《理论力学》第八章 刚体平面运动

平面运动刚体绕基点转动的角速 度和角加速度与基点的选择无关！
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以蓝点为基点
以红点为基点
平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕 基点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关
例1: 已知曲柄－滑块机构中OA=r , AB=l;曲柄OA 以匀角速度绕O轴转动。求连杆AB的运动方程。 解： 建立图示参考坐标系，
已知图形上两点的速度平行，但两点 连线与速度方位不垂直 可以认为速度
0
瞬心在无穷远
平面 运动
平动图形上各点 的速度和加速度 是相同的，但瞬 时平动其上各点 的速度相同而各 点的加速度一般 不同
作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适 用范围 1、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体
的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度 和角加速度，图形上一点的速度。
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度 ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄 在任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
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解： 一、基点法
因为A点速度 vA已知，故选A为基点
vA
AB

v B v A v BA
平动方程 y
称O为基点
y
P
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f3 ( t )
讨论：
1. 为常数
刚体平 面运动 方程
y0 转动方程 O1 x 0
O

S x
x 刚体随基点平移 (随同动系平移)
2. (xO,yO)为常数
3. O点位置和 均变化
刚体绕基点转动 (相对动系转动)
刚体平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平移”和
“转动”
平面运动 = 随基点的平移 + 绕基点的转动
绝对运动
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=
牵连运动
+
相对运动
y y P O
平面图形随基点平移
的速度和加速度与基点的
选择有关。

S x x
y0
O1 x 0
第八章
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刚体的平面运动
§8-1 刚体平面运动的运动方程
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刚体的平面运动可看成是平移和转动的合成 一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中，其上各点都
始终保持在与某一固定平面相平行的平面内。
y A r sint
r arcsin( sint ) l
§8-2 平面图形内各点的速度 速度瞬心
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一、速度基点法 根据前面的分析，下面应用点 的合成运动方法来导出平面运动 刚体上任意一点的运动公式
y y
vBA
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瞬时平移
(４) 平面图形沿某一固定面 作纯滚动（只滚动不滑动）， 如图所示。则每一瞬时图形与 固定面相接触的一点Ｉ的速度 为零，这接触点就是该瞬时的 速度瞬心。
I
瞬时“平动”
平动
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例5：桥由三部分组成，当C支座有一水平微小位移。 试确定D，E点的位移的方向及它们的大小与SC比 值。 解：当C有微小水平位移时，系统各部分的位置都 将有微小改变。根据所受的约束，可知ACD、 BE均发生微小转动。
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s D 2 sC
I
△SC D C
a
E
△SE a
a
A
a
B
DE作平面运动，其速度瞬心在I，
△SD
s E s D
§8-3 平面运动刚体上各点加速度 aB y a BA a ae a r 一般公式 B ω n aA n a BA
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径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端 点的速度。
解： 1）AB杆的瞬心在B点， （ 说明此时B点速度为零。 即vB=0 对于轮B，它的速度瞬心为I vB B 0 R 所以此刻M点的速度为零。
A
ω
O
vA
A B M
IB v I ω
O
B
N
vM = 0
例4：曲柄OA长为r，以匀角速度ω转动。AB长2r， 轮B半径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下， 轮缘最右端点的速度。
解： 三、速度瞬心法
A、B两点的速度大小分别为：
I
v A AB AI v B AB BI
AB v A R cos AI l cos
vA 900--

AB



2
sin( ) v B R cos
vB
例3：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度
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相对 y
y
vBA
B
vB
vA
x
如将上式投影到A、B两点的连 A 线上，并注意到vBA垂直于AB连线， ω O 在连线上的投影为零，可得
vA
x
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度（绝对速度）在这 两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
0


vB
同样可得
注意：vA与vB都是绝对速度
sin( ) vB R cos
三、速度瞬心法
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v B v A v BA
vA
d
我们称某瞬时速度为零的点 为平面图形在此瞬时的速度中

A I
曲柄连杆机构
行星机构
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一、运动特征
y y′ y O1 x x′ S O1 x
vA
vB
其中vA的大小 vA=R ω 由速度合成矢量图可得
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2 vBA R sin( ) vB R AB cos
vBA
vA v
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2、投影法：已知一点绝对速度（包括大小和方向）
和另一点绝对速度的方向，可求该点速度的大小。 但不能求图形的角速度
3、速度瞬心法：速度瞬心已知或容易确定。
可求平面图形的速度和角速度，图形上一点的 速度。
画出图示机构中作平面运动的构件在图示瞬时的
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω 转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在 任意位置 = ωt时，求滑块B的速度。
vA
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二、速度投影法 解： 应用速度投影定理，有
900--

v A cos 90 vB cos
a B a A a BA a BA
n a BA 2 AB 方向由B指向基点
A
aA
a AB 方向垂直于AB连线 BA 平面图形内任一点的加速度，等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的加速度的矢量和。
1. 速度瞬心的加速度一般不为零；计算加速度时，
α
x
通常只用基点法。
2. 刚体平面运动中，转动的角速度ω和角加速 度α与基点的选取无关。
例6：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O 的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相 对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。
解：一、先确定轮的角加速度 ω M O
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vO R
aO R 以I为瞬心
vO
n aIO
aO
y
x
二、求I点加速度
取中心O为基点
a
t IO
aO
I

n
n a I aO a IO a IO
a IO R aO
n a IO 2 vO 2R R
a Ix a O a IO 0
向y方向投影
vA
A
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B
解： （2）AB为瞬时平移
ω
O
vN
vB
I
B
N
vA = vB = ωr
轮子B作平面运动,瞬心在I点 轮子的角速度 vB r B R R r v N B NI 2 R 2r R
心，简称“速度瞬心”，一
般用 I 表示之。 一般情形下 ，刚体作平 面运动时速度瞬心确实是存 在且唯一。 v v 以I为基点，则有
vA
vIA
v AI vBI
B
A
即 v A AI v B BI vC CI
此时刚体的运动相当于以I为轴的定轴转动
vB vBI vC vCI
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速度瞬心（轮A纯滚动）。
IBC
vB
vD
vC
IAB
CD杆瞬时平移
例2：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω转动。已
知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置 = ωt时， 求滑块B的速度。
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平面图形：刚体上任一个与固定平面平行的截面。
显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整 个刚体的运动状态 注意：平面图形的形状和尺寸并不重要， 需要的话，可以扩展为整个平面。
二、运动方程
xO f 1 ( t ) yO f 2 ( t )
y

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x 由几何关系，得： l r AB杆做平面运动，独立的 sin sin 方程运动有三个，可取杆上 r r sin sin sin t A点为基点，建立运动方程。 l l x A r cos t 则连杆的运动方程：
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为vO，设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上A,B,C,D点 B 的速度。 ω 解：一、先确定轮的角速度 vO vO D A O

R
C
二、求各点速度
例4：曲柄OA长为r，以匀角速度ω转动。AB长2r，轮B半
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B A
vB
vA
x
v BA BA 1. A点为基点，可以任意选择，一般我们 选择速度已知的点。
2.B点为刚体上任意一点，此公式给出了刚体 上任意两点间的速度关系。以后直接应用，不 必再应用合成运动方法。
v B v A v BA
vA
x
O
ω
二、速度投影定理
绝对
v B v A v BA
瞬心。
四、瞬心的确定（四种情况） v A
A
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(１) 已知图形上任意两点速度 方位 (２) 已知图形上Ａ、Ｂ两 点的速度平行，且垂直于 两点连线 v
vB
I B
A
A B I
vB
vA vB
A
I
B
(３) 已知图形上两点的速度平行， 但两点连线与速度方位不垂直
A
AI
vCI
C I
三、速度瞬心法
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注意：I 点仅仅此时刻速度为零，一般情
况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬时I 的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心在图 形本身上和在固定平面上的位置都是随时间
而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速度
n a Iy a IO 2 vO R
向x方向投影
式中
例7：长度2r的杆，A端在半径为r的半圆形轨道上 以匀速率vA运动。试求A到达最低点时，AB杆的角 速度和角加速度。 I B 解： 1.AB杆的角速度