集合

集合
例如:
(1)所有的等腰三角形; (2)所有的正数; (3)方程的所有解; (4)不等式的所有解;
(5)在平面上,与一个定点距离等于定长的所有点; 象以上这些由确定对象组成的集体,称为一个集合
一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合.简称集. 它含有的各个对象,称为该集合的元素
一般地,一个集合里的元素都是确定的,任何两个元素都是不同的,也就是说集合中的元素不允许重复出现,并且元素的排列与顺序无关. 2,元素的性质 (1)确定性 (2)互异性 (3)无序性
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地. 3.集合与元素的关系
给定的集合,它的元素必须是完全确定的,也就是说给定的集合必须有明确的条件,由此条件可以判定任一对象或者是,或者不是这一集合的元素.由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C 等表示集合.而用小写字母a,b,c 等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种:
如果a 是集A 的元素: 如果a 不是集A 的元素: 4.常用数集的表示
自然数集(非负整数集) N
正整数集(自然数集内排除0的集合) N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5.集合分类
按集中元素个数的多少可分为:有限集和无限集. 含有有限个元素的集合叫做有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集 若按集中元素属性来分:数集,点集 高中数学主要研究数集和点集
6.集合的表示方法
(1)列举法:把一个集合中的所有元素逐具列举出来,并用{ }括起来. 例:
<1>小于5的正奇数组的集合:{1,3}
∈
∉
a A ∈a A ∉
<2>方程x2-1=0的所有解组成的集合:{1,-1}
<3>设数学中四则运算符号组成的集合为M,那么,这个集合可表示为M={+,-,X. ÷}
<4> 18的所有正约数组成的集合为{1,2,3,6,9,18}
那么10000的所有正约数组成的集合如何表示?列举法有哪些优点?适用于表示哪些集合?应注意哪些问题?
列举法---具体(集合中元素具体化)
---适用于表示元素个数较少的有限集,或元素间明显规律的有限集或无限集. 例如:自然数集N={0,1,2,3, }
列举法表示集合应注意:
(1)元素与元素之间必须用”,”隔开.
(2)集合中元素不能重复
(3)不必考虑元素的先后顺序(若有删节号,需注意)
即:元素不重不漏,不计次序地用”,”隔开并放在大括号内
(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合.
符号描述法---用符号把元素所具有的属性描述出来或
例:用描述法表示下列集合
<1>不等式2x-1>3的解集
<2>小于100的所有正奇数
<3>10000的所有正约数
<4>方程组的解集
文字描述法---用文字把所具有的属性描述出来
如:所有等腰三角形构成的集合可表示为:{等腰三角形}
由于同一类对象,同一概念定义有不同的陈述,用文字描述法表示集合时形式往往不唯一.
如:{等腰三角形} = {两条边相等的三角形}= {两个内角相等的三角形}
描述法表示集合的关键:1确定代表元素，2找出元素所具有的公共属性
(3)图示法(韦恩图)
用一条封闭的曲线围成的区域来表示一个集合,即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.
如<1>{30的质因数}可表示为: <2>
<3>
}和B={3的倍数}之间的关系.
{}
|()
x A p x
∈{}
|()
x p x {}{}
|2|2
x R x x x
∈>>
或
{}
|21,,049
x N x n n N n
∈=+∈≤≤
{}
*||10000
x N x
∈
3
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
2
(,)|
1
x
x y
y
⎧=⎫
⎧
⎨⎨⎬
=
⎩
⎩⎭
三种表示法对比 列举法---具体
描述法---简洁,抽象
图示法---形象直观,特别是表示集合间的关系时体现了数形结合思想,比较直观.
定义： 交集： A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B}符号、读法
并集： A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}
2. 两个重要性质
图1 图2
由图1可知： 3. 交、并、补的混合运算
例8. 设全集 U = {1，2，
3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}
求：（C U A ）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U (A ∪B), C U (A ∩B) 解：C U A = {1，2，6，7，8} C U B = {1，2，3，5，6}
(C U A)∩(C U B) = {1，2，6}
(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}
A ∪
B = {3，4，5，7，8} A ∩B = {4}
∴ C U (A ∪B) = {1，2，6}
C U (A ∩B) = {1，2，3，5，6，7，8，}
结合图 说明：反演律：
(C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)
5. 元素个数的计算（容斥原理）
若用 表示集合A 的元素个数，则有：
A B
B
A
A B =A A B ⇔⊆ ()C a rd A
（又称多退少补原理） 推广：3个集合的元素个数计算
()()()()
C ard A B C ard A C ard B C ard A B =+- ()
C ard A B C ()()()()()()()
C a rd C a rd A C a rd B C a rd C C a rd A B C a rd A C C a rd B C C a rd A B C =++---+
参考答案：一、DCBDD
二、
1. -3,0,3
2. a≥9
3. {x|0<x≤3}
4. )
⋂
P Q
(
C
U 5. A⊆C
三、
1. {-3,-8}
1
2. (1)-1,
2
(2)略
(3)不能。