南师大05数分

南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 数学分析
一、判断正确与否，说明理由。

（5分*3=15分） 1、
∑n
u 收敛，)(,1∞→→n v n ，则
∑n
n v
u 收敛。

2、若
dx x f a
⎰
+∞
)(收敛，dx x f a
⎰
+∞
')(收敛，则0)(lim =+∞
→x f x 。

3、在f(x)在[a,b]上具有界值性（即f(x)可取得f(a)和f(b)之间的一切实数）的单调函数必一致连续。

二、计算下列各题：（7分*7=49分）
1、2
1
3
3sin sin lim
x
x x x → 2、)0(cos )!2(lim
!
\>∞+→a a n n n n 3、x
x x x x x 1
2
23232lim 0⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++→
4、dx x x ⎰-100
2)1( 5、求y
x y x y x f ++=2
3
3),(在（0，0）处的重极限和累次极限。

6、忘了 7、x
y
y x arctan
ln
22=+，求y '和y ''。

三、（10分）f(x)在),[+∞a 单调递减，f(x)>0，证明dx x f a
⎰
+∞
)(和dx x x f a
⎰
+∞
2cos )(敛散性
相同。

四、（15分）已知k
nx n n xe x f -=)(，当k 为何值时，函数列)}({x f n 在),0[+∞上（1）收敛，
（2）一致收敛，（3）积分与极限可交换，即dx x f dx x f n n n n )(lim )(lim 0
⎰
⎰+∞
+∞
∞
→∞→=。

五、（15分）考察
∑+++)
1(2sin )1(2)12(cos
n n x
n n x n 在（1）[l l ,-]和（2）),(+∞-∞上的一致
收敛性。

六、（15分）（忘了）
七、（16分）交换积分顺序,先对x 再对y,最后对z 积分:dz z y x f dy dx J x x
y x ⎰
⎰
⎰----+=1
1
1112
2
2
2),,(.
八、（15分）证明
⎰
+∞
+∞0
,[sin a dy y
xy
在）上一致收敛，而在),0(+∞上不一致收敛。