离散数学——图论部分习题课
离散数学习题课图论
2021/6/28
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练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0
A 0
0
1
0
1 0 0 1
0
0
1
0
1 2 2 0
A 2 1
0
0
1
1 2 1 0
1
0
0
1
3 2 2 2
A3
1
2
1
0
2 2 2 1
1
2
1
0
Hale Waihona Puke 5 6 4 2A4
2
2
2
1
4 4 3 2
2
2
2
1
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练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
〔1 n 6〕 熟练掌握求最优树的方法
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习题1
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学图论习题
第4章图论综合练习一、单项选择题1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．(A) L可以不是简单路径，而是基本路径(B) L可以既是简单路径,又是基本路径(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径(D) L可以是简单路径，而不是基本路径答案：A2．下列定义正确的是( )．(A) 含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图(C) 含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图答案：D3．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图(D) 图中的基本回路都是简单回路答案：D4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)答案：B5．下列数组能构成简单图的是( )．(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)答案：C6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3答案：C7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．(A)2)1(+nn(B)2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)答案：B8．以下命题正确的是( )．(A) n (n1)阶完全图K n都是欧拉图(B) n(n 1)阶完全图K n都是哈密顿图(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图答案：C10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度 答案：D11．无向完全图K 4是（ ）．（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：43．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －14．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：46．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．答案：V ≥8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． 1 v 2 v 6 v 53 v 4图2•2 23 • 1 • 7 9 2• 8 • 6 图1(1) 画出图G 的图形；(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4 第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶点．由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．a b ec d 图3图4b • 23 1c • • a 4 • f 9 3d • •e 图6b •23 1 15 c • 25 •a 4 • f 28 9 16 3 d • 15 • e 图5。
离散数学-图论-习题公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 A100001010 B011000100 C000110010 D1 1 0 0 0 0 0 0 1 E000011100 F001100001
311页（2）构造一种欧拉图，其结点数v和边数e满足下述条件
a)v，e旳奇偶性一样。 b) v，e旳奇偶性相反。 假如不可能，阐明原因。
练习 321页（1）
(a) v*=5,e*=8,r*=5
(b) v*=7,e*=13,r*=12
(c) v*=5,e*=6,r*=3
(d) v*=7,e*=12,r*=7
321页(4)证明：若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
证明： 若图G是自对偶旳，则v=v*，e=e*，即 r*=v=v*=r，e=e* 则由欧拉定理v-e+r=2 得v-e+v=2，即e=2v-2。 若图G是自对偶旳，则e=2v-2。
1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A旳第5列全为0，所
i=1时，因为A旳第一行 以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A旳第2列 全为0，所以A不变。
无向图G具有一条欧拉回 路，当且仅当G是连通旳，而且 全部结点度数全为偶数。下面旳 图中全部结点度数全为偶数，所
以都是欧拉图。
ห้องสมุดไป่ตู้v=3,e=3
v=5,e=5
v=4,e=4 v=4,e=6
v=7,e=8
v=6,e=7
311页（6）
(图论)离散数学习题参考答案2
解此不等式可得 n ≥ 7 ， 即 G 中至少有 7 个顶点， 当为 7 个顶点时， 其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次： （欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图 均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6
离散数学_傅彦_图论部分例题精选（可编辑）
第12~13章图论部分例题精选例 1 下列各组数中,哪些能构成无向图的度数序列?哪些能构成无向简单图的度数序列?1 1,1,1,2,32 2,2,2,2,23 3,3,3,34 1,2,3,4,5 5 1,3,3,3解根据握手定理,非负整数序列d1,d2,…,dn 能构成无向图的度数序列当且仅当d1+d2+…+dn 为偶数,即由推论知,d1,d2,…,dn中奇度数结点的个数为偶数个。
而1,2,3, 5分别有4个,0个,4个,4个奇度数结点,所以可以构成无向图的度数序列。
而(4)中有3个奇度数结点,因而不能构成无向图的度数序列。
但这些图并不一定是简单无向图。
其中,1,2,3为简单无向图,(5)不是简单无向图。
因为,在(5)中,若存在无向简单图,是v1,v2,v3,v4,是G中四个顶点,其中,degv11, degv23, degv33, degv43,则结点v1 仅能与v2, v3, v4,之一相邻,不妨设v1与v2相邻,则除v2能达到度数3外, v3, v4都不能达到度数3.因为,简单图要求两个结点之间至多一条边相联结,所以, v3和v4外分别至多和v2与v4, v2与v3相邻,即degv3, degv4至多为2,与已知矛盾,因此,5不是无向简单图. 对应的图如6.1所示,其中1,2,3分别对应a,b,c,5对应d例2 下列各无向图中有几个结点?(1)16条边,每个结点的度数均为2;(2)21条边,3个度数为4的结点,其余结点的度数均为3;(3)24条边,每个结点的度数均相同。
解设该图的结点数为n,则由握手定理可知:,由上式可得 n=16,即该图有16个结点;由上式可得 n =13,即该图有13个结点;.①如果k1,则n48;②如果k2,则n24;③如果k3,则n16;④如果k4,则n12;⑤如果k6,则n8; ⑥如果k8,则n6;⑦如果k12,则n4;⑧如果k16,则n3;⑨如果k24,则n2;⑩如果k48,则n1.例3 已知无向简单图G有m条边,各结点的度数均为3.1 若m3n-6,证明G在同构意义下唯一,并求m和n;2 若n6,证明G在同构意义下不唯一.北师大2000年考研试题分析在图论中,对于简单无向图和简单有向图,若涉及到边和结点的问题,握手定理是十分有用的.解 1 由于各结点的度数均为3,现在有n个结点和m条边,所以由握手定理知:.又因为m3n-6,故可得m6,n4.此时所得的无向图如图6-2所示.该图是简单无向图中边最多的图,即为无向完全图K4.对于4个结点的完全图,在同构意义下是唯一的.2 若n6,由握手定理:故m9.此时有n6,m9,且每个结点的度数为3,此时对于简单无向图,6个结点,9条边及每个结点的度数为3的有如图6-3所示的两个非同构的图.因此,n6,m9,度数为3的无向图G在同构意义下是不唯一的.例4 无向图G有21条边,12个3度数结点,其余结点的度数均为2,求G 的阶数n.北大2001年考研试题解由握手定理:从而,n15,即该图有15个结点,则G的阶数n为15 例5 证明若无向图G 是不连通的,则G的补图是连通的.西南交大1999年考研试题证明: 设不连通的无向图GV,E仅有两个不连通的分支.将点集划分为两个子集V1u1,u2,…,ur和V2v1,v2,…,vs.同属一个子集的两结点是连通的即其间有无向通路,分属不同子集的两结点是不连通的.这样的图,以结点数n4为例来证明G的补图V,Ek-E是连通的,其图如图6-4a所示.任取点集V中的两结点,分两种情况讨论:2 ,即这两个结点属于图G的同一个连通分支.不妨假,如图6-4a,假设它们.在另一连通分中任取一,对照图6-4c中的结.显然因为两两均不在同一连通分支内,所以. 按照1的证明可知: 和因此可通过无向路相连通.由此可知,无论1,2都有G的补图是连通的,所以,对任意不连通的图G,其补图都是连通的.例6 已知n阶简单图G中有m条边,各顶点的度数均为3,又2nm+3,试画出满足条件的所有不同构的G.西南交大2000年考研试题解又2nm+3,即m2n-3故3n2m22n-34n-6故n6m2n-32×6-39此时有n6,m9且每个结点的度数为3,则不同构的图有两个,如图6.5所示.。
离散数学图论部分14章习题课
离散数学（图论部分）1-4章习题课1. 证明：在10个人中，或有3人互相认识，或有4人互不认识。
证：设x为10人中之任意某人，则在余下9人中：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中3人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
(1) 若此x认识的4人互不相识，命题得证；否则，互相认识的2人加上x构成互相认识的3人，命题得证。
(2) 若此x不认识的6人中有3人互相认识，命题得证；否则，由Ramsey(3,3)=6知，此6人中至少有3人互不认识，此3人加上x为互不认识的4人，命题得证。
2. 设(a) V={a,b,c,d}，A={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}(b) V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)}画出上述图的图解。
解：略。
3. 试找出K3的全部子图，并指出哪些是生成子图。
解：K3共有17个子图。
其他略。
4. 证明：在至少有2人的团体中，总存在2个人，他们在这个团体中恰有相同数目的朋友。
解：在n个人的团体中，各人可能有的朋友数目为0, 1, 2, 3, …, n-1，共n个数，但其中0和n-1 不能共存，故n个人事实上可能的朋友数目只有n-1个。
由鸽巢原理，命题得证。
5.某次宴会上许多人互相握手。
证明：必有偶数个人握了奇数次手。
证：以人为顶点，握手关系为邻接关系构造一个无向图。
由图的性质，奇数度的顶点必为偶数个，即握了奇数次手的人数必为偶数。
6. 证明：Ramsey(3,4)=9。
（提示：题1的推广）证：在9个人中，不可能每个人都恰好认识其他的3个人（即图的9个顶点不可能每个顶点的度都为3，否则违反图的奇数度的顶点必为偶数个的性质）。
设x不会恰好认识其他的3个人（即deg(x)≠3），则在余下8人中：：(1) x至少认识其中4人，或(2) x至多认识其中2人（即至少不认识其中6人），两者必居其一。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集ο ο ο ο οcab edο f图一图二C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的应该填写：D8．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m 为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v ＋210．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A．1m n-+B．m n-C．1m n++D．1n m-+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ．9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．ο οο ο οca b e dο f 图四2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？ 2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2v 3v 5 d bae f ghn图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．4．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b,d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。
四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学 第七章 图论 习题课
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
第五页，共48页。
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈 无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G) 点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离 有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
简单图
(2) E (a,b), (b, e), (e,b), (a, e), (d, e) 多重图
(3) E (a,b), (b, e), (e, d ), (c, c)
不是
第九页，共48页。
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
，故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全 图中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数 也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相 同的。
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P286
1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数 的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路 ，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。 定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E
，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一个 边割集，则称该边为割边（或桥） 如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连 通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（3）构成了初级通路，因为点不重复；
（4）不构成通路，因为边 不存在；
（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边
（6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边
（7）构成了初级通路；
（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。
23、用Dijkstra标号法求图9.22中各图从顶点 到其余各点的最短路径和距离。
解答
步骤
1
2
3
4
5
6
7பைடு நூலகம்
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为3；
到 最短路为 ，路长为5；
到 最短路为 ，路长为6；
到 最短路为 ，路长为12；
到 最短路为 ，路长为7；
那么对于n阶m条边的无向图G是 棵树组成的森林，在任意两棵树中分别找一点进行连一条边，那么得到的图则为n阶m+1条边的无向图G是 棵树组成的森林，
那么 ，所以 。
方法二：设 棵树中，分别有 个顶点和 条边， ，则有
， ， ，即可得证。
19、求图10.17中两个带权图的最小生成树。
解答：
P204:习题十一
16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
解答：
（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是
①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；
由于是简单图，①②两种情形不可能
离散数学习题三参考答案
离散数学习题三参考答案第三节图论1.画出所有4个顶点的简单图。
解：本题这考虑连通图的情况。
共有5个不同构的图。
2.在某次宴会上，许多人互相握手，证明奇数次握手的人一定是偶数个。
解：设每个人看成一个顶点，两人握手看成两顶点间的一条边，每人握手的次数就是该顶点的度数，由定理1的推论2马上可得结论。
3.设图G＝（V，E）中有12条边，已知G中3度顶点的有3个，其余顶点的度数均小于3，问G中至少有多少个顶点？为什么？解：如图G不是连通图，那么12条边最多的顶点数是12×2=24；一个顶点的度数是3，则要减去2个顶点数，所以3度顶点的有3个，就要减去2×3-6个顶点；同样一个顶点的度数是2，则要减去1个顶点数；为了使顶点数最小，图必须是连通图，所以顶点数为2的顶点的个数是（12×2-3×3）÷2的整数部分等于7个，有一个顶点的度数是1，所以G中至少有的顶点数是3+7+1=11（个）。
4.n个运动队之间安排一项比赛，已赛完了n+1场，求证：一定存在这样一个队，它已经至少参加了3场比赛。
解：如果每个运动队都只赛了2场，则共赛了2n÷2=n<n+1，所以一定存在这样一个队，它已经至少参加了3场比赛。
5.下图表示用堤埂分割成很多小块的水稻田。
为了用水灌溉需要挖开一些堤埂（不能挖堤埂的交点）。
问最少要挖开多少条堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田？第五题解：把每块田看成顶点，相邻的田同一条边连接，这题就是最小生成树问题。
因为有12块田地，所以最少要挖开11条堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田。
（见上右图）6在下列图中，求一条欧拉通路。
解：略2，其中m为图的边数，n为图的顶7.证明：若G=〈V，E〉是简单图，则m≤Cn点数。
（7，9一样）解：顶点数相同的情况下，简单图的边数一定小于完全图的边数。
8.设G是一个连通图，不含奇数点，证明：从G中任意去掉一条边，得到的图仍是连通图。
离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案
第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图 相对于完全图K 5的补图为（A ）。
11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
离散数学--第七章-图论---习题课
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？
(1)证明中关键步骤是握手定理：
2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G)
⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于
证明 ：
设从结点u到结点v长度为偶数的通路是 ue1u1e2u2…e2kv，
长度为奇数的通路是ue11u11e12u12…e12h-1v， 那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回
路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故 这条回路的长度是奇数。
（k为正整数）。 解：
1)设图G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的 边数为 A。G 的补图 G’的边数应为 A 一 e。因为 G～G’， 故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对 应的完全图的边数 A 为偶数。
2)由 1)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图 Kn 的边数为n(n-1)/2 ， 所以 n(n-1)/2=2m ，即n(n-1)=4m，因而 n为4的倍数，即n=4k， 或n-1为4的倍数，即n=4k+1，
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1、基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
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之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
n
vi ) 2 m
(握手定理)
由该定理可得：
若G中有Nk个k度顶点,Nk+1个k+1度的顶点,试求出顶点
个数Nk的表达式. 解:由于Nk×k+(n-Nk)×(k+1)=2m 于是:Nk=n(k+1)-2m.
3. 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图
4. 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
(2) 不同构 入(出)度列不同 度数列相同 但不同构
3个人各打过一场球，试证明至少有一人不止和3个人 打过球.
证明: 用9 个顶点vi表示9个人,顶点间的一条边表示这两人打
过一场球,可构成一个无向图,若每个人仅和其余3个人各打过 一场球，则d(vi) =3,而此时图G的奇数度点是9个,即奇数个, 因此产生矛盾,于是至少有一人不止和3个人打过球.
2. 设n阶图G中有m条边,每个顶点的度数不是k就是k+1,
由于d(v)=d+(v)+d-(v), 所以d+(v1)= d(v1)-d-(v1)=2-0=2,
d+(v2)= d(v2)-d-(v2)=2-0=2, d+(v3)= d(v3)-d-(v3)=3-2=1,
d+(v4)= d(v4)-d-(v4)=3-3=0,
于是D的出度列为2，2，1，0。
10.下列各组数中不能构成无向图的的度数列的是（
(3)
5. 一个图是自补图,设顶点数为n,其边数为m,其对应的
完全图的边数是多少? 解: 根据自补图的定义其对应的完全图的边数是2m.
6. 设无向简单连通图G有16条边,有3个4度顶点,4个3度顶
点,其余顶点的度数都小于3,问G至少有多少个顶点,至多 有多少个顶点? 解: 由题设可知,图G中有16条边,所以图G中各点的度数 之和为32. 又由于图G中有3个4度顶点和4个3度顶点,这7个点的度数
推论: 度数为奇数的顶点的个数必为偶数。
三、掌握有向完全图和无向完全图及推论 推论1： n阶无向完全图Kn 共有
n ( n 1) 2
条边。
推论2： n阶有向完全图， 共有n2条边。
四、掌握图的同构
五、掌握补图及自补图
六、掌握欧拉图及半欧拉图及其应用
典型例题
1. 有9个人一起打乒乓球，已知他们每人至少与其中另外