《圆》的知识结构图
圆的认识知识结构图
《圆的认识》单元知识点1、圆的认识(1) 直径是圆中所有线段中最长的一条。
(2) 半径和直径的关系：同一个圆里，直径是半径的两倍，半径 是直径的一半。
(3) 在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。
(4) 在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。
(5) 画圆时，圆规针尖固定的一点是圆心，圆规两脚之间距离是 半径。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小、知识结构图广 圆各部分名称(圆心、直径、半径) 圆的认识 < 圆的画法、对称轴 圆的周长圆的认识r推导过程(渗透转化思想)圆的面积2 . . 2圆面积=n r X r= n r 。
即：S=n r 与圆相关的计算二、核心知识点半圆的周长、面积计算圆的周长=圆周率x 直径=圆周率x 半 径 X 2 (C =n d 或 C = 2 n r ) 组合图形求面积(6) 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线(7) 正方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是正方形边长的一半。
(8) 长方形里最大的圆：圆心是对角线交点，半径是长方形宽的一半。
2、圆的周长(1) 圆周率：任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母n表示。
n是一个无限不循环小数，n~ 3.14。
(2) 圆的周长二圆周率X直径二圆周率x半径X 2 (C=n d或C= 2(3) 半圆的周长二圆周长的一半+直径(C半圆二n d宁2+ d, C半圆二n r + 2r (4)常用数据(略，自己背诵)(5)同一个圆里，圆的周长是直径的n倍，圆的周长是半径的2 n倍。
3、圆的面积(1) 圆面积公式的推导过程把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。
长方形的面积与圆的面积相等；长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
因为：长方形面积二长X宽，所以：圆面积二n r X r= n r2。
即：S=n r2。
要求圆的面积只要知道圆的半径或者知道圆的半径的平方。
第一讲 圆的基本概念
√ √
教学过程的具体要求
A要求： （体现知识的生长特征和新知识的优势，换句话就是新知识带 来的新变化是什么） 1、要经历相应的探索过程，如圆的概念、对称性、垂经定 理、圆周角以及点、直线、圆与圆的位置关系的研究。（让知 识能够体现化归和进步） 2、会识别弦、弧、圆心角、圆周角；会用关于角的知识解 决基本问题。（对应关系） 3、会用对称性以及垂经定理解决与之相适应的问题。
于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系。
在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与
圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想。
学情分析
学生在小学中学过圆的一些知识，对于圆已有了初步的了解， 并会利用圆规画圆，经历在操作活动中探索圆的性质的过程，初步 了解圆所具有的一些性质，并会用自己的语言加以简单描述，初步 具有有条理的思考与表达的能力，为本部分的深入学习奠定了基础。 圆是一种基本几何图形，图形物体随处可见，学生通过观察体
的论证和计算。
教材分析
本课时的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，
弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质等。
本课时是在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一
种特殊的曲线图形——圆，它既是中心对称图形，又是轴对称图形，
并且有无数条对称轴，借助于圆的轴对称性去探索"垂经定理"；借助
第二十四章 圆
李兴镇中心校 林保富
本 章 知 识 结 构 图
关系
理解与解读：
本章知识可分为三类： 1. 圆的概念和性质包括：圆的概念，圆的对称性，圆周角的有 关结论。 2. 与圆有关的位置关系包括：点与圆、直线与圆、圆与圆的位 置关系。
第二十四章“圆”重、难点及知识结构图
第二十四章“圆”重、难点及知识结构图小结1 本章概述本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．【本章难点】垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．小结3 学法指导1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．2．学习本章应注意以下几点：(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．知识网络结构图 圆的概念：在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点A 所形成的图形，叫做圆（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧圆的性质 （3）同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也相等（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径点在圆外d r ⇔<点在圆上=d r ⇔（1）点和圆的位置关系 点在圆内d r ⇔>及相关性质 不在同一直线上的三点确定一个圆相交d r ⇔＞相切=d r ⇔相离d r ⇔＜切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线（2）直线和圆的位置关系 切线的性质定理：圆的切线垂直于过及相关性质和定理 切点的半径圆 切线长定理：从圆外一点引圆的两条点、直线和圆 切线，它们的切线长相等，这一点和的位置关系 圆心的连线平分两条切线的夹角及相关性质 外离和定理 相离内含（3）圆与圆的位置关系 外切相切内切相交（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形 叫做圆的内接正多边形正多边形与圆 （2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形（1）弧长公式：=180n R l π 有关圆的计算 （2）扇形面积公式：2=360n R S π （3）圆锥的侧面积公式：S rl π=侧。
【初中数学++】圆的概念及性质+课件+级数学上册
28.1圆的概念及性质
单元内容结构图
C
O●
圆
┌
B
A
D
28.1圆的概念及性质 28.2过三点的圆
28.3圆心角和圆周角 28.4垂径定理
28.5弧长和扇形面积的计算
学习目标
1、通过生活实例认识圆，经历形成圆的概念的过程，发展 几何直观； 2、探究圆的对称性； 3、通过对圆的相关概念的理解，能够从图形中识别“弦、 直径”“弧、优弧、劣弧”“半圆、等圆、等弧”.
实际上，圆绕 圆心旋转任意 角度后都与自 身重合.
学生活动三 【自主学习】
阅读课本147页，理解圆的相关概念.
知识点 3 与圆有关的概念
弦 圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.
过圆心的弦叫做这个圆的直径. A
注意： （1）弦和直径都是线段. （2）直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最 C 长的弦，但弦不一定是直径.
︵︵
为 ABC、 ABD ;以 A 点为一个端点的劣弧有 2 条，可以表示
︵︵
为 AC、AD .
结构导图
概念
定义 平面上，到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形.
圆的概念及 性质
圆的对称 性
与圆有关 的概念
圆是轴对称图形，也是中心对称图形. 弦、弧、等圆、等弧.
1. 下列条件中，能确定圆的是（ D ）
B
O
A
C
等圆
能够完全重合的两个圆叫做等圆.
等弧
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
B
D
●
●
A●
C ●
⌒⌒
AB与CD是等弧，存在于等圆中.
等弧
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
圆单元知识结构图
正方形面积长方形面积=长×宽
数方格圆面积÷正方形面积=3倍多一些S=πr²等积变形
圆的面积圆的面积=圆周长一半×半径
完整性各部分面积之和
圆的组合图形面积组合图形面积大面积－小面积大圆面积－小圆面积
圆环面积（R²－r²）π
方法的迁移应用
完善特征
基本特征：曲线围成的平面图形
平面图形特征圆的特征圆心：决定圆的大小
组成半径
定扇形是圆的几分之几
一部分圆心角
圆扇形半径决定扇形的大小
弧
完善对圆的认识
正方形：周长÷直径=4
平面图形周长圆：周长圆周长÷直径圆周长÷直径=πC=dπ或C=2πr
六边形：周长÷直径=3
“化曲为直”，曲线图形与直线图形周长的探索
圆知识结构
《圆》知识结构.圆周角定理
圆周角定理:
C O A B C D O A B C
如左图: AB AB ACB 1 AOB 2
1同弧所对的圆周角等于
所对圆心角的一半 .
圆周角定理
2同弧(等弧)所对的
圆周角相等 .
如左图: AB AB ACB ADB
如左图:
A
B
相交圆定理: 相交两弦的连心线 垂直平分公共弦
O1
如左图:
O2
两圆相交于AB两点 则O1 , O2垂直平分AB
B A B
平行弦定理: 夹在平行弦间 的弧相等
C
如左图:
D
若弦AB // CD 则 AC BD
O
弦切角定理: 弦切角等于所夹弧 所对的圆周角 .
A
E
D
如左图 若AB为O的切线且 C为切点
C
B
则BCD CED
《圆》知识结构.补充的几个定理
切线长定理: 过圆外一点作圆的 两条切线, 这一点到 两个切点之间的 距离相等
A P
如左图: 若PA, PB为O的 两条切线, 切点为 A, B 则PA PB
B
O
圆周角定理
3直径所对的圆周角是直 角 A
直角所对的弦是圆的直 径.
AB为O的直径 ACB 9线垂直于经过 切点的直径(半径)
A O
如左图: 若AB为O的切线 且C为切点
C B
则OC AB
切线的判定定理: 经过直径的一端且垂直 于直径的直线是圆的切 线
1垂直于弦的直径平分弦 ,
A
E D
并且平分弦所对的弧 .
B
圆中知识结构图
关于《圆》的知识结构整理一.主要定理及其作用：1.圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角②两条弧，③两条弦④两条弦心距中，有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等：（等弧一等角-一等弦……）用的最多的依据：①在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等,那么它们所对的两条弧相等②等弧所对的圆心角相等：③在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的两条弧相等④等弧所对的两条弦相等2.垂径定理：如果一条直线①过圆心；②垂直于弦：③平分弦：④平分劣弧：⑤平分优弧•只要具备其中两个条件，就可推岀其余三个结论. （直角三角形一等弧……）用的最多的依据：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所的两条弧②平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.③一条弦的垂直平分线I I经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧④平分弧的直径过圆心的直线垂直平分这条弧所对的弦.3.圆周角定理：（1）直径所对的圆周角是直角：（2） 90°的圆周角所对的弦是直径。
（3）—条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半：（4）同弧所对的圆周角相等：（5）等弧所对的圆周角相等：（6）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等：（等弧——等角——直角三角形）4.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径（直径）。
（垂直关系）5.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线O6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（等弦一-等弧一-等角）7.相切和相交两圆的性质定理：如果两圆相切，连心线必过切点。
如果两圆相交，连心线垂直平分公共弦二.主要辅助线及其作用：1.作弦心距：弦的中点.弧的中点。
2.过某一点作弦：构造相等的圆周角。
3.作直径：构造直角三角形和同弧所对的圆周角。
4.连结过切点的半径：“题中若有圆切线圆心切点连一连”。
(完整版)圆知识结构图
第二十四章《圆》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括（一）圆的有关概念1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径；4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；5、等圆、等弧，同心圆；6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
（二）圆的基本性质1、圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。
（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）3、弧、弦、圆心角的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（三）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，OP=d则：点P在圆内d<r；点P在圆上d=r；点P在圆外d>r.2、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：直线l与⊙O相交d<r直线和圆有两个公共点；直线l与⊙O相切d=r直线和圆只有一个公共点；直线l与⊙O相离d>r直线和圆没有公共点。