《理论力学》第八章 刚体平面运动
合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
刚体的平面运动
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
第八章 刚体平面运动(陆)
B
N
vA = vB = ωr
而轮B作纯滚动，I点为瞬心，所以此刻轮B的角 速度为： v r B B
R R
最后
r v N B NI 2 R 2r R
方向如图
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
22
例题8-4
如图所示的行星系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1；行 星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2 。系杆OA角速
即 v A AI v B BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI v BI
B
A
vCI
C I
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
△SE
4m
4m
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
26
§8-3 平面运动刚体上各点加速度
根据速度基点法的分析，由点的 合成运动方法可以导出平面运动刚 体上各点的加速度计算公式：
ω
a BA n a BA
A α
aB
B
n t a B a A a BA aBA
aA
讨论： 1.φ为常数 2.(xO,yO)为常数 3.O点位置和φ 均变化 刚体作平动
平面图形的位置
定轴转动
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★理论力学电子教案
第8章 刚体平面运动
4
三、运动分解
平面运动 = “随基点的平动” + “绕基点的转动” 所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
理论力学---第八章_平面运动
且
v A 不平行于 v B
。
vA // vB , 且不垂直于AB vB v A v AB vBA 0 AB 0 vB v A vM
瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑)约束
找出下列平面运动刚体的速度瞬心。 A ω O1 B O2 O A B
:
:
v F
v GF cos 45 v C cos 45 v r
v F
v GF
cos
45 v C cos 45 v G 'C
vr 0
v GF 2 r
vG
5 r
26 . 6
平面机构如图所示。曲柄AB以匀角速度 绕轴A转动，使杆CG绕E轴转动。已知： AB=BE=EC=r。在图示位置时，ED=r，杆AB 和杆CG均处于水平。试求该瞬时: （1） 滑块D相对于杆CG的速度;
c
c
vB
v BA
绕O轴转动。求在图示瞬间点C的速度。已知
v CB
vc
B
B
ABC
vB
vA
ABC
o1
o
0
A
vA
o1
o
0
A
vA
在图示齿轮齿条机构中，已知：齿轮 半径R，曲柄OA= 2 R，以匀角速度 0 绕O轴作 定轴转动，OO1=L。试求图示位置 =45°时， 齿轮O1的角速度。
分析：
DE
v A r
vC O 1C
1
AB
vA r
v B r
AB
vC
v D v F r 1
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
09 刚体的平面运动--基点法
基点法：用速度合成定理来求平面图形内任一点的速度的方法。
PAG 13
基点法题目： 用速度合成定理
vB v A vBA
PAG 14
基点法求平面图形内各点速度的解题步骤：
1、分析题中各物体的运动：平移，转动，平面运动； 2、分析已知要素：研究作平面运动的物体，分析点的 速度大小和方向；
大小 方向 ？ √ √ √ ？ √
vA
x
A
vBx vAx vBAx
O
vA r
vB vA r
vA vB
vBA
B
vBA 0
当ψ=0°
vA vB
x
B
vBx vAx vBAx
vB 0
PAG 23
vBA
例8-4 图示行星轮系中，半径为r1的齿轮Ⅰ固定，半径为r2的 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚不滑，杆OA角速度为ω0。求轮Ⅱ的角 速度ωⅡ及其上B，C 两点的速度。
vDA vA (r1 r2 )0
vDA 2 DA
(r1 r2 )0 r2
PAG 25
( r1 r2 ) 0 v A ( r1 r2 ) 0 ; 2 r2
vB v A vBA
? ? √ √ √ √
大小 方向
vA B C vB vBA v A A 11 vA Ⅱ 0 D vDA
O Ⅰ
vC v vCA A
vBA r211 (r1 r2 )0
vB
2vA 2 (r1 r2 )0
vC v A vCA
大小 方向 ? ? √ √ √ √
vCA r211 (r1 r2 )0
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
理论力学(8.6)--刚体的平面运动-思考题
第八章 刚体的平面运动8－1 如图所示，平面图形上两点A ，B 的速度方向可能是这样的吗？为什么?8－2 如图所示已知 ，方向如图； 垂直于。
于是可确定速度瞬心C 的位置，求得：CD ACv v A D = D O CD AC v D O v A D 222==ω这样做对吗？为什么？8－3 如图所示的角速度为 ，板 ABC 和图中铰接。
问图中和 AC 上各点的速度分布规律对不对?8－4 平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点的加速度矢相同。
试判断下述说法是否正确：（1）其上各点速度在该瞬时一定都相等。
（2）其上各点加速度在该瞬时一定都相等。
8－5 如图所示瞬时，已知 和平行，且＝，问与 、与 是否相等?车轮的角加速度是否等于 ？速度瞬心C的加速度大小和方向如何确定?8－7试证：当 ω=0时，平面图形上两点的加速度在此两点连线上的投影相等。
8－8 如图所示各平面图形均作平面运动，问图示各种运动状态是否可能？图a中，和平行，且=-。
图b中，和都与A，B连线垂直，且和反向。
图c中，沿A，B连线，与A，B连线垂直。
图d中，和都沿A，B连线，且> 。
图e中，和都沿A，B 连线，且< 。
图f中，沿A，B连线。
图g中，和都与AC连线垂直，且> 。
图h中， AB 垂直于AC，沿A，B连线，在AB连线上的投影与相等。
图i中，与平行且相等，即=。
图j中，和都与 AB 垂直，且，在A，B连线上的投影相等。
图k中，，在AB连线上的投影相等。
图l中，矢量与在AB线上的投影相等，在AB线上。
8－9 如图所示平面机构中，各部分尺寸及图示瞬时的位置已知。
凡图上标出的角速度或速度皆为已知，且皆为常量。
欲求出各图中点C的速度和加速度，你将采用什么方法？说出解题步骤及所用公式。
8－10 杆AB作平面运动，图示瞬时A，B两点速度，的大小、方向均为已知，C，D两点分别是， 的矢端，如图所示。
试问（l）AB杆上各点速度矢的端点是否都在直线 CD上?（2）对AB杆上任意一点E，设其速度矢端为H，那么点H在什么位置?（3）设杆AB为无限长，它与CD的延长线交于点P。
理论力学 8.刚体的平面运动
三、平面运动分解为平动和转动
1.平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位臵，我们只需 确定平面图形内任意一条线段的位臵．
任意线段AB的位臵可
用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位 臵决定于 x A , y A , 三个 独立的参变量．所以
x A f1 (t ) 平面运动方程 y A f 2 (t ) f 3 (t ) 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位臵也就确定了。
上投影，有
vB AB vA AB
—速度投影定理
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此 相等．这种求解速度的方法称为 速度投影法．
例1.曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求： 当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。 a.基点法 b.速度投影法
=45º 时
研究AB，已知 v , v 的方向，因此 A B 可确定出P点为速度瞬心
v A l , AP l AB v A / AP l /l （ v B BP AB 2l ()
）
=0º 时
vA
P
v A l, AP AB l AB v A / AP l / l （ vB 0
５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位臵不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。
速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。不同于刚体作平动。
例2.曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 用瞬心 法求：当 =45º ，0º ，90º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
理论力学08_4刚体平面运动微分方程
6 刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。
东北大学理论力学第八章 刚体的平面运动(作业解析)
⑶ 由速度合成定理求解
va ve vr
? √ √ √
aBA
n aBA v r
C D
大小 方向
? √
aB
va
ve
E
AB
AB
A
va vr ve
3 3 15求解 n aB aA aBA aBA
ω1 ve O1D 6.19 rad/s
Northeastern University
8-23
已知OA=50mm,ω=10 rad/s,θ=β=60°,O1D＝70mm,求摇杆 O1C的角速度和角加速度。 y A vA n aBA a A 60 aBA B ⑶ 取A点为基点, 60 O1 O 由基点法求B vr vB aB 点加速度 D aA v v a D 1 n ve aB aA aBA aBA
绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平面运动
vA 1 rad/s CA
B
vr
C D
AB
ve
E
A
va
vA
AB杆瞬心为C AB
ve CD AB 0.2 m/s
Northeastern University
8-27
已知AB = 0.4m,vA＝0.2m/s。图示位置,θ= 30°,AD=DB,求此 瞬时DE杆的速度和加速度。
大小 方向 ？ √ √ √ ? √ √ √
a A OA 2
C
n 2 aBA BA AD 0
将此方程沿y方向投影得 0 aA a BA cos30
τ 2a A aBA ω2 aBA AD BA 3 3
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
理论力学第八章复习
1．刚体平面运动定义 刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到 某固定平面的距离始终保持不变。 2．平面运动方程 刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：
习题8-1
其中A为基点。如果以 A 为原点建立平动动系，则平面运动分解为跟随基点（动系） 的平动和相对于基点（动系）的转动。
注意：（1）平动部分与基点选择有关。 （2）转动部分与基点选择无关。
刚体平面运动
3．研究平面运动的基本方法
（1）基点法--本章重点 （2）绕两平行轴转动的合成--常用于研究行星轮系统的传速比。 4．平面运动刚体上各点的速度分析 三种方法： （1）基点法--应用速度合成定理 （2）速度投影定理（由基点法推论） （3）瞬心法（由基点法推论） 5．加速度分析 只推荐用基点法分析平面运动刚体上各点的加在自身平面内运动，若其顶点 A、B、C、D 的加速度大小 相等，方向由图（a）、(b)表示，则------。
① (a)、(b)两种运动都可能 ③ (a)运动可能，(b)运动不可能
② (a)、(b)两种运动都不可能 ④ (a)运动不可能，(b)运动可能
2.曲柄连杆机构中，曲柄 OA 以匀角速度 连杆AB 的角加速度为------。其大小为?
① ② ③ ④ ＝r
，
_________，加速度的大小为_________。
半径为 r 的车轮沿固定圆弧面作纯滚动，若某瞬时轮子的角速度为ω，
角加速度为ε，则轮心 O 的切向加速度和法向加速度的大小分别为------。
① ② ③ ④ ＝r
3.半径为 r 的车轮沿固定圆弧面作纯滚动，若某瞬时轮子的角速度为ω，
角加速度为ε，则轮心 O 的切向加速度和法向加速度的大小分别为------。
理论力学(8.7)--刚体的平面运动-思考题答案
第八章 刚体的平面运动答 案8－1均不可能。
利用速度投影定理考虑。
8－2不对。
，不是同一刚体的速度，不能这样确定速度瞬心。
8－3不对。
杆 和三角板ABC不是同一刚体，且两物体角速度不同，三角板的瞬心与干的转轴不重合。
8－4各点速度、加速度在该瞬时一定相等。
用求加速度的基点法可求出此时图形的角速度、角加速度均等于零。
8－5在图（a）中，=，= ，因为杆AB作平移；在图（b）中，=，≠，因为杆AB作瞬时平移。
8－6车轮的角加速度等于 。
可把曲面当作固定不动的曲线齿条，车轮作为齿轮，则齿轮与齿条接触处的速度和切向加速度应该相等，应有，然后取轮心点O为基点可得此结果和速度瞬心C的加速度大小和方向。
8－7由加速度的基点法公式开始，让 ω=0，则有 ，把此式沿着两点连线投影即可。
8－8可能：图b、e；不可能：图a、c、d、f、g、h、i、j、k和l。
主要依据是求加速度基点法公式，选一点为基点，求另一点的加速度，看看是否可能。
8－9（1）单取点A或B为基点求点C的速度和加速度均为三个未知量，所以应分别取A，B为基点，同时求点C的速度和加速度，转换为两个未知量求解（如图a）。
（2）取点B为基点求点C的速度和加速度，选点C为动点，动系建于杆，求点C的绝对速度与绝对加速度，由 ，转换为两个未知数求解（如图b）。
（3）分别取A，B为基点，同时求点D的速度和加速度，联立求得 ，再求 。
8－10（1）是。
把，沿AB方向与垂直于AB的方向分解，并选点B为基点，求点A的速度，可求得杆AB的角速度为 。
再以点B为基点，求点E的速度，同样把点E的速度沿AB方向与垂直于AB的方向分解，可求得杆AB的角速度为。
这样就有，然后利用线段比可得结果。
也可用一简捷方法得此结果。
选点A（或点B）为基点，则杆AB上任一点E的速度为= + ，垂直于杆AB，杆AB上各点相对于基点A的速度矢端形成一条直线，又=+ ，所以只需把此直线沿方向移动距离，就是任一点E的速度的矢端。
理论力学B-第八章刚体平面运动.ppt
基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平 面运动的特征量：
对于分解为平移和转动的情形，平面图形上
任选基点A 的速度vA，以及平面图形的角速度，
是描述刚体平面运动的特征量。 ➢ vA 描述图形跟随基点的平移
➢ 描述相对于基点平移系的转动
§8-2 求平面图形内各点速度的基点法
已知平面图形内A 点的速度和图形 的角速度，求另一点B 点的速度。
lr
sin θ sin
sin r sin ωt ωt θ
l
连杆的平面运动方程为：
xA r cos ωt ,
yA r sin ωt ,
arcsin ( r sin ωt)
l
例题 1——曲柄滑块机构
y
A
P
B
yP
x
xP
O
2、连杆上P 点的运动方程：
xP r cos ωt l1
1
r
sin
纯滚动(只滚不滑)约束
确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向， 试确定速度瞬心的位置。
vA B
A
vB
A
vA A
vA
B vB
vB
B
（a）
（b）
A
vA A
vA
B
B
vB
vB
瞬时平移
（c）
（d）
例: 沿直线轨道作纯滚动的车轮,其半径为R，轮心的速度为u, 求轮上A、B、C、D的速度。
解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。
解： AB作平面运动，速度瞬心为点C。
AB
vA AC
vA
l sin
vB AB BC vA cot
例8-8
已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE 借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE
《理论力学》第八章-刚体平面运动试题及答案
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
理论力学 (6)
第8章 刚体平面运动概述和运动分解一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×"）1．平面图形的角速度与图形绕基点转动的角速度始终相等。
（ √ ) 2．刚体平面运动可视为随同基点的平动和绕基点转动的合成运动. （ √ ） 3．平面图形上如已知某瞬时两点的速度为零,则此平面图形的瞬时角速度和瞬时角加速度一定为零。
（ × ) 4．在某一瞬时平面图形上各点的速度大小都相等，方向都相同，则此平面图形一定作平动,因此各点的加速度也相等. （ × ) 5．车轮沿直线轨道滚而不滑，某瞬时车轮与轨道的接触点为车轮的速度瞬心，其速度为零，故速度瞬心的加速度亦为零. （ × ） 6．当0=ω时，平面图形上两点的加速度在此两点连线上的投影相等。
（ √ ) 7．平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点的加速度矢相同，其上各点速度在该瞬时一定相等。
（ √ ) 二、填空题1．刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，这种运动称为刚体的 平面运动。
刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。
2．平面图形的运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平动为牵连运动，它与基点的选择有关；转动为相对运动，它与基点的选择无关。
3．通常把平面运动的角速度和角加速度直接称为刚体的角速度和角加速度,而无须指明它们是对哪个基点而言。
4．平面图形上各点的加速度的方向都指向同一点，则此瞬时平面图形的角加速度等于零。
5．相对某固定平面作平面运动的刚体,则刚体上与此固定平面垂直的直线都作平动。
三、选择题1．正方平面图形在其自身平面内作平面运动。
已知四点A 、B 、C 、D 的速度大小相等,方向如图8.23（a ）、（b ）图所示，问下列结论哪个正确。
（ D )(A) (a)、(b ）图的运动都是可能的 (B) （a)、(b)图的运动都是不可能的 (C) 只有（a)图的运动是可能的（D) 只有 (b)图的运动是可能的C vADBCA vB vC vD v(a)ADBCA vB vD v(b)图8。
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平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB
v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O
S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
3. O点位置和 均变化
刚体绕基点转动 (相对动系转动)
刚体平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平移”和
“转动”
平面运动 = 随基点的平移 + 绕基点的转动
绝对运动
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=
牵连运动
+
相对运动
y y P O
平面图形随基点平移
的速度和加速度与基点的
选择有关。
S x x
y0
O1 x 0
第八章
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刚体的平面运动
§8-1 刚体平面运动的运动方程
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刚体的平面运动可看成是平移和转动的合成 一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中，其上各点都
始终保持在与某一固定平面相平行的平面内。
y A r sint
r arcsin( sint ) l
§8-2 平面图形内各点的速度 速度瞬心
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一、速度基点法 根据前面的分析，下面应用点 的合成运动方法来导出平面运动 刚体上任意一点的运动公式
y y
vBA
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瞬时平移
(４) 平面图形沿某一固定面 作纯滚动（只滚动不滑动）， 如图所示。则每一瞬时图形与 固定面相接触的一点Ｉ的速度 为零，这接触点就是该瞬时的 速度瞬心。
I
瞬时“平动”
平动
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例5：桥由三部分组成，当C支座有一水平微小位移。 试确定D，E点的位移的方向及它们的大小与SC比 值。 解：当C有微小水平位移时，系统各部分的位置都 将有微小改变。根据所受的约束，可知ACD、 BE均发生微小转动。
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s D 2 sC
I
△SC D C
a
E
△SE a
a
A
a
B
DE作平面运动，其速度瞬心在I，
△SD
s E s D
§8-3 平面运动刚体上各点加速度 aB y a BA a ae a r 一般公式 B ω n aA n a BA
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径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端 点的速度。
解： 1）AB杆的瞬心在B点， （ 说明此时B点速度为零。 即vB=0 对于轮B，它的速度瞬心为I vB B 0 R 所以此刻M点的速度为零。
A
ω
O
vA
A B M
IB v I ω
O
B
N
vM = 0
例4：曲柄OA长为r，以匀角速度ω转动。AB长2r， 轮B半径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下， 轮缘最右端点的速度。
解： 三、速度瞬心法
A、B两点的速度大小分别为：
I
v A AB AI v B AB BI
AB v A R cos AI l cos
vA 900--
AB
2
sin( ) v B R cos
vB
例3：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度
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相对 y
y
vBA
B
vB
vA
x
如将上式投影到A、B两点的连 A 线上，并注意到vBA垂直于AB连线， ω O 在连线上的投影为零，可得
vA
x
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度（绝对速度）在这 两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
0
vB
同样可得
注意：vA与vB都是绝对速度
sin( ) vB R cos
三、速度瞬心法
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v B v A v BA
vA
d
我们称某瞬时速度为零的点 为平面图形在此瞬时的速度中
A I
曲柄连杆机构
行星机构
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一、运动特征
y y′ y O1 x x′ S O1 x
vA
vB
其中vA的大小 vA=R ω 由速度合成矢量图可得
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2 vBA R sin( ) vB R AB cos
vBA
vA v
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2、投影法：已知一点绝对速度（包括大小和方向）
和另一点绝对速度的方向，可求该点速度的大小。 但不能求图形的角速度
3、速度瞬心法：速度瞬心已知或容易确定。
可求平面图形的速度和角速度，图形上一点的 速度。
画出图示机构中作平面运动的构件在图示瞬时的
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω 转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在 任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
vA
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二、速度投影法 解： 应用速度投影定理，有
900--
v A cos 90 vB cos
a B a A a BA a BA
n a BA 2 AB 方向由B指向基点
A
aA
a AB 方向垂直于AB连线 BA 平面图形内任一点的加速度，等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的加速度的矢量和。
1. 速度瞬心的加速度一般不为零；计算加速度时，
α
x
通常只用基点法。
2. 刚体平面运动中，转动的角速度ω和角加速 度α与基点的选取无关。
例6：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O 的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相 对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。
解：一、先确定轮的角加速度 ω M O
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vO R
aO R 以I为瞬心
vO
n aIO
aO
y
x
二、求I点加速度
取中心O为基点
a
t IO
aO
I
n
n a I aO a IO a IO
a IO R aO
n a IO 2 vO 2R R
a Ix a O a IO 0
向y方向投影
vA
A
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B
解： （2）AB为瞬时平移
ω
O
vN
vB
I
B
N
vA = vB = ωr
轮子B作平面运动,瞬心在I点 轮子的角速度 vB r B R R r v N B NI 2 R 2r R
心，简称“速度瞬心”，一
般用 I 表示之。 一般情形下 ，刚体作平 面运动时速度瞬心确实是存 在且唯一。 v v 以I为基点，则有
vA