最短路线(四年级)
最短路径问题练习题【优质】
最短路径问题Description:平面上有n个点（n＜＝100），每个点的坐标均在-10000到10000之间．其中的一些点之间有连线．若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离．现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径．Input：共n+m+3行第一行为整数n．第２行到第n＋行，每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标（以一个空格分开）第n＋２行为一个整数m，表示图中连线的个数．以后的m行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线．最后一行；两个整数s和t，分别表示源点和目标点．Output:仅一行，一个实数（保留两位小数），表示从s到t的最短路径长度Sample Input50 02 02 20 23 151 21 31 42 53 51 5Sample Output:3.41最小花费【问题描述】:在n个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。
这些人之间转账的手续费各不相同。
给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问A 最少需要多少钱使得转账后B收到100元。
【输入数据】:第一行输入两个正整数n,m，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。
以下m行每行输入三个正整数x,y,z，表示标号为x的人和标号为y的人之间互相转账需要扣除z%的手续费 (z<100)。
最后一行输入两个正整数A,B。
数据保证A与B之间可以直接或间接地转账。
【输出数据】:输出A使得B到账100元最少需要的总费用。
精确到小数点后8位。
【输入样例】:3 31 2 12 3 21 3 31 3【输出样例】:103.07153164【数据规模】: 1<=n<=2000公园漫步(park.pas)【问题描述】小M 和小Z 饭后在公园散步，走着走着小Z 忽然想起来家中的水龙头没有关，于是他们要在最快的时间内走出公园赶到家中。
(精选)2021-2022学年人教版四年级上册数学竞赛培优专题-----统筹规划(附答案)
2021-2022学年人教版四年级上册数学竞赛培优专题-----统筹规划姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。
那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟？2．妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？3．小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客。
A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟。
请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短？这个最短的时间是多少？（只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间。
）4．理发店里只有一位理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发。
由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、12、16、20、25分钟。
怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人排队等候所用时间的总和最少？最少是多少？5．如图是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数。
问：小悦从A出发走到B最快需要多少分钟？6．下图是某城市的道路图，每段路旁标注的数字表示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）。
邮递员从A点沿道路到达B点至少要经过多长时间？7．如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、600人。
任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？距离的总和最少是多少？8．有八个村庄1A，2A，3A，4A，5A，6A，7A，8A分布在公路两侧，由一些小路与公路相连。
最短路线(四年级)
最短路线姓名邮递员叔叔每天都要送信，而且要穿过数以百计的大街小巷。
怎样设计一种科学的走法，使他完成送信任务后回到邮局所走的路最短？这个问题叫做最短邮递路线问题。
最短的邮递路线当然是从邮局出发，走遍每条街巷而且只走一次，最后回到邮局。
这样的路线由于没有重复，是最短的。
实际生活中是不是有这样的理想路线呢？当然没有。
那么，在什么情况下才能达到这样理想的路线呢？这还得从一种有名的数学游戏“一笔画”谈起。
如果在画图形时，笔不离纸而且每条线都不许重复，这种画法称为“一笔画”。
下面三个图形，请你试一试能不能将它们一笔画成？任何图形都是由点和线组成的，图形中的点可以分为两大类：（1）凡是从这点出发的线的数目是偶数的，称为偶点。
（2）凡是从这点出发的线的数目是奇数的，称为奇点。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中奇点的个数的多少。
它的规律是：（1）凡是图形中没有奇点的，一定可以一笔画成。
画时，可以从任意一个偶点为起点，最后仍回到这点。
（2）凡是图形中只有两个奇点，一定可以一笔画成。
画时，必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）当一个图形中奇点的个数多于两个时，此图形不能一笔画成。
例1、下图是国际奥委会的会徽，你能一笔把它画出来吗？及时练：1、下面图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。
（1）（2）（3）（4）（5）例2、试判断下图中，哪一幅能一笔画？为什么？？及时练：1、请将下列图形一笔画成，如果不行，请说明理由。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）例3 下图是花园的平面图，你能走遍园中的小路，而路线不重复吗？及时练：1、下图是儿童游乐场的平面图。
要使游客能走遍每条路而不重复，在一张纸上出入口应设在哪里？甲例4、下图中线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙及时练：1、在一张纸上用剪刀能否一次连续剪下下图中三个正方形和两个三角形？如可以，请设计一种剪法。
例5、下图是某学校兴趣小组活动室分布图，共有ABCDEFGHIJKL十二个房间。
作新小学四年级数学上册第四单元线和角试题解析
作新小学四年级数学上册第四单元线和角试题解析姓名：_________班级：________ 得分：_________例1：如图所示已知∠1=32°，求∠2、∠3、∠4和∠5的度数。
解析：此题考察了运用推理法来解决稍复杂的求角度的问题。
根据题意通过观察可以先求出∠5的度数，∠1和∠5组成平角，和是180°，∠1=32°，所以∠5=180°—32°=148°；∠4与∠5的和也是180°，所以∠4=∠1=32°；∠1和∠2组成一个直角∠1=32°那么∠2=90°-32°=58°；∠3和∠4的和是90°，∠4是32°，那么∠3=90°-32°=58°。
答案：∠2=58°∠3=58°∠4=32°∠5=148°例2：数几条相交直线交点的个数。
3条直线相交，最多有多少个交点？4条直线相交，最多有多少个交点？你能自己寻找规律，发现10条直线相交最多有多少个交点吗？从图中可以看出，3条直线相交有3个交点，可以表示成1+2=3（条）；4条直线相交有有6个交点，交点的个数可以表示为1+2+3=6（条）；5条直线相交有10个交点，可以表示为1+2+3+4=10（个）；10条直线有45个交点，可以表示为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）；……n条直线相交，交点的个数可以表示成1+2+3+4+…+（n-1）=n×(n-1)÷2答案：3条直线相交有3个交点，4条直线相交有有6个交点，5条直线相交有10个交点，10条直线有45个交点。
例3：小猫要去小兔子家做客，请问走哪条路最近，为什么？解析：此题考查了两点间，线段最短这个知识点。
根据图意找出小猫家和小兔家之间的线段即可。
答案：通过观察图可知：路线①是一条线段，所以路线①是最近的一条路，因为两点之间，线段最短。
四年级组合计数
四年级名校第二讲组合计数——最短路线教学目标：1.让学生了解如何用标数法来解题。
2.让学生学会如何走最短路线。
3.让学生在学习中，学会数学的逻辑思维能力。
教学重点：如何用标数法解题。
教学难点：标数时我们应用什么样的方法去标数。
教学过程：导入：我们平时在出去玩的时候是不是有很多不同的路线可以选择，但是我们往往会选择一条最短的线路来走，但是事实上我们有的时候最短的路不止有一条。
这样就涉及到了我们数学当中一个非常有名的专题就是组合计数。
（出示课题）新授：例1下图是一个街道平面图，某人从A里走到B处（只能从南到北及从西到东）共有多少种不同的走法？分析：首先我们要看清楚题目，题目当中说的是只能从南到北及从西到东，那么我们只能怎么走呢？我们只能从下往上或者从左往右走。
我们可以这样想，从A点出发可以去2个地方，如果是这样我们是不是可以反过来想呢？到达那2个点只能从哪里来则我们可以这样标数。
那么从哪里来有几条路？（强调学生要注意标数的时候一定要一排一排的标，这样才能做到不重复不遗漏。
）那么我就可以这样标数，如图。
练习：演练一例2苏珊从A步行道Z，行走方向都是向东或向南，路线如图所示。
那么苏珊从A到Z有多少条不同的行走路线？分析：我们从A出发要到Z，可以随便走么？方向只能是向东或者向南，那么我们就可以用标数的方法将其标出来，这样就可以做出来了。
注意一定要一排一排的标，不能乱标。
要引导学生一个一个来。
练习：演练二例3 一直密封从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？分析：如果我们从蜂房的A出发回到B处，同学们可不可以将我们小蜜蜂的回家的路线试着画出来呢？将小蜜蜂的路线图画出来之后我们就可以用标数法将其做出来了。
例4如图所示科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按见图所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein”?分析：我们在拼出英文单词的时候是不是可以随便拼写呢？我们一定要按照这个引文单词拼写的顺序来标数。
人教版四年级数学垂直的线段最短教案
课题：4.1平行与垂直课时：第3课时课型：新授课教学目标：1.通过探究掌握“垂直的线段最短”和“点到直线的距离”2.会根据“垂直的线段最短”解决最短路线问题3.了解“设疑-猜想-验证-归纳-应用”的数学学习过程4．继续培养学生的合作、互助习惯教学重点：通过探究掌握“垂直的线段最短”和“点到直线的距离”教学难点：会根据“垂直的线段最短”解决最短路线问题教学流程：一、复习旧知，做好铺垫二、创设情境，导入新课三、互助探究，获取新知四、课堂练习，巩固新知五、回顾反思，提升认识六、过关检测，了解效果活动1.复习旧知，做好铺垫1、复习过一点画这条直线的垂线的四个步骤，为后面的画垂直线段做好准备教师幻灯片演示，学生说出步骤2、过点A 画直线m的垂线要求：学师看着学友画在学案上，学友不会时，学师指导画完后，师生共同纠正活动2创设情境，导入新课1、在刚画出图形的基础上，创设小马喝水的情景，引起学生兴趣2、在小马喝水的情境中提出问题：哪条路线是最短的？学生可能立马会给出答案：线段AD最短。
3、学生补充小马过河图，为下面的探究做好准备。
活动3师友互助，探究新知1、在上个环节提出问题，学生做出猜想的基础上，老师给出理性的认知：根据实际，提出问题----观察图形，大胆猜想，同时教师板书。
2、提问学生，为什么说线段AD是最短的？然后告诉学生，仅凭眼睛观察，看出来的结论可能是不准确的，你能想办法验证你的猜想是准确的吗？请学生给出验证的方法。
3、师友合作，测量、验证，要求：师傅测量，学友记录，准备汇报。
测量完成后，请三组师友利用投影仪展示汇报。
教师板书。
4、教师出示不同的小马喝水图，引导寻找共同特点：垂直。
归纳结论，给出点到直线的距离的定义。
5、结合图形、内化知识。
师友互助，复述知识。
6、回顾解决小马喝水问题，强调，理由是“垂直的线段最短”而不是“看出来”的。
活动4课堂练习，巩固新知练习一，抢答主要针对基础的知识点的填空题练习二，画图、测量题，针对点到直线的距离的概念和垂线段的画法。
四年级下册数学讲义-奥数讲练： 最短路线问题
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲村 乙村AB 甲村乙村 图1图2最短路线近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
最短线路问题
最短线路问题古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图28－1，从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.啊！原来这就是最短线路问题，我们已经在小学教科书上几次接触过.比如，三年级（第六册）书上说：“从学校到电影院有三条路（图28－2），小云要看电影走哪条路最近？”；又如，四年级（第八册）书上说：“通过度量可以知道‘从直线外一点到这条直线所画的各线段中，以和这条直线垂直的线段为最短’.”另外，从某种意义上说，上节的一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.但是.怎样走才是近道呢？这可不是件容易的事.它慢慢地引起了数学家的兴趣，并用数学这个强有力的工具解决了它.下面来看看数学家是怎样解决的.问题28.1 假如直线AB是一条公路，在路两侧有甲、乙两个村子（如图28－3），现在要在公路上修一个公共汽车站，让这两村的人到车站的路线之和最短.问车站应修建在什么地方？分析如果只考虑甲村人距公路最近，由教材上的结论，只要由甲村向AB画一条垂线，交AB于C，那么C离甲村最近，但离乙村又远了.同样只考虑乙村近的线路乙—D—甲也不是最近的.怎样才能使甲、乙两村整体考虑时最近（即距离之和最短）呢？根据我们的经验：两个地点之间走直线最近.所以，在甲、乙之间连一条直线与AB相交于P点，则在P点建站就合要求了.注意：以上我们是凭经验作出的解答.但是数学家解决问题，总是要用一些公认的结论去对问题进行严格的证明才算正确，并把公认的结论称作公理.下面我们把解决最短线路问题时常用的公理列在下面.公理1 连接两点的所有线中，直线段最短.公理2 三角形的两边之和大于第三边.公理3 直线外一点到直线的所有线中垂线段最短.公理是从实践中总结出来的任何人都承认的原始道理.当然，有同学会想：“你那个公理我不承认行不行呢？”那可不行，比如图28－4（1）中，有一只鸡子在B点觅食，你在A点处放一些米，那么鸡子一定会沿直线AB跑过来吃食，决没有一只蠢鸡子沿B→C→A或沿B→D→A的路线跑过来.这表明：公理不但人类公认，连动物界也都遵循它.下面我们就用上述公理来解决一些最短线路问题.问题28.2 如图28－5，点A、B位于直线l的同侧，在l上找一点P，使得AP＋PB最小.分析这就是“将军饮马”问题，我们看看海伦是怎么解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的问题.从上面的公理1只知道两点间直线段最短.那么，显然要把折线变成直线再解.如果直接连AB，与l不会相交.怎么办呢？由问题28.1得到启发：当A、B位于l的异侧时，就有交点了.于是我们就希望在l的另一侧找一点A′，使得连A′B与l相交于P点后（这时A′P＋PB最短）线段A′P与AP一样长.由对称的知识可知道，A关于l的对称点就有资格扮演A′的角色.解如图28－5，先作A关于l的对称点A′，连接A′B与l相交于P点，则AP＋PB就最小。
最短路线(4年级培优)学生版
寻找最短路线，关键在于不能走“回头路”（冤枉路），要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复不遗漏。
在日常生活和实际生产中，我们经常会遇到选择最短路线的问题，这种问题的类型较多。
这里我们将通过几个实例，着重介绍用对角相加法、取短舍长法，如何在不同的线路中选择最短的路线。
每一个小格右上角标的数正好是这个小格左上角与右下角的数的和，这个和就是从出发处A到这点处的所有最短路线的条数。
这样我们就可以由近及远，通过计算再逐次标数，来确定A处到B处的最短路线的条数。
我们把这种方法称为对角相加法。
要求从A地出发到D地的最短时间，我们可以把从A地到附近地点的最短时间一一算出，标在各点的旁边，再算出到后面的点的最短时间，标在各点旁边。
这样由近及远，顺着推算下去，最后就能求出从A地到D地的最短时间。
我们把这种方法称为取短舍长法。
下图的线段表示纵横的道路，如要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？图图和壮壮到少年宫参加数学培训。
如果他们从学校出发，到少年宫共有多少种不同的最短路线？下图中，从甲地到乙地最短路线有几条？下图中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。
小明上学时走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。
那么小明从家到学校可以走多少条不同的路线？某城市的街道非常整齐，如下图所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）。
共有多少种不同的走法？在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？下图是一个街道平面图，每段长度都是500米，现在有一辆汽车要从甲地到乙地，要求走最近的路，但不能通过十字路口A 、B 、C （正在修路），问共有多少条最短的路线？从甲地到乙地最少要行多少米？乙甲C BA下图是一个街道的平面图，C 处正在施工，不能通车，一辆汽车从A 地到B 地的最短路线共有多少条？如果横的每段200米，竖的每段150米，那么从A 地到B 地最少要行多少米？CBA如下图所示，是一张道路图，每段路上的数字是小明走这段路所需的分钟数，请问小明从A 地出发到D 地的最短时间是多少分钟？7331033I JH GFE DC BA533342221下图是一张城镇交通道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需要的时间（单位：分钟），请问小王从A 出发到E ，最快需几分钟？61710912185117171415O HG F E D CBA某乡七个村的位置如下图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点表示村的位置，线表示村与村之间的道路，旁边的数字表示相邻两个村的距离（单位：千米）。
(四2)最短路线
最短路线在生活、工作和旅游中，经常遇到有关行走路线的问题．如旅行者总是希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路，我们把这种走近道的问题统称为最短路线问题。
还是有点小窍门的，比如：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短。
例1、如图（1），牧马人从 A 处出发到河边打水，并把水送到 B 处的马栅，请画图表示，他怎样走路程最短？分析：要使路程最短，关键是找到一个最佳的取水点，使 A 处、 B 处到该点的距离和最短，这是一个求折线最短的问题，直接找出这条折线很困难，于是，我们想办法把折线转化为直的，利用“两点之间线段最短”，找到解决问题的方法。
解答：设在小河边 P 处打水，则所走的路程为 AP + PB .这是一段折线，将其转化为两点间的直线距离，即为最短路程。
将图中的 B 沿小河岸对折过去，得出 B ’（如图（2)），这时 PB ＇= PB , AP + PB = AP +PB ＇，为使 A 到 P 到 B 的路线最短，只需 A 到 B ＇最短，根据“两点之间线段最短”，连接AB ＇，与小河交点Q 就是打水处。
你能另取一点P ，来说明点Q 是最恰当的位置吗？ 反思：点 B 叫做点 B 关于河岸直线的对称点，其特点是BB ＇与河岸垂直，并且到河岸的距离相等，即 BO =OB ＇。
例2、人民路小学四年级“无线电兴趣小组”庆祝“六一”儿童节，决定为学校校园安装彩灯。
他们把应挂灯的六个建筑物以及它们之间的距离画成一个线路图（如图（1))。
请你帮助设计一条最佳走线路线，使电线最省。
（单位：米）分析：理清思路，抓住关键。
必须解决两点：第一，六个点的线应该是连通（2）(1)小河的；第二，去掉多余的，留下最短路线。
还是知道一点：电接通就行，无需回路。
观察图中能发现有许多环形路线，如 A - B - E - A ．在这个环形线 A 段中，三条线连通三个点，必定多余1条，应去掉最长线 AB ，保留 A - E - B ．同样道理，在环形 AEFDA 中，去掉最长线 AD ；在环形路线 BEFB 中，去掉最长线 BF ；在环形路线 BFDCB 中，去掉最长线 DC ，这样保留下的最短连通线如图（2）所示。
最短路径问题说课稿
最短路径问题说课稿最短路径问题说课稿作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以有效提升自己的能力。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是为大家提供的最短路径问题说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
一、教材分析1、特点与地位：重点中的重点。
本课是教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在运输、通讯网络等方面具有一定的实用意义。
2、重点与难点：结合学生现有抽象思维能力水平，已掌握基本概念等学情，以及求解最短路径问题的自身特点，确立本课的重点和难点如下：（1）重点：如何将现实问题抽象成求解最短路径问题，以及该问题的解决方案。
（2）难点：求解最短路径算法的程序实现。
3、安排：最短路径问题包含两种情况：一种是求从某个源点到其他各结点的最短路径，另一种是求每一对结点之间的最短路径。
根据教学大纲安排，重点讲解第一种情况问题的解决。
安排一个课时讲授。
教材直接分析算法，考虑实际应用需要，补充旅游景点线路选择的实例，实例中问题解决与算法分析相结合，逐步推动教学过程。
二、教学目标分析1、知识目标：掌握最短路径概念、能够求解最短路径。
2、能力目标：（1）通过将旅游景点线路选择问题抽象成求最短路径问题，培养学生的数据抽象能力。
（2）通过旅游景点线路选择问题的解决，培养学生的独立思考、分析问题、解决问题的能力。
3、素质目标：培养学生讲究工作方法、与他人合作，提高效率。
三、教法分析课前充分准备，研读教材，查阅相关资料，制作多媒体课件。
教学过程中除了使用传统的“讲授法”以外，主要采用“案例教学法” ，同时辅以多媒体课件，以启发的方式展开教学。
由于本节课的内容属于图这一章的难点，考虑学生的接受能力，注意与学生沟通，根据学生的反响控制好教学进度是本节课成功的关键。
四、学法指导1、课前上次课结课时给学生布置任务，使其有针对性的预习。
2、课中指导学生讨论任务解决方法，引导学生分析本节课知识点。
数学：第三讲《最短路线》讲义
三年级尖子班第三讲最短路线【例1】⑴(难度★)小羊和小虎是好朋友，它们居住的小区的平面图如下。
星期天，两人相约去博物馆看展览，现在小羊要先去小虎家和小虎汇合，请问小羊去小虎家的最短路线有多少条？⑵如图所示，从A点到B点的最短路线有多少条？【分析】⑴如右上图所示，根据标数法可知一共有20条最短路线⑵126条【例2】如图，从A到B的最短路线有几条？【分析】如右上图所示，根据标数法可知共有41条最短路线. 【例3】(难度★★)如图为街道示意图，从A到B的最短路线有多少种？【分析】标数法：如图所示，从A到B的最短路线有12种【例4】(难度★★★)（第十四届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛）如图是一个电子小虫的玩具盒。
玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米。
电子小虫的爬行速度是每秒3厘米。
如果它只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种.【分析】电子小虫共爬行90厘米，所以电子小虫必须要么向上，要么向右走最短路线，如下图，共12种走法【例5】 (难度★★★)如街道示意图所示，有几处因施工不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？【分析】如上图，28种【例6】(难度★★★)⑴黑熊想到北极熊家去，但是中间必须经过灰熊家，如图所示，则黑熊到北极熊家的最短路线共有多少条？⑵(难度★★)如图，从A经过C到B有几条最短路线？【分析】⑴如下图所示：从黑熊到灰熊家的最短路线共有15条，从灰熊到北极熊家的最短路线有10条，根据分步计数原理，从黑熊家到北极熊家，必须经过灰熊家的最短路线共有×=条1510150⑵从A到C，最短路线如下图：从C到B，最短路线如下图：所以，从A经过C到B，有6×15=90（条）最短路线. 【例7】(难度★★)（1）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？（2）在图中的“我爱春蕾杯” 有______种不同的读法【分析】⑴图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．⑵根据标数法（见右上图）可知++++=种不同的读有1464116法。
小学四年级数学思维版秋季教材(共15讲)
四秋第 4 讲 画图法解鸡兔同笼 一、知识要点 鸡兔同笼画图流程： 1、假设：全是鸡； 2、比较：算出腿数差； 3、添腿：一只鸡加两条腿变成兔； 4、检查。
二、例题精选 例题 1 笼子里有鸡和兔，其中头共有 8 个，腿共有 22 条。则笼子里分别有多少只鸡和兔？
练一练 小肥来到撒哈拉沙漠度假，看到一群鸵⻦和骆驼在绿洲边喝水。从上面数一数，总共有 10 个头，从下面数一数， 总共有 30 只脚。导游告诉他，有只鸵⻦有两个头，小肥仔细一看，还真是。那么鸵⻦和骆驼各有几只？
例题 5 笼子里鸡和兔正在召开一次秘密会议。鸡队⻓说：“目前笼子里总共有 24 只脚。”兔队⻓说：“如果鸡兔互换， 笼子里还是会有 24 只脚。”那么鸡、兔各有多少只？
三、回家作业 作业 1 桌子上有大小及形状相同的白色答题器 5 个，黑色答题器 6 个。问： （1）从中至少取出多少个答题器，才能保证有两个颜色相同的答题器？ （2）从中至少取出多少个答题器，才能保证有两个颜色不同的答题器？
作业 2 商店的橱窗里放着大小及形状相同的文具盒，有 7 个粉色，3 个蓝色，4 个白色。小盐背过身子随机取出文具盒， 那么他要从中至少取出多少个文具盒，才能保证取出的文具盒中有白色文具盒？
二、例题精选 例题 1 甲、乙、丙三人中有一位是意大利牧师，有一位英国骗子，还有一位美国赌棍。牧师不说谎话，骗子总说谎话，赌 棍有时要说谎。 甲说：“丙是牧师。” 乙说：“甲是赌棍。” 丙说：“乙是骗子。” 请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？
练一练 甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍。牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话， 有时说谎话。 甲说：“我是牧师。” 乙说：“我是骗子。” 丙说：“我是赌棍。” 请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？
四年级 数学最短路线问题
第四讲最短路线【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。
所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。
解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。
【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。
答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。
为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短。
2024年苏教版四年级下册第6课《最佳路径》精彩课件
2024年苏教版四年级下册第6课《最佳路径》精彩课件一、教学内容本节课选自2024年苏教版四年级下册第6课《最佳路径》。
教学内容主要包括教材第二章第三节“路径问题”，详细内容涉及路径选择、最短路径的判断以及实际生活中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握路径问题的基本概念，了解路径选择的方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和判断能力。
3. 培养学生的合作意识和团队精神，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：最短路径的判断方法，将实际问题转化为数学模型。
教学重点：路径问题的解决方法，以及在实际生活中的应用。
四、教具与学具准备1. 课件：展示路径问题的图片、例题和练习题。
2. 纸质教具：路径图、剪刀、直尺等。
3. 学生分组准备：每组一张路径图，若干彩色笔，剪刀，直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一幅地图，提出问题：“如何从A地到B地，使路程最短？”引导学生思考路径问题。
2. 新课导入：简要介绍路径问题的基本概念，引导学生观察教材中的路径图，讨论如何选择最佳路径。
3. 例题讲解：讲解教材中的例题，示范如何运用数学方法解决路径问题，引导学生学会判断最短路径。
4. 随堂练习：分组进行路径问题的练习，鼓励学生互相讨论，共同解决问题。
6. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调路径问题在实际生活中的应用。
六、板书设计1. 《最佳路径》2. 主要内容：路径问题的基本概念路径选择的方法最短路径的判断依据3. 例题解析：展示例题及解答过程4. 课堂小结：简要概括本节课所学内容七、作业设计1. 作业题目：（1）请从你家到学校，设计一条最佳路径，并说明理由。
（2）教材第26页第3题：在图中找出从A点到B点的最短路径。
2. 答案：（1）请根据实际情况设计，合理即可。
（2）见教材答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对路径问题的解决方法掌握情况，以及对最短路径的判断能力。
四年级下册数学试题-奥数计数模块标数法求最短路径 全国通用(图片版无答案)
1、如图，小强从餐厅到图书馆的最短路线有条．2、博士要从家去图书馆借书，共有（）种不同的最短路线．3、如图，沿着箭头从P走到Q，有种不同的最短路径．4、如图，从A点到B点的最短路线有条．5、如图所示，从A点到C点，要求经过B点的最短路线有条．6、如图所示，从A点到B点有条不同的最短路线．7、如图D点在修路，不能通过，那么从A走到B处，要求走最近的路一共有（）种不同走法．9、下图是某地街道平面图，标有处的道路是不准通行的．消防车从消防队到着火点有条最短通路．9、薇儿要从家去甜品店，共有（）种不同的最短路线．10、在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有条．11、在图中，可以有种不同的方法来连成“迎接澳门回归”这句话．12、小铁要从图中的A点走到B点，沿着图中路线，最短的路线有条．14、从A到B但必须经过C点的最短路线一共有条．14、某市区的道路图如下图所示，线段代表道路．盛盛想从A地出发，走最少的路去B 地，但是阴影区无法通行．那么，不同的最短路线共有种．15、如图，从点A到B点，只许向右或向下走，共有种不同的路线．16、如图，从A点出发到B点，走最短的路线，但一定要经过C，有种不同的走法.18、如图，D点在修路，不能通过，那么从A处走到B处，要求走最近的路，一共有种不同的走法．18、在下图中，以最短的路径从点P到Q点，请问共有种不同的走法．19、一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到条这样的最短路线．艾迪和薇儿放学后相约从学校出发去图书馆，学校到图书馆的道路如下图所示，他们决定先去市中心买文具，然后再去图书馆，那么艾迪和薇儿从学校经过市中心到图书馆可选的最短路线共有________条．。
最短路线(4年级培优)教师版
寻找最短路线，关键在于不能走“回头路”（冤枉路），要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复不遗漏。
在日常生活和实际生产中，我们经常会遇到选择最短路线的问题，这种问题的类型较多。
这里我们将通过几个实例，着重介绍用对角相加法、取短舍长法，如何在不同的线路中选择最短的路线。
每一个小格右上角标的数正好是这个小格左上角与右下角的数的和，这个和就是从出发处A到这点处的所有最短路线的条数。
这样我们就可以由近及远，通过计算再逐次标数，来确定A处到B处的最短路线的条数。
我们把这种方法称为对角相加法。
要求从A地出发到D地的最短时间，我们可以把从A地到附近地点的最短时间一一算出，标在各点的旁边，再算出到后面的点的最短时间，标在各点旁边。
这样由近及远，顺着推算下去，最后就能求出从A地到D地的最短时间。
我们把这种方法称为取短舍长法。
下图的线段表示纵横的道路，如要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？答案：6【知识点：规则图形简单标数法】【难度：A】【出处：底稿修改】分析：先给所有点标上字母，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，最短要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+DB。
因此，水平方向只能走一个长AD的长度，竖直方向只能走一个宽DB的长度，我们要做到不走“回头路”，则在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走，因此只能向右和向下走。
怎样做到不重复不遗漏呢？现在让同学们观察这种题是否有规律可循。
①看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线。
因此，从A到C只有一条路线。
同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。
我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如右上图。
②看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法。
四年级下册数学竞赛试题-第三节 最短路线(寒假专版) 全国通用(无答案)
第三节 最短路线【你知道吗】1、两点之间的距离连接两点的各种线中，线段是最短的。
也就是说，线段的长就是这两点之间的距离。
2、点到直线的距离。
直线外的一个定点到直线上的各点的连线中，以垂线段为最短，也就是说，垂线段的长度就是这点到直线的距离。
3、对称轴上的点到两个对称点的距离相等。
【热身训练】1、画出下面A 、B 两点之间的最短路线。
2、求点A 到直线L 的距离。
【典型例题】例1、如图，A 、B 两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？A ··B公路A ·· BA ·例2、下图是个圆柱体，在圆柱体的侧面上有A 、B 两点，如果有一只小蚂蚁想从A 点爬到B 点，怎样爬可使行走的路线最近？例3、下图是小华从家到学校要经过的所有道路，观察一下小华从家到学校怎样走路程最短？一共有多少种最短路程的走法？【开心训练营】1、一条公路，公路两侧有甲、乙两个工厂，现在要在公路旁修建一个汽车站，让这两个工厂的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站应建在什么地方？2、放牧人从A 处出发到河边打水，并把水送到B 处的羊圈，请画图表示，他怎样走路程最短？A ．B ．甲··乙A ·B ·河岸～～～～～～～～～～ ～～～～～～～～～～ ～～～～～～～～～～ ～～～～～～～～～～3、装饰用品公司的职工要给一个圆柱型的制品嵌金线，如图，如果将金线的起点固定在A 点，绕一周之后终点为B 点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？4、下面图形中的线段表示纵横道路，如果要从A 地到B 地，并使所走路程最短，问：分别有几种走法。
5、如图，如果角ABC 是一个直角，即CB 垂直AB ，现在由A 点到C 点有如下四种走法： ①A D C ； ②A B C ；③A E F G H I J K C ； ④A C试比较这四种走法中，哪条路线最近？哪条路线最远？6、下图是一个正方体，A 点和B 点分别是前面和右面的中心点.你能画出小蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路线吗？BA A ·B ·AE FG H I JK CDBABBA【开心作业】1、从家到学校有三条路，走哪条路最近？2、王大伯从家（A 点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B 点处），请帮他找一条最短的路线，在图中表示出来，并写出行程.3、下图是一个街道的平面图，每段长度为500米，现有一辆汽车从甲地到乙地，要走最短路线，共有几条最短路线？从甲地到乙地最少要行多少米？·A ·B 河边家学校① ② ③甲乙。
精品四年级奥数a第五章 最短路线
A E
12 15
B 20
F 18
34
C
10 16
12 G
D
(4a) 第五章 最短路线
小朋友们，今天学习怎样， 知识点掌握了没有?
(4a) 第五章 最短路线
（３） 当一个图形中奇点的个数多于两个时，此图形不能一 笔画成。
(4a) 第五章 最短路线
【热身演练 】
(1) 下面图形能否一笔画成？
(4a) 第五章 最短路线
【技巧感悟 】
例2、有一只壁虎要从长方体的一面上A点，爬到邻近另一面上B点
吃一只蚊子（图２），不管壁虎走哪条路永远不能走直线，试 问：它该怎样前进路程最短？
想一想：为什么这亲找出的Ｃ点就是要求的路程和最短的点？
(4a) 第五章 最短路线
【热身演练 】
(3) 一个自来水厂，计划在江边建一个抽水塔(如下
图)，给A、B两个储水池供水。请你为水厂设 计一条路线，使得自来水管长度最短。
·Ａ ·B
(4a) 第五章 最短路线
【技巧感悟 】
例4、 养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。
金杯数学（4b）
第五章 最短路线
(4a) 第五章 最短路线天津科学技术出版社
同学们看了这幅图之 后有什么感觉？…是 不是觉得山路十八弯， 那你们在生活中还有 见过类似弯弯的东西？
(4a) 第五章 最短路线
河流也好弯吧？ 那 大家有没有想过：如果 我们走路、开车、坐船 是沿着弯曲的道路走快 点还是沿着直线走快呢？
B A
C’
B
C’
A
图２
图3
分析与解答：我们假设把含B点的面顺时针方向转动900（如图
３），使它和含A点的面在同一平面上，则A、B之间的最短路线应该
四年级奥数：最短路线
四年级奥数：最短路线在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题.比如：邮递员送信,要穿遍所有的街道,为了少走冤枉路,需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线,以求能够走最近的路而达到目的地,等等.这样的问题,就是我们所要研究学习的“最短路线问题”.典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路,公路两旁有甲乙两个村子,如下图1.现在要在公路上修建一个公共汽车站,让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短.问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近,只要由甲村向公路AB 画一条垂直线,交AB 于C 点,那么C 点是甲村到公路AB 最近的点,但是乙村到C 点就较远了.反过来,由乙村向公路AB 画垂线,交AB 于D 点,那么D 点是乙村到公路AB 最近的点.但是这时甲村到公路AB 的D 点又远了.因为本题要求我们在公路AB 上取的建站点,能够兼顾甲村和乙村的人到这个车甲村 乙村乙村 图1图2站来不走冤枉路（既路程之和最短）,根据我们的经验：两个地点之间走直线最近,所以,只要在甲村乙村间连一条直线,这条直线与公路AB 交点P,就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）.解 用直线把甲村、乙村连起来.因为甲村乙村在公路的两侧,所以这条连线必与公路AB 有一个交点,设这个交点为P,那么在P 点建立汽车站,就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短.例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示,图上数字表示各段街道的千米数.他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局.问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？分析 选择最短的路线最合理.那么,什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的.邮递员从邮局出发,还要回到邮局,按一笔画问题,就是从偶点出发,回到偶点.因此,要能一笔把路线画出来,必须途径的各点全是偶点.但是图中有8个奇点,显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的.要使邮递员从邮局出发,仍回到邮局,必须使8个奇点都变成偶点,就是要考虑应在哪些街道上重复走,也就是相当于在图上添哪些线段,能使奇点变成偶点.如果有不同的添法,就还要考虑哪一3种添法能使总路程最短.为使8个奇点变成偶点,我们可以用图4的4种方法走重复的路线.图4中添虚线的地方,就是重复走的路线.重复走的路程分别为： （a ） 3×4=12（千米） （b ） 3×2＋2×2=10（千米） （c ） 2×4=8（千米） （d ） 3×2＋4×2=14（千米）当然,重复走的路程最短,总路程就最短.从上面的计算不难找出最合理的路线了.解 邮递员应按图4（c ）所示的路线走,这条路重复的路程最短,所以最合理.全程为：（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4 =20＋18＋83333( a )( b )( c )( d )图4=46（千米）例[3] 图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道.小明上学走路的方向都是向东或向南,因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路.那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？分析 为了叙述的方便,我们在各交叉点标上字母（见图6）.我们从小明家出发,顺序往前推.由于从小明家到A 、B 、C 、D 各处都是沿直线行走,所以都只有一种走法.我们分别在交叉点处标上“1”.而从小明家到E 处,就有先到A 或先到D 的两种走法,正好是两个对角上标的数1+1的和.从小明家到F 点,则有3条路线,又正好是两个对角上标的数1+2的和.标在各交叉点的数,就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数.从中我们可以看出,每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和,正好等于学校小明家A B F EF D EF下右角上的数.解 从小明家到学校有13条不同的路线.如图7所示.图7学校H MNK。
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最短路线
姓名
邮递员叔叔每天都要送信，而且要穿过数以百计的大街小巷。
怎样设计一种科学的走法，使他完成送信任务后回到邮局所走的路最短？这个问题叫做最短邮递路线问题。
最短的邮递路线当然是从邮局出发，走遍每条街巷而且只走一次，最后回到邮局。
这样的路线由于没有重复，是最短的。
实际生活中是不是有这样的理想路线呢？当然没有。
那么，在什么情况下才能达到这样理想的路线呢？这还得从一种有名的数学游戏“一笔画”谈起。
如果在画图形时，笔不离纸而且每条线都不许重复，这种画法称为“一笔画”。
下面三个图形，请你试一试能不能将它们一笔画成？
任何图形都是由点和线组成的，图形中的点可以分为两大类：
（1）凡是从这点出发的线的数目是偶数的，称为偶点。
（2）凡是从这点出发的线的数目是奇数的，称为奇点。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中奇点的个数的多少。
它的规律是：
（1）凡是图形中没有奇点的，一定可以一笔画成。
画时，可以从任意一个偶点为起点，最后仍回到这点。
（2）凡是图形中只有两个奇点，一定可以一笔画成。
画时，必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）当一个图形中奇点的个数多于两个时，此图形不能一笔画成。
例1、下图是国际奥委会的会徽，你能一笔把它画出来吗？
及时练：
1
（1（2）（3）
（4）（5）
例2、试判断下图中，哪一幅能一笔画？为什么？？
及时练：
1、请将下列图形一笔画成，如果不行，请说明理由。
（
1）
（2）
（3）
（4） （5） （6）
例3 下图是花园的平面图，你能走遍园中的小路，而路线不重复吗？
及时练：
1、下图是儿童游乐场的平面图。
要使游客能走遍每条路而不重复，在一张纸上出入口应设在哪里？
例4、下图中线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？
该怎样爬？
及时练：
1、在一张纸上用剪刀能否一次连续剪下下图中三个正方形和两个三角形？如可以，请设计一种剪法。
例5、下图是某学校兴趣小组活动室分布图，共有ABCDEFGHIJKL十二个房间。
进出口都在A室，请你帮助设计一条路从进口进入A室，通过每一道门一次再回到A室而不重复。
及时练：
1、下图是一个展览厅的平面图，每个展览室的门如图。
你能够从室外不重复地走过每一道门进去参观，然后再离开吗？如果不能，适当关上哪两个展览室之间的门，就可以达到目的？
例6这是一个著名的数学问题——欧拉问题。
欧洲有一个哥尼斯城堡，有一条河穿过这个城市，河中有A、B两个岛，河上有七座桥连接这两个岛及河的两岸C、D，能不能从某一个地方出发走遍这七座桥，而且每座桥只准走一次？
及时练：
1、下图中有A、B、C、D、E、F六个小岛，各岛之间共有十五座桥。
现在要从A岛出发，不重复地走遍十五座桥，该怎样走？。