二面角的求法_ppt

) 2
12
5 15 . 4
.
1 1 AG CD AC DF CD AG得DF 2 2 AC
Rt ABC中, AB AC 2 BC 2 3, SABC
故四面体ABCD的体积
V
1 3 AB BC . 2 2
1 5 SABC DF . 3 8
例 3 ． 如 图 P 为 二 面 角 α–ι–β 内 一 点 ， PA⊥α ,PB⊥β, 且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
?
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两
个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB， 则∠AOB就是此二面角的平面角。
a
O B
A


A
2、射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
D
A B
C
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F， 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则 由 A C = A D ， 知 A G ⊥ C D ， 从 而
AG 由
AC 2 CG
2 2
1 2 ( 2

l

2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
C
B D
F A D B

l
E

C
B
A 二面角C－AB－ D 二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
由cos =AD/AH可得，ABC与它在过其
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
又∵PA=5，PB=8，AB=7 1 由余弦定理得 cos P
2 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º
P A α
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
A.

D
O
?
l

作业、 2 如图，△PAB是边长为2的正三角形,AD⊥平面 PAB,BC∥AD,AD＝BC＝ .又点N为线段AB的中点，点 M在线段AD上，且MN⊥PC. (1)求线段AM的长； (2)求二面角P－MC－N的大小.
D
C
M
N A B
P
练习2、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面 ACD，AB⊥BC，AC=AD=2,BC=CD=1. (Ⅰ)求四面体ABCD的体积; (Ⅱ)求二面角 C-AB-D 的平面角的正切值.
底边BC的平面M上的射影DBC以及两者 所成的二面角之间的关系：
S射 S DBC cos SABC S
练习1、已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、 PD的中点． （1）求证：AF∥平面PEC； （2）求PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求二面角P一EC一D的大小．
解 ①连接A1B、D1C， ∵AB⊥BC，A1B⊥BC ∴∠A1BA就是二面角A1-BC-A 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠A1BA=A1A/AB= 3 。 3 ∴ ∠A1BA=30 。 ∴二面角A1-BC-A为30 。
②连接C1B、D1A， ∵BC⊥AB， BC1 ⊥ AB ∴∠C1BC就是二面角C1－AB-C 的平面角， 又∵在Rt△A1AB中 tan ∠C1BC=C1C/BC= 3 。 ∴ ∠ C1BC =60 ∴二面角A1-BC-A为60。
因为∠ BCE＝ 120° ，所以∠ BCF＝ 60° . 所以 BF＝ BC· sin60° ＝ 3， AB 2 5 所以 tanθ＝ ＝ 2， sinθ＝ . 5 BF 2 5 所以所求二面角的正弦值是 .12 分 5
例2、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。
由题可得 OB＝ MO＝ 3， MO∥ AB， EO MO 1 则 ＝ ＝ ， EO＝ OB＝ 3， 2 EB AB 所以 EB＝ 2 3＝ AB， 故∠ AEB＝ 45° .6 分
(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形． 作BF⊥EC于F，连接AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面 角A－EC－B的平面角，设为θ.8分
P
l
A

B
P1
A1
B1
∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
D1 A1 B1 D A B
C1
C
例1、 如上图，长方体AC1中， AB=3，BC=1，CC1= 3， 求①平面A1BC与平面ABCD ②平面C1AB与平面ABCD 所成二面角的大小 ？
北极
66 °34 ´
地球轨道面
↓ ↑ 23°26´
(黄道平面)
南极
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法;
4、掌握二面角的射影面积法;
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
?
练习2 (本题满分 12 分)(2010 年高考江西卷)如图，
△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. (1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小； (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值．
【解】 法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB， OM， 则OB⊥CD，OM⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.2分 所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长 AM，BO相交于E, 则∠AEB就是AM与平面BCD 所成的角.4分
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB， 3、垂面法:
a
O B
于B，作AC⊥ 于C，面 过二面角内一点A作AB⊥ ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A A
C
a

A


B
O
a
O
B

A
4、射影面积法:
如图所示， AD平面M，
M
B H
D
C
设AHD= 是二面角A-BC-D的平面角，