高中数学解题方法系列：函数中缩小参数范围,优化“恒成立问题”的处理策略

高中数学解题方法系列：
函数中缩小参数范围，优化“恒成立问题”的处理策略
含参数不等式恒成立问题，在处理此类问题时所采取的解题方法和方向基本上是没有问题的，但是由于在解题的过程中，解题策略不优化，导致不能够顺利得出正确结果，下面就恒成立问题处理的优化策略，笔者谈一下看法，与大家交流。

一.试题呈现
已知函数()()()1ln a f x x a x a R x
=--+∈（I ）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间
（II ）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由。

限于篇幅，本文只考虑第（II ）小题的作答。

阅卷中发现，学生的处理方法主要有以下两种：
1.直接构造函数()()()1ln a g x x f x a x x
=-=++，把问题转化为()0g x ≥恒成立，但是在接下来利用导数求解函数()y g x =的单调性时，分类讨论出现了重复或者遗漏，从而没有顺利的解决问题。

2.先采取分离参数的方法将不等式转化为()1ln ln a x x x x +≥-，大部分学生此时直接把上述不等式转化为ln 1ln x x a x x ≥-
+（应该先验证1ln 0x x +>），然后构造函数()ln 1ln x x g x x x
=-+，但是由于所构造的函数形式上过于复杂从而出现了以下两个问题：一是学生根本不敢继续利用导数判断函数的单调性，二是对函数()y g x =进行求导，但是不能准确地判断导函数的正负号，从而没有顺利得解决问题。

通过以上解法基本上可以发现，学生在处理含参数不等式恒成立问题时所采取的方法基本上是正确的，即转化为求函数最值加以处理，并且求函数最值的手段有两种：一是直接求含有参数的函数最值，二是通过分离参数转化为求一个具体的函数的最值，通过这两种解法的对比不难发现，第一种转化的函数里面因为含有参数，所以在求其最值时可能会需要分类讨论，而第二种转化的函数虽然是个具体的函数，相比较容易求出其最值，但是这种方法也有其局限性，可能有些时候是不可以进行参数分离的，或者分离后所构造的函数虽然具体但形式过于复杂，同样导致解题的失败。

命题人给出的参考答案：
（II ）()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立，
令()()1ln x a a x x ϕ=++，()0,x ∈+∞，则()()()
11ln x a x ϕ'=++当10a +>时，在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'>即函数()y x ϕ=在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增。

()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得11a e ≥-当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，
当10a +<时，在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'<函数()y x ϕ=在在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以函数()y x ϕ=在()0,x ∈+∞无最小值，不符合题意，综上所述当11
a e ≥-时，使()f x x ≤恒成立参考答案采取的是直接求含有参数的函数最小值进行处理，就是因为参数的
存在，导致在求函数最值的时候需要进行分类讨论。

优化后的解法：()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立，令()()1ln x a a x x ϕ=++，()0,x ∈+∞，则()0x ϕ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，那么()10ϕ≥，得到0a ≥，则11a +>，
所以()x ϕ在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'>即函数()y x ϕ=在10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增。

()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得11a e ≥-通过以上两种方法对比不难发现，在题目没有明确给出参数a 的范围时，我们在处理问题时只能先认为a R ∈,这样就会需要运用到分类讨论的思想，但是因为恒成立的不等式对所给变量范围内的任意一个数都满足，那么我们就可以先利用一些特殊值去缩小参数a 的范围，从而在求函数最值时不需要或者减少分类讨论的情况。

试题二：已知函数()21ln ,2
f x x x a R =-∈（I ）求函数()f x 的单调递增区间
（II ）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求a 的最小整数值。

本文只考虑第（II ）小题
学生的处理方法以及遇到的问题同试题一
命题人给出的参考答案：
（II ）由()()11f x a x ≤--恒成立，得21ln 12x ax x ax -+≤-在()0,x ∈+∞上恒成立，问题等价于2ln 112
x x a x x ++≥+在()0,x ∈+∞上恒成立，令
()()2ln 1,0,12x x g x x x x ++=∈+∞+，()()2211ln 2,12x x x g x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭'=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
令()0g x '=得到1ln 02x x --=令()1ln 2h x x x =--，因为()1102h x x
'=--<，所以()h x 在()0,x ∈+∞单调递减不妨设1ln 02
x x --=的根为0x ，当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x x ∈上是增函数，在()0,x x ∈+∞上是减函数，
所以()g x 得最大值为()0002000ln 1112
x x g x x x x ++==+，因为()10,102h h ⎛⎫>< ⎪⎝⎭所以011,2x <<此时0
112,x <<即()()01,2g x ∈，所以2a ≥，即整数a 的最小值为2参考答案是采取了分离参数的方法求函数最值，通过以上解法不难发现存在两个难点，一是转化后的函数形式过于复杂，学生不敢下手，二是在求所构造的函数最值时需要用到二次求导，所以此种解法难度较大。

优化后的方法：
()()11f x a x ≤--恒成立转化为()21ln 1102x ax a x ---+≤恒成立令函数()()21ln 112g x x ax a x =---+，()0,x ∈+∞()11g x ax a x
'=--+，令()0g x '=得()()110x ax +-=因为()0,x ∈+∞，所以上述方程变为10
ax -=又因为()0g x ≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，所以()10g ≤，得到43
a ≥
所以方程10ax -=的根10x a
=>
则()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<即函数()y g x =在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减。

所以()g x 得最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则1ln 02a a -+≤令()1ln 2x x x ϕ=-+
，()0,x ∈+∞，观察发现()1ln 2x x x ϕ=-+在()0,x ∈+∞上单调递减，且()()ln 1114ln 21610,2ln 202444e ϕϕ-=>=-+==<，则存在唯一的()01,2x ∈使()00x ϕ=，那么1ln 02a a -+≤解集为0a x ≥，因为a 为整数，所以2a ≥，即整数a 的最小值为2
此解法采取的也是直接求函数最值，但是通过带入特殊值后缩小了参数a 的取值范围，从而使求解函数的最大值时不需要分类讨论，优化了解题过程。

无独有偶，2011年浙江省高考文科卷21题也是利用了此种方法优化了解题过程，试题如下：
设函数()22ln ,0
f x a x x ax a =-+>（I ）求()f x 的单调区间
（II ）求所有实数a ，使()21e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。

注：e 为自然对数的底数。

（Ⅰ）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x >，所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x
-+=-+=-。

由于0a >，所以()f x 的增区间为()0,a ,减区间为()
,a +∞（II ）由题意得，(1)11f a e =-≥-，即a e
≥由（Ⅰ）知()f x 在[1,]x e ∈单调递增，
要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，
只要222(1)11()f a e f e a e ae e
=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得a e =。

解法分析：如果没有利用(1)11f a e =-≥-，那么第（II ）问就需要对参数a 按1,1a a e ≤<<，a e ≥三种情况分类讨论从而加大了解决问题的难度。

恒成立问题是高中阶段非常重要的一个问题，综合性和灵活性较强，因而受到高考命题者的青睐，在试题中高频考查，高三复习应在掌握此类问题的基本解法的基础上，再介绍适用技巧即通过利用特殊值首先缩小参数的范围，这样可以使问题的求解难度大大简化。