集合

集合

例如:

(1)所有的等腰三角形; (2)所有的正数; (3)方程的所有解; (4)不等式的所有解;

(5)在平面上,与一个定点距离等于定长的所有点; 象以上这些由确定对象组成的集体,称为一个集合

一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合.简称集. 它含有的各个对象,称为该集合的元素

一般地,一个集合里的元素都是确定的,任何两个元素都是不同的,也就是说集合中的元素不允许重复出现,并且元素的排列与顺序无关. 2,元素的性质 (1)确定性 (2)互异性 (3)无序性

这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地. 3.集合与元素的关系

给定的集合,它的元素必须是完全确定的,也就是说给定的集合必须有明确的条件,由此条件可以判定任一对象或者是,或者不是这一集合的元素.由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C 等表示集合.而用小写字母a,b,c 等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种:

如果a 是集A 的元素: 如果a 不是集A 的元素: 4.常用数集的表示

自然数集(非负整数集) N

正整数集(自然数集内排除0的集合) N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5.集合分类

按集中元素个数的多少可分为:有限集和无限集. 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 若按集中元素属性来分:数集,点集 高中数学主要研究数集和点集

6.集合的表示方法

(1)列举法:把一个集合中的所有元素逐具列举出来,并用{ }括起来. 例:

<1>小于5的正奇数组的集合:{1,3}

∈

∉

a A ∈a A ∉

<2>方程x2-1=0的所有解组成的集合:{1,-1}

<3>设数学中四则运算符号组成的集合为M,那么,这个集合可表示为M={+,-,X. ÷}

<4> 18的所有正约数组成的集合为{1,2,3,6,9,18}

那么10000的所有正约数组成的集合如何表示?列举法有哪些优点?适用于表示哪些集合?应注意哪些问题?

列举法---具体(集合中元素具体化)

---适用于表示元素个数较少的有限集,或元素间明显规律的有限集或无限集. 例如:自然数集N={0,1,2,3, }

列举法表示集合应注意:

(1)元素与元素之间必须用”,”隔开.

(2)集合中元素不能重复

(3)不必考虑元素的先后顺序(若有删节号,需注意)

即:元素不重不漏,不计次序地用”,”隔开并放在大括号内

(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合.

符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来或

例:用描述法表示下列集合

<1>不等式2x-1>3的解集

<2>小于100的所有正奇数

<3>10000的所有正约数

<4>方程组的解集

文字描述法---用文字把所具有的属性描述出来

如:所有等腰三角形构成的集合可表示为:{等腰三角形}

由于同一类对象,同一概念定义有不同的陈述,用文字描述法表示集合时形式往往不唯一.

如:{等腰三角形} = {两条边相等的三角形}= {两个内角相等的三角形}

描述法表示集合的关键:1确定代表元素，2找出元素所具有的公共属性

(3)图示法(韦恩图)

用一条封闭的曲线围成的区域来表示一个集合,即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.

如<1>{30的质因数}可表示为: <2>

<3>

}和B={3的倍数}之间的关系.

{}

|()

x A p x

∈{}

|()

x p x {}{}

|2|2

x R x x x

∈>>

或

{}

|21,,049

x N x n n N n

∈=+∈≤≤

{}

*||10000

x N x

∈

3

1

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

2

(,)|

1

x

x y

y

⎧=⎫

⎧

⎨⎨⎬

=

⎩

⎩⎭

三种表示法对比 列举法---具体

描述法---简洁,抽象

图示法---形象直观,特别是表示集合间的关系时体现了数形结合思想,比较直观.

定义： 交集： A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}符号、读法

并集： A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}

2. 两个重要性质

图1 图2

由图1可知： 3. 交、并、补的混合运算

例8. 设全集 U = {1，2，

3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}

求：（C U A ）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U (A ∪B), C U (A ∩B) 解：C U A = {1，2，6，7，8} C U B = {1，2，3，5，6}

(C U A)∩(C U B) = {1，2，6}

(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}

A ∪

B = {3，4，5，7，8} A ∩B = {4}

∴ C U (A ∪B) = {1，2，6}

C U (A ∩B) = {1，2，3，5，6，7，8，}

结合图 说明：反演律：

(C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)

5. 元素个数的计算（容斥原理）

若用 表示集合A 的元素个数，则有：

A B

B

A

A B =A A B ⇔⊆ ()C a rd A