集合及其运算ppt课件
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集合的基本运算课件(共11张PPT)
解析： M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.
3：（必修1第一章复习参考题B组练习1） 学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参 加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比 赛,14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的 有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人 同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的 有_____人？ 解析：设同时参加田径和球 类比赛的有x人,则 9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28
二：以点集为背景的集合运算：
例1：（必修1习题1.1B组练习2）在平面直角坐标系中，
集合 C ( x, y ) y x表示直线 y
x, 从这个角度看，集合
2 x y 1 D ( x, y ) ,表示什么？集合C , D之间有什么关系? x 4 y 5
(1) A B A, A B B; A A B, B A B
A (CU A) , A (CU A) U
( 2) A B A A B;
A B B A B
(3)德摩根定律： CU ( A B ) (CU A) (CU B ) CU ( A B ) (CU A) (CU B )
【解题回顾】将两集合之间的关系转化为两曲线之 间的位置关系，然后用数形结合的思想求出 的范围 (准确作出集合对应的图形是解答本题的关键).
a
课堂总结：
1、集合的基本运算：
2、集合的运算性质：
3、注重数形结合思想的应用：
（1）韦恩(Venn)图 （2）连续的数集——数轴 （3）点集的运算——曲线位置关系
游泳 田径
高中数学 集合的概念及其基本运算PPT课件
1
(3)集合的表示法：列__举__法___、描__述__法___、图__示__法___、 _区__间__法__.
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为_有__限__集___、__无__限__集___、_空__集___. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的x∈A，都有x∈B，则 AB.（或 BA. 若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A， 则_______（或______）.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
［6分］
精选PPT课件
15
则a41a212,aa812.12a0; 当a>0时，若B A，如图,
则a4a1212,aa22.0a2.
综上知，当B A时， 1 a 2
［10分］
2
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
A∪B=A B A. 交集的性质：
A∩= ；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A A B.
补集的性质：
.
精选PPT课件
4
基础自测
1.（2008·四川理，1）设集合U={1，2，3，4，5},
A={1，2，3}，B={2，3，4},则 U(A∩B)等于 （ B）
A.{2，3}
B.{1，4，5}
C.{4，5}
并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}； 交集：A∩B=_{_x_|_x_∈_A__且__x_∈__B_}_； 补集： UA=__{_x_|_x_ __U _且 __x__ _A _} __. U为全集， UA表示A相对于全集U的补集.
集合的基本运算课件ppt.ppt
解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：
x Q x 2x2 3 0 2
（2）在实数范围内有三个解2，3， ，3 即：
x R x x2 3 0 2, 3, 3
补集例题
例．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B．
解：根据题意可知：
7．你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m<－. 2 (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m≥1 . (3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝ ∅，则m的取值范围是 1≤m≤3 .
[例3] 已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x， y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示：
AB
A∩B
B
A∩B
A
B
A∩B=
交集性质
①AA＝ ；
②A＝
；
③AB＝A A____B
(1) 设 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ {2 ， 3 ， 4} ， 则 A∩B ＝ {2}．
(2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝ ∅.
2: A A A
3: A
4: AB A B A
5:B A AB A
6 : A A B, B A B
7 : (A B) C A (B C)
1: A B B A
2: A A A
3: A A
4: AB A B A
5:B A AB A
x Q x 2x2 3 0 2
（2）在实数范围内有三个解2，3， ，3 即：
x R x x2 3 0 2, 3, 3
补集例题
例．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}， B={3，4，5，6}，求 A， B．
解：根据题意可知：
7．你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m<－. 2 (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m≥1 . (3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝ ∅，则m的取值范围是 1≤m≤3 .
[例3] 已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x， y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与 B 的公共元素组成的集合．
Venn图表示：
AB
A∩B
B
A∩B
A
B
A∩B=
交集性质
①AA＝ ；
②A＝
；
③AB＝A A____B
(1) 设 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ {2 ， 3 ， 4} ， 则 A∩B ＝ {2}．
(2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝ ∅.
2: A A A
3: A
4: AB A B A
5:B A AB A
6 : A A B, B A B
7 : (A B) C A (B C)
1: A B B A
2: A A A
3: A A
4: AB A B A
5:B A AB A
集合课件PPt
集合的传递性、吸收性、反对称性
传递性
如果A包含B，B包含C，则A包含C。
吸收性
如果A包含B，则A并B等于A。
反对称性
如果A包含B，B包含A，则A等于B。
集合运算的应用
用于解决数学问题中 的分类和合并问题。
用于逻辑推理和证明 中的概念和定理的表 述和证明。
用于处理集合之间的 关系和运算，如交、 并、补等。
集合的表示方法
列举法
将集合的元素一一列举出来，用 大括号{}括起来。例如：{1,2,3}表 示一个包含三个元素的集合。
描述法
通过描述集合中元素的共同特征 来表示集合。例如：{x|x是正方形 }表示所有正方形的集合。
集合的分类
01
02
03
有限集
包含有限个元素的集合。 例如：{1,2,3}是一个有限 集。
无限集
包含无限个元素的集合。 例如：自然数的集合N是 一个无限集。
空集
不包含任何元素的集合。 例如：{}是一个空集。
02 集合运算
交集、并集、补集
交集
由两个集合中共有的元素 组成的集合称为这两个集 合的交集。
并集
由两个或两个以上集合的 所有元素组成的集合称为 这些集合的并集。
补集
在集合A中，不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集。
应用
关系在数据库、人工智能和自然语言处理等领域都有广泛的应用。
等价关系与划分
定义
等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。自反性指任何元素都 与自己有这种关系，对称性指如果a与b有这种关系，则b与a也有这种关系，传递性指如 果a与b有这种关系，b与c也有这种关系，则a与c也有这种关系。
证明数学定理
集合的基本运算(共18张PPT)
(2)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},C={1,3}, 求
A∪(B∩C) A∪(B∩C)={3,4,5,6,8}
(3)设集合A={x|－1<x<2},集合B={x|1<x<3},求
A∩B
A∩B={x|1<x<2}
(4)设集合A={x|－1<x≤2},集合B={x|x<0或x≥2},
Ｖenn图
Ａ
Ｂ
AB
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB AB
学习新知
Ａ
交集的性质
Ｖenn图
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB
AB
A∩A = A A∩φ = φ
AB
A∩B =B∩A
A∩B A A∩B B 若A∩B=A,则A B．反之,亦然.
应用新知
典例分析
例2.(1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B
A∩B={5,8}
B={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一同学} C={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一女 同学}
集合C是由那些既属于集合A且属于集合B的所有 元素组成
学习新知
交集
交集:由AB 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称
为集合A与B的交集记做 A B (读做A交B)
A B x x A,且x B
典例分析
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2 上点的集合为L2,试用集合的运算表示l1,l2的 位置关系
答：平面内直线l1与l2可能有三种位置关系，即相 交于一点，平行或重合。
（1）l1与l2交于一点P
L1∩L2={点P}
（2）l1与l2平行 （3）l1与l2重合
A∪(B∩C) A∪(B∩C)={3,4,5,6,8}
(3)设集合A={x|－1<x<2},集合B={x|1<x<3},求
A∩B
A∩B={x|1<x<2}
(4)设集合A={x|－1<x≤2},集合B={x|x<0或x≥2},
Ｖenn图
Ａ
Ｂ
AB
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB AB
学习新知
Ａ
交集的性质
Ｖenn图
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｂ Ａ
AB
AB
A∩A = A A∩φ = φ
AB
A∩B =B∩A
A∩B A A∩B B 若A∩B=A,则A B．反之,亦然.
应用新知
典例分析
例2.(1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B
A∩B={5,8}
B={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一同学} C={x| x是鄂州二中2021年9月在校的高一女 同学}
集合C是由那些既属于集合A且属于集合B的所有 元素组成
学习新知
交集
交集:由AB 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称
为集合A与B的交集记做 A B (读做A交B)
A B x x A,且x B
典例分析
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2 上点的集合为L2,试用集合的运算表示l1,l2的 位置关系
答：平面内直线l1与l2可能有三种位置关系，即相 交于一点，平行或重合。
（1）l1与l2交于一点P
L1∩L2={点P}
（2）l1与l2平行 （3）l1与l2重合
数学集合的运算ppt课件
差集的定义
差集定义
差集表示属于A但不属于B的元素 组成的集合，记作A-B。
举例说明
如果A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}， 则A-B={1,3,5}。
差集的性质
差集的对称性
A-B=B-A的逆否命题是成立的，即如 果A-B=C，那么B-A=D，其中D是C 的补集。
差集的传递性
如果A-B=C，B-C=D，那么A-C=E， 其中E是D的补集。
符号表示
用符号“∩”表示交集， 例如集合A和集合B的交集 记作A∩B。
举例
若集合A={1,2,3,4}，集合 B={3,4,5,6}，则 A∩B={3,4}。
交集的性质
01
02
03
04
空集是任何集合的交集：对于 任意集合A，空集与A的交集是
空集，记作∅∩A=∅。
任何集合与空集的交集是其本 身：对于任意集合A，A∩∅=A。
集合的逻辑
集合运算可以用于逻辑推理，例 如集合的包含关系和排中律。
在计算机科学中的应用
数据结构
集合运算用于实现各种数据结构，如 并查集和动态集合。
算法设计
数据库查询
集合运算用于数据库查询语言（如 SQL）中，实现数据的筛选、连接和 汇总。
集合运算在算法设计中用于处理数据 和解决问题，例如排序算法和图算法。
对于任意集合A，有A∩A=A。
03 集合的并集运算
并集的定义
并集的定义
由两个或两个以上的集合中的所有元素组成的集 合称为这几个集合的并集。
并集的符号表示
记作A∪B，读作“A并B”。
并集的元素
并集中的元素是原集合中所有不重复的元素。
并集的性质
01
1.3 集合的基本运算(第一课时) 课件(共15张PPT)
课堂小结
并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的 集合，称为集合A与B的并集．记作：A∪B（读作：“A并B”）即： A∪B ={x|x∈A，或x∈ B}．
并集的性质：（1）A∪A=A； （2）A∪ =A； （3）若A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)； （4）若A⊆B，则A∪B=B，反之也成立
交集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合， 称为集合A与B的交集．记作：A∩B（读作：“A交B”） 即： A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
交集的性质：（1）A∩A=A； （2）A∩ = ； （3）(A∩B)⊆B，(A∩B)⊆A； （4）若A⊆B，则A∩B=A，反之也成立．
解：A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高 比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的 同学}．
例题精讲
【例4】设平面内直线l1上的点的集合为L1， 直示线l1，l2上l2的点位的置集关合系为．L2，试用集合的运算表
解：（1）直线l1与直线l2相交于一点P可表示为：L1∩L2={P}；
上述两个问题中，集合A、B和C之间都具有这样一种关系：集合C是 由所有属于A或属于集合B的元素组成的．
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所
组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：A∪B（读作：“A并B”）
即：
A∪B ={ x | x ∈ A ，或 x ∈ B}
这说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有 元素组成的集合（由集合的互异性，重复元素只看成一个元素，不能重复写出）．
思考
下列关系式成立吗？ （1）A∪A=A；（2）A∪ =A
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念及其基本运算PPT教学课件
在描述法表示集合时，描 述不清或描述错误导致集 合不确定。应该准确描述 元素的性质，确保集合的 确定性。
在进行集合运算时，忽略 空集的情况。空集是任何 集合的子集，因此在进行 交集、并集等运算时需要 考虑空集的情况。
在表示集合时，要确保元 素的互异性，即同一个元 素在一个集合中只能出现 一次。
在进行集合运算时，要遵 循运算规则，确保结果的 准确性。例如，在求交集 时要找两个集合中共有的 元素；在求并集时要将两 个集合中的所有元素合并 在一起并去掉重复元素。
偏序关系与等价关系
等价关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、对称性和 传递性，则称R是A上的一个等 价关系。
区别
偏序关系不满足对称性而等价关 系满足对称性；偏序关系具有方 向性而等价关系不具有方向性。
01
偏序关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、反对称性 和传递性，则称R是A上的一个 偏序关系。
说明。
感谢您的观看
THANKS
04
集合的应用举例
在数学领域的应用
数的分类
自然数集、整数集、有理数集、实数集等都 是数学中常见的集合，通过对这些集合的研 究，可以深入了解数的性质和分类。
函数定义域和值域
函数中的定义域和值域都是集合，通过对这 些集合的运算和研究，可以了解函数的性质 和特点。
方程和不等式的解集
方程和不等式的解集也是集合，通过对这些 集合的运算和研究，可以了解方程和不等式 的解的性质和特点。
02
03
联系
偏序关系和等价关系都是集合上 的二元关系，都满足自反性和传 递性。
04
序偶与笛卡尔积
序偶定义：由两个元素a和b按一定顺序排列成的二元 组称为序偶，记作(a,b)。序偶中的元素具有顺序性，即 (a,b)和(b,a)表示不同的序偶。 笛卡尔积的性质
集合的基本运算ppt课件
⊆
（2） ∪ = ⟺ ____
A
（3） ∪ ∅ = ____
（4） ∩ = ____
⊆
（5） ∩ = ⟺ ____
∅
（6） ∩ ∅ = ____
概念应用
概念应用
例1：设 A 4，
5，
6，
8,B 3，
5，
7，
8 , 求 A B。
解：A B {4,5, 6,8} {3,5, 7,8} {3, 4,5, 6, 7,8} 。
3，
4}，A B ;
综上所述，当 a 3时，A B {1，
3，
4}，A B {1};
当 a 1 时，A B {1，
3，
4}，A B {4};
当 a 4 时，A B {1，
当 a 1, a 3且 a 4 时， A B {1,3, a, 4}，A B 。
概念生成
交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，
记作 A B
问题4：你能用符号语言及Venn图表示交集吗？
符号语言：
A B x | x A, 且x B
图形语言：
概念深化
概念深化
问题1：如何理解并集概念中的“或”字？
“或”字说明并集中的元素可以分为三种情况：
x A, x B; x A, x B; x A, x B
问题2：Байду номын сангаас交集概念中的“且”字又该如何理解？
“且”字说明并集中的元素只能来源于集合A和B的共同元素
问题3：集合 A，A B，A B 的关系是？
A
B A A B
（2） ∪ = ⟺ ____
A
（3） ∪ ∅ = ____
（4） ∩ = ____
⊆
（5） ∩ = ⟺ ____
∅
（6） ∩ ∅ = ____
概念应用
概念应用
例1：设 A 4，
5，
6，
8,B 3，
5，
7，
8 , 求 A B。
解：A B {4,5, 6,8} {3,5, 7,8} {3, 4,5, 6, 7,8} 。
3，
4}，A B ;
综上所述，当 a 3时，A B {1，
3，
4}，A B {1};
当 a 1 时，A B {1，
3，
4}，A B {4};
当 a 4 时，A B {1，
当 a 1, a 3且 a 4 时， A B {1,3, a, 4}，A B 。
概念生成
交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，
记作 A B
问题4：你能用符号语言及Venn图表示交集吗？
符号语言：
A B x | x A, 且x B
图形语言：
概念深化
概念深化
问题1：如何理解并集概念中的“或”字？
“或”字说明并集中的元素可以分为三种情况：
x A, x B; x A, x B; x A, x B
问题2：Байду номын сангаас交集概念中的“且”字又该如何理解？
“且”字说明并集中的元素只能来源于集合A和B的共同元素
问题3：集合 A，A B，A B 的关系是？
A
B A A B
集合的运算(交集、并集、补集)ppt课件
1.3 集合的运算
• 交集 • 并集 • 补集
1
1.3.1 交集
【实例】国庆节文艺汇演，我们班上表 演舞蹈的学生的集合为A={王莉，李红 ，张雪，周梅}，表演合唱的学生的集 合为B={王明，周涛，张雪，李璐}。 可以看到，张雪既表演舞蹈，又表演合 唱。
2
【新知识】
3
做图表示【实例】中的交集
A舞
蹈
王莉 李红 周梅 张雪
B合
唱
王明 周涛 李璐
4
【想一想】 集合A与集合B的交集能否为
空集？ 能否为集合A或者集合B?
AB BAAB
5
、 【知识巩固】
6
7
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
8
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集 合A、B,有
9
【练习】1.3.1
10
1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生 表彰的集合为A={王莉，李红，张雪}，获得 优秀学生干部表彰的学生的集合为B={王明， 周涛，张雪}。 老师请所有获得表彰的同学上台领奖 我们可以看到，上台的同学有：王莉、李红 、张雪、王明、周涛。
11
【新知识】
12
做图表示实例中的并集
22
【练习】1.3.3
23
A三
好
王莉 李红 雪
B优
干
张王明 周涛
13
【知识巩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
14
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集
合A、B,有
15
【练习】1.3.2
• 交集 • 并集 • 补集
1
1.3.1 交集
【实例】国庆节文艺汇演，我们班上表 演舞蹈的学生的集合为A={王莉，李红 ，张雪，周梅}，表演合唱的学生的集 合为B={王明，周涛，张雪，李璐}。 可以看到，张雪既表演舞蹈，又表演合 唱。
2
【新知识】
3
做图表示【实例】中的交集
A舞
蹈
王莉 李红 周梅 张雪
B合
唱
王明 周涛 李璐
4
【想一想】 集合A与集合B的交集能否为
空集？ 能否为集合A或者集合B?
AB BAAB
5
、 【知识巩固】
6
7
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
8
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集 合A、B,有
9
【练习】1.3.1
10
1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生 表彰的集合为A={王莉，李红，张雪}，获得 优秀学生干部表彰的学生的集合为B={王明， 周涛，张雪}。 老师请所有获得表彰的同学上台领奖 我们可以看到，上台的同学有：王莉、李红 、张雪、王明、周涛。
11
【新知识】
12
做图表示实例中的并集
22
【练习】1.3.3
23
A三
好
王莉 李红 雪
B优
干
张王明 周涛
13
【知识巩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
14
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集
合A、B,有
15
【练习】1.3.2
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一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
例3
设An
{x
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
n0
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
集合及其运算
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
( A )c Ac
( A )c Ac
证明 （1） 若 ( A )c ,
设 x ( A )c ,
则x S且x A .
因而对 ，都有x A ,
所以x S A Ac.
由于对 都成立，故x Ac.
因此( A )c Ac.
反之， 当 Ac 且x Ac时，Fra bibliotek5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例1
若
An
{x;0
x
1
1}, n n
称为A的余集，简记为 CA或Ac. 余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A. (4) 若A B,则AC BC .
定理6 De Morgan 公式
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
故 An (0,1). n1
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
例3
设An
{x
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
n0
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
集合及其运算
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
( A )c Ac
( A )c Ac
证明 （1） 若 ( A )c ,
设 x ( A )c ,
则x S且x A .
因而对 ，都有x A ,
所以x S A Ac.
由于对 都成立，故x Ac.
因此( A )c Ac.
反之， 当 Ac 且x Ac时，Fra bibliotek5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}