三角函数化简求值证明技巧
三角函数的化简教学方法总结
三角函数的化简教学方法总结三角函数在高中数学中是一个重要的概念，它们在数理化以及工程学等领域有着广泛的应用。
化简三角函数是解决三角方程、三角恒等式和证明等问题的基础技巧。
本文将总结几种常见的三角函数化简教学方法，帮助学生更好地理解和运用三角函数。
一、借助特殊角的性质1. 利用正弦和余弦的周期性质：正弦函数和余弦函数的周期都是2π。
当我们需要化简一个三角函数时，可以将大角度化为小角度来简化计算。
2. 利用正弦和余弦的对称性质：正弦函数和余弦函数都具有关于y轴对称和关于原点对称的特点。
在化简时，可以利用这些性质来得到简化后的表达式。
3. 利用正弦和余弦的同一性质：正弦函数和余弦函数具有正负号的变化规律。
通过改变角度的正负号，可以得到等价的三角函数表达式。
二、利用三角函数的基本关系1. 正弦函数与余弦函数的关系：利用三角函数的基本定义，我们可以得到sin^2θ + cos^2θ = 1的恒等式。
在化简三角函数表达式时，可以利用这个关系来消去一个三角函数，从而简化计算。
2. 正切函数与余切函数的关系：通过定义和基本关系，可以得到tanθ = sinθ / cosθ和cotθ = cosθ / sinθ的恒等式。
在化简时，我们可以将正切和余切转化为正弦和余弦的形式。
三、使用三角函数的和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB。
当需要化简含有正弦函数的表达式时，可以利用这个公式将和差形式转化为积的形式。
2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB。
同样地，当需要简化一个含有余弦函数的表达式时，可以利用这个公式将和差形式转化为积的形式。
四、将三角函数化简为指数函数1. 欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx。
利用欧拉公式，可以将三角函数表示为指数函数，从而简化计算。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简求值的技巧
一、三角函数的重要性质：
1、正弦函数sin x、余弦函数cos x、正切函数tanx和其逆函数的
关系：
sin x＝1/cos x，cos x＝1/sin x，tan x＝1/cot x，cot x＝1/tan x，cos x＝1/csc x，csc x＝1/cos x。
2、三角函数的基本性质：
sin2x＋cos2x＝1，sin2x＝2sin(x/2)cos(x/2)，cos2x＝cos2(x/2)
－sin2(x/2)，2sin xcos x＝sin2x＋cos2x＝2sin2(x/2)＝2cos2(x/2)。
3、三角函数的对称性：
sin(-x)＝-sin x，cos(-x)＝cos x，tan(-x)＝-tan x，cot(-x)＝-cot x，csc(-x)＝-csc x。
二、用三角函数化简求值的常用方法：
1、用公式和定义：
用三角函数的基本公式来把表达式中的各个项拆分开明确每个项的意义，然后把各个项的值累加求值。
2、用对称性：
对变量进行绝对值化，然后利用三角函数的对称性变换变量或表达式，从而达到化简的目的。
3、用反函数求值：
把表达式中的三角函数换成其对应的反函数，然后利用反函数的性质进行化简，获得原函数的表达式。
四、利用三角函数化简求值的实例：
例1：求Sin(60°)
解：
1、用公式求值：
可以用公式sin 2x＝2sin xcos x来求值。
1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】
1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】要解决诱导公式化简求值问题，我们需要熟练掌握三角函数的基本性质和诱导公式。
三角函数分为正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
诱导公式是指把角度推导至一定范围内的公式，如将三角函数的角度推导至0-90度范围内，以此进行计算简化。
在解决诱导公式化简求值问题的过程中，需要注意以下几个步骤：1. 确定所给的三角函数公式及其角度范围。
2. 将所给的角度表示成诱导公式中的角度形式。
3. 按照诱导公式进行化简，得到最简形式。
4. 根据所求解的范围，代入得到三角函数的精确值或近似值。
例如，我们要对三角函数$sin(105^{\circ})$进行化简求值。
由于$105^{\circ}$超出了0-90度的范围，因此需要使用诱导公式进行化简。
我们有以下步骤：1. 由于$sin(180^{\circ}-x)=sin(x)$，因此可以将$sin(105^{\circ})$表示为$sin(180^{\circ}-105^{\circ})=sin(75^{\circ})$。
2. 根据诱导公式$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$，将$sin(75^{\circ})$化简为$sin(45^{\circ}+30^{\circ})=sin45^{\circ}cos30^{\circ}+cos45^{\ circ}sin30^{\circ}$。
3. 代入$sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$和$sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，得到$sin(105^{\circ})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
最后，需要注意在求值时，应根据题目要求选择精确值或近似值，并保留正确的有效位数。
掌握诱导公式化简求值问题，对于解决三角函数相关计算问题具有重要意义。
三角函数式化简原则两角和与差的三角函数及三角恒等变换三角函数化简方法
一、三角函数式化简原则(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.二、三角函数化简方法提炼:(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.(2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.三、三角函数化简常用公式半角公式sin(A/2)=±√((1cosA)/2)cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)tan(A/2)=±√((1cosA)/((1+cosA))三角函数和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(AB)/2]sinAsinB=2cos[(A+B)/2]sin[(AB)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(AB)/2]cosAcosB=2sin[(A+B)/2]sin[(AB)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1tanAtanB) tanAtanB=sin(AB)/cosAcosB=tan(AB)(1+tanAtanB) 三角函数积化和差公式sinAsinB=[cos(A+B)cos(AB)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(AB)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(AB)]/2cosAsinB=[sin(A+B)sin(AB)]/2三角函数降幂公式sin^2(α)=(1cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数辅助角公式asinα+bcosα=(√a^2+b^2)sin(α+β)，tanβ=b/a 3三角函数化简方法(1)切割化弦;(2)降幂公式；(3)用三角公式转化出特殊角;(4)异角化同角;(5)异名化同名;(6)高次转低次;(7)辅助角公式；(8)分解因式。
三角函数的化简详解
三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简 【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值【变式】（05天津）已知727sin(),cos 241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
三角函数化简与求值，4种突破口，展现恒等变换常用技巧
三角函数化简与求值，4种突破口，展现恒等变换常用技巧
利用三角公式进行化简与求值时要注意三看:一看角，即看式子里面各角之间的联系。
二看函数名称，即看是同名还是异名，是"弦"还是"切"。
三看式子的结构特征，即看式子是积与商的形式还是和与差的形式等。
从角入手，化复角为单角
从形入手，利用配方法，先对二次项配方
从名入手，化异名为同名
从幂入手，利用降幂公式先降次
选择不同的突破口，就有不同的解法，正可谓是"条条大路通罗马"！本题展现了三角函数恒丰变换中的几种常用技巧，是一个典型的范例！
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运用积化和差与和差化积公式观察三角函数化简求值的一般规律
运用积化和差与和差化积公式观察三角函数化简求值的一般规律山东 胡彬三角函数的化简求值中有许多问题是带有规律性的.课标教材中引入了三角函数的积化和差与和差化积公式后,这些规律性的结论都可以通过积化和差与和差化积公式加以揭示、证明.并且在具体解答三角函数的化简求值题的过程中,如果能加以应用是可以起到事半功倍的作用的.下面展示几个在三角函数化简求值题中经常见到或经常用到例子,以帮助同学们把握其中的规律,从而再次遇到该类问题时能够快速有效地解决问题.1.规律一.:()()4330cos sin 30cos sin 22=++++οοαααα. 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++= 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=， 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
猜想:()()4330cos sin 30cos 2=++++οοαααs 证明以上结论:左()()οο30cos sin 2602cos 122cos 1+++++-=αααα ()()οοο30cos sin 30sin 302sin 1+++-=ααα ()()[]οοο30sin 302sin 21302sin 211-+++-=αα ==-=43411右 2.规律二:032cos cos 32cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-πααπα. 观察以下各等式：0190cos 70cos 50cos =++οοο0170cos 50cos 70cos =++οοο0160cos 40cos 80cos =++οοο分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
猜想:032cos cos 32cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-πααπα 证明以上结论:左=απαπαcos 32cos 32cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛- απαcos 32coscos 2+= ααcos cos +-= =0=右实战演练:化简:()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3sin 3sin sin 222ππA A A 解:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-322cos 1322cos 12cos 121ππA A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++322cos 322cos 2cos 321ππA A A =23 3.规律三:αααα3sin 41)60sin()60sin(sin =+-οο 观察以下各等式： οοοο30sin 4170sin 50sin 10sin = οοοο60sin 4180sin 40sin 20sin = οοοο120sin 41100sin 20sin 40sin = 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
第讲三角函数的求值化简与证明
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝ 2cosisn2xx＋－2ππ4＋1. (1)求 f(x)的定义域； (2)若角 α 在第一象限且 cosα＝35，求 f(α)．
∴3<2sinx＋π6＋4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数3
C．0
D．1
－1 5．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝_____2__.
考点1 三角函数式的化简
例1：(2011年北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1
1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角 的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α ＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α.
＝212cos50°－co2s35s0i°n50°sin70°
＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
三角函数的化简详解.docx
A B C B【例4] 在中，若sin2_2 +sin2y +sin2y =cos2_2 ,tan—• tan —=-.2 2 3B 满足关系式：V3 (tan a • t^n B +a) +tan a =0,则tan B 二c- f(1+a)D- T(1~a) A. V3 (1+a) B. V3 (1 —爲)三角函数的化简1、三角函数式的化简：(1)常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(© + "丿—0,2Q =(Q +"丿+ (©-0丿等，把所求角用含己知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简［例求值.2sin2(P + cosl0o + tan20。
sin 10°esc 40° + cot 80°2 cos 40° + cosl 0°(1 + tan60°tanl 0°) Jl + cosl0°【例2】（三兄弟）已知s 阮普，"罟,求畔翥卫的值【变式】（05天津）已知sin （&） =晋,COS 2*£,【例3］（最值辅助角）已知函数A^）=2asin 2T —273 asinxcosA+a+b —1,（弘b 为常数，a<0）,它的定 义域为［0,兰］,值域为［ — 3,1］,试求禺b 的值。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
三角函数的化简求值
三角函数的化简求值一.主要公式:1．诱导公式：=-)sin(απ =-)c o s (απ =+)s i n (απ=+)cos(απ =-)s i n (α =-)cos(α=-)2sin(απ =-)2c o s (απ =+)2sin(απ =+)2c o s (απ2．和、差角公式： =+)sin(βα =-)s i n (βα ； =+)cos(βα =-)c o s (βα ； =+)tan(βα =-)t a n (βα ； 3．二倍角公式：=α2sin =α2c o s = = =α2tan ； 4．降幂公式： =2sin 2α=2c o s2α=2t a n2α；5．半角公式sin 2α= c o s 2α= t a n 2α= ；6．升幂公式：=+αcos 1 ，=-αcos 1 ；=+αsin 1 ，=-αsin 1 。
7．万能公式：=αsin =αcos =αtan ； 8．三角形ABC 中的相关公式：=+)sin(B A =+)cos(B A =+)t a n (B A =+2sinBA =+2cosB A =+2tan B A ； 9．常用公式结论：=+ααcot tan =ααcos sin =-α2sin 1 =+α2sin 1 =+βαtan tan =-βαt a n t a n ；sin 3α= cos3α= 1tan 1tan αα+=-10．辅助角公式：=+ααcos sin = =+ααcos 3sin ==+x b x a cos sin = 。
二、例题分析:例1已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值.例2.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan的值.(（Ⅱ）求β. ( π3β=)例3．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.例 4.是否存在锐角,αβ，使得①223παβ+=；②22tantan αβ=同时成立？若存在，求出,αβ；若不存在，说明理由。
三角函数化简与求值的常用技巧
三角函数化简与求值的常用技巧文/寇友松一、角度变换这类问题的特点很明显，通常我们只需要把题设中的角度进行适当的和差运算，便可与所求式中的角度建立起等式关系，进而利用两角和与差的三角展开式求得结果.常见的角度变换有：ββαα-+=)(，)]()[(21βαβαα-++=，)()2(βαβαα---=，)()(2βαβαα-++=，)()(2βαβαβ--+=，)2()2(2βαβαβα---=+等.高考预测题1 已知135)sin(=-βα，135)sin(-=+βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-ππβα,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+ππβα2,23，求α2sin 和β2cos 的值.解析 联系已知条件中的角度与所求关系式中的角度间的关系，容易观察出)()(2βαβαα-++=， )()(2βαβαβ--+=，从而可利用两角和与差的正弦展开式和余弦展开式进行求解. 135)sin(=-βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-ππβα,2，∴1312)cos(-=-βα. 又135)sin(-=+βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+ππβα2,23，∴1312)cos(=+βα. ∴)]()sin[(2sin βαβαα-++=)sin()cos()cos()sin(βαβαβαβα-++-+= =1351312)1312(135⨯+-⨯-169120=. 同理得12cos -=β.二、切、割化弦当已知式子中出现切、割、弦的混合结构式时，化切、割为两弦是常用的三角函数求值技巧.高考预测题2 求212cos 412csc }312tan 3(2--︒︒︒的值. 解析原式=)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(2--︒︒︒︒︒︒︒︒︒-=24cos 212cos 12sin 12cos 312sin 3=︒︒︒︒-24cos 24sin 12cos 312sin 3︒︒︒-=48sin 21)6012sin(32 34-=.三、公式的活用与变形学生对三角函数公式的应用不仅要会正用，还要善于活用和变形应用，只有这样，才能达到熟练掌握公式的目的. 如βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+常变形为以下三种形式： (1);)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα++=- (2));tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+(3).tan tan )tan()tan(tan tan βαβαβαβα--+=+高考预测题3 .50tan 70tan 350tan 70tan ︒︒︒︒-+= .解析 将两角和的正切公式变形得，);50tan 70tan 1)(5070tan(50tan 70tan ︒︒︒︒︒︒-+=+故原式︒︒︒︒︒--=50tan 70tan 3)50tan 70tan 1(120tan ︒︒︒︒-+-=50tan 70tan 350tan 70tan 33 .3-=高考预测题4 .80cos 40cos 20cos ︒︒︒⋅⋅= .解析 观察到式中的倍角关系，可考虑借助二倍角的正弦公式的变形式来求解. 故︒︒︒⋅⋅80cos 40cos 20cos ︒︒︒︒=20sin 280cos 40cos 40sin ︒︒︒=20sin 480cos 80sin ︒︒=20sin 8160sin .81= 小结：通过对倍角公式的变形应用，我们可以得到如下结论：);(2cos 22sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin *1221N n n n n n ∈=⋅⋅⋅⋯⋅⋅---ααααααα).(2sin 22sin cos 2cos 2cos 2cos 2cos *1221N n n n n n ∈=⋅⋅⋅⋯⋅⋅---ααααααα四、对偶法在三角学中，如果把某个三角式中的角的弦值化成同角互余(名)的弦值，则该式叫做原式的对偶式.在解决有关问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造对偶式，并能与原式进行和、差、积的运算，就能使问题巧妙地得到解决.高考预测题5 157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos 15cos πππππππ= . 解析 整体看待上式，然后构造出它的对偶式，从而使原问题化难为易.设=A ,157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos15cos πππππππ =B ,157sin 156sin 155sin 154sin 153sin 152sin 15sin πππππππ由倍角公式可得，=⋅B A 12811514sin 1512sin 1510sin 158sin 156sin 154sin 152sin πππππππ 1281=157sin 156sin 155sin 154sin 153sin 152sin 15sin πππππππ.1281B = 显然,0≠B 由,1281B AB =得，.1281=A 故157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos 15cos πππππππ.1281= 五、齐次式高考预测题6 已知,21tan =α (1)求ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值； (2)求αααα22cos 5cos sin 3sin 2+-的值.解析 关于正弦、余弦的齐次式和齐次分式，如,cos sin θθb a y +=+=θ2sin a y θθcos sin b ,cos 2θc +θθθθθθθθ2222221121cos cos sin sin cos cos sin sin c b a c b a y ++++=等，可将其转化为关于θtan 的表达式，进而求值. (1) ,21tan =α∴,0cos ≠α 将ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的分子和分母同时除以αcos 得，ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=.021352214tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-αα (2)αααα22cos 5cos sin 3sin 2+-αααααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 2++-=1tan 5tan 3tan 222++-=ααα.516= 六、正、余弦定理法高考预测题7 ︒︒︒︒++105cos 45sin 3105cos 45sin 22= . 解析 因为上述表达式的结构特点与余弦定理的表达式很相似，所以可考虑构造特定的ABC ∆，然后借助正、余弦定理来求解.由正、余弦定理得，.sin cos sin sin 2sin sin 222C C B A B A =-+于是原式=︒︒︒︒-+15sin 45sin 315sin 45sin 22.令,120,15,45︒︒︒===C B A 则有原式=︒︒︒︒︒⨯-+120cos 15sin 45sin 215sin 45sin 222︒=120sin 2.43=七、和差代换高考预测题8 ︒︒︒︒++50cos 20sin 50cos 20sin 22= .解析 本题除了可以利用正、余弦定理法求解外，还可以适当地引入参量，然后借助和差代换的方法达到求解的目的.设.50cos ,20sin b a b a -=+=︒︒于是)50cos 20(sin 21︒︒+=a =)40sin 20(sin 21︒︒+.10cos 21︒= )50cos 20(sin 21︒︒-=b )40sin 20(sin 21︒︒-=.10sin 23︒-= 故原式)(()()(22b a b a b a b a -+++-++=223b a +=︒︒+=10sin 4310cos 4322.43=。
三角函数化简求值常用技巧
三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。
∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
三角函数化简的方法技巧
三角函数化简的方法技巧三角函数是数学中常见的函数，它们在许多领域中都有广泛的应用。
化简三角函数是数学中的重要技巧，它可以简化复杂的表达式，使计算更加简单和直观。
以下是一些常用的三角函数化简方法和技巧。
1. 基本公式使用三角函数的基本公式是化简的基础。
例如，正弦函数的基本公式是：$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$这个公式可以用来化简包含正弦函数的表达式。
根据需要，还可以使用余弦函数、正切函数和余切函数的基本公式。
2. 和差化积公式和差化积公式是一种常见的化简方法。
对于两个角度$\alpha$ 和 $\beta$，我们有以下的和差化积公式：$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$这些公式可以用来化简包含和差角的三角函数表达式，并将它们转化为乘积形式。
3. 二倍角公式二倍角公式是化简三角函数的另一种常用方法。
对于角度$\theta$，我们有以下的二倍角公式：$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$$$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$这些公式可以用来将包含二倍角的三角函数表达式转化为简单的乘积形式。
4. 三倍角公式类似于二倍角公式，三倍角公式也是化简三角函数的方法之一。
对于角度 $\theta$，我们有以下的三倍角公式：$$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$$$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$这些公式可以用来将包含三倍角的三角函数表达式转化为简单的表达形式。
高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总
高一数学。
三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式：sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式：sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式：sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式：如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$，则：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足：sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想：在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解。
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5. 图象变换
例７已知函数 该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
6. 求值
例8.已知函数f(x)＝ +sinxcｏsx。设α∈(0,π),ｆ( )= ,求ｓinα的值。
7． 求系数
例9.若函数ｆ（x)= 的最大值为2,试确定常数a的值。
8. 解三角不等式
【例1】已知θ同时满足 和 ,且a、b均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin(α+β)＝ ,ｃos（α-β）= ，求 的值。
2）变换角的形式
对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为(α+β）-β；2α可变为（α+β)+（α－β）;2α－β可变为(α－β）＋α;α/2可看作α/4的倍角；(45°＋α)可看成(９0°＋２α）的半角等等。
【例2】求sin（θ+７5°)+ｃoｓ（θ＋45°)- cos（θ＋15°)的值。
练习已知 ，求 的值
【例3】已知siｎα＝Asin（α＋β）(其中cosβ≠A）,试证明:taｎ（α＋β)＝
提示：sin[（α＋β)-β]=Ａｓin（α+β)
（３）以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式,将原式中的1或其他特殊值用式子代换,往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“１”可以看作是sin2x＋cos2ｘ， ｓec2ｘ-tan2ｘ, ｃsc２x －cot２x，tanxcotx， seｃｘcoｓｘ, tａn４５°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形,常能获得较理想的解题方法。
(７)数形结合
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形渗透,两者交融,则可开辟解题捷径。利用单位圆,构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。
【例9】已知: , ，求 的值。
５. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究
非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点,现在我们通过一个题目的解法探寻,体会非特殊角三角函数的求法。
ﻫ【例6】求证: ＝
（6)代数方法
三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形,从而将三角问题转换成代数问题来解,而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。
【例7】锐角α、β满足条件 ，则下列结论中正确的是( )
A.α+β≠ B． α+β＜
C． ห้องสมุดไป่ตู้+β＞ Ｄ． α＋β=
【题目】求 的值。
练习
1若 ,则 的值为()
A. Ｂ.
C. D.
2函数 的值域是(）
A. B. C. D.
3.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为（)
Ａ. B. C． D.
４. 等于(）
Ａ.－1 B. 1C．2Ｄ．－2
2、辅助角公式及其应用
辅助角公式
对于形如y=ａsinx+bcosx的三角式，可变形如下：
三角函数化简求值证明技巧
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第三讲
1、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧
1、网络
２、三角函数变换的方法总结
(1）变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”，“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例4】化简：
(4）和积互化
积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。
【例5】解三角方程：ｓin2x＋siｎ2２x＝ｓin2３x
(5）添补法
与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子,同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。
例10.已知函数ｆ(ｘ)＝sin2ｘ+ｓiｎ2x，x ,求使ｆ(x)为正值的ｘ的集合。
y＝asiｎx=bcosx 。
１ 求周期
例１求函数 的最小正周期。
2. 求最值
例2.已知函数ｆ(ｘ)=cｏｓ4x-2sｉnxcosx－siｎ４x。若 ，求f（x）的最大值和最小值。
3求值域
例4.求函数
的值域。
４ 图象对称问题
例6.如果函数y＝sｉn2x+aｃos2x的图象关于直线x= 对称,那么a=( )