03_第二章2.2.2,2.2.3牛顿插值法
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华长生制作 6
f( x ), f( x ), ,f( x ) 的线性组合表示 , 且 0 1 k
f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 k
f ( x ) i ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) i 0 i 0 i i 1 i i 1 i k
f [ x , x , , x ] 0 1 k
华长生制作
f
(k )
( ) k!
用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
差商表
Chashang.m
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [x 0, x 1]
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 )
f[x 1,x 2]
Ax b
2.2.2 Newton插值法 § 2.2.3 等距节点插值公式 §
a11 a21 A an1
华长生制作
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
xi
bi l ij x j
j1
i1
l ii
显然
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 0 1 k 2 k f [ x , x , , x , x ] 01 k 1k x x k 1 k
差商具有如下性质(请同学们自证)：
( 1 ) f( x ) 的 k 阶差商 f[ x ,x , ,x ,x ] 可由函数值 0 1 k 1 k
i 2 , 3 , , n
1
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j(x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0 , 1 , 2 , , n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
有
P ( x ) f a 0 0 0
a0 f0
P ( x ) f a a ( x x ) 1 1 0 1 1 0
f1 f0 a1 x1 x0
P ( x ) f a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1
线性无关， 因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函 数 值 为 f f ( x ) , i 0 , 1 ,, n i i
h x x , i 0 , 1 , 2 , , n 1 hmax h i i 1 i i
i
插值条件为 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
x4 f ( x4 )
华长生制作
规定函数值为零阶差商
8
• 例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的 各阶差商值 • xi 解:f[计算得如下表 xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
f[x 0,x 1,x 2]
f [ x ,x ,x ,x ] 0 1 2 3
f[x ] 1,x 2,x 3
x2 f ( x2 )
f [x 2, x 3]
f [ x , x , , x ] 0 1 4
x3 f ( x3 )
f [x 3, x 4]
f [ x ,x ,x ,x ] 1 2 3 4
f[ x ,x ,x ] 2 3 4
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x ] i i i i i i 0 1 k 1 1 2 k f [ x , x , , x , x ] i i 0 i 1 k 1 i k x x i i 0 k
为 f ( x ) 关于节点 x , x , , x , x 的 k 阶差商 i i 0 i 1 k 1 i k
设插值多项式 P (x ) 具有如下形式
P ( x ) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 0 1 0 2 0 1 a ( x x )( x x ) ( x x ) n 0 1 n 1
华长生制作 3
P ( x ) 应满足插值条件 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
华长生制作 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
显然，多项式组
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
华长生制作
为此引入差商和差分的概念
4
一、差商(均差) 定义1. 称
设 f ( x ) 在互异的节点 x f i 0 , 1 , , n i处的函数 i,
f fj i f[ x i,x j] x x i j ( ij )
为 f ( x ) 关于节点 x ( 均差 ) i ,x j 一阶差商
f [ x , x ] f [ x , x ] i j j k f [ x , x , x ] ( i j k ) i j k x x i k
为 f(x ) 关于 x 的二阶差商 i ,x j ,x k
依此类推
华长生制作 5
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f[x f[ x ,x ,x ] f[ x ,x ,x ] 0,x 1,x 2] 2 1 0 0 2 1
（ k ) ( 3 ) 当 f ( x ) 在包含节点 x , x , , x 的区间存在 , 0 1 k
在 x ,x , ,x 之间必存在一点 , 使得 0 1 k
f( x ), f( x ), ,f( x ) 的线性组合表示 , 且 0 1 k
f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 k
f ( x ) i ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) i 0 i 0 i i 1 i i 1 i k
f [ x , x , , x ] 0 1 k
华长生制作
f
(k )
( ) k!
用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
差商表
Chashang.m
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [x 0, x 1]
二阶差商
三阶差商
四阶差商
x1 f ( x1 )
f[x 1,x 2]
Ax b
2.2.2 Newton插值法 § 2.2.3 等距节点插值公式 §
a11 a21 A an1
华长生制作
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
xi
bi l ij x j
j1
i1
l ii
显然
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x , x ] 0 1 k 1 0 1 k 2 k f [ x , x , , x , x ] 01 k 1k x x k 1 k
差商具有如下性质(请同学们自证)：
( 1 ) f( x ) 的 k 阶差商 f[ x ,x , ,x ,x ] 可由函数值 0 1 k 1 k
i 2 , 3 , , n
1
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j(x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0 , 1 , 2 , , n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
有
P ( x ) f a 0 0 0
a0 f0
P ( x ) f a a ( x x ) 1 1 0 1 1 0
f1 f0 a1 x1 x0
P ( x ) f a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 1
线性无关， 因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函 数 值 为 f f ( x ) , i 0 , 1 ,, n i i
h x x , i 0 , 1 , 2 , , n 1 hmax h i i 1 i i
i
插值条件为 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
x4 f ( x4 )
华长生制作
规定函数值为零阶差商
8
• 例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的 各阶差商值 • xi 解:f[计算得如下表 xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
f[x 0,x 1,x 2]
f [ x ,x ,x ,x ] 0 1 2 3
f[x ] 1,x 2,x 3
x2 f ( x2 )
f [x 2, x 3]
f [ x , x , , x ] 0 1 4
x3 f ( x3 )
f [x 3, x 4]
f [ x ,x ,x ,x ] 1 2 3 4
f[ x ,x ,x ] 2 3 4
f [ x , x , , x ] f [ x , x , , x ] i i i i i i 0 1 k 1 1 2 k f [ x , x , , x , x ] i i 0 i 1 k 1 i k x x i i 0 k
为 f ( x ) 关于节点 x , x , , x , x 的 k 阶差商 i i 0 i 1 k 1 i k
设插值多项式 P (x ) 具有如下形式
P ( x ) a a ( x x ) a ( x x )( x x ) 0 1 0 2 0 1 a ( x x )( x x ) ( x x ) n 0 1 n 1
华长生制作 3
P ( x ) 应满足插值条件 P ( x ) f i 0 , 1 , , n i i,
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
华长生制作 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
显然，多项式组
x x )( x x ) ( x x ) x x )( x x ), ,( 1 , x x0, ( 0 1 n 1 0 1
f2 f0 f1 f0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
华长生制作
为此引入差商和差分的概念
4
一、差商(均差) 定义1. 称
设 f ( x ) 在互异的节点 x f i 0 , 1 , , n i处的函数 i,
f fj i f[ x i,x j] x x i j ( ij )
为 f ( x ) 关于节点 x ( 均差 ) i ,x j 一阶差商
f [ x , x ] f [ x , x ] i j j k f [ x , x , x ] ( i j k ) i j k x x i k
为 f(x ) 关于 x 的二阶差商 i ,x j ,x k
依此类推
华长生制作 5
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f[x f[ x ,x ,x ] f[ x ,x ,x ] 0,x 1,x 2] 2 1 0 0 2 1
（ k ) ( 3 ) 当 f ( x ) 在包含节点 x , x , , x 的区间存在 , 0 1 k
在 x ,x , ,x 之间必存在一点 , 使得 0 1 k