2005-2006学年第一学期考试试题A答案

2005－2006学年第一学期考试试题参考答案A卷考试科目：离散数学考试时间：120分钟试卷总分100分

一、（本大题共8分）

解：(┐p∨┐q)→(p↔┐q)⇔┐(┐p∨┐q)∨((┐p∨┐q)∧(p∨q))

⇔ (p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q) （主析取范式）……（2分）

⇔q∨(p∧┐q) （析取范式）……（2分）

⇔p∨q （合取范式、主合取范式）……（4分）二、（本大题共12分）

证明：

(1) (∃x)P(x)→(∀x)((P(x)∨Q(x))→R(x)) P

(2) (∃x)P(x) P

(3) (∀x)((P(x)∨Q(x))→R(x)) T(1)(2)I ……（1分）

(4) P(c) ES(2) ……（1分）

(5) (P(c)∨Q(c))→R(c) US(3) ……（1分）

(6) P(c)∨Q(c) T(4)I ……（1分）

(7) R(c) T(5)(6)I ……（1分）

(8) (∃x)Q(x) P ……（1分）

(9) Q(d) ES(8)……（1分）

(10) (P(d)∨Q(d))→R(d) US(3)……（1分）

(11) Q(d)∨P(d) T(9)I ……（1分）

(12) R(d) T(10)(11)I ……（1分）

(13) R(c)∧R(d) T(7)(12)I

(14) (∃y)(R(c)∧R(y) ) EG(13)……（1分）

(15) (∃x)(∃y)(R(x)∧R(y) ) EG(14)……（1分）

三、（本大题共15分，每小题3分，共5小题）

1.证明：

证法1：

A B A∧B ┐A ┐B ┐A∧┐B A↔B (A∧B)∨(┐A∧┐B)

0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1

⇔ (┐A∨B)∧(┐B∨A)……（1分）

⇔ (┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A) ……（1分）

⇔ (A∧B)∨(┐A∧┐B)

证法3：先证A↔B⇒(A∧B)∨(┐A∧┐B) (a)

设α为任一指派，使α(A↔B)=1，那么α(A)= α(B)=1或α(A)= α(B)=0，从而α(A∧B)=1或α(┐A∧┐B)=1，即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。(a)得证；

再证(A∧B)∨(┐A∧┐B)⇒A↔B(b)

设α为任一指派，使α(A↔B)=0，那么α(A)=1，α(B)=0，或者α(A)=0，α(B)=1，从而α(A∧B)=0且α(┐A∧┐B)=0，即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。(b)得证。

2. 证明：

对任一x∈A∩C，则x∈A且x∈C，……（1分）因为A⊆B则有若x∈A，则x∈B，……（1分）所以x∈B且x∈C，故x∈B∩C。……（1分）因此A∩C⊆B∩C。

3.解：

r(R)=R∪I x ={,,,,,,} ……（1分）s(R)=R∪R c ={,,,,,,} ……（2分）4.解：

（1）由T={B,A,S,E,L}知|T|=5。……（1分）（2）由B=，可知|B|=0。……（1分）

哈尔滨理工大学

2005－2006学年第一学期考试试题参考答案 A 卷

（3）由|A|=4可知|)(A ϕ|=24

=16。 ……（1分） 5.解：

设A 为从1到500的整数中，能被3除尽的数的集合。 B 为从1到500的整数中，能被5除尽的数的集合。

则 |A|=[500/3]=166 （[x]表示不超过x 的最大整数） |B|=[500/5]=100

|A ∩B|=[500/（3*5）]=33 ……（1分）

由包含排斥原理：

|A ∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|=166+100-33=233

即从1到500的整数中，能被3或5除尽的数有233个。 ……（2分） 四、（本大题共8分）

证明：S 为A 上的等价关系，那么对任意x 有∈S ，

所以<[x],[x] >∈R/S ，R/S 是自反的； ……（2分） 若<[x],[y] >∈R/S ，则∈S ，由S 对称知< y, x >∈S ，

所以<[y],[x] >∈R/S ，R/S 是对称的； ……（3分） 若<[x],[y] >∈R/S ，<[y],[z] >∈R/S ，则∈S ，∈S ，由S 传递知∈S ， 所以<[x],[z] >∈R/S ，R/S 是传递的。 ……（3分） 故R/S 为A/R 上的等价关系。 五、（本大题共7分） 解：R 是A 上的偏序关系。 1、R 的哈斯图：

……（3分）

2、{}{}{}19,2glb ,369,2lub 9,2==最大下界的最小上界。 ……（4分）

六、（本大题共10分）

证.（1）对任意x,y ∈G ， 由已知得 x 2

=e,y 2

=e 。于是 x -1

=x y -1

=y 。

从而(x*y)2

=e ，(x*y) -1

=x*y 。 ……（2分） 又因为，(x*y) -1

=y -1

*x -1

=y*x ，故x*y=y*x 。

因此*运算满足交换律。为阿贝尔群得证。 ……（3分）

(2) 对任意a,b ∈G ，(a*b)2

=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b

又由题设(a*b)2

=a 2

*b 2

=(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b ……（2分） 从而 a*(b*a)*b=a*(a*b)*b 。两边同时左乘a -1

，右乘b - 1

得：

a*b=b*a ……（3分）

因此，*运算满足交换律，故 为阿贝尔群。

七、（本大题共10分） 证 建立双射h ：F →N 4，使

h （f i ）＝i （i=0，l ，2，3）； ……（6分） 由于对任何f i ，f j ∈ F ，

)()()()(444j

i j i j i f h f h j i f h f f h +=+==+ο 故h 为一同构映射,与< N 4,+4>同构得证。 ……（4分）