均值定理不等式
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值定理
ab称为正数a、b的几何平均数．
3、 均 值 定 理 推 广 形 式 ：
a +b a+b 2 如果a , b ∈ R ，则 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
+ 2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
a +b 称为a、b的平方平均数 2 2 称为a、b的调和平均数 1 1 + a b
2 2
1.重要不等式：
若a、b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab ≥ 2ab
2 2
2 (a + b
2
2
) ≥ ( a + b)
2
当且仅当a=b时，等号成立。
2、均值定理：
若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2 ab
a+b a+b 即 ≥ ab． ab ≤ ( a > 0, b > 0 )； 2 2 a+b 称为正数a、b的算术平均数， 2
(
)
Q 2x 2 + ( y 2 + 1) ≥ 2 2x 2 ( y 2 + 1) = 2 2 ⋅ x y 2 + 1
2
∴2 2 ⋅ x y + 1 ≤ 3⇔ x y + 1 ≤
2
3 2 = 2 2 4
3
Q 2b + a + ab = 30 ⇔ b = 30 − a
− a 2 + 30a − ( a + 2 ) 2 + 34 ( a + 2 ) − 64 30 − a = ∴ ab = a ⋅ = a+2 a+2 a+2
)
均值不等式公式完全总结归纳
5
5
4x
5
1 4x
3
2
3
1
当且仅当 5
4x
1 5 4x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
ymax
1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例 1. 当
时，求 y x(8 2x) 的最大值。
解析：由
知，
，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，
t
t
因为 y t 1 在区间1, 单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y 5 。
t
2
所以，所求函数的值域为
5 2
,
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1） y x2 3x 1, (x 0) （2） y 2x 1 , x 3 (3) y 2sin x 1 , x (0, )
t
t
t
当
,即 t=
时, y 2 t 4 5 9 （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化
为 y mg(x) A B( A 0, B 0) ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 g(x)
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本
不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，
又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1.(1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：(1)y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
不等式的证明--均值定理
作业
课本P48,习题2-1,B.4
这个也是均值定理 均值定理
练习:1
若a > 0, b > 0, c > 0
) ;
a, b, c的算术平均数是 a + b + c (
3
a, b, c的几何平均数是
(
3
abc
)
2
对于一正数数列 {a n }
)
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n 的算术平均数是 ( a 1 + a 2 + ... + a n n a1 , a 2 ,..., a n的几何平均数是 ( n a a ... a )
均值定理
教学目标:
1.掌握均值定理 2.会用均值定理证明不等式
知识回顾
学过的不等式证明方法:作差比较法 作差比较法的要领是:1,作差;2,与0比较
a > b ⇔ a = b ⇔ a < b ⇔
a − b > 0 a − b = 0 a − b < 0
课前练习
课本P47,A,3(1),(3)
3.已知 : a ∈ R , 求证 : (1) a 2 + 7 > 5a;
例5
a + b ≥ ab , ( a > 0 , b > 0 ), 求证 : 2 当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 .
a + b − 2 ab a +b 证明 : Q − ab = 2 2 ( a)2 +( b)2 −2 a b ( a − b)2 = = ≥0 2 2 a+b ∴ ≥ ab 2
1 2 n
练习3
求证:
对 ∀ 实数 a , 都有 a 2 + 4 ≥ 4 a , 并说明 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 .
3.2均值不等式
1 3 2.求函数y (3 - 2 x )(2 x 1)(- x )的最 2 2 大值及相应的x的值
说明：均值定理求积的最大值的题目时常可以转化为 二次函数求最值，求和的最小值的题目时常可以转化 为对勾函数求最值
b 利用均值定理研究对勾函数y ax+ (a 0, b 0)的性质 x
3.分离法 x 2 7 x 10 例.求y ( x 1)的值域 x 1
4.换元法
5.整体代换法 例已知 . a 0, b 0, a 2b 1, 1 1 求y 的最小值 a b
练习
(1)已知x 0, y 0, 且 3 x 4 y 12, 求 lg x lg y的最大值
4 例.求函数y 9 x ，分别在(0, ), x 2 （0， ],[4, )上的最值. 5
练习求函数 . y
x 3
2
x 2
2
的最小值.
利用均值不等式求最值的常用方法
1.凑系数 例当 . x 5时，求y x(10 - 2 x )的最大值
2.凑项法 5 1 例已知 . x 时，求y 4x 2 的最大值 4 4x 5
2
y 2 (2)已知x 0且x 1, 求x 1 y 2 的最大值. 1 2 (3)已知x 0, y 0, 且 1, 求x y x y
2
的最小值. （4)已知a 0, b 0, 且ab a b 3, 求ab， a b的取值范围
均值定理的综合应用
练习 1 1.若a b 1, 求证ab 4 2.若a , b R , 求证 ab a b ab 1 1 2 2 a b 2
2 2
(完整版)均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当R b a ∈,ab b a 222≥+R b a ∈,222b aab +≤时取“=”）b a =2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取*,R b a ∈abb a ≥+2*,R b a ∈ab b a 2≥+b a =“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0x >12x x +≥1x =若，则 (当且仅当时取“=”）0x <12x x+≤-1x =-若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或b a =4.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+ab ba b a =若，则 (当且仅当时取“=”）0ab ≠22-2a b a ba bbabab a+≥+≥+≤即或b a =5.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b a b a +≤+b a =『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋12x 21x解：(1)y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）12x 266(2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；1x 当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－21x 1x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。
54x <14245y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所450x -<1(42)45x x --A以对要进行拆、凑项，42x -，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
高中数学必修四-《均值不等式》课件
【证明】 左边＝ba＋ac－1＋bc＋ab－1＋ac＋bc－1 ＝ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3. ∵a，b，c 为正数， ∴ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取“＝”)； ac＋ac≥2(当且仅当 a＝c 时取“＝”)； bc＋bc≥2(当且仅当 b＝c 时取“＝”)．
从而ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6(当且仅当 a＝b＝c 时取 等号)．
在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来 求解：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值 的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成 函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时， 一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最 值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
已知 a>0，b>0，且1a＋ab＝1，求 a＋b 的最小值．
【错解】 ∵1＝1a＋9b≥2 a9b∴ ab≥6 ∴a＋b≥2 ab≥12，∴a＋b 最小值为 12
【错因】 上述解法错误的原因是①和②等号成立的条 件不同，①成立的条件是 a＝b，②成立的条件是 b＝9a，从 而推出 a＝b＝0，这与已知条件矛盾．
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400
平方米的三级污水处理池，平面图如下图 所示．池外圈建造单价为每米200元，中间 两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单 价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计， 且池无盖)．
(1)试设计污水池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低造价；
(2)若受场地限制，长与宽都不能超过25米， 则污水池的最低造价为多少？
(2)常值代替 这种方法常用于“已知 ax＋by＝m(a、b、x、y 均为正数)， 求1x＋1y的最小值．”和“已知ax＋by＝1(a、b、x、y 均为正数)， 求 x＋y 的最小值”两类题型． (3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等 式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．如已知 a，b 为正数， a＋b＝ab－3，求 ab 的取值范围．可构造出不等式 2 ab≤a＋b＝ab－3，即( ab)2－2 ab－3≥0.
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课时小结
（1）掌握重要不等式 a 2 b 2 2ab （2）掌握基本不等式
ab ab 2
作业
1，已知a>0,b>o求证： 1） 9
a
a
6,
2） a
b 2 b a
1 y x x2
2，当x>2时，求函数
的最小值
解 根据均值定理，得
ab 6 ab 3, 2 2
从而
ab 9.
6 等号成立当且仅当 a b 3, 2
此
时 ab 达到最大值9.
已知
求
a 0, b 0, 且 ab 16,
ab
的最小值.
解 根据均值定理，得
a b 2 ab 2 16 2 4 8,
2
A
a
O
C b
B
D'
例题：
求证：对于任意正实数
a ，有 1 a 2 a 等号成立当且仅当 a 1
证明 根据均值定理，对于任意正实数 a ，有
从ห้องสมุดไป่ตู้有
1 1 1 a a 2 a a 1 a 2. a
即 a 1.
1 等号成立当且仅当 a , a
拓展
已知 a 0, b 0 且 a b 6, 求 ab 的最大值.
证明：
a 2 b 2 2ab a 2 2ab b 2 (a b) 2 a, b R a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a b a b 0 (a b) 2 0 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab
均值定理
算术平均数与几何平均数
知识回顾
1、
a b 0 a b
2、
那么 a 2 b 2 2ab 如果 a, b R
新课导入
试用差值比较法证明： 如果
a, b R
那么
（当且仅当 a
b
a 2 b 2 2ab
时取“=” 号）
分析：此题可运用比较法的一般步骤进行 作差比较证明。
ab 注： （1）如果把 2 看作是正数 a, b 的等差中项 ab 看作是正数 a, b 的等比中项，
那么：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 （2）几何意义 a b 数学中，我们把 称作 a, b的算术平均数 2
ab 称作 a, b的几何平均数
那么：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数。
几何解释：
（如图）以 a b 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C ， 使得 AC a, CB b.
2 过 C 作弦垂直于 AB ，有 DD AB 则 CD CA CB ab
从而 CD ab ，
ab CD ab 而半径 OD 2
D
ab
即 a b ab
（当且仅当a=b时取“=”号）
要点拓展
ab ab 求证：若 a, b 都是正数，那么 2
（当且仅当a=b时取“=”号）
分析：证明依据 a, b R a 2 b 2 2ab
a, b R a
2
b 2
2
a b
a b 2 ab
（当且仅当a=b 时取“=”号）