高中数学必修4知识点(完美版)

高中数学必修 4第一章三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．o o o第一象限角的集合为k 360 k 360 90 , ko o o o第二象限角的集合为k 360 90 k 360 180 ,ko o o o第三象限角的集合为k 360 180 k 360 270 ,ko o o o第四象限角的集合为k 360 270 k 360 360 ,ko终边在x 轴上的角的集合为k180 ,ko o终边在y 轴上的角的集合为k 180 90 ,ko终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k2ⅠⅠ、Ⅲ2ⅡⅠ、Ⅲ2ⅢⅡ、Ⅳ2ⅣⅡ、Ⅳ2o3、与角终边相同的角的集合为k 360 , k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是lr．oo ，1 180 57.3o，1o． 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 3601807、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S，则l r ，C 2r l ，11 12S lr r ．2 28、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 2 2 0r r x y ，则sin yr，cosxry，tan x 0x．yP T9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin ，cos ，tan ．O M xA11 、角三角函数的基本关系：2 21 sin cos 12 2 2 2sin 1 cos ,cos 1 sin ；sin2 tancos sin tan cos ,coss intan．12、函数的诱导公式：1 sin 2k sin ，c os 2k cos ，t an 2k tan k ．2 sin sin ，cos cos ，t an tan ．3 sin sin ，cos cos ，tan tan ．4 sin sin ，cos cos ，tan tan ．口诀：函数名称不变，符号看象限．5 sin cos2 ，cos sin2． 6 sin cos2，cos sin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x1的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象．1②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横2坐标不变），得到函数y sin x 的图象．14、函数y sin x 0, 0 的性质：①振幅：；②周期：2；③频率：1f ；④相位：x ；⑤初相：．2函数y sin x ，当x x 时，取得最小值为y min ；当x x2 时，取得最大值为y max ，则11 2 y ymax min ，12y ymax min ，2x x x x2 1 1 2．15 周期问题2y ASin x , A 0 , 0 , T2y ACos x , A 0 , 0 , Ty ASin x , A 0 , 0 , Ty ACos x , A 0 , 0 , T2y ASin x b , A 0 , 0 , b 0 , T2y ACos x b , A 0 , 0 , b 0 , Ty A tan x , A 0 , 0 , Ty A cot x , A 0 , 0 , T?y A tan x , A 0 , 0 , Ty A cot x , A 0 , 0 , T15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性y x y cos x y tan xsin质图象定义域R R ,x x k k2 值域1,1 1,1 R3当x 2k k 时，2 当x2k k 时，y max 1；当x 2k最值既无最大值也无最小值y 1 x 2k；当max2k 时，y min 1．k 时，y min 1．周期性 2 2奇偶性奇函数偶函数奇函数在 2 ,2k k2 2在2k ,2k k 上是单调性k上是增函数；在增函数；在2k ,2k在,k k2 232k , 2k2 2k 上是减函数．k上是增函数．k 上是减函数．对称中心k ,0 k对称轴x k k2对称中心,0k k2对称轴x k kk对称中心,02无对称轴k对称性第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0 的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．r r rr r r⑶三角形不等式： a b a b a b．r rr r⑷运算性质：①交换律： a b b a；r rr r r r ②结合律： a b c a b cr rr r r；③a 0 0 a a． Cr rr ra x1, y1 2, 2 1 2, 1 2b x y a b x x y y⑸坐标运算：设，，则．ra18、向量减法运算：r⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． b4 r uu u r u u u ru u u rra b C C⑵坐标运算：设ra x 1, y 1， rbx y2, 2，则 rra b x 1 x 2, y 1 y 2． 设 、 两点的坐标分别为x 1, y 1 ， u u u rx 2 ,y 2 ，则 x 1 x 2, y 1 y 2． 19、向量数乘运算：rraa⑴实数r r ①aa． r ②当0时， a r 的方向与 ar 的方向相同；当0时， a r 的方向与 ar r的方向相反；当0时，a 0． r r ⑵运算律：①aa r r r ；②a aar r r r ；③a bab．r⑶坐标运算：设 ax,y r，则 ax, yx, y．r r r20、向量共线定理：向量 a a 0r 与 brr 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba ．设r a x 1, y 1， r bx 2 ,y 2rr ，其中 b0 ，则当且仅当 r x 1 y 2 x 2 y 1 0 时，向量 a r r r 、b b 0共线．u r 21、平面向量基本定理：如果 e 1 、 u u r e 2r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数u r u u r r 1、 2 ，使a1 e 12e2．（不共线 的向量 u r e 1、 u u r e2作为这一平面内所有向量的一组基底）u u u ru u u r 22、分点坐标公式： 设点 是线段1 2 上的一点，1 、 2的坐标分别是x 1, y 1 ， x 2 , y 2 ，当12时，点 的坐标是xx yy12, 1211．（当 1时，就为中点公式。

）23、平面向量的数量积：r r r r rrrroo⑴ a ba b cos a 0,b 0,0180 ．零向量与任一向量的数量积为0 ．r ⑵性质：设 ar 和 b rr rr 都是非零向量，则① a ba br ．②当 ar 与br r r r同向时， a b a br ；当a r 与b 反向 rr r r 时， a ba b ；r r r r 2 a a a a 2rr r 或a a a r r r r ．③ ab a b． r r r r⑶运算律：① a b b a r r r r r r ；②a b a b a b r r r r r r r ；③ a b c a c b c． ⑷坐标运算：设两个非零向量rax 1, y 1， r bx 2, y 2，则rr a b x x y y1 2 1 2．r 若a x, y ，则 r 2 22ax y，或r2 2a x y．设 r ax 1, y 1r，b x 2 ,y 2 ，则 rra b x 1x 2 y 1 y 2 0． r 设a r 、b都是非零向量， r a r，b r ， 是 a r 与的夹角， cos r r a b x xy y1 21 2x 1, y 1x 2, y 2 b 则r ．r2222a bxyxy1122测试题5一、选择题1．若三点A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线，则有（）A．a 3,b 5 B．a b 1 0 C．2a b 3 D．a2b 0 2．设0 2 ，已知两个向量OP cos , sin ，1OP 2 sin , 2 cos ，则向量2 P 长度的最大值是（）1 P2A. 2B. 3C. 3 2D. 2 33．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若a 与b 是共线向量， b 与c 是共线向量，则 a 与c是共线向量（）rrC．| a b | | a b |，则a b 0rrD．若a0 与b0 是单位向量，则a0 b0 1rr 4．已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为rr60 ，那么 a 3b（）A ．7 B．10 C．13 D． 4r 5．已知向量 a r，br r满足 a 1,b 4,r r且a b 2r,则ar与b的夹角为B．C．D．A．6 4 3 26．若平面向量 b 与向量a ( 2,1) 平行，且|b| 2 5 ，则b ( ) A．( 4,2) B．( 4, 2) C．(6, 3) D．( 4,2) 或( 4, 2) 二、填空题r r r r r 1．若| a | 1,| b | 2,c a br r，且c ar，则向量ar与b 的夹角为．2．已知向量 a (1,2) ，b ( 2,3) ，c (4,1) ，若用a 和b表示c ，则c =____。

3．若ra 1,rb 2，a与b 的夹角为r r60 ，若(3a 5b)r r(ma b) ，则m 的值为．4．若菱形ABCD的边长为2，则u u u r uu u r uu u rA B CB CD__________。