力法的原理与方程
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
第十二章-力法及正则方程(材料力学课件)
a2 2
2a
3
2a 3 3EI
1P
1 EI
2 3
qa 2 8
a
a
2
qa 4 24 EI
由 11 X1
1P
0得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
CL12TU85
M10 图
CL12TU83
11
1 EI
l 1
l EI
M10 图
1P
1 EI
Pl 2 8
1
Pl 2 8EI
由 11 X1
1P
0得X 1
Pl 8
MP图
vC
Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI
求图示刚架的支反力。
CL12TU84
M10 图
MP图
11
2 EI
CL12TU86
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
由平衡条件可得：
Q P cos45 2 P 2
M max
Pa 2
M max 发生在外载荷P作用点处
0 j
实际载荷引起的弯矩为M P
则： ii
l
M
0 i
M
0 i
EI
dx，
i j
l
M
0 i
M
0 j
EI
dx
i P
l
M
0 i
MP
EI
dx
平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 C处的约束力、支座反力。
7.2 力法的基本原理
A B
d11
X1=1
此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。
δ11X1+Δ1P = 0
M 1M 1 d11 ds EI Ay 1 1 2 1 01 ( l l )( l ) EI EI 2 3 3 l 3EI
Δ1P M 1M P ds EI A y 1 1 l FP l 5 2 02 ( )( l ) EI EI 2 2 2 6 3 5 FP l 48 EI
(ql2/8) D ql2/8
ql2/8 ql2/8
A
(ql2/8) E
3ql/8
5ql/8 C B 5ql/8
C
A
3ql/8
B
M图
FQ 图
力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为基本未知量；根 据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相 等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力； 最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图
+
A B X1 Δ11
FP
A
l/2
C
(Δ1=ΔB =0) EI B l/2
FP
A C B Δ1P
=
X1
基本体系
+
A B X1 Δ11 =d11X1
若以d11表示基本结构在 单位力X1=1单独作用下沿 X1方向产生的位移，则有
Δ11=d11X1 (c ) 于是，上述位移条件（b）可写为 δ11X1+Δ1P = 0 (7-1)
A
C
B
A
B
基本体系
X1
基本结构
基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿 多余未知力X1方向的位移D1应与原结构位移ΔB相同，即 Δ1 = ΔB = 0 这个转化条件是一个变形条件或称位移条件，也就是 计算多余未知力时所需要的补充条件。
力法—力法的基本原理和典型方程(工程力学课件)
——
M
i、M
图互乘
j
iP
M
i
MP EI
ds
——
M
i、M
图互乘
P
力法又称为柔度法，力法方程称为柔度方程。
11X1 12 X 2 1i X i 1n X n 1P 0 21 X1 22 X 2 2i X i 2n X n 2P 0
n1 X1 n2 X 2 ni X i nn X n nP 0
物理意义：基本结构在全部多余力和荷载共同作用 下，在去掉各多余联系处沿各多余力方向的位移，与 原结构相应的位移相等。
δij X j 1 单独作用下引起的 Xi 方向的位移；
iP 外荷载单独作用下引起的Xi 方向的位移
主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。
副系数：δij (i≠j)可能>、=或<0。 δij=δji
➢ 力法的典型方程
一般情况下，一个 n 次超静定结构，则有n 个多余未 知力，而每个多余力都对应一个多余联系，相应就有一 个位移条件，故可据此建立 n 个方程，这 n 个方程为：
X3=1 B
δ13
➢ 力法的典型方程
q
C
D
FP 基本体系
11 X1 12 X2 13 X3 1P BH 0 21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0 31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0
A
X3
i 表示位移的因。
X2
力法的基本原理
超静定结构
力法
超静定次数较低时
位移法
超静定次数较高时
➢ 力法的基本概念
待解的未知问题
基本体系
1 0
变形条件
X1
力法基本 未知量
11力法原理和力法方程
因此基本体系的受力状态与原结构完全相同
结论：基本体系既是静定结构，又可用它来代表原来的超 静定结构，因此基本体系是静定结构过渡到超静定结构的 一座桥梁。
2020/2/29
力法方程（Equation of Force Method）
l3 3EI
代入
A
q
B
1P1x110
就得到X1
3 x1 8 ql
l
1 ql 2 8
原结构
A
B
求得的未知力X1是正号，表示反力X1的方 向与原设的方向相同。
M图
多余的未知力的求出以后，就可以利用平衡条件求原结构的支座反力， 作出内力图，如图所示。
根据叠加原理，结构任以截面的弯矩 M 也可用下列公式表示：
B
1P
0 （补充条件） BV
1P110
11
1P1x110力法方程
B X1
δ 在数值上等于基本结构在单位力
11 X1＝1单独作用下沿X1方向产生的
位移
力法方程（Equation of Force Method）
• 由上式可以看出：若求出X1的大小，就可以求得此超静定结构的内力来。
2020/2/29
MM1x1MP
小结(Summary)
1、土木工程是由各种构件组成的几何不变体系。几何 不变体系包括静定结构和超静定结构。
2、力法方程的实质是位移方程，之所以称其为力法 方程，是因为方程的建立是从多余力入手的。
3、要深入的领会多余力和支座约束的关系，基本体系 和原结构的等价关系，只有这样方可举一反三，触类 旁通。
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
力法的原理与方程
d n1 X 1 d n2 X 2 ............... d nn X n DnP = 0
1） DiP ,d ij 的物理意义；
d ij
2）由位移互等定理 d ij = d ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3）d ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
§6－2 力法的基本概念
一、力法基本思路
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个静定结构（基本
体系），然后让基本体系在受力方面和变形 方面与原结构完全一样。
一、力法基本思路
2、力法的三个基本概念: 基本未知量—多余未知力X1；
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
基本体系—静定结构(悬臂梁)；
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=0
d 21 X 1
d 22 X 2
............... d 2n X n
D2P
= 0
....................................................................
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
（5）解力法方程 X1 X 2
（6）内力
M = M1 X1 M2 X2 MP
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
X1 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。
X2
P
X1
P
X2
4）柔度系数及其性质
对称方阵
d11 d12 ........... d1n
力法和位移法的基本方程
力法和位移法的基本方程力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
力法是以外力为基础，通过计算结构内力来求解结构的变形和应力状态；位移法则是以结构变形为基础，通过计算结构位移来求解结构的内力和应力状态。
两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法进行分析。
力法的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式。
平衡方程是指结构受到的外力与内力的平衡关系，可以用以下公式表示：∑F = 0其中，∑F表示结构受到的所有外力的合力，等于内力的合力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式是指材料的应力与应变之间的关系，可以用以下公式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
这个方程可以用来计算结构的应力分布。
位移法的基本方程为位移-力关系式和应力-应变关系式。
位移-力关系式是指结构的位移与内力之间的关系，可以用以下公式表示：u = ∑(k_i)^(-1)F_i其中，u表示结构的位移，k_i表示第i个节点的刚度，F_i表示第i个节点的外力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式同样适用于位移法，可以用来计算结构的应力分布。
需要注意的是，力法和位移法的基本方程只是分析结构的起点，具体的分析方法和计算过程还需要根据具体情况进行选择和确定。
同时，结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素也会对分析结果产生影响，需要进行综合考虑。
总之，力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法，它们的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式、位移-力关系式和应力-应变关系式。
在实际分析中，应根据具体情况选择合适的方法进行分析，并考虑结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素。
力法的基本原理和典型方程
力法\力法的基本原理和典型方程
力法的基本原理和典型方程
1.1 力法的基本原理
力法是计算超静定结构内力的基本方法之一。它是以多余未知 力作为基本未知量，以静定结构计算为基础，由位移条件建立力法 方程求解出多余未知力，从而把超静定结构计算问题转化为静定结 构计算问题。由于它的基本未知量是多余未知力，故称为力法。
ij ji
iF 称为自由项，其值也可为正、为负或为零。
目录
建筑力学
绘制最后的弯矩图
目录
力法\力法的基本原理和典型方程
1.2 力法典型方程
前面用一次超静定结构说明了力法计算的基本原理。从中看到， 正确选取力法基本结构及建立力法方程是解决问题的关键。对于多 次超静定结构，计算原理与一次超静定结构完全相同。下面以两次 超静定结构来说明如何建立力法方程。
两次超静定结 构的力法方程
…… + ……+ n1Χ1 n2Χ2
ni Χi
nn Χn nF 0
上述方程组在组成上有一定的规律，不论超静定结构的类型、
பைடு நூலகம்
次数、及所选的基本体系如何，所得的方程都具有上式的形式，故 称为力法典型方程。
式中，主对角线上的系数 ii称为主系数，其值恒为正值；主对 角线两侧的系数ij 称为副系数，其值可为正、为负或为零，根据位 移互等定理，在关于主对角线对称位置上的副系数有互等关系，即
11Χ1 12 Χ 2 1F 0 21Χ1 22 Χ2 2F 0
目录
力法\力法的基本原理和典型方程
对于高次超静定结构，其力法方程也可类似推出。其力法方程 为
11Χ1 12Χ2 ……+ 1i Xi ……+ 1n Χn 1F 0 21Χ1 22Χ2 ……+ 2i Χi ……+ 2n Χn 2F 0 ………………………………………………
05-讲义：7.2 力法的基本原理及典型方程
第二节 力法的基本原理及典型方程力法是计算超静定结构的最基本方法。
采用力法求解超静定结构问题时，不能孤立地研究超静定问题，而是应该把超静定问题与静定问题联系起来，即利用已经熟悉的静定结构计算方法来达到计算超静定结构的目的。
一、力法的基本原理这里先用一个简单的一次超静定结构为例来说明力法的基本概念，即讨论如何在静定结构的基础上，进一步寻求计算超静定结构的方法。
1、力法的基本未知量、基本结构和基本体系图7-7(a)所示为一次超静定梁结构，若将B 处支座链杆作为多余约束去掉，则能得到静定的悬臂梁结构（图7-7(b)）。
将原超静定结构中去掉多余约束后所得到的静定结构，称为力法的基本结构。
所去掉的多余约束处，以相应的多余未知力1X 来表示其作用，如图7-7(b)所示，这样原结构就相当于基本结构同时受到已知外荷载q 和多余未知力1X 的共同作用。
基本结构在原荷载和多余未知力共同作用下的体系称为力法的基本体系。
在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力1X ,，只是把它由被动的支座反力改为主动力。
因此基本体系的受力状态与原结构是完全相同的，基本体系完全可以代表原超静定结构。
在基本体系中，只要能够设法求出1X ，则剩下的问题就是静定结构的问题了。
由此可知，力法的主要特点就是把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，因此多余未知力称为力法的基本未知量，力法这个名称就是由此而来的。
图7-7 力法的基本结构和基本体系(a)原超静定结构 (b)基本结构 (c)基本体系2、力法方程的建立怎样才能求出图7-7(c)中基本未知量1X 呢？在基本体系中，未知力1X 相当于外荷载，因此无论1X 为多大，只要梁不破坏，都能够满足平衡条件，显然不能利用平衡条件求解1X ，必须补充新的条件。
为此，将图7-7(c)中的基本体系与图7-7(a)中的原超静定结构加以比较。
在图7-7(a)所示的原超静定结构中，1X 表示支座B 处的约束反力，它是被动的，是固定值，与1X 相应的位移1 （即B 点的竖向位移）等于零。
力法典型方程
力法典型方程力法典型方程是物理学中经常用到的方程，它描述了物体受力和相应运动的关系，是力学基本原理的具体应用。
下面介绍几个力法典型方程的例子：1. 牛顿第二定律：F = ma这是力学中最基本的方程之一。
它表明，物体的加速度与物体所受的合外力成正比，质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。
这个方程揭示了物体运动的原因是受到力的作用。
2. 万有引力定律：F = G * (m?m?) / r2这是描述物体间引力作用的方程，其中F表示物体之间的引力，m?和m?分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是一个常数，称为万有引力常数。
这个方程告诉我们，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
3. 功率方程：P = F * v这个方程描述了力的功率和物体的速度之间的关系。
功率表示单位时间内所做的功，F是作用在物体上的力，v是物体的速度。
这个方程告诉我们，功率与力和速度成正比，当力和速度增大时，功率也相应增大。
4. 胡克定律：F = k * x这个方程用于描述弹簧的伸缩过程中的力和位移之间的关系。
其中F 表示弹簧受到的恢复力，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的位移。
这个方程告诉我们，弹簧的恢复力与它的位移成正比。
5. 速度-时间关系方程：v = u + at这个方程描述了物体的速度和时间之间的关系，其中v是物体的最终速度，u是初始速度，a是物体的加速度，t是经过的时间。
这个方程告诉我们，物体的速度随时间的增加而改变，其改变率与加速度成正比。
这些力法典型方程是物理学中最常用的方程之一，它们可以帮助我们理解物体受力和相应运动的规律。
通过应用这些方程，我们可以计算物体的加速度、速度、力、功率等物理量，并预测物体的运动轨迹和相互作用。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选用适当的力法典型方程来求解。
通过运用这些方程，我们能够更好地理解和解释物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论基础。
力法的基本方程讲义
11
2 2EI
(1 2
66
2 3
6)
1 3EI
(6 6 6)
144 EI
图 5.19
22
2 2EI
(6 6 6)
1 3EI
(1 2
66
2 3
6)
132 EI
33
2 2EI
(1 61)
1 3EI
(1 61)
8 EI
12
21
1 2EI
(1 2
6 6 6)
1 3EI
(1 2
6 6 6)
MA
Pa
3EL kl
ab 2
b2
l2
1
3EI kl 3
；M C
Pa3b
1
3b 3a
l3
1
3EI kl 3
【例 5-3】用力法计算如图 5.18(a)所示刚架。 解：刚架是二次超静定结构，基本结构如图 5.18(b)所示。力法方程为
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
2EI 3
EI
将系数和自由项代入力法方程，化简后得
解此方程组得：
24X1 15X 2 5X3 31.5 0
15
X
1
22 X 2
4X3
126
0
5 X 1
4X2
4 3
X3
21
0
X1=9 kN；X2=6.3 kN；X3=30.6 kN·m 按迭加公式计算得最后弯矩图如图 5.20。
从以上例子可以看出，在荷载作用下，多余力和内力的大小都只与各杆弯曲刚度的相对
90 EI
13
31
2 2EI
(1 2
《结构力学》第5章：力法
03
对边界条件敏感
力法对边界条件的处理较为敏感， 边界条件的微小变化可能导致计 算结果的显著不同。
适用范围讨论
适用于线弹性结构
01
力法适用于线弹性结构，即结构在荷载作用下发生的
变形与荷载成正比，且卸载后能够完全恢复。
适用于静定和超静定结构
02 力法既适用于静定结构，也适用于超静定结构，但超
静定结构需要引入多余未知力和变形协调条件。
在传动系统的力学分析中，采用力法计算各部件的受力情况，
确保传动系统的正常运转。
案例分析与启示
力法应用广泛性
力法计算精确性
通过以上案例可以看出，力法在桥梁、建 筑和机械工程等领域具有广泛的应用价值 。
力法作为一种精确的计算方法，在解决超 静定问题方面具有显著优势。
力法在工程实践中的局限性
对未来研究的启示
《结构力学》第 力法典型方程及应用 • 力法计算过程与实例分析 • 力法优缺点及适用范围 • 力法在工程实践中应用 • 力法学习建议与拓展资源
01 力法基本概念与原理
力法定义及作用
力法是一种求解超静定结构的方法， 通过引入多余未知力，将超静定问题 转化为静定问题进行求解。
桁架结构应用
桁架结构由杆件组成，通过力法可以求解桁架结构中的多余未知力，进而分析 桁架的稳定性和承载能力。
组合结构应用
组合结构由不同材料或不同形式的构件组成，通过力法可以分析组合结构的内 力和变形，为结构设计提供优化建议。
复杂结构简化与力法应用
复杂结构简化
对于复杂结构，可以通过合理简化为静定结构或简单超静定结构，进而应用力法求解。
适用于简单和规则结构
03
对于简单和规则结构，力法能够较为方便地求解出结
第四章 力法
飞行器结构力学基础李亚智航空学院·航空结构工程系第4章力法4.1 概述静不定（超静定）结构具有“多余”未知力。
多余未知力（内力或支反力）是由多余约束引起的，也叫做多余约束力。
静不定结构中的多余未知力不能仅由平衡条件求出，而必须引入变形协调条件后才能求解。
力法是计算静不定结构内力和位移的一种基本方法。
力法的基本未知量是力—多余未知力。
4.2 力法原理及力法典型方程力法计算的基本思路：把静不定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用静定结构的计算方法来达到求解静不定结构的目的。
P例1、图示三支点梁A B C一次静不定，有一个多余约束。
B AC P X（2）把多余约束对梁的作用（约束力）用集中力X 表示。
（1）先去掉一个多余约束（譬如可动铰支座B ）。
材料力学的求解方法：去掉多余约束后所得到的静定结构称为力法的基本系统。
本例的基本系统就是一根简支梁。
X 就是多余未知力（多余约束力），只要知道它的大小，就可以应用平衡条件求出原结构系统的支反力和内力（剪力和弯矩）的大小与分布。
A C PB 原系统基本系统A B C PAC X BX∆（3）借助变形几何关系求解多余未知力上式即为力法求解的典型方程（正则方程）。
变形几何关系：0=∆+∆=∆X P B 令为仅在X = 1作用下其作用点的位移，则1δX X ⋅=∆1δ变形几何关系成为：1=⋅+∆X P δA C PB P∆0=∆BP 1P 212例2、二次静不定桁架，共11根杆。
基本系统以两个斜杆1和2的内力作为多余未知力。
解：将两杆切开，等于去掉了两个多余约束，变成静定结构，也就是构成一个基本系统。
12原系统=++P 1P 212原状态P 1P 2载荷状态X 1多余未知力状态1X 2多余未知力状态2外载荷和多余未知力均可看作是作用于基本系统上的外力。
上页图中有以下几层含义：•原结构中多余未知力X1和X2是被动力（由外力引起），而在基本系统中是以主动力（外力）的形式出现的。
结构力学 力法
X1 = 5 ql ( ↑ ) 4 X1 = 0
当 当
求解图示加劲梁。 例 5. 求解图示加劲梁。 −4 4 横梁 I = 1 × 10 m
解： δ 11 X 1 + ∆1 P = 0
10.67 12.2 , + δ 11 = EI EA 533 .3 ∆1 P = EI 当 A = 1× 10 −3 m 2 ,
ql 2 20
1
M X1
Mi
ql 2 / 40
∆1 = 0 ∆ 2 = 0
1 1 ql 2 1 ql 2 1 ql 3 θA = ( ⋅l ⋅ ⋅1 − ⋅ l ⋅ ⋅1) = ( EI 2 20 2 40 80 EI
)
(1).位移计算 位移计算
求A截面转角 截面转角 q A ql 22EI EI 20 l M l
X1
P -P/2 a
2/2
X1 = − P / 2
P/2 a 0 0 P P
− 2P
X1 = 1
Hale Waihona Puke 1 0 1− 2 − 2
1 1 1
N1
N = N1 X1 + N P
X1
0
P
P 变形条件仍为: 变形条件仍为: N∆1 = 0 P 对吗? 对吗?
X1 X1
∆1 = −
X 1a EA
求作图示梁的弯矩图。 例 4. 求作图示梁的弯矩图。
P
Pl 2 / 8
l X1 P
l X2 X3
δ 13 = δ 31 = δ 23 = δ 32 = ∆3 P = 0
M 32ds N 32ds kQ32ds l δ 33 = ∫ +∫ +∫ = ≠0 EI EA GA EA X3 = 0 δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆ 2 P = 0
力法和位移法—力法典型方程(建筑力学)
l3 2 EI
1 P
1 EI
ql 2 (
2
l
l )
2
ql 4 4 EI
2 P
1 EI
ql 2 (
2
ll
1 3
ql 2 2
l
3l )
4
5ql 4 8EI
试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图
4.代入力法方程求解多余未知力
11 X1 12 X 2 1P 0
l3
l3
ql 4
3EI X1 2EI X 2 4EI
将以上关系式代入
，有
12 12 X2 , 22 22 X2
熟知力法的基本原理
上式就是二次超静定结构力法方程。解以上方程即可求出多余未知力X1 和X2。当X1和X2单位约束反力求解后，其余的计算就可以转化为静定结 构计算。具体绘制弯矩图时，可利用图乘法和叠加原理进行求解，即： 结构各个端部弯矩多余未知力X1和X2 F
(c)
A
M2图
(d)
Fl
F
2
C
B
A
MF图 (e)
➢ 由图乘法得
熟知力法的基本原理
C
B X1=1 C l
B
l X2=1
A l
M1 图
(c)
A
M2图
(d)
熟知力法的基本原理
将各系数和自由项代入典型方程，解得
X1=
X2=
由
绘出结构弯矩图如图f。
3Fl 40
C
FB
17Fl 80
A 3Fl 80
弯矩图 (f)
熟知力法的基本原理
由此得到位移平衡方程为
基本结构在荷载q和多余未知力 X1、X2 共同作 用下的位移应等于这些力分别单独作用下的位 移的叠加，所以有:
力法典型方程是根据平衡条件得到的
力法典型方程是根据平衡条件得到的力学是研究物体在相互作用下的运动规律的学科。
在力学中，我们经常需要使用一些数学工具来描述物体的运动状态和相互作用。
其中，力法典型方程是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解物体的运动规律和相互作用。
力法典型方程是根据平衡条件得到的。
在物体的运动过程中，如果物体处于平衡状态，那么物体所受的所有力的合力应该为零。
这就是平衡条件。
根据平衡条件，我们可以得到力法典型方程。
力法典型方程的一般形式为F=ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个方程告诉我们，物体所受的合力和物体的质量之间存在一种关系，这种关系可以用加速度来表示。
如果我们已知物体的质量和所受的合力，那么我们就可以通过这个方程来计算物体的加速度。
反之，如果我们已知物体的质量和加速度，那么我们也可以通过这个方程来计算物体所受的合力。
除了一般形式的力法典型方程，还有一些特殊形式的力法典型方程，比如牛顿第二定律和牛顿第三定律。
牛顿第二定律可以表示为F=ma，它告诉我们，物体所受的合力和物体的质量之间存在一种直接的关系。
牛顿第三定律可以表示为F1=-F2，它告诉我们，物体之间的相互作用是相互的，即每个物体所受的力都与另一个物体所施加的力大小相等、方向相反。
力法典型方程在物理学和工程学中都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用来描述物体的运动规律和相互作用。
在工程学中，它可以用来设计和优化各种机械系统。
比如，我们可以用力法典型方程来计算汽车的加速度和制动距离，来优化机械结构的设计，以达到更高的效率和更好的性能。
总之，力法典型方程是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解物体的运动规律和相互作用。
通过平衡条件，我们可以得到这个方程的一般形式，也可以得到一些特殊形式的方程。
这个方程在物理学和工程学中都有广泛的应用，为我们研究和设计各种机械系统提供了有力的支持。
力法典型方程中的主系数
力法典型方程中的主系数力法典型方程是描述物体运动的基本方程之一。
它通过描述物体所受力与物体加速度之间的关系，揭示了力是物体运动的原因。
在力法典型方程中，主系数指的是质量。
力法典型方程的一般形式为F = ma，其中F是物体所受的合力，m 是物体的质量，a是物体的加速度。
主系数即为m，表示物体的质量。
在物理学中，质量是物体所具有的一种特性，它是物体所含有的物质的量度。
质量通常用千克（kg）作为单位进行表示。
质量是物体惯性的度量。
惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的性质。
根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动。
这是因为物体具有惯性，即物体保持原有的运动状态，除非有外力作用改变其运动状态。
质量还是物体的一个基本属性，它决定了物体与外界相互作用的程度。
根据牛顿第二定律，物体所受的力与其加速度成正比，并且与物体的质量成反比。
即F = ma，当力F作用在物体上时，物体对该力的响应是产生加速度a，其大小与力F成正比，与质量m成反比。
这意味着质量越大，物体对外力的响应越小，产生的加速度越小；而质量越小，物体对外力的响应越大，产生的加速度越大。
主系数质量在力法典型方程中的作用不可忽视。
它不仅决定了物体对外力的响应程度，而且决定了物体的惯性。
质量越大的物体，其惯性越大，对外界的干扰越小，保持原来的状态的能力越强；而质量越小的物体，其惯性越小，对外界的干扰越大，改变状态的能力越强。
这也是为什么质量大的物体比质量小的物体更不容易被外力改变原来的运动状态的原因。
质量也具有守恒性质。
根据牛顿第三定律，物体之间的相互作用力相等而方向相反。
这意味着在相互作用力的作用下，一个物体的质量不会发生变化，仍然保持不变。
这是因为质量是物体的固有属性，不会随外界条件的改变而改变。
总而言之，力法典型方程中的主系数质量在描述物体运动中起到至关重要的作用。
质量决定了物体对外力的响应程度和保持原有状态的能力，也决定了物体的惯性和对外界干扰的程度。
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（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
撤 除
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
约
束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支
的 方
座，等于撤除两个约束。
式
（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1=1
Pl/2
P
MP
l3 δ11= 3EI
D1P
=
-
5Pl3 48EI
X1
= - D1P
d11
=
5P 16
同一结构选不同的基本体系进行计算
3Pl/16
EI l/2 P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
P l/2
3Pl/16 X1
2) P
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
是无多余约束的几何不变体系。 b) 超静定结构
是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静
定结构区别于静定结构的基本点。
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
超静定次数确定
超静定次数=多余约束的个数
把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数
=
多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
（5）解力法方程 X1 X 2
（6）内力
M = M1 X1 M2 X2 MP
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
X1 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。
X2
P
X1
P
X2
X1
？
D1 = 0 D2 = 0
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
二、多次超静定结构的计算
对于 n 次超静定结构有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基 本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，
Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开
d 11 X 1
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=
0
d 21 X 1
d 22 X 2
Force Method
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数 §6－2 力法的基本概念 §6－3 超静定刚架和排架 §6－4 超静定桁架和组合结构 §6－5 对称结构的计算 §6－9 支座移动和温度改变时的计算 §6－10 超静定结构位移的计算
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
a) 静定结构
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
= X1=－Δ1P / δ11
3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
3ql/8
例：作图示结构的弯矩图
EI
P
l/2
l/2
3Pl/16
P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
l
M1
基本方程—位移条件（变形协调条件）。
当ΔB=Δ1=0
〓
X1<<=> RB
Δ1=Δ11+ Δ1P=0
δ11
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
力法的特点： 由基本体系与原结构变形 一致达到受力一致
+
×X1 X1 =1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
X1=1
l
M1
X1=1
Pl/2
P
δ11=
l3 3EI
MP
D1P
=
-
5Pl3 48EI
X1
= - D1P
d11
=
5P 16
1
M1
P MP
Pl/4
l δ11= 3EI
D1P
=- Pl2 16EI
X1
= - D1P
d11
=
-3Pl 16
力法基本体系的选择
3Pl/16
P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。
二、多次超静定结构的计算 P
P
X2
P
D2 P
D1P
d 21
d 11
X1 = 1
（1）基本结构 悬臂梁
（2）基本未知力
X1
d 22
X2 =1
d 12
（3）基本方程 D1 = 0 （4）系数与自由项D2 = 0
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
举例
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次
1
2
共七次超静定
不能撤除作支为杆多1后余体系约成束为的瞬变是杆 1、2、 5
§6－2 力法的基本概念
一、力法基本思路
............... d 2n X n
Hale Waihona Puke D2P= 0 ....................................................................
d n1 X 1 d n2 X 2 ............... d nn X n DnP = 0
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个静定结构（基本
体系），然后让基本体系在受力方面和变形 方面与原结构完全一样。
一、力法基本思路
2、力法的三个基本概念: 基本未知量—多余未知力X1；
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
基本体系—静定结构(悬臂梁)；
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
EI l/2 3Pl/16
X1
P l/2 2)
P
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
3Pl/16
P X1
3)
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
同一结构选不同的基本体系进行计算，则： 1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；
方程中的系数和自由项不同。 2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，
M1
l d
=
MM 1 1 dx
11
EI
X1=1
求l X1方= E向1I 的 l位22 移23l 虚 =拟3的lE3I力状P=态1
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP D= 1P
M 1M P dx EI
=-
1
1
ql
2
l
3l
=
-
ql
4
EI 3 2 4 8 EI
ql2/8
或按：M = MX1 M P 叠加
力法典型方程
n次超静定结构
d 11 X 1
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=
0
d 21 X 1
d 22 X 2
............... d 2n X n
D2P
= 0