小的自然数。
余数相同，可以先找出5和7的最小公倍数
5×7＝35
35＋1＝36
36÷3＝12 （不符合）
35×2＋1＝71 71÷3＝23 ‧‧‧‧‧‧2 （符合）
答：这个最小的自然数是71。
精炼5
200÷19＝10 ‧‧‧‧‧‧10 a＋5
答：这个自然数是19。
精炼3
有三个吉利数888,518,666分别除以一个自然数，所得的余数分别为a，a+7， a+10，则这个自然数是多少？
518－7＝511 666－10＝656
888－511＝377
377的因数有：1、13、29、377
656－511＝145
数是多少？
余数不相同，怎么办？ 可以变成余数相同吗？
本验题证小：结： 余数原本不相同， 2变若9成要0÷相验19同证＝求正1除确5 数否‧‧‧‧‧。，‧5a 2还3得5÷要19用＝原1数2 除‧‧‧‧‧。‧7
a＋2
235－2＝233 290－233＝57 290－195＝95
200－5＝195 此时，290、233、195同余 57的因数有：1、3、19、57 95的因数有：1、5、19、95
由题意可知，除数是小于63的自然数， 所以除数可能是：1、2、3、6、43 由于三个余数之和为25， 故三个余数中必有一个大于8（，25除以3的商是8） 根据除数必须大于余数，可以确定除数是43。
63÷43＝1 ‧‧‧‧‧‧20
90÷43＝2 ‧‧‧‧‧‧4
130÷43＝3 ‧‧‧‧‧‧1
20＞4＞1
答：这三个余数中最小的是1。
精练4
有一个整数，用它去除70，110，160所得的3个余数之和是50，那么这个整数是 多少？
70＋110＋160＝340
由题意可知，除数是小于70的自然数，
340－50＝290
所以除数可能是：1、2、5、10、29、58
290的因数有：1、2、5、10、29、58、 由于三个余数之和为50，
145
故三个余数中必有一个大于16（，50除以3的商是16）
根据除数必须大于余数，可以确定除数是29或58。
70÷29＝2 ‧‧‧‧‧‧12 70÷58＝1 ‧‧‧‧‧‧12
110÷29＝3 ‧‧‧‧‧‧23 110÷58＝1 ‧‧‧‧‧‧52
160÷29＝5 ‧‧‧‧‧‧15 12＋23＋15＝50 160÷58＝2 ‧‧‧‧‧‧44 （×）
8 ÷3＝2‧‧‧‧‧‧ 2
╳
╳
8 ÷3＝2‧‧‧‧‧‧ 2
？ 64 ÷3＝ 21‧‧‧‧‧‧ 1
2╳2＝4
4＞3 4÷3＝1‧‧‧‧‧‧11
余数问题
余数的加法定理
1
余数的乘法定理
2
同余定理
3
例题1
求723588＋5770和723588×5770除以11的余数。
723588÷11＝ 65780 ‧‧‧‧‧‧ 8
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第五讲：余数问题
班级：
学科教师：
调试好设备，准备好纸笔，全心投入学习吧！
＝ ＝ ＝ ＝ ＝
有趣的余数：
10 ÷3＝ 3‧‧‧‧‧‧ 1
＋
＋
7 ÷3＝ 2‧‧‧‧‧‧ 1
17 ÷3＝ 5‧‧‧‧‧‧ 2
导入
10 ÷3＝ 3‧‧‧‧‧‧ 1
╳
╳
8 ÷3＝ 2‧‧‧‧‧‧ 2
80 ÷3＝ 26‧‧‧‧‧‧ 2
5770÷11＝524 ‧‧‧‧‧‧ 6
8＋6＝14
14＞11
14÷11＝1 ‧‧‧‧‧‧ 3
所以（723588＋5770）÷11的余数是 3
723588÷11＝ 65780 ‧‧‧‧‧‧ 8
5770÷11＝ 524 ‧‧‧‧‧‧ 6
8×6＝24
24＞11
24÷11＝2 ‧‧‧‧‧‧ 2 所以723588×5770÷11的余数是 2
145的因数有：1、5、29、145
答：这个自然数是29。
例题4
有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数之和为25，那么
这三个余数中最小的数是多少？
除数在 被除数之和 与 余数之和 的差的因数中找
63＋90＋130＝283
283－25＝258
258的因数有：1、2、3、6、43、86、 126、258