03_第二章2.2.2,2.2.3牛顿插值法
牛顿插值法ppt课件
为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
第2章 3.牛顿插值公式
r yi r 1 yi r 1 yi 1
中心差分
/ centered difference /
r y i r 1 y i r 1 y i
1 2
1 2
其中 yi 1 y( xi h ) 2
2
差分的重要性质： 线性：例如 (a f ( x ) b g( x )) a f b g 若 f (x)是 m 次多项式，则 k f ( x) (0 k m) 是 m k 次多项 k 式，而 f ( x) 0 (k m) 差分值可由函数值算出：
同理有：N 2 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )
1 ( 3) f [ x0 , x1 , x2 , x ] f ( ) 3!
一般地f ( x)在x0 , x1 , xn为插值结点的n次插值多项式为
牛顿插值公式
邹昌文
问题的提出
以x0 , x1为插值结点的一阶插值公式为 x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0 y1 y0 y0 ( x x0 ) x1 x0
现考虑增加一个插值结x2，且使原有项不变 点
可令
L2 ( x) L1 a( x x0 )( x x1 )
设x x0 th 则N n ( x ) N n ( x0 th)
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , xn ]( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
第2章_插值法
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
第二章插值法多项式插值的存在性
第二章 插值法⏹ 多项式插值的存在性 ⏹ Lagrange 插值 ⏹ Newton 插值 ⏹ Hermit 插值 ⏹ 分段低次插值 ⏹ 三次样条插值在生产实践和科学研究所遇到的大量函数中，相当一部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系)(x f y =在某个区间[]b a ,是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间a ，b]上一些离散点上的函数值、导数值等,因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性又便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的方法之一.在用插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三角函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被广泛采用。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值. 2.1 插值多项式的存在唯一性 2.1.1 插值问题设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，且已知函数在区间],[b a 上n+1个互异点n x x x ,,,10 处的函数值)(i i x f y = i=0,1,…,n ，若存在一个简单函数)(x p y =，使其经过)(x f y =上的这n+1个已知点),(,),,(),,(1100n n y x y x y x （图5-1），即n i y x p i i ,,1,0 ,)( == （2.1.1）那么，函数)(x p 称为插值函数，点n x x x ,,,10 称为插值节点，],[b a 称为插值区间,求)(x p 的方法称为插值法,)(x f 称为被插函数。
若)(x p 是次数不超过n 的多项式,记为)(x p n ，即n n n x a x a a x p +++= 10)(则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若)(x p 为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
牛顿(Newton)插值法
C2 =
f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
x2 x0
差商的概念
差商的定义
f ( xi ) f ( x j ) xi x
j
定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的x0， x1，…，xn （即在I ≠ j时，xi ≠ xj）的值f(xi),称
f [ x 0 , x 1 ,... x n ] x0 xn
xi xk
其中(i ≠ k)
f [ x 0 , x 1 ,... x n 1 ] f [ x 1 , x 2 ,... x n ]
为f (x)在点x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1，…xn处的n阶差商。
差商形式的插值公式
求作次数≤n多项式pn(x),使满足条件， Pn(xi) = yi,i = 0,1,… 利用差商其解亦可表达为如下形式： Pn(x) = f(x0) + f(x0，x1)(x – x0)+ …+ f(x0，x1，…xn) (x –x0)(x –x1)…(x-xn-1) 称这种差商形式的插值公式为牛顿插值 公式。
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
线性插值公式可以写成如下形式： P1(x) = p0(x) + c1(x – x0) 其中p0(x) = f(x0)， f ( x1 ) f ( x 0 ) 其修正项的系数 c 1
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
牛顿插值
§4 Newton’s Interpolation
注：
由唯一性可知 Nn(x) ≡ Ln(x)， 只是算法不同，表达 ， 只是算法不同， 形式不同，故其余项也相同， 形式不同，故其余项也相同，即
f ( n +1) (ξ x ) ωn +1 ( x ) f [ x, x0 , ... , xn ]ωn +1 ( x ) = ( n + 1) !
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
Nn(x)—n次多 次 项式，满足： 项式，满足： Nn(xi)= f(xi)
ai = f [ x0, …, xi ]
Nn(x) ≡ Ln(x)，??? ，
Rn(x)—插值余项， 插值余项， 插值余项 满足R ， 满足 n(xi)=0， i=0,…,n
差分计算可通过构造差分表得到
xk f ( xk ) =fk ∆fk x0 f0 x1 f1 x2 f2 x3 f3 x4 f4
增加
1
t
t(t-1)/2! t(t-1)(t-2)/3!
∆2 fk
2
∆3 fk ∆4 fk
3 4
∆f0 ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4
∆2 f0 ∆3 f0 ∆4 f0 ∆5 f0 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f2 ∆ f2
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn−1) − f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn−1, xn] − f [xn, xn+1]
插值方法介绍
1 ( n +1) Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = f (ξ ) Ω( x) (n + 1)!
a<ξ<b 且依赖于 ξ 且依赖于x
n
（2-8） ）
i =0
其中
Ω( x) = ( x − x0 )(x − x1 )L( x − xn ) = ∏( x − xi ), ξ ∈ (a, b)
n = k 时有 P[x, x0 , x1 , L , xn ] = 1
P(x)是n次多项式，则P [x, x0 ]是 n-1次多项式 是 次多项式 次多项式， 次多项式, 是 次多项式 P [x, x0, x1 ]是 n-2 次多项式 依此类推 次多项式, 是 … …， ， 是零次多项式， P [x, x0, x1 , …, xn-1 ] 是零次多项式，
2.4 .1 差商
自变量之差和因变量之差之比叫差商 自变量之差和因变量之差之比叫差商 函数y= 在区间[x 定义 函数 f(x)在区间 0 ,x1]上的平均变化率 在区间 上的平均变化率
f [ x 0 , x1 ] =
f ( x 0 ) − f ( x1 ) x 0 − x1
称为f (x)关于 i , xi+1 的一阶差商 并记为 [x0 ,x1] 关于x 一阶差商,并记为 并记为f 称为 关于 二阶差商
对于线性插值， 对于线性插值，其误差为 线性插值
1 R1(x) = f (x) − P(x) = f ′′(ξ)(x − x0 )(x − x1) 1 2
对于抛物插值（二次插值），其误差为 对于抛物插值（二次插值） 抛物插值
ξ ∈(a, b)
1 R2 (x) = f (x) − P (x) = f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1) (x − x2 ) ξ ∈(a, b) 2 6
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
正文牛顿插值法
牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x 0)...(x-xn-1)+Rn(x)关键词：牛顿插值法流程图程序实现一、插值法的由来在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
逐次线性插值法优点是能够最有效地计算任何给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多项式的表达式。
第2章 插值法(新演示)
第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,n x x 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,,i i f f x i n == 是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n n L P ∈满足插值条件(2-2)。
牛顿插值法
牛顿插值法(1)牛顿真是牛，拉格朗日插值法只能算是数学意义上的插值，从插值基函数的巧妙选取，已经构造性的证明了插值法的存在性和惟一性，但是从实现的角度看并不很好，而牛顿很好的解决了这个问题。
牛顿插值是基于下面这些的公式：f[x0,x1,...xk]=(f[x1,...xk]-f[x0,...xk-1])/(xk-x0)f[x]=f(x)f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)前两个是均差的递推关系式，而后一个就是牛顿插值公式，其中N(x)=f(x)-Rn(x)，即目标多项式，Rn(x)是n阶插值余项，我们就是用N(x)去近似f(x)。
可以构造这样一个均方差表：xk f(xk) 一阶均差二阶均差 ...x0 f(x0)x1 f(x1) f[x0,x1]x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2]...如果有n个点插值，表会有(n*n)/2+n个表项，如果直接编程会有O(n*n)的空间复杂度，编程时做个简单的改进，不难发现在这个表中只有部分数据有用，对角线（斜行）它们是目标值，用来表示多项式的，左边的两纵行（实际上只需要x一行）以及最底下的一行，表示当前插值的状态。
经过改进后只需要O(n)的空间复杂度。
两个过程：1，新增加一个点时的更新。
只须更新最底下一行数据，其递推关系由均差公式给出，最后算出高一队的均差值，需时O(n)2，插入点完成后如何计算多项式在另外给定点的值N(x)。
由牛顿插值公式，最终的表达式为：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)如果直接将它展开，再算实在麻烦，实际上大可不必这样做，还记得多项式求值的秦九韶算法吗？将多项式‘叠’起来，从内层括号往外一层层拨开，n次多项多的计算，只需要做n次乘法，同样的思想，将上式改写成：N(x)=f[x0]+(x-x0){f[x0,x1]+(x-x1){f[x0,x1,x2]+(x-x2){...{f[x0,...xn-1]+(x-xn-1)f[x0, (x)n]}...}就可以同样简单的计算了，时间复杂度O(n)综合起来的性能：对于n个点的插值，产生多项式的时间复杂度是O(n*n)，最终进行一个点的计算的时间复杂度是O(n)。
牛顿插值法
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
牛顿插值法ppt课件
f (m0 (m0
1)( )
1)!
(
x
x0
)(
m0
1)
19
Hermite插值多项式（续2）
已知函数 y f (x)在区间[a,b]上n个互异点 x0 , x1,L , xn 处的函数值 y0 , y1,L , yn ， 以及导数值m0 , m1,L , mn ，求 H2n1(x) P2n1 使得满足插值条件
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1
00
( x1 (x0
) )
0 0
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0 0 (x1) 1 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( x1 ) (x0 )
0 1
0 (x1) 0
0 (x0 ) 0
增加一个点后
Nn1(x) c0 c1(x x0 ) c2(x x0)(x x1) L cn (x x0)(x x1)L (x xn1) cn1(x x0 )(x x1)L (x xn1)(x xn )
5
Newton插值
关键是ci的求法！ 可仿照泰勒公式里系数 的求法！
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) cn (x x0 )(x x1) (x xn1)
1.53427 2.18224 x 0.761677 x2 0.113706 x3
ln 1.5 = 0.409074
28
一般的Hermit插值
设在n+1个节点 a x0 x1 L xn b
给出函数值和导数值 y0 , y1,L , yn 及y0 , y1,L , yn
2插值法
18
Ex：已知特殊角300，450，600 的正弦值，分别用一 次插值，二次插值函数近似sin500 的值。
19
3 代数多项式插值的存在唯一性 §2. 2.3
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。 对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次 的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+ … +anxn 使其在 给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则 …,n Pn(xi)=yi, i=0,1, i=0,1,…
� �
23
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项。 显然有 …,n Rn(xi)=0, i=0,1,2, i=0,1,2,… 下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。 定理：设函数 f(x) 在区间［ a,b ］上具有 n+1 阶导 数， Pn(x)为次数不高于n的多项式,且 Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 … Pn(xn)=yn
28
利用公式可以给出用多项式 Pn(x) 近似代替 f(x)的误差估计。这里还得说明几点: (1) 插值多项式本身只与插值基点及 f(x)在这些基 点上的函数值有关,而与函数f(x)本身并没有关系。 但余项Rn(x)却与f(x)联系很紧。
�
29
�
(2)若f(x)为次数不超过 n 的多项式 , 那么以 n+1个点为 ≡f(x)。这 基点的插值多项式就一定是其本身, 即Pn(x) (x)≡ 是因为此时 Rn(x)=0。 (3) 从余项 Rn(x) 中的 ω (n+1)(x) 知 , 当点 x 位于 x0,x1, … ,xn ω n+1(x)|比较小 , 精度要高一些, 而位于两端 的中部时 ,| ,|ω 时,精度要差一些;若x位于x0,x1,…,xn的外部,一般称外 插(或外推),此时精度一般不理想,使用时须注意。
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华长生制作
f
(k )
( ) k!
用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
差商表
Chashang.m
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [x 0, x 1]
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 )
f[x 1,x 2]
为 f ( x ) 关于节点 x ( 均差 ) i ,x j 一阶差商
f [ x , x ] f [ x , x ] i j j k f [ x , x , x ] ( i j k ) i j k x x i k
为 f(x ) 关于 x 的二阶差商 i ,x j ,x k
依此类推
华长生制作 5
f[x 0,x 1,x 2]
f [ x ,x ,x ,x ] 0 1 2 3
f[x ] 1,x 2,x 3
x2 f ( x2 )
f [x 2, x 3]
f [ x , x , , x ] 0 1 4
x3 f ( x3 )
f [x 3, x 4]
f [ x ,x ,x ,x ] 1 2 3 4
f[ x ,x ,x ] 2 3 4
华长生制作 6
f( x ), f( x ), ,f( x ) 的线性组合表示 , 且 0 1 k
f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 k
f ( x ) i ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) i 0 i 0 i i 1 i i 1 i k
设插值多项式 P (x ) 具有如下形式
P ( x ) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 0 1 0 2 0 1 a ( x x )( x x ) ( x x ) n 0 1 n 1
华长生制作 3
P ( x ) 应满足插值条件 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
有
P ( x ) f a 0 0 0
a0 f0
P ( x ) f a a ( x x ) 1 1 0 1 1 0
f1 f0 a1 x1 x0
P ( x ) f a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1
i 2 , 3 , , n
1
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j(x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0 , 1 , 2 , , n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
Ax b
2.2.2 Newton插值法 § 2.2.3 等距节点插值公式 §
a11 a21 A an1
华长生制作
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
xi
bi l ij x j
j1
i1
l ii
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
华长生制作 2
显然，多项式组
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
线性无关， 因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函 数 值 为 f f ( x ) , i 0 , 1 ,, n i i
h x x , i 0 , 1 , 2 , , n 1 hmax h i i 1 i i
i
插值条件为 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
x4 f ( x零阶差商
8
• 例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的 各阶差商值 • xi 解:f[计算得如下表 xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x ] i i i i i i 0 1 k 1 1 2 k f [ x , x , , x , x ] i i 0 i 1 k 1 i k x x i i 0 k
为 f ( x ) 关于节点 x , x , , x , x 的 k 阶差商 i i 0 i 1 k 1 i k
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
华长生制作
为此引入差商和差分的概念
4
一、差商(均差) 定义1. 称
设 f ( x ) 在互异的节点 x f i 0 , 1 , , n i处的函数 i,
f fj i f[ x i,x j] x x i j ( ij )
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f[x f[ x ,x ,x ] f[ x ,x ,x ] 0,x 1,x 2] 2 1 0 0 2 1
（ k ) ( 3 ) 当 f ( x ) 在包含节点 x , x , , x 的区间存在 , 0 1 k
在 x ,x , ,x 之间必存在一点 , 使得 0 1 k
显然
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 0 1 k 2 k f [ x , x , , x , x ] 01 k 1k x x k 1 k
差商具有如下性质(请同学们自证)：
( 1 ) f( x ) 的 k 阶差商 f[ x ,x , ,x ,x ] 可由函数值 0 1 k 1 k